Modelagem Aulas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAÇÃO E 
AUTOMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO À MODELAGEM 
DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo 
 
 Natal-RN, Março de 2005 
 
 
2 
ÍNDICE 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................3 
2 VARIÁVEIS GENERALIZADAS E ELEMENTOS DE SISTEMAS ................4 
2.1 VARIÁVEIS DE SISTEMA.......................................................................................4 
2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas....................4 
2.1.2 Potência e Energia .....................................................................................5 
2.1.3 Energia Armazenada e Estado ...................................................................5 
2.2 ELEMENTOS BÁSICOS DE SISTEMAS.....................................................................6 
2.2.1 Propriedades Constitutivas de Fontes de Energia.....................................6 
2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia.......................7 
2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia...........................8 
2.3 ELEMENTOS ADICIONAIS DE SISTEMAS ...............................................................9 
3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS, ELÉTRICOS, 
FLUÍDOS, MAGNÉTICOS E TÉRMICOS ........................................................................10 
3.1 SISTEMAS MECÂNICOS ......................................................................................10 
3.1.1 Translacionais ..........................................................................................10 
3.1.2 Rotacionais ...............................................................................................12 
3.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................13 
3.3 SISTEMAS FLUIDOS............................................................................................15 
3.4 SISTEMAS MAGNÉTICOS ....................................................................................19 
3.5 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................20 
4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS.......................22 
4.1 CONVERSORES DE ENERGIA...............................................................................22 
4.1.1 Transformador Elétrico............................................................................22 
4.1.2 Transformador Mecânico-Translacional .................................................23 
4.1.3 Transformador Mecânico-Rotacional ......................................................24 
4.1.4 Transformador Fluido ..............................................................................24 
4.2 ACOPLADORES DE ENERGIA ..............................................................................25 
4.2.1 Acopladores Conservadores de Potência.................................................25 
4.2.2 Acopladores Conservadores de Energia ..................................................27 
4.3 MULTI-PORTAS MODULADAS...................................................................29 
4.3.1 Bi-Portas Moduladas................................................................................30 
4.3.2 Uni-Portas Moduladas .............................................................................31 
5 INTERCONEXÃO DE ELEMENTOS DE SISTEMAS.....................................32 
5.1 SISTEMAS MECÂNICOS ......................................................................................33 
5.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................35 
5.3 SISTEMAS FLUIDOS............................................................................................36 
5.4 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................37 
 
3 
1 INTRODUÇÃO 







çãoIdentifica -
Análise -
 Dinâmicos -
Escala -
Computador -
 Simulação -
modelo de Tipos 
 
 
- Modelos dinâmicos: modelos matemáticos formados por um conjunto de equações 
diferenciais. São utilizados para a análise e projeto em controle. 
 
- Modelos dinâmicos por análise: modelos em forma de equações diferenciais e que 
envolvem simplificações. 
 
- Modelos dinâmicos por identificação: modelos obtidos por observações de um 
sistema. 
 
- Modelos por simulação: usados na investigação empírica das propriedades de um 
sistema ou processo. 
 
- Modelos por simulação computacional: formulação matemática do comportamento de 
um sistema que pode ser implementada em um computador analógico ou digital. 
 
- Modelos por simulação em escala: usados em fenômenos complexos. Passam pela 
construção de réplicas para posterior análise. 
 
 
Parar Começar
Validação Modelagem
Projeto do
Controlador
Feita com
aproximações
Controle insatisfatório:
reconsiderar o modelo
 
Processo de Modelagem 
 
4 
2 VARIÁVEIS GENERALIZADAS E ELEMENTOS DE SISTEMAS 
 
Fonte Sistema Saída
Portador de
Energia
Portador de
Energia
 
 
- Sistemas: manipuladores de energia que interagem com as entradas e saídas via portas 
de energia 



energia de dissipação -
energia de geração -
energia de ntoarmazename -
 Básicos Elementos 
 
2.1 Variáveis de Sistema 
 Determinam como e em que sentido a energia é transmitida. 
 
Exemplo: 
Fonte de
Energia
Elétrica
v
i
R
R
 
- Sistema: resistor 
- Portas: fios 
- Variáveis de sistema: tensão (v) e corrente (i) Potência = v.i 
 
2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas 
 
Fonte Sistema
f
e
 
 
Sentido Generalizado: esforço (e) e fluxo (f) 
5 
 
esforço
 fluxo 
 
- Medidores de esforço: voltímetros, termomêtros, barômetros 
- Medidores de fluxo: amperímetros, medidores de vazão, dinamômetros. 
 
Esforço ⇒ Variável ENTRE (across variable) 
Fluxo ⇒ Variável ATRAVÉS (through variable) 
 
2.1.2 Potência e Energia 
e
f
BA
 
Pot = e.f (ou proporcional a) 
∫= 1
0
1 .)(
t
ab dtfetE 
 
2.1.3 Energia Armazenada e Estado 
 
∫1
t
0
dt e.f = Armazenada Energia 


fluxo de resarmazenado -
esforço de resarmazenado -
 energia de resarmazenado Mecanismos 
 
Esforço Acumulado (ea) 
∫= ta ee
0
a
dt
de=eou dt ex: indutor 
∫ ∫t
0
e
0
a
a
de f=dt ef = acumulada Energia 
 
6 
Fluxo Acumulado (fa) 
∫= ta ff
0
a
dt
df=fou dt ex: capacitor 
∫ ∫t
0
f
0
a
a
df e=dt ef = acumulada Energia 
(ea,fa,e,f) ⇒ especificam a história temporal do fluxo de energia no sistema 
Estado de um Sistema 
( ) n1,2,..,=i ,...,,;,...,, 2121 rnii uuuxxxfdt
d =x 
 
(ea,fa) ⇒ conjunto natural de variáveis de estado de um sistema 
 
2.2 Elementos Básicos de Sistemas 


fluxo) de (fontes através variáveisde fonte -
esforço) de (fontes entre variáveisde fonte -
 Energia de Fontes 


através varáveisde resarmazenado -
entre varáveisde resarmazenado -
 Energia de resArmazenado 
Dissipadores de Energia 
 
- Propriedade Constitutiva: qualquer curva experimental ou lei que especifica a 
característica física de um elemento do sistema. 
 
2.2.1 Propriedades Constitutivas de Fontes de Energia 
f1
e
 
f
f1
e
Potência
Saindo
Potência
Entrando
 
7f
e
1
+
-
 
f
1
e
Potência
Saindo
Potência
Entrando
e
 
 
2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia 
Armazenadores de Fluxo 
f
e= ϕ-1(fa)
 )(efa ϕ= 
∫ ∫== t f aa edfefdtU 0 0 
fa
e
fa
U= energia
U = co-energia*
= ϕ (e)
 
*
0
1 )( UefdffU a
f
aa
a −== ∫ −ϕ 
af
Ue
 ∂
∂= 
∫= e adefU 0* eUfa 
*
∂
∂= 
 
Se Cefa = (linear) temos que: 2*2
00
*
*2*
2
1
2
1 CeUUCeCededefU
UCeUefU
ee
a
a
==



===
−=−=
∫∫ 
Armazenadores de Esforço 
f ϕ-1= (e )ae
 )( fea ϕ= 
8 
∫ ∫== t e aa fdeefdtT 0 0 
 
f
ea
T= energia
T = co-energia*
=
f
-1
(e )aϕ
 
*
0
1 )( TfedeeT a
e
aa
a −== ∫ −ϕ fTea ∂∂= 
∫= f adfeT 0* 
ae
Tf
 ∂
∂= 
Se Lfea = (linear) temos que: 2*2
00
*
*2*
2
1
2
1 LfTTLfLfdfdfeT
TLfTfeT
ff
a
a
==



===
−=−=
∫∫ 
2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia 
 
f
ϕe = (f)
 )( fe ϕ= 
 
e
G= conteúdo
J= co-conteúdo
=
f
ϕ
e
(f)
 
ef edf fde G J
ef= + = +∫∫ 00 e Gf= ∂∂ ; f Je= ∂∂ 
 
Se e= Rf (linear) temos que: G J Rf= = 1
2
2 
9 
2.3 Elementos Adicionais de Sistemas 
e
f
 
τ , ω τ , ω1 1 2 2 
 
21
12
ττ
ωω
n
n
=
=
 . 
 
Elemento geral
de duas portas
e1
e2
f1 f2
 
Conservação de Potência: 2211 fefe = 
 
- Elemento de duas portas conservativas lineares: 




=


1
1
2221
1211
2
2
f
e
aa
aa
f
e
 
TRANSFORMADOR IDEAL 
21 nee = ⇒ 21 1 fnf = 




=


−
2
2
1
1
1
0
0
f
e
n
n
f
e
 n ⇒ módulo de transformação 
 
GIRADOR IDEAL 
 21 rfe = ⇒ 21 1 erf = 
 



=


−
2
2
1
1
1
0
0
f
e
r
r
f
e
 r ⇒ módulo de giração 
 
 
10 
3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS, ELÉTRICOS, 
FLUÍDOS, MAGNÉTICOS E TÉRMICOS 
3.1 Sistemas Mecânicos 
Podem ser translacionais e rotacionais. 
 
- Velocidade ⇒ entre um ponto e a referência ⇒ Variável ENTRE 
- Força ⇒ da referência para um ponto ⇒ Variável ATRAVÉS 
 
3.1.1 Translacionais 
 
Tipos de Analogia: 
 
1) 
Velocidade ⇒ Esforço 
Força ⇒ Fluxo 
(Analogia da Mobilidade) ou 
(Analogia do Movimento) 
2) 
Velocidade ⇒ Fluxo 
Força ⇒ Esforço (Analogia Clássica) 
Massa Translacional 



→
→
→
=
e velocidadv
massa m
momento p
 mvp 


→
→===
aceleração a
força F
 ma
dt
dvm
dt
dpF 
F dp
dt
Fdt= ⇒ = ∫ p ⇒ Armazenador de fluxo 
F
1
2
 
p = m v
U
U*
p
v
12
12
 
 212
*
2
1 mvUU == 
11 
 
Mola Translacional 
 


→
→=⇒= ∫ e velocidadv posição x vdtxdtdxv ⇒ Armazenador de esforço 
F F
v
12
1 2 
F
x12
x12 = ϕ (F)
T
T*
 
 
Lei de Hooke: 
 
2
12
2*
1212 2
1
2
1T=T 1 kxF
k
F
k
xkxF ==⇒=⇒= 
 
Dissipação Translacional 
 
F F
v
12
1 2 
F
v12
= ϕ (v )12F
J
G
 
 
Se ( ) viscosoatrito de ecoeficient b 12 →= bvF , então 
 
2
122
1 bvGJ == 
 
b
FbvPotência
2
2
12 == 
 
12 
3.1.2 Rotacionais 
 
Tipos de Analogia: 
 
1) 
Velocidade angular ⇒ Esforço 
Torque ⇒ Fluxo 
(Analogia da Mobilidade) ou 
(Analogia do Movimento) 
2) 
Velocidade angular ⇒ Fluxo 
Torque ⇒ Esforço (Analogia Clássica) 
Massa Rotacional 



→
→
→
=
angular e velocidad
inércia de momento I
angular momento h
 
ω
ωIh 


→
→===
angular aceleração 
 torque
 α
ταωτ I
dt
dI
dt
dh 
∫=⇒= dtdtdh ττ h ⇒ Armazenador de fluxo 
1
ωτ 12
2
 
h = I 
U
U*
h
12
12
ω
ω
 
2
12
*
2
1 ωIUU == 
 
Mola Rotacional 


→
→=⇒= ∫ angular e velocidadangular posição ωθωθθω dtdtd ⇒ Armazenador de esforço 
1 2
ω ωτ1 2 τ
 
12
12 = ϕ
T
T*
τ
θ (τ)
θ
 
13 
Se a relação constitutiva da mola for linear, então: 
2
12
*
1212 2
1T=T 1 θτθθτ k
k
k =⇒=⇒= 
 
Dissipação Rotacional 
1 2
ω ωτ1 2 τ
 
12
J
G
τ
ω
=ϕ(ω )
12
τ
 
Se ( )τ ω= →b 12 b coeficiente de atrito viscoso , então 
2
122
1 ωbGJ == 
b
bPotência
2
2
12
τω == 
3.2 Sistemas Elétricos 
 
- Tensão ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO 
- Corrente ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO 
 
Indutância 
Armazena energia no campo magnético. 
 
oconcatenad magnético fluxo )( →= λϕλ i 
∫=⇒= vdtdtdv λλ ⇒ Armazenador de esforço 
v12
1 2
i
 
λ
T
T*
λ = ϕ
i
(i)
 
14 
Para o caso linear: 
Li=λ ⇒ 2
2
*
2
1
2
Li
L
TT === λ 
 
Indutor constituído por uma bobina com N espiras: 
 







→
→
→
→
→
=
magnético circuito do médio oCompriment 
magnético circuito do al transversseção de Área 
dadePermeabili 
espiras de Número 
Indutância 
2
l
a
N
L
l
aNL µµ 
 
Capacitância 
 Armazena energia no campo elétrico. 
 
 elétrica carga q )( →= vq ϕ 
 ∫=⇒= idtqdtdqi ⇒ Armazenador de fluxo 
1 2
v12
i
 
v
12
U
U*
= ϕ
q
q 12(v )
 
Para o caso linear: 
12Cvq = ⇒ 212
2
*
2
1
2
Cv
C
qUU === 
 
- Capacitor de placas paralelas: 
 



→
→
→
→
=
placas as entre Distância 
placas das Área 
dadePermissivi 
iaCapacitânc 
l
a
C
d
aC
εε 
 
15 
Resistência 
Dissipação de energia elétrica: )(iv ϕ= 
1 2
v12
i
 
12
J
G
i
v
ϕv= (i)
 
Para o caso linear: 
2
12 2
1 RiJGRiv ==⇒= 
R
vRiP
2
122 == 
 
- Fio de área constante e comprimento l: 
 



→
→
→
→
=
fio do al transversseção da Área 
fio do oCompriment 
material do adeResistivid 
elétrica aResistênci 
a
l
R
a
lR
ρρ 
3.3 Sistemas Fluidos 
 
- Pressão fluida ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO 
- Vazão fluida ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO 
 
Capacitância Fluida (Armazenador de Fluxo) 
∫ ⇒→= fluxo der armazenado Qdt =V dtdVQ 
 
Q
P 
U
U*
V
P
V=ϕ (P)
 
16 
∫= V PdVU
0
; ∫= V VdPU
0
* 
 
Para o caso linear: 
2*
2
1 PCUUPCV ff ==⇒= 
 
• Reservatório de fluido 
Q
H
área da seção A
P 
 
fluido) do densidade( .. →= ρρ HgP 
 
g
AP
g
A
g
PAAHV
.
C 
.. f ρρρ =⇒=== 
• Tanque Pressurizado 
Q
Vt
P
Vt volume do tanque
 
 
Vt
V1ρ
ρ
Q
Q P
1
2
mentrada
marmazenada
 
17 
armazenadaentrada mm = 
dt
d
V
dt
dV
V
dt
dV
dt
dVV ttt
21
1211 211 )()( 
ρρρρρρ =→=→= 
tVdt
dQ 21
ρρ = 
Para líquidos ⇒ deelasticida de módulo 12 →= ββ
ρρ dPd 
Logo 
ββ
tt
t
VPVVdPVQdt =⇒=⇒= fC 
 
Indutância Fluida (Armazenador de Esforço) 
l
A
v
P
1
P
2
Q Q
 
 
Considerando o fluido contido no tubo acima como uma massa fluida rígida se 
deslocando com velocidade v: 
 
dt
dVlAmaPPAF .)( 12 ρ==−= 
 
Definindo: fluido onde 212121 momentoPdt
d →Γ=Γ 
esforço der armazenado 2121 ⇒=Γ ∫ dtP 
 
Relação constitutiva: 
dt
dQ
Adt
dxAQdt
dVolAxVol 1
dt
dv Av=Q =⇒⇒==⇒= 
A
lQ
A
l
dt
dQ
A
l
dt
d .L . . f2121
ρρρ =⇒=Γ⇒=Γ 
 
18 
Q
P
2
P1 
Q
12
12 = ϕ (Q)
T
T*
Γ
Γ
 
Energia cinética ⇒ ∫
Γ
Γ=
21
0
21QdT 
Co-energia cinética ⇒ ∫Γ=
Q
dQT
0
21
* 
Para o caso linear: 2*
2
1 QLTT f== 
Dissipação Fluida 
Mecanismos de dissipação: 
 
- Forças viscosas entre o fluido e a superfície retentora.
- Forças viscosas entre as partículas fluidas. 
)(QP ϕ=

 
 
Q
P2 P1 
Q
12
12 = ϕ (Q)
J
G
P
P
 
Conteúdo ⇒ QdPG
Q
∫=
0
21 
Co-conteúdo ⇒ ∫=
P
QdPJ
0
21 
 
Para o caso linear: 
2
12 2
1 QRJGQRP ff ==⇒= 
 
19 
- Para um fluxo laminar através de um tubo capilar: 
 



→
→
→
→
=
capilar tubodo Diâmetro 
capilar tubodo oCompriment 
fluida eViscosidad 
fluida aResistênci 
.
.128
4
d
l
R
d
lR
f
f
µ
π
µ 
 
- Para um fluxo turbulento através de um cano longo: 
 

 →=
 tubodo geometria da e fluido do 
espropriedad das depende que Constante a
4
3
12 QaQP 
 
3.4 Sistemas Magnéticos 
 
- Força Magnetomotriz (M) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO 
- Fluxo Magnético (Φ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO 
 
Armazenamento de energia em circuitos magnéticos ⇒ Indutância 
Propriedade de Indutância ⇒ Acúmulo de fluxo magnético 
 
- A forma complementar de armazenamento de energia magnética não é normalmente identificável. 
Relutância Magnética 



Φ=
= ∫
)(ϕM
HdlM
 H → campo magnético 
ΦM
1
M
2
M = M - M
2 1 
Φ
M
 =ϕM
J
G
(Φ)
 
No caso linear: 
 
HlM
Ba
=
=Φ ⇒


fluxo de Densidade -
al transversseção da Área - 
B
a
 
20 
 
Φ
M
Ba
Hl
= ⇒ M Hl
Ba
= Φ ⇒ M = ℜΦ 
 
 

→
→ℜ==ℜ
magnetica dadePermeabili 
magnetica Relutancia 
µµa
l
a
H
B
l 
 
2
2
1 Φℜ== GJ 
Fontes de Energia Magnética 
 
 - Imã permanente 
 - Bobina com N espiras atravessada por uma corrente I ⇒ M = NI 
 
3.5 Sistemas Térmicos 
 
- Fluxo de calor (q) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO 
- Diferença de temperatura (∆Τ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO 
 



→
→
→
−=
especificocalor c 
substancia da massa m 
calor de quantidade H 
 )(
p
12 TTmcH p 
 
O calor H é uma variável energia 
⇓ 
Generalização não pode ser feita em termos de energia 
 
Capacitância Térmica (Armazenador de Fluxo) 
∫⇒= qdtH=dtdHq (qualquer corpo) 
21 
q
T
21
 H
 =ϕH (T )
21
T21
 
U H qdt= = ∫ 
Dissipação Térmica 
q
T2 T1
T = T - T
21 2 1 q
 =ϕ (q)
T21
T
21
 
Para o caso linear: 
 
T R qt21 = Rt resistencia termica→ 
 
- Fluxo de calor por condução: 
 



→
→
→
=
corpo do oCompriment 
corpo do al transverssecao da Área 
corpo do termicaadeCondutivid 
 
c
21
l
AT
l
Aq c
σσ 
 
 - Fluxo de calor por convecção: 
 
21ATCq h= Ch coeficiente de calor→ 
 
22 
4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS 
- Conversores de energia 
- Acopladores de energia 

energia de resarmazenado -
potencia de resconservado -
 
- Multi-Portas Moduladas 
 
4.1 Conversores de Energia 
 
4.1.1 Transformador Elétrico 
 
 
v1 i1 i2 v2
 
λ ϕ1 1 1 2= ( , )i i λ ϕ2 2 1 2= ( , )i i 
 
Caso linear: 
 


+=
+=
2221212
2121111
 
 
iLiM
iMiL
λ
λ
; onde: 

→
→
mútua Indutância M
própria Indutância L
 
 
dt
dv 11
λ= 
dt
dv 22
λ= 
 
Para Bi-porta Conservativa: M12 = M21 = M 
 
1
111
2 iM
L
M
i −= λ 
1
22
1
2211
2
1111
2212 λλλ M
Li
M
LLM
M
iL
M
LMi +


 −=

 −+= 
 
 
23 
ou, na forma matricial: 











−
−
=


1
1
11
2211
2
22
2
2
1 i
M
L
M
M
LLM
M
L
i
λλ
 
Coeficiente de Acoplamento ⇒ 
2211LL
Mk = 
Se k= 1 (acoplamento perfeito), 













−
=


1
1
22
11
2211
11
22
2
2
1
0
i
L
L
LL
L
L
i
λλ
 
 
Se a permeabilidade magnética for grande → 01
2211
≅
LL
 
 
v nv1 2= ni i1 2= − . 
 
onde n L
L
= 11
22
 
Se ℜ=
2
1
11
NL e ℜ=
2
2
22
NL ⇒ n N
N
= 1
2
 
 
4.1.2 Transformador Mecânico-Translacional 
 
F1
Coordenada de
translação
Coordenada de
translação
v01 = x01
α
b
a
.
v02 = x02
.
F2
 
 
24 
Considerando a alavanca rígida e sem massa e o apoio livre de atrito, podemos ter: 
 
⇒−=⇒


−=
=
b
a
v
v
bsenx
asenx
02
01
02
01 
α
α
0201 vb
av 

−= 
 
e, pelo princípio da alavanca: 
 
12 Fb
aF 

= ; 
b
an = ⇒ Módulo de transformação 
 
4.1.3 Transformador Mecânico-Rotacional 
 
 
ba
Correia
x
τ1 τ2
ω01 = θ01
. ω02 = θ02
.
 
 


=
=
02
01
 
 
θ
θ
bx
ax
 ⇒ 0201 ωω a
b= 
022011 θτθτ = ⇒ 12 ττ 

=
b
a
 ; 
b
an = ⇒ Módulo de transformação 
 
4.1.4 Transformador Fluido 
 
 
x
Q1
P01
Q2
P02
Área da superfície
do êmbolo 2
Área da superfície
do êmbolo 1
A1
A2
 
25 
 
 
 →== = dt
dVQ
A
V
A
Vx 
2
2
1
1 1
1
2
2 QA
AQ = 
 
 2021010201 APAPFF === ⇒ 02
1
2
01 PA
AP = ; 
1
2
A
An = ⇒ Módulo de transformação 
 
 
4.2 Acopladores de Energia 
 
- Transformam um tipo de energia em outro 
- Modelam transdutores, atuadores, motores e geradores 
 
 
- Acopladores conservadores de potencia
- Acopladores armazenadores de energia
 
 
4.2.1 Acopladores Conservadores de Potência 
 
• Transformador Rotacional/Translacional 
 
a
Correia
τ1
ω01 = θ01
.
v = x02 02
F2
.
Porta rotacional
Porta translacional
 
 
0201
1 x
a
=θ ⇒ 0201 1 va=ω 
aF21 =τ ⇒ 12 1 τaF = ; an
1= ⇒ Módulo de transformação 
 
26 
• Transformador Eletromecânico 
Motor / Gerador 
 
τ2 , ω02
Porta mecânica
rotacional
Porta 
elétrica
v01
i1
 
 


Φ=
Φ=
122
02101
iK
Kv
τ
ω
 Conservação de Potência ⇒ KKK == 21 
Logo, 


Φ=
Φ=
12
0201
iK
Kv
τ
ω
 Φ → fluxo total 
 
v n= ω 
τ = ni ; n K= Φ ⇒ Módulo de transformação 
 
• Girador Fluido-Mecânico 
 
Q1
P01
Área da superfície
do êmbolo
A
v02
F2
Porta mecânica
translacional
Porta 
fluida
 
 
102
1 Q
A
v = 
201
1 F
A
P = ; r
A
= 1 ⇒ Módulo de giração 
27 
4.2.2 Acopladores Conservadores de Energia 
 
• Eletromecânico (campo elétrico) 
 
x v02
F2
Porta mecânica
translacional
Porta 
elétrica
v01
i1
 
 
 ),(22 qxF ϕ= ),(101 qxv ϕ= 
 
Se o dispositivo for eletricamente linear, tem-se: 
)(
 )( 01
01 xC
qv
v
qxC =⇒= 
 
Energia Armazenada no campo elétrico: 
∫∫ +=
SS
dxFdqvqxU 201),( (Energia Elétrica + Energia Mecânica) 
S ⇒ Caminho arbitrário de integração de um ponto para (x,q) 
 
x
q
s
( )x, q
 
 
A energia armazenada pode ser calculada integrando-se ao longo de qualquer caminho 
S. Um caminho conveniente é o indicado na figura, pois a forçaF2 é zero para todo x quando 
a carga é zero. 
Neste caso, se o estado inicial (x0, q0) é (0,0), 
28 
∫ ==
q
xC
qdq
xC
qqxU
0
2
)(2)(
),( 
 
Uma vez obtida uma expressão para energia acumulada, as relações constitutivas que 
descrevem a força e a tensão, são dadas por: 
 
x
qxUF ∂
∂ ),(
2 = q
qxUv ∂
∂ ),(
01 = 
Logo, 
 
 


==
)(
1
2
2
2 xCdx
dq
x
UF ∂
∂
 
)(01 xC
q
q
Uv == ∂
∂
 
 
 
• Eletromecânico (campo magnético) 
 
v02
F2
Porta mecânica
translacionalPorta 
elétrica
v01
i1
 
 
),(21 λϕ xF = ),(11 λϕ xi = 
 
Se o dispositivo for eletricamente linear, tem-se: 
 
)(
 )( 11 xL
iixL λλ =⇒= 
 
Energia Armazenada no campo magnético: 
 
∫∫ +=
SS
dxFdixT 21),( λλ (Energia Elétrica + Energia Mecânica) 
 
S ⇒ Caminho arbitrário de integração de um ponto para (x,λ) 
 
29 
 
x
λ
s
( )x, λ
 
 
A energia armazenada pode ser calculada integrando-se ao longo de qualquer caminho 
S. Um caminho conveniente é o indicado abaixo, pois a força F é zero para todo x quando o 
fluxo é zero. 
Neste caso, se o estado inicial é (0,0), 
 
∫ ==
λ λλλλ
0
2
)(2)(
),(
xL
d
xL
xT 
 
Uma vez obtida uma expressão para energia acumulada, as relações constitutivas que 
descrevem a força e a corrente, são dadas por: 
 
x
xTF ∂
λ∂ ),(
2 = ∂λ
λ∂ ),(
1
xTi = 
Logo, 
 
 


==
)(
1
2
2
2 xLdx
d
x
TF λ∂
∂
 
)(1 xL
Ti λ∂λ
∂ == 
 
 
4.3 MULTI-PORTAS MODULADAS 
 
- Modulação de relações constitutivas por uma variável auxiliar. 
- Ocorre frequentemente em portas conservativas e em portas simples. 
 
30 
4.3.1 Bi-Portas Moduladas 
 
Uma bi-porta modulada expressa a variável de estado como uma função das variáveis 
esforço e fluxo e de alguma variável auxiliar ρ. 
 
Para um transformador ideal ⇒ e n e f1 2 2= ( )ρ ρ , = n( ) f 1 
Para um girador ideal ⇒ e r f e1 2 2= ( )ρ ρ , = r( ) f 1 
 
• Transformador Rotacional-Translacional Modulado 
 
τ2, ω02
Porta rotacional
θ
a
F1 , v01
Porta
translacional
 
 


=
=
0201
12
)cos(
)cos(
ωθ
θτ
av
Fa
; n a( ) cosθ θ= 
 
• Variável Campo em Motor/Gerador 
 
 
τ2 , ω02
Porta mecânica
rotacional
Porta 
elétrica v01
i1if
vf
Φ
 
 
 
 
31 
 
 
02101 ωΦ= Kv 
112 iK Φ=τ 
 
Contudo, o fluxo é função da corrente de campo if: 
 
)(1 finK =Φ 
 
Logo, 
 
ω)( finv = 
iin f )(=τ 
 
4.3.2 Uni-Portas Moduladas 
 
Elementos da interface do sistema com o controlador são freqüentemente modulados 
para permitir o controle da dinâmica interna do sistema. 
 
Ex: Amplificador de potência 
 
32 
5 INTERCONEXÃO DE ELEMENTOS DE SISTEMAS 
Conexão de elementos de sistemas ⇒ Novo conjunto de restrições 
Relações Interconectivas ⇒ Independem do material ou da dinâmica envolvida 
Existem duas maneiras diferentes de conectar elementos uni-portas: 
• Conexão Série 
1 2
e1
f1 f2f
e2
e 
21 eee += 
21 fff += 
• Conexão Paralelo 
3
4
e3
f3
f4
f
e4
e 
e e e= =3 4 
f f f= +3 4 
Estas relações podem ser colocadas como restrições de compatibilidade de esforço e de 
continuidade de fluxo. 
• Restrição de Compatibilidade de Esforço 
1
k
n
e1
en
ek
 
ek
k
n
=
∑ =
1
0 
• Restrição de Continuidade de Fluxo 
1
k
n
f1
fn
fk
 
fk
k
n
=
∑ =
1
0 
 
33 
Relações
Constitutivas
Relações
Dinâmicas
Restrições Interconectivas
Compatibilidade
de esforço
Compatibilidade
de fluxo
DESCRIÇÃO INTERNA
Modelo em 
Espaço de Estados,
em termos das variáveis 
armazenadoras de energia
DESCRIÇÃO EXTERNA
Equações Diferenciais,
em termos das variáveis 
de esforço, fluxo, ou
combinações delas
Realções
Básicas
Modelos
Matemáticos
 
 
5.1 Sistemas Mecânicos 
• Restrição de continuidade de força 
F1
Fn
FkFm
 v d
 td
 
F Fi
i
n
m
=
∑ + =
1
0 
onde: F dp
dtm
= 
• Restrição de compatibilidade de velocidade 
0
Referência
Interna
v01 vj j+1
1
2
j
j + 1
n
v12
vn0
 
v vj j
j
n
n, +
=
−∑ =1
0
1
0 
 
34 
• Aplicação das regras interconectivas 
 
mk b
0
2=1
0 0
1
F(t)
 
 
 
- Lei de continuidade para forças: 0)( =−−− bmk FFFtF 
 
- Relações constitutivas: 







==
=
=
1020
10
10
bvbvF
mvp
kxF
b
k
 
 
- Relações dinâmicas: 



=
=
dt
dxv
dt
dpFm
10
10
 
 
- Variáveis de estado naturais ⇒ p, x10 
 
- Descrição Interna: 



=
+−−=
p
mdt
dx
tFp
m
bkx
dt
dp
1
 
)( 
10
10
 
 
- Descrição Externa: m
d x
dt
b dx
dt
kx F t
2
10
2
10
10+ + = ( ) 
 
35 
5.2 Sistemas Elétricos 
• Restrições interconectivas para tensão e corrente 
i1
in
ij
 
v1
vn
vj
 
0
1
=∑
=
n
j
ji 0
1
=∑
=
n
j
jv 
 
• Aplicação das regras interconectivas 
 
v(t)
iR vR
iL iC
vL vC
i
L
R
C
 
 
- Leis interconectivas: 



=
+=
=
+=
R
CLR
CL
CR
ii
iii
vv
vvtv )(
 
 
- Relações constitutivas e dinâmicas: 







=
=
=
=
=
dt
dv
dt
dqi
Cvq
Li
Riv
L
L
C
C
CC
LL
RR
λ
λ
 
 
- Variáveis de estado naturais ⇒ L , λCq 
 
36 
- Descrição Interna: 



=
+−−=
C
L
LC
C
q
Cdt
d
tv
RL
q
RCdt
dq
1 
)(111 
λ
λ
 
 
- Descrição Externa: )(
111
2
2
tv
RCLCdt
d
RCdt
d
L
LL =++ λλλ 
 
 
5.3 Sistemas Fluidos 
• Leis Interconectivas para pressão e razão de fluxo 
Fluido Incompressível Fluido Compressível 
Q1
Qn
Qj
 
m1
mn
mj
 
∑
=
=
n
j
jQ
1
0 Qj ⇒ Vazão ∑
=
=
n
j
jm
1
0 mj ⇒ Fluxo de massa 
 
• Aplicação das regras interconectivas 
 
Fonte de fluxo
(Bomba de deslocamento constante)
Q(t)
P
Cf RfLf
PR
QR
PL
QLPC
 
37 
- Leis interconectivas: 



=
+=
+=
=
RL
RLC
LC
C
QQ
PPP
QQtQ
PP
)(
 
 
- Relações constitutivas: 



=
=Γ
=
RfR
LfL
CfC
QRP
QL
PCV
 
 
- Relações Dinâmicas: 



Γ=
=
dt
dP
dt
dVQ
L
L
C
C
 
 
- Variáveis de estado naturais ⇒ ΓL , VC 
 
- Descrição interna: 
 
 
dV
dt L
Q t
d
dt C
V R
L
C
f
L
L
f
C
f
f
L
= − +
= −





1
1
Γ
Γ Γ
( )
 
 
- Descrição Externa: 
d V
dt
R
L
dV
dt L C
V R
L
Q t dQ t
dt
C f
f
C
f f
C
f
f
2
2
1+ + = +( ) ( ) 
 
5.4 Sistemas Térmicos 
• Leis interconectivas de fluxo de calor e temperatura 
T1
Tn
T2
 
q1
qn
qj
 
Ti
i
n
=
∑ =
1
0 q j
j
n
=
∑ =
1
0 
 
38 
• Aplicação das regras interconectivas 
 
 
q1 T , qC C
Rt1 Ct Rt2
q2
q
T1 T2
T(t)
 
 
 
- Leis interconectivas: 







=
+=
=
+=
1
21
2
21)(
qq
qqq
TT
TTtT
C
C
 
 
- Relações constitutivas: 



=
=
=
222
111
qRT
qRT
TCH
t
t
CtC
 
 
- Relações Dinâmicas: 
 = CC qdt
dH
 
 
-Variáveis de estado naturais ⇒ HC 
 
- Descrição do sistema: )(
111
121
tT
RC
H
RRdt
dH
t
C
tt
C +


 +−=