1 - AULA 21

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AULA Nº21
LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA 
Binômio de Newton I
Profa. Deborah M. Raphael
Binômio de Newton
Problema: expandir um binômio do tipo
onde e são números reais (ou variáveis de um polinômio) e é um inteiro.
É uma soma de fatores da forma , com 
.
Fixado um certo , quantas vezes aparece o somando ?
Na expansão, quantas vezes aparece ?
É o mesmo que escolher duas posições para :
Escolher duas posições para , em possíveis, pode ser feito de maneiras diferentes.
Em geral, na expansão de , se fixamos
um certo , , o somando aparece vezes.
Lembre que -- vimos na aula 19.
Teorema do Binômio
Sejam e variáveis e um inteiro. Então,
Por exemplo, 
 
Lembre-se que já provamos que vale a igualdade:
, para inteiros quaisquer .
Outra igualdade bastante usada é a chamada Identidade de Pascal, também conhecida como Relação de Stifel.
, para inteiros .
Identidade de Pascal ou Relação de Stifel
, para inteiros .
Prova: 
.
Triângulo de Pascal
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Triângulo de Pascal
História
Binômio de Newton
Primeiro relato escrito tratando os coeficientes binomiais com combinatória e usando o Triângulo de Pascal: Chandaḥśāstra (obra em sânscrito).
Autor: Pingala – possivelmente sec VI AEC
História
Chandaḥśāstra (obra em sânscrito).
Comentário da obra do século X EC explica o método usando o que veio a ser conhecido por Triângulo de Pascal.
Matemáticos persas (sec XI EC) e chineses (sec XIII EC) conheciam a fórmula do binômio e o Triângulo de Pascal.
Triângulo de Yang Hui:
documento de 1303 EC
Isaac Newton – 1642-1726 
(coeficientes racionais)
Blaise Pascal – 1623-1662
Michael Stifel – 1487-1567
Resumo
Apresentamos a fórmula do Binômio de Newton e demos uma prova combinatória. Provamos a Identidade de Pascal (ou Relação de Stifel). Trabalhamos com o Triângulo de Pascal e falamos brevemente sobre a história dessas ideias.