AVALIAÇÃO PARCIAL

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
AVALIAÇÃO PARCIAL
	1a QUESTÃO 
	
	Seja a sequência {n2n + 1}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
	
	2/3
	
	1
	
	1/3
	 
	1/2
	
	3/2
		
	2a QUESTÃO 
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}, podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s: N→N, que a cada numero n ∈ N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que: 
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	 
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
		
	3a QUESTÃO 
	
	Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação)
	 
	Todo subconjunto não - vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	Todo subconjunto não - vazio A contido em  N possui um maior elemento.
	
	Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
	
	Todo conjunto possui um menor elemento.
	
	Nenhum subconjunto não - vazio A contido em  N possui um menor elemento.
		
	4a QUESTÃO 
	
	Seja a sequência na = 1 - nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência.
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	 
	0, -1/4, -2/9, -3/16
	
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
		
	5a QUESTÃO 
	
	Considere as afirmativas a seguir.
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In A, então A = In.
Com relação a elas, é correto afirmar:
	
	II e III somente.
	
	I e III somente.
	
	II somente.
	
	I e II somente.
	 
	I, II e III.
		
	6a QUESTÃO 
	
	Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a + bab pode assumir é :
	
	2/ 9
	
	15/56
	
	1
	
	9 / 20
	 
	17 / 72
		
	7a QUESTÃO 
	
	Se |x - 2| < 3, podemos afirmar que o valor do número real x pertence:
	
	[-1, 5]
	
	{-1, 5}
	
	]-1, 5]
	
	[-1, 5[
	 
	]-1, 5[
		
	8a QUESTÃO 
	
	Considere o resultado:
Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então −(− a) = a.
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então (− a) = a.
Seja  (- a) + a = 0. Usando o teorema  (*),  temos:  a = - (- a), logo podemos concluir que  - (- a) = a
(*)  Se a + b = 0, então b = - a
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então (− a) = a.
Seja  (- a) + a = 0. Usando o teorema  (*),  temos:  a = - (- a), logo podemos concluir que  - (- a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = - a
 
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então − (− a) = a.
Seja  (- a) + a = 0. Usando o teorema  (*),  temos:  a = - (- a), logo podemos concluir que  - (- a) = a
(*) Se a - b  = 0, então b = a
 
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então − (a) = a.
Seja  (- a) + a = 0. Usando o teorema,  temos:  a = - (- a), logo podemos concluir que  - (- a) = - a
 
(*)  Se a + b = 0 , então b = -a
	 
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então − (− a) = a.
Seja  (- a) + a = 0. Usando o teorema  (*),  temos:  a = - (- a), logo podemos concluir que  - (- a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = - a
	9a QUESTÃO 
	
	Analisando se a série n/(ln n)n é convergente ou divergente, conclui-se que:
		
	
	A série diverge, pois o limite vale 9/3
	 
	A série converge, pois o limite vale 0
	
	Nada podemos afirmar, pois o limite vale 1
	
	A série converge, pois o limite vale 2/3
	
	A série diverge, pois o limite vale 2,5
		
	10a QUESTÃO 
	
	Analise a convergência da série ∑n = 1∞(-1)n(ln(n + 1))n.
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
		
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será zero, portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1, portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será ∞, portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 3, portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será -3, portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	1a QUESTÃO 
	
	Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) m + (n + p) = (m + n) + p
(II) n + m = m + n
(III) Dados m, n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: m = n ou ∃p∈N  tal que m = n + p ou ∃p∈N  tal que n = m + p.
(IV) m + n = m + p ⇒ n = p
		
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	 
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte.
		
	2a QUESTÃO 
	
	Seja a sequência {(3n3 + 1)/(2n2 + n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	 
	3/2
	
	2/3
	
	2
	
	4
	
	3
		
	3a QUESTÃO
	
	Dada à série ∑n = 1∞(1n2), marque a alternativa que indica o limite superior  da série e indica se ela é convergente ou divergente.
		
	
	A série não é  limitada superiormente.
	
	A série é  limitada superiormente por 1/2 e a série converge.
	
	A série é  limitada superiormente por 1 e a série converge
	 
	A série é  limitada superiormente por 2 e a série converge.
	
	A série é  limitada superiormente por 3 e a série converge.
		
	4a QUESTÃO 
	
	Seja a  série   ∑n = 1∞(k - 1k2k). Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método utilizado para essa demonstração
	
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série - p.
	
	A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica.
	
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série alternada.
	 
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica.
	
	A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série alternada.
		
	5a QUESTÃO 
	
	Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
	
	{1, 2, 3,..., 1999}
	
	Os meses do ano.
	 
	{x: x é par}
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	{x: x ∈ R e x2 - 7x = 0}
		
	6a QUESTÃO 
	
	Com relação à noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que:
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ: N N, definida por φ(n) = n é bijetiva.
(II) O conjunto {2, 4, 6,. . .} é enumerável, pois a função φ : N N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva.
(III) O conjunto −1, −2, −3, −4, . . . , n, . . . é enumerável, pois a função φ : N N, definida por φ(n) = - n é bijetiva.(I)
	
	(I) e (III)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (II)
		
	7a QUESTÃO 
	
	Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
	
	
 fech.                    1. a . (0 + 0) = a . 0   
1, distrib.             2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
fech                      3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0)
5, sim                   5. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.               2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.            3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc               5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
5, sim                   6. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, fech                 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
3. assoc               4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + 0 = a
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
		
	8a QUESTÃO 
	
	Considere o resultado:
Sejam elementos arbitrários a, b ∈ R, então − (a + b) = (− a) + (− b).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. (a + b) = [((1) . a) + ((1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	 
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (a) = (1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                             2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a        3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . -b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. (a + b) = (a) + (b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) =  (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (a) + (-b)
		
	9a QUESTÃO 
	
	Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é n!/ (2n + 1)! Conclui-se que a mesma:
	
	Diverge, pois o lim na + 1/an vale 3/2
	 
	Converge, pois o lim na + 1/an vale 0
	
	Converge, pois o lim na + 1/an vale 9/10
	
	Converge, pois o lim na + 1/an vale 1/3
	
	Converge, pois o lim na + 1/an vale 0,2
		
	1a QUESTÃO 
	
	Seja a sequência {2n2/ (5n2 - 3)}.
Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
	
	5/2
	
	5
	 
	2/5
	
	0
	
	2
		
	2a QUESTÃO 
	
	Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) se m
(II) Dados m, n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m = n ou mn
(III) se m "" n + p
"" m + p = "" tem - se ="" n*, ="" a ="" pertencente ="" p ="" todo ="" para ="" então,="">
"" m + p = "" tem - se ="" a ="" pertencente ="" p ="" todo ="" para ="" n* ="">
		
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade.
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
	 
	(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
	
	(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
		
	
3a QUESTÃO 
	
	O conjunto dos números racionais é:
	
	Não enumerável e infinito.
	 
	Enumerável e infinito.
	
	Enumerável e finito.
	
	Não enumerável e finito.
	
	Subconjunto dos naturais
		
	4a QUESTÃO 
	
	Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈ N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
	 
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
		
	5a QUESTÃO 
	
	Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b, então:
	 
	a > b
	
	a = b
	
	a < b
	
	a é ímpar
	
	a é par
		
	6a QUESTÃO 
	
	Analise a convergência da série ∑n = 1∞(13n + 1).
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10.
	 
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge.
		
	7a Questão 
	
	Para quaisquer x, y, z ∈ R, vale:
	 
	|x - z| ≤ |x - y| + |y - z|
	
	|x-z|≤|y-z|
	
	|x-z|≤|z-y|
	
	|x-z|≥|x-y|+|y-z|
	
	|x-z|≤|x-y|
		
	8a QUESTÃO 
	
	Dentre as séries abaixo, assinale na única que é definida divergente, utilizando o recurso da comparação com limites.
		
	
	1/ (1+3n)
	
	n+1/n3
	
	1/n4 + n2 + 2
	 
	2/ (2n - 1)
	
	1/ (n2+2)
		
	9a QUESTÃO 
	
	Analise a convergência da série ∑n = 1∞(2nn!).
		
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada.
	 
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge.
		
	10a QUESTÃO 
	
	Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
		
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamoscom a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a = 2n + 1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a = 2n + 1, n em Z.
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Seja a = 2n + 1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  
	 
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a = 2n + 1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.