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**Resposta:** A solução geral é: \[ y(x) = C_1 \cos(2\sqrt{19} x) + C_2 \sin(2\sqrt{19} x), \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 764. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). **Resposta:** O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). \] 765. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{38x} \, dx \). