Variação térmica em estruturas

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A variação de temperatura provoca mudanças nas dimensões de uma 
peça estrutural.
Quando a temperatura aumenta a estrutura sofre uma dilatação.
Quando a temperatura diminui a estrutura sofre uma contração.
Tensões térmicas
Estudos experimentais demonstraram que a 
variação de comprimento provocada pela 
temperatura em uma barra de material 
homogêneo é dada por:
LTT ..
 = propriedade do material denominada coeficiente de dilatação 
térmica dado em 1/oC
T = variação de temperatura em oC
L = comprimento inicial da barra
T = variação no comprimento da barra
Se a estrutura for isostática, e a variação de comprimento provocada pela 
temperatura for livre, não surgirão tensões causadas pela variação de 
temperatura.
Se a estrutura for hiperestática, a variação de
comprimento da barra provocada pela temperatura
será impedida e surgirão tensões térmicas.
Estas tensões térmicas podem atingir valores
elevados, causando danos à estrutura ou mesmo
provocando sua ruptura.
Cálculo do efeito da variação térmica em uma estrutura hiperestática 
(variação de comprimento impedida).
Equação de equilíbrio:
0: 0y A BF R R  
)1(BA RR 
Para a resolução deste tipo de problema, é possível considerar a 
reação do apoio como reação redundante e aplicar o princípio da 
superposição
Equação de compatibilidade:
)2(0AB
LTT ..
Variação de comprimento provocada pela 
temperatura:
Variação de comprimento provocada 
reação RA:
AE
LRA
R
.
.

Equação de compatibilidade:
0
.
.
.. 
AE
LR
LT AAB 
0 (2)AB T R    
BA RTAER  ... 
TAEN  ... 
TE
A
N
T  .. Tensão térmica
A barra de aço mostrada na figura está restringida para
caber exatamente entre os dois suportes fixos quando
T1=30°C. Se a temperatura aumentar até T2=60°C,
determinar a tensão térmica normal média desenvolvida
na barra. Usar E=200GPa e .
Exemplo 4-
612 10 1/ C   
T =60-30=30°C
210mm×10mm=100mmA 
=-72MPa
Gladimir
Carimbo
6) A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a 
temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC 
e CB da barra para a temperatura de -50°C. 
Usar :E=200GPa e 
Respostas:
Exercício de fixação:
612 10 1/ C   
 240 120AC CBMPa MPa  
7) Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na 
figura. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos 
quando a temperatura é T1=70°F, determine a tensão normal média 
em cada material quando a temperatura atingir T2=110°F . 
Respostas: 
6 6 612,8 10 1/ 9,6 10 1/ 9,6 10 1/alum bronze açoinoxF F F  
          
3 3 310,6(10 ) E 15(10 ) E 28(10 )alum bronze açoinoxE ksi ksi ksi  
 2,5 5,5 22,1alum bronze açoinoxksi ksi ksi       
8) Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e outro de
cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de
0,2mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de
30mm, determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C.
Resposta:
6 624 10 1/ 17 10 1/ alum cobreC C 
      
70 E 126alum cobreE GPa GPa 
 185,6MPa  
8) Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e outro de
cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de
0,2mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de
30mm, determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C.
Resposta:
6 624 10 1/ 17 10 1/ alum cobreC C 
      
70 E 126alum cobreE GPa GPa 
 185,6MPa  
Quando um corpo deformável é alongado em 
uma direção, ele sofre uma contração na 
direção transversal.
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de Poisson  (ni) 
para alguns materiais:
• Aço: 0,30
• Concreto: 0,20
allongitudin
ltransversa


 
Nos anos de 1800, o cientista francês S. D. Poisson descobriu que a 
relação entre a deformação transversal e deformação longitudinal era 
constante no regime elástico.
Coeficiente de Poisson negativo????
Materiais auxéticos!
A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal 
(deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e 
vice-versa.
'
 longitudinal transversalL r
 
