Métodos Estatísticos II AD1 2020.1 GabaritoCorrigido

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AD1 – Métodos Estat́ısticos II – 1/2020
GABARITO
Questão 1
k > 0.Área sob a curva é a área de um triângulo com base 4e altura k .
1 = 4 · k2 ⇒ k = 24 = 0, 5
Segmento de reta y = a + bx passando pelos pontos (−2; 0, 5) e (2; 0)
{ 0 = a + b · 20, 5 = a + b · (−2) ⇒ { 2a = 0, 5⇒ a = 0, 25a + 2b = 0⇒ 2b = −0, 25⇒ b = −0, 125
f (x) = 0, 25− 0, 125x − 2 ≤ x ≤ 2
Questão 2P(X > −1|X < 1) = P(−1 < X < 1)P(X < 1) P(−1 < X < 1) – Área de um trapézio de base maior f (−1),base menor f (1) e altura 2.
f (−1) = 0, 25− 0, 125 · (−1) = 0, 375
f (1) = 0, 25− 0, 125 · 1 = 0, 125
P(−1 < X < 1) = f (−1) + f (1)2 · 2 = f (−1) + f (1) = 0, 5
P(X < 1) – Área de um trapézio de base maior f (−2), basemenor f (1) e altura 3.
f (−2) = 0, 5 f (1) = 0, 125
P(X < 1) = f (−2) + f (1)2 · 3 = 0, 9375
P(X > −1|X < 1) = P(−1 < X < 1)P(X < 1) = 0, 50, 9375 = 0, 5333
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Questão 3 Dos resultados da questão 2, segue que P(−2 < X < −1) =0, 9375 − 0, 5 = 0, 4375. Logo, se à esquerda de c tem queter apenas 0,1, então c < −1.P(X ≤ c) – Área de um trapézio de base maior f (−2), basemenor f (c) e altura c − (−2) = c + 2.
0, 1 = 0, 5 + 0, 25− 0, 125c2 · (c + 2)⇒0, 2 = (0, 75− 0, 125c)(c + 2)⇒0, 2 = 0, 75c + 1, 5− 0, 125c2 − 0, 25c ⇒
− 0, 125c2 + 0, 5c + 1, 3 = 0⇒0, 125c2 − 0, 5c − 1, 3 = 0⇒
c = 0, 5±√0, 52 − 4 · (−1, 3) · 0, 1252 · 0, 125 = 0, 5±
√0, 90, 25
Como temos que ter c < −1 < 0, a solução viável é c = 0, 5−√0, 90, 25 ≈ −1, 7947 (a outra solução está fora dodomı́nio de definição de f ).
Questão 4
f (x) = k 15 ≤ x ≤ 35Área sob a reta é a área de um retângulo de base 20 e altura k .1 = k · 20⇒ k = 120 = 0, 05
f (x) = 0, 05 15 ≤ x ≤ 35
Questão 5
P(X < 25) = área de um retângulo de base (25−15) e altura 0, 05.P(X < 25) = (25− 15) · 0, 05 = 0, 5
Questão 6
Pelo resultado da questão anterior, vemos que c > 29.P(X < c) = área de um retângulo de base (c − 15) e altura 0, 05.P(X < c) = 0, 9⇒ (c − 15) · 0, 05 = 0, 9⇒ c − 15 = 0, 90, 05 ⇒
c = 33
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Questão 7
P(Z > −2, 31) = 0, 5 + tab(2, 31) = 0, 5 + 0, 4896 = 0, 9896
Questão 8
P(Z < 1, 16) = 0, 5 + tab(1, 16) = 0, 5 + 0, 3770 = 0, 8770
Questão 9
P(−1, 52 < Z < −1, 02) = P(1, 02 < Z < 1, 52)= tab(1, 52)− tab(1, 02) = 0, 4357− 0, 3461 = 0, 0896
Questão 10
P(−1, 96 < Z < 2, 33) = tab(2, 33) + tab(1, 96)= 0, 4901 + 0, 475 = 0, 9651
Questão 11
k > 0!P(Z > k) = 0, 23⇒ 0, 5− tab(k) = 0, 23⇒
tab(k) = 0, 5− 0, 23 = 0, 27⇒ k = 0, 74
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Questão 12
k < 0!P(Z < k) = 0, 12⇒ P(Z > −k) = 0, 12⇒0, 5− tab(−k) = 0, 12⇒ tab(−k) = 0, 5− 0, 12 = 0, 38⇒
− k = 1, 17 ou − k = 1, 18⇒ k = −1, 17 ou k = −1, 18
Questão 13
k < 0!P(Z > k) = 0, 72⇒ P(Z < −k) = 0, 72⇒0, 5 + tab(−k) = 0, 72⇒ tab(−k) = 0, 72− 0, 5 = 0, 22⇒
− k = 0, 58⇒ k = −0, 58
Questão 14
k > 0!P(|Z | > k) = 0, 08⇒ P(Z < −k) + P(Z > k) = 0, 08⇒2 P(Z > k) = 0, 08 ⇒ P(Z > k) = 0, 04 ⇒ 0, 5− tab(k) = 0, 04 ⇒
tab(k) = 0, 46⇒ k = 1, 75
Questão 15
P(X > 19) = P(Z > 19− 234
) = P(Z > −1) = 0, 5 + tab(1, 0) =0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questão 16
P(15 < X < 27) = P(15− 234 < Z < 27− 234
)
= P(−2 < Z < 1) = tab(2) + tab(1) = 0, 4772 + 0, 3413 = 0, 8185
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Questão 17
P(14 < X < 19) = P(14− 234 < Z < 19− 234
)
= P(−2, 25 < Z < −1, 0) = P(1, 0 < Z < 2, 25)= tab(2, 25)− tab(1, 0) = 0, 4878− 0, 3413 = 0, 1465
Questão 18
k > 23!P(X > k) = 0, 18⇒ P(Z > k − 234
) = 0, 18⇒
tab
(
k − 234
) = 0, 32⇒ k − 234 = 0, 92⇒ k = 26, 68
Questão 19
k < 23!P(X < k) = 0, 05⇒ P(Z < k − 234
) = 0, 05⇒
P(Z > −k − 234
) = 0, 05⇒ tab(−k − 234
) = 0, 45⇒23− k4 = 1, 64 ou 1, 65⇒ k = 16, 44 ou k = 16, 4
Questão 20
k > 0!P(|X − 23| < k) = 0, 95⇒ P(|Z | < k4
) = 0, 90⇒
tab
(
k4
) = 0, 45⇒ k4 = 1, 64 (ou 1, 65)⇒ k = 6, 56 (ou 6, 60)
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