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AP3 NÚMEROS COMPLEXOS 2018-2
Questão 1 a) (1,5 pts) Determine o valor de sen
π
32
.
b)(1,0 pt) Ache a determinação principal de β = −1060π
18
.
Solução. a) Como
π
32
=
1
2
π
16
temos que sen2(
1
2
π
16
) =
1− cos( π
16
)
2
. As-
sim, dado que
π
32
pertence ao primeiro quadrante, o seno é positivo, ou seja,
sen(
1
2
π
16
) =
√
1− cos( π
16
)
2
.
Agora, procedendo da mesma maneira para determinar o cosseno de
π
16
=
1
2
(
π
8
), obtemos que
cos
π
16
=
√
1 + cosπ
8
2
e
cos
π
8
=
√
1 + cosπ
4
2
=
√
1
2
+
√
2
4
Assim,
cos
π
16
=
√√√√1
2
+
1
2
√
1
2
+
√
2
4
.
Finalmente, obtemos
sen
π
32
= sen(
1
2
π
16
) =
√√√√√1
2
− 1
2
√√√√1
2
+
1
2
√
1
2
+
√
2
4
.
b) Como 1060 = (58×18)+16, β = −1060π
18
= −(58× 18π) + 16π
18
= −58π − 16π
18
.
Como a determinação principal é um número positivo entre 0 e 2π,
β = −60π + 2π − 16π
18
= −60π + 20π
18
. A determinação principal de β é
20π
18
=
10π
9
.
Questão 2 a) (1,0 pt) Encontre a forma trigonométrica dos números
complexos
√
2−
√
2i e −3
√
3− 3i.
b)(1,5 pts) Determine o menor número natural n de modo que (
√
3− i)n
seja um número complexo imaginário puro.
1
Solução: a) Temos que |
√
2−
√
2i| = 2 e o argumento é 7π
4
. Assim,
√
2−
√
2i = 2(cos
7π
4
+ isen
7π
4
). Analogamente,
| − 3
√
3− 3i| = 6 e o argumento é 7π
6
. Assim,
−3
√
3− 3i = 6(cos7π
6
+ isen
7π
6
).
b) Como o valor absoluto de
√
3 − i é igual a 2 e o argumento é 11π
6
,
segue que
√
3− i = 2(cos11π
6
+ isen
11π
6
). Usando a sugestão temos que
(
√
3− i)n = 2n(cos11nπ
6
+ isen
11nπ
6
). Para que seja imaginário puro, é ne-
cessário que cos11nπ
6
= 0, ou seja que 11nπ
6
= k π
2
, com k ı́mpar. O menor
natural é, portanto n = 3.
Questão 3 (2,5 pontos) As tangentes em dois pontos A e B de uma
circunferência se encontram no ponto T, formando um ângulo T = 54◦. C é
um outro ponto da circunferência de modo que a corda AC é paralela à TB.
Calcule os ângulos do triângulo ABC.
Solução. A situação é como na figura abaixo.
T
54
B A
C
Figura 1:
Note que TAB é isósceles pois os ângulos  = B̂, visto que eles delimitam
o mesmo arco AB de circunferência. Assim, no triângulo TAB temos  =
63◦ = B̂. Note também que AĈB = 63◦ , pois ele também delimita o arco
AB. Determinemos agora os ângulos  = x e B̂ = y do triângulo ABC. Note
2
que como AC é paralelo à TB e é cortada pela transversal AB, segue que
o ângulo x é alterno interno com o ângulo TB̂A, donde x = 63◦ e portanto
y = 54◦.
Questão 4 (2,5 pontos) As mediatrizes de dois lados consecutivos de
um poĺıgono regular formam um ângulo de 24◦. determine o número de
diagonais desse poĺıgono.
Solução: A figura abaixo representa a situação.
A
B C
M1
M2
Ai
24
O
Figura 2:
No quadrilátero M1BM2O a soma dos ângulos internos é 360
◦. Então
Ai+90+90+24 = 360, donde Ai = 156
◦. Como a medida do àngulo interno
de um poĺıgono regular de n lados é
180(n− 2)
n
, segue que n = 15. Portanto,
o número de diagonais é d =
15(15− 3)
2
= 90.
3