  
Até agora, nosso estudo se limitou à análise de barras delgadas 
submetidas a cargas axiais, isto é, dirigidas ao longo de um eixo 
somente. 
Estados Múltiplos de Carregamento –
Generalização da Lei de Hooke
Tensão normal em cubo elementar Tensão normal em um elemento plano
Passamos agora a considerar elementos estruturais sujeitos à ação de
carregamentos que atuam nas direções dos três eixos coordenados,
produzindo tensões normais .
Temos então um ESTADO MÚLTIPLO DE CARREGAMENTO
OU CARREGAMENTO MULTIAXIAL.
Cubo elementar original de arestas de Cubo elementar deformado 
comprimento unitário
, x y ze  
Para escrevermos as expressões das componentes de deformação em função
das tensões, vamos considerar separadamente o efeito provocado por cada
componente de tensão e superpor os resultados (princípio da superposição).
Considerando em primeiro lugar a tensão :
causa uma deformação específica de valor na direção do eixo x e de
na direção y e z.
y
y
y
z
z
x
zx
x
y
z
x
E
E
E
E E
E E
EE
























/x E
Generalização da Lei de Hooke para
carregamento multiaxial
Lembrando:
Válido para o regime elástico e
deformações pequenas!
Deformação positiva – expansão
Deformação negativa - contração
/x E
x
Volume :
Aplicando a Lei de Hooke Generalizada:
   zyx
E
e 




21
   
EE
e
zyxzyx  



2
Dilatação volumétrica
(1 )(1 )(1 )x y z      
Mudança de volume: 
1 (1 )(1 )(1 ) 1x y ze          
x y ze     
As deformações específicas são muito menores 
que a unidade e os produtos entre elas podem 
ser desprezados. 
Dilatação volumétrica específica
V
e
V


pzyx  
Pressão hidrostática uniforme:
p
E
e
)21(3 

Módulo de elasticidade de volume:
)21(3 

E
k
k
p
e 
px 
pz 
py 
9) Um círculo de diâmetro d=230mm é desenhado em uma placa de
alumínio livre de tensões de espessura t=20mm. Forças atuando no
plano da placa posteriormente provocam tensões normais
e . Para E=70GPa e 𝜈=0,33, determine a variação (a) do
comprimento do diâmetro AB, (b) do comprimento do diâmetro CD, (c)
da espessura da placa e (d) a dilatação volumétrica específica.
Respostas:
(a)δAB=122,6μm (b)δCD=368 μm (c) δt=-21,2 μm (d) 0,00107
Exercício de fixação:
84x MPa 
140z MPa 
10) A figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão uniforme
em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de -
24μm. Determinar: (a) variação do comprimento das outras duas arestas (b)
a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E=200GPa e ν=0,29.
Respostas: (a)δy=-12μm (b)δz=-18 μm (c) p=-142,9MPa
Exercício de fixação:
11) Um bloco cilíndrico de latão, com 160mm de altura e 120mm de
diâmetro é deixado afundar num oceano até a profundidade onde a pressão
é de 75MPa (cerca de 7500m abaixo da superfície). Sabendo-se que
E=105GPa e ν=0,35, determinar: (a) variação do altura do bloco (b) sua
variação do diâmetro (c) sua dilatação volumétrica específica (d) variação
do volume
Respostas: (a) δh=-34,2μm (b)δd=-25,7 μm (c) e=-6,42(10
-4) (d)ΔV= -
1161mm3
Exercício de fixação:
12) Um bloco feito de liga de magnésio (E=45GPa e ν=0,35). Sabendo que
σx=-180MPa, determinar: (a) σy para qual a variação do altura do bloco é
zero (b) a correspondente variação da área da face ABCD (c) a
correspondente variação do volume.
Respostas: (a) σy =-63MPa (b) -4,05mm
2 (c)-162mm3
Exercício de fixação: