NÚMEROS COMPLEXOS

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NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Introdução 
 
Como é sabido, no universo dos números reais, a operação de radiciação apresenta algumas restrições. Assim, por 
exemplo, não estão definidos os símbolos: 
 
64 1164  
 
Essa “limitação” desafiava os algebristas e há registros de tentativas de enfrentá-los desde o século XVI. Cardano, 
Tartaglia, Bombelli, Euler e Gauss, foram alguns dos matemáticos que contribuíram para a superação desse impasse, o 
que culminou com a criação do campo dos números complexos. 
 
Definição 
 
C = {z / z = a + bi} 
a, b R 
i: unidade imaginária (i2 = –1) 
 
onde 
 
a é a parte real  Re(z) = a 
b é a parte imaginária  Im(z) = b 
 
 
Exemplo: 
 
z = 2 + 5i  Re(z) = 2 e Im(z) = 5 
 
Note que se fizermos b = 0 em z = a + bi, teremos z = a e como a é real, concluímos que o conjunto dos reais é 
subconjunto do conjuntos dos complexos, em símbolos temos: R C 
 
Assim, se z = a + bi com a e b reais e i2 = –1, temos: 
 
 Se b = 0, z é real 
 Se b 0, z é imaginário 
 Se b 0 e a = 0, z é imaginário puro. 
 
Exemplos: 
 
7 é um número real. 
2 + i é uma número imaginário. 
2i é um número imaginário puro. 
 
 
Igualdade de Números Complexos 
 
z1 = a + bi z2 = c + di 
 
com a, b, c e d reais 
 
z1 = z2  a = c e b = d 
Conjugado de um Número Complexo 
 
Denomina-se conjugado do número complexo z = a + bi, o número complexo z* = z = a – bi, ou seja, fizemos a 
substituição de i por –i. 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 19 – Prof. Raul Brito 
 
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Exemplos: 
 
z = 2 + 3i  z* = 2 – 3i 
z = – 5  z* = – 5 
z = 7i  z* = – 7i 
 
Norma de um Número Complexo 
 
Denomina-se norma do número complexo z = a + bi, o número real N(z), tal que: 
 
N(z) = a2 + b2 ou ainda N(z) = zz  
 
Operações na Forma Algébrica 
 
z1 = a + bi z2 = c + di 
 
 Adição 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
 
 Subtração 
z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i 
 
 Multiplicação 
z1z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i 
 
 Divisão 
22
22
21
2
1
dc
i)adbc(bdac
zz
zz
z
z





 
 
Propriedades 
 
P1: 2121 zzzz  
P2: 2121 zzzz  
P3:    nn zz  
P4: 0z,
z
z
z
z
2
2
1
2
1 




 
 
 
Potências de i 
 
Observe algumas potências de i com expoente natural. 
 
i0 = 1 i4 = i3i = 1 i8 = i7i = 1 
i1 = i i5 = i4i = I i9 = i8i = i 
i2 = –1 i6 = i5i = –1 i10 = i9i = –1 
i3 = i2.i = – i i7 = i6.i = – I i11 = i10.i = – i 
 
Observe que são 4 e somente 4 os resultados obtidos: 
1 i –1 –i 
 
De maneira geral, se n é um número natural, n > 4 para calcular in, procedemos da seguinte maneira: 
 
1o passo: Efetua-se a divisão de n por 4 
 
 
 
q  quociente r  resto 
 
 
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2o passo: Procedemos à igualdade: 
 
in = ir 
Exemplos: 
 
i95 = i3 = – i 
 
i310 = i2 = – 1 
 
i–310 = 1/i310 = 1/(– 1) = –1 
 
 
Plano de Gauss 
 
Em 1831, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss apresentou um trabalho no qual propunha que, a cada número 
complexo a + bi, fosse associado o par ordenado de números reais (a, b). 
 
Essa interpretação permite representar um número complexo em sistema de coordenadas cartesianas. Veja a figura: 
 
Ao complexo z = a + bi, com a e b reais, vamos associar o ponto P(a, b) chamado afixo imagem de z. 
 
z = a + bi  P(a, b) 
 
 
 O eixo x é chamado eixo real. 
 O eixo y é chamado eixo imaginário. 
 
Exemplo: 
z = 2 + 3i  P(2, 3) 
 
 
Módulo de um Número Complexo 
 
Definição: Chama-se módulo de um número complexo z = a + bi, à distância de seu afixo P à origem do plano de 
Gauss. 
O módulo de z será denotado por |z| ou pela letra grega . 
 
 
2 2z a b    ou ainda N(z)  
 
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Exemplo: 
2 2z 3 4i 3 4 z 5         
 
Argumento de um Número Complexo 
 
Seja o número complexo não-nulo z = a + bi e P(a, b) seu afixo. Chama-se argumento de z e indica-se por arg(z) = , 
onde 0    2, o ângulo formado por 0P com o eixo x, medido a partir do semi-eixo positivo, no sentido anti-horário. 
 
 
Da figura acima podemos observar que: 
 


acos 


bsen 
   
a = cos b = sen 
 
Exemplo: 
2 2z 1 i 1 1 z 2        
 
rad
4
2
2
2
1sen
2
2
2
1cos











 
 
Forma Trigonométrica ou Polar de um Número Complexo 
 
Conforme já visto, a forma z = a + bi é chamada forma algébrica de z. Vamos agora apresentar a forma trigonométrica 
ou polar. 
 
z = a + bi    senicosz 
 
Exemplo: 





 















4
seni
4
cos2z
4
2
i1z 
 
Forma Exponencial 
 
Por meio de matemática superior, demonstra-se a expressão ez = ea+bi = ea(cosb + isenb). Fazendo a = 0 e b =  rad, 
temos a chamada fórmula de Euler: 
 
 senicosei onde e 2,72 
 
Logo, podemos escrever: 
 
z = (cos + isen)   iez 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
4
i
e2z
4
2
i1z














 
 
Operações na Forma Trigonométrica 
 
 
 2222
1111
senicosz
senicosz

 
 
 Multiplicação 
 
 1 2 1 2 1 2 1 2z z cos( ) i sen( )            
 
 Divisão 
 )sen(i)cos(
z
z
2121
2
1
2
1 


 
 
 Potenciação (1a Fórmula de De Moivre) 
 
 )nsen(i)ncos(z nn  
 
 Radiciação (2a Fórmula de De Moivre) 
Sejam 
  senicosz 
  senicosrw 
*Nn 
 
w é uma raiz n-ésima de z se, e somente se: 
 
nw z 
 



 

 )
n
k2sen(i)
n
k2cos(w nk 
wk  k-ésima raíz n-ésima de z ( nk  ) 
 
 
Observações !!! 
 
1. A expressão 
n
k2  deve variar no intervalo [0; 2[ onde o inteiro k deve assumir valores no intervalo [0; n – 1]. 
 
2. O complexo   senicosz possui n raízes distintas, obtidas pela fórmula mostrada (2a Fórmula de De Moivre), 
fazendo k assumir valores inteiros no intervalo [0; n – 1]. 
 
3. Os afixos das raízes enésimas de um número complexo z de módulo  e argumento  pertencem a uma mesma 
circunferência com centro na origem do plano de Gauss e raio n  , dividindo-a em n partes iguais, os seus 
argumentos formam uma PA onde o primeiro termo é /n e a razão é 2/n. 
 
4. Baseado no que foi dito na observação 3, concluímos que os afixos das raízes n-ésimas de um número complexo z 
são vértices de um polígono regular de n lados, com centro na origem do plano de Gauss e que 2/n é o ângulo 
central desse polígono. 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Resolva a equação x4 – 1 = 0. 
 
Questão 02 
O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a: 
a) –2 + 2i 
b) 2 – 3i 
c) 1 + 2i 
d) 2 + 4i 
 
Questão 03 
Calcular: i14 – 3i9 + 2i26. 
 
Questão 04 
O valor da soma 1 + i + i2 + i3 + ... + i1996 onde i é a unidade 
imaginária, é igual a: 
a) 0 
b) i 
c) 1 
d) – i 
 
Questão 05 
A potência 
12
1+ i
1 - i
 
 
 
é igual a: 
a) – 1 
b) 1 
c) i 
d) – i 
 
Questão 06 
Determinar m   para que 2 + 3i
2 + mi
seja um imaginário 
puro: 
a) 2m =
5
 
b) 4m =
3
 
c) m = 1 
d) 3m =
4
 
 
Questão 07 
O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0 
(k, t   ) se, e somente se: 
a) k = t = – 2 
b) k = t = 2 
c) k = – 2 e t = 2 
d) k = 2 e t = – 2 
 
Questão 08 
(UECE) Se i é a unidade imaginária, a expressão complexa 
7 + 3i 3 + 5i+
1 - i 1 + i
 é igual a: 
a) 1 + 6i 
b) 1 + i 
c) 4 + i 
d) 1 + 4i 
 
 
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Questão 09 
Seja z = 2iy, onde y é a diferença entre as raízes da 
equação 4x2 + 9 = 0 e i é a unidade imaginária, z2 é igual a: 
a) 36 
b) 6 
c) 81 
d) 9 
 
Questão 10 
Calcular o argumento de z = – 4i. 
 
Questão 11 
O módulo de 36
1z =
i
 é: 
a) 3 
b) 1 
c) 2 
d) 1
36
 
e) 36 
 
Questão12 
O módulo do número complexo (1 + i)–3 é: 
a) 2 
b) 1 
c) – 3 
d) 2
4
 
e) 0 
 
Questão 13 
Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um 
número real. Se o argumento principal de z é 90º, então 1
z
é 
igual a: 
a) i–
8
 
b) – 8i 
c) 4i 
d) – 1 + 4i 
e) 4 – i 
 
Questão 14 
Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento 
principal 120º. O conjugado de z é: 
a) 2 – 2i 3 
b) 2 2i 3 
c) –1 – i 3 
d) –1 i 3 
e) 1 i 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 15 
Escrever o número z = – 1 – 3i na forma trigonométrica. 
a) z = cos + i sen
3 3
  
b) 2 2z = 2 cos + i sen
3 3
  
 
 
 
c) z = 2 cos + i sen
6 6
  
 
 
 
d) 4 4z = 2 cos + i sen
3 3
  
 
 
 
 
Questão 16 
Dado o número complexo z = 2 cos + i sen
4 4
  
  
, se z 
pode ser escrito na forma a + bi, o produto (ab) é igual a: 
a) 213 
b) – 2 
c) 2 
d) – 212 
 
Questão 17 
A imagem do número complexo 
11 11z = 2 cos + i sen
6 6
   
  
  
 é o ponto: 
a) 3 3 3; –
2 2
 
  
 
 
b) 3 3 3; –
2 2
 
  
 
 
c) 3 3 3– ; –
2 2
 
  
 
 
d) 3 1– ;
2 2
 
  
 
 
e)  – 3 3 ; 3 
 
Questão 18 
(UFC) Sabendo que i2 = – 1 e que 0
2

  , o número 
complexo cosθ + isenθ
cosθ – isenθ
é igual a: 
a)    cos 2θ + isen 2θ 
b) 1 i
1 i


 
c) θ θcos + isen
2 2
 
d) 1 i
1 i


 
e) θcos + isenθ
2
 
 
 
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Questão 19 
Considere o número complexo    1 i 3 1 .z     
Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, 
tal que zn seja real positivo. 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 30 
 
Questão 20 
Dados os números complexos: 
z = 8(cos 75º + i sen 75º) e w = 2 (cos 15º + i sen 15º), 
pode-se dizer que: 
a) zw = 16 
b) z 2 2 3i.
w
  
c) w = 4 (sen 60º + i cos 60º) 
d) zw = – 16i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
(Unicamp) O módulo do número complexo 2014 1987z i i  
é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 1. 
 
Questão 02 
(Pucrs) Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de um número 
complexo z no plano de Argand-Gauss. 
 
 
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a 
diferença entre z e o seu conjugado é igual a 
a) 4 2 4 2i  
b) 4 2 4 2i  
c) 4 2i 
d) 4 2i 
e) 4 2 
 
Questão 03 
(Uern) Seja z a bi  um número complexo, tal que 
4z zi 5 1 10i.     Assim, o módulo do complexo z é 
a) 2 
b) 2 2 
c) 3 2 
d) 4 2 
 
Questão 04 
(Fgv) No plano Argand-Gauss estão indicados um 
quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, 
Z2, Z3, Z4, e Z5. 
 
 
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Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco 
números complexos indicados é o centro da circunferência 
inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é 
a) Z1. 
b) Z2. 
c) Z3. 
d) Z4. 
e) Z5. 
 
Questão 05 
(Espcex (Aman) Seja o número complexo 

x yiz ,
3 4i
 com x 
e y reais e  2i 1. 
Se  2 2x y 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 2 5
5
 
d) 4 
e) 10 
 
Questão 06 
(Ulbra) O produto das raízes cúbicas do número complexo 
z = –1 é igual a 
a) 1 3
4
 i . 
b) iπ π  
 
cos sen .
3 3
 
c) 1 3 .
2 4
i  
d) 1 2 .
3
i 
e) -1. 
 
Questão 07 
(G1 - ifal) O valor da potência 10(1 i) é: 
a) 11i. 
b) 5i. 
c) 32i. 
d) 50i. 
e) 1 5i. 
 
Questão 08 
(Mackenzie) Se y = 2x, sendo x= 
1 i
1 i


 e i = 1 , o valor 
de (x + y)2 é 
a) 9i 
b) – 9 + i 
c) –9 
d) 9 
e) 9 – i 
 
 
 
 
 
 
 
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
Questão 09 
(Fgv) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos números 
complexos, o valor da expressão 6 6(i 1) (1 i)   é: 
a) 0 
b) 16 
c) 16 
d) 16i 
e) 16i 
 
Questão 10 
(Uepb) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é 
um número real quando o ponto P(x,y) está sobre a reta de 
equação: 
a) 6x y 0  
b) 6x y 0  
c) x 6y 0  
d) 6y x 0  
e) 3y x 0  
 
Questão 11 
(Pucrs) Algumas das raízes do polinômio, com coeficientes 
reais e não nulos, 5 4 3 2p(x) ax bx cx dx ex,     em C, 
são: 2 3i, 1 7i  e _______. 
a) – i 
b) – 1 – 7i 
c) – 2 + 3i 
d) – 3i 
e) – 7i 
 
Questão 12 
(Espcex (Aman) Sendo z o número complexo obtido na 
rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1 
+ i, determine z3: 
a) 1 – i 
b) – 1 + i 
c) – 2i 
d) – 1 – 2i 
e) 2 + 2i 
 
Questão 13 
(Uece) Se x e y são números reais não nulos, pode-se 
afirmar corretamente que o módulo do número complexo 
x iyz
x iy



é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 2 2x y . 
d) xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
Questão 14 
(Uepb) O módulo e o argumento do número complexo 
2z (1 i)(1 i)   são respectivamente: 
a) 2 e 
3 2k , k .
4
π π  
b) 2 e 2k , k .
4
π π  
c) 2 2 e 
3 2k , k .
4
π π  
d) 2 2 e 
7 2k , k .
4
π π  
e) 2 2 e 
5 2k , k .
4
π π  
 
Questão 15 
(Espcex (Aman)) Sendo Z o conjugado do número 
complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z 
que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi   é 
a) z 0 1i  
b) z 0 0i  
c) z 1 0i  
d) z 1 i  
e) z 1– i 
 
Questão 16 
(Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior que zero, para 
que  n1 i seja um número real? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Questão 17 
(Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e denotamos 
por i o número complexo tal que 2i 1.  
Então 0 1 2 3 2013i i i i i     vale 
a) 0. 
b) 1. 
c) i. 
d) 1 i. 
 
Questão 18 
(Insper) Considere um número complexo z, de módulo 10, 
tal que  2z K i ,  em que K é um número real. A parte 
real desse número complexo é igual a 
a) 5 3. 
b) 8. 
c) 5 2. 
d) 6. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
 
14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
Questão 19 
(Ufsj) Na figura abaixo, estão representados os números 
complexos Z1 e Z2 por meio de seus afixos A e B, 
respectivamente. 
 
 
 
Considerando essa figura, é CORRETO afirmar que 
a) o afixo de (Z1  Z2) é um ponto do 2º quadrante. 
b) (Z1)2 = 2i 
c) 1 2Z Z 3  
d) o afixo de 1
2
Z
Z
 é um ponto do 2º quadrante. 
 
Questão 20 
(Fgv) O número complexo z a bi,  com a e b reais, 
satisfaz z z 2 8i,   com 2 2a bi a b .   Nessas 
condições, 2z é igual a 
a) 68. 
b) 100. 
c) 169. 
d) 208. 
e) 289. 
 
 
15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
[A] 
 
Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1,    vem 
 
2014 1987
4 503 2 4 496 3
4 503 2 4 496 3
z i i
i i
(i ) i (i ) i
1 i.
   
 
 
   
  
 
 
Portanto, 
 
2 2| z | | 1 i | ( 1) 1 2.       
 
Resposta da questão 2: 
[D] 
 
De acordo com as informações, segue que z 4 (cos135 i sen135 ) 2 2 2 2 i.          Logo, sendo z o conjugado de 
z, temos 
 
z z 2 2 2 2 i ( 2 2 2 2 i)
4 2 i.
        
 
 
 
Resposta da questão 3: 
[B] 
 
Sendo z a bi,  vem 
 
4z zi 5 4(a bi) (a bi)i 5
4a 4bi ai b 5
(4a b 5) (4b a)i.
      
    
    
 
 
Logo, deve-se ter 
 
4a b 5 1 4a b 6
4b a 10 a 4b 10
a 2
.
b 2
       
 
     
 
  
 
 
Portanto, 
 
2 2| z | ( 2) 2 2 2.    
 
Resposta da questão 4: 
[B] 
 
É fácil ver que o centro da circunferência inscritano quadrado ABCD é o ponto ( 1,5; 1,5).  Desse modo, queremos 
calcular kZ , tal que 
 
0 kZ Z 1,5 1,5 i.     
 
Assim, como 0Z 1 i,   temos 
 
 
16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
k
2
1,5 1,5 iZ
1 i
1,5 1,5 i 1 i
1 i 1 i
1,5 1,5 i 1,5 i 1,5
1 1
1,5 i
Z .
  

 
    
 
   
    


 

 
 
Resposta da questão 5: 
[C] 
 
Sabendo que 1 1
2 2
z | z | ,
z | z |
 com 2z 0, obtemos 
2 2
2 2
x y| x yi | 20 2 5| z | .
| 3 4i | 5253 4

   
 
 
 
Resposta da questão 6: 
[E] 
 
O produto das raízes cúbicas do número complexo z 1  corresponde ao produto das raízes da equação algébrica 
3x 1 0.  Portanto, das Relações de Girard, segue que o resultado pedido é 1 1.
1
   
 
Resposta da questão 7: 
[C] 
 
Sabendo que 
5 4 2 2 2i i i (i ) i ( 1) i i,        
vem 
10 2 5
2 5
5
5 5
(1 i) [(1 i) ]
(1 2i i )
( 2i)
( 2) i
32i.
  
  
 
  
 
 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
x = ii
i
iii
i
i
i
i









2
2
1
2
1
1
1
1
22
22
 e y = 2i 
 
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9 
 
Resposta da questão 9: 
[E] 
 
Resposta da questão 10: 
[D] 
 
Efetuando o produto, temos: 
      23 i x 2yi 3x 6yi ix 2yi 3x 2y 6y x i          
 
Para que o complexo    3x 2y 6y x i   seja real, devemos ter: 
6y x 0  (equação da reta pedida) 
 
 
 
 
17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
Resposta da questão 11: 
[B] 
 
As raízes complexas não reais sempre aparecem aos pares (a + bi e a – bi) numa equação de coeficientes reais. 
Portanto: 
 
2 – 3i é raiz, pois 2 + 3i é raiz. 
 
–1 – 7i é raiz, pois –1 + 7i é raiz. 
 
A outra raiz é um número real. 
 
Portanto, a alternativa [B] é a correta. 
 
Resposta da questão 12: 
[E] 
 
 
 
O complexo obtido com a rotação de 90° de 1 + i é z = –1 + i 
 
Fazendo: (–1 + i)3, temos: 
 
z3 = (i – 1)3 = i3 –3.i2.1 + 3.i.12 –13 = –i + 3 + 3i – 1 = 2 + 2i 
 
Resposta da questão 13: 
[A] 
2 2
2 2
x yi 1 1 2z 1.
x yi 21 1
 
   
 
 
 
Resposta da questão 14: 
[D] 
 
Reescrevendo z, vem 
2z (1 i)(1 i)
(1 i)(1 i)(1 i)
(1 1)(1 i)
2 2i.
  
   
  
 
 
 
Logo, o módulo de z é dado por 
 
2 2| z | 2 2 2 2.   
 
Daí 
 
1arg(z) arccos
2
 e 1arg(z) arcsen
2
 
 
implicam em 7arg(z) 2k , k .
4
π π   
 
 
18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
Resposta da questão 15: 
[D] 
 
Se z a bi,  com a e b reais, então z a bi.  Desse modo, 
 
 z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i
3a bi (b 2) ai.
           
    
 
 
Logo, obtemos o sistema 
 
 
3a b 2 a 1
.
a b b 1
   
   
 
 
Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i.  
 
Resposta da questão 16: 
[C] 
 
Escrevendo 1 + i na forma trigonométrica: 1 i 2 cos i sen
4 4
π π      
 
 
 
Portanto, 
nn(1 i) 2 cos n i sen n
4 4
π π                  
 
 
Para que n(1 i) devemos ter: 
 
n 0 k , com k Z
4
n 4k, com k Z
π π      
 
 
 
 
n é um múltiplo de 4, e o único múltiplo de 4 nas opções é o próprio 4. 
 
Resposta da questão 17: 
[D] 
 
Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos: 
2014 2
0 1 2 3 2013 1.(i 1) i 1 2 (1 i)i i i i i i 1
i 1 i 1 i 1 (1 i)
   
          
   
 
 
Resposta da questão 18: 
[B] 
 
Escrevendo o número complexo z na forma algébrica, obtemos 
 
2 2z (k i) (k 1) 2k i.      
 
Sabendo que | z | 10 e 2 2 2| z | | (k i) | | k i | k 1,      vem 
 
2 2k 1 10 k 9.    
 
Portanto, 2Re(z) k 1 9 1 8.     
 
 
 
 
 
 
 
19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Resposta da questão 19: 
[A] 
 
[A] Verdadeira.                1 2Z Z 2 3 2i 2 3i 2 ( 2 3 2) (2 2 3) i ( 2 3 2, 2 3 2) , ponto que pertence ao 
2º quadrante. 
[B] Falsa.            2 2 21Z 1 i 1 2 i i 2i 
[C] Falsa.           2 21 2Z Z 1 2 3 i ( 1 2 3 ) ( 1) 3 
[D] Falsa. 1
2
Z 1 i 3 1 1 i 1 1,
Z 8 8 82( 3 1) 3 1
          
   
 (1º quadrante) 
 
Resposta da questão 20: 
[E] 
 
2 2 2 2a bi a b 2 8i b 8 e a a b 2          
 
2 2
2 2
2 2
a a 8 2
a 8 (2 a)
a 64 4 4a a
a 15
  
  
   
 
 
 
Logo,  2 2 2z 15 8 289.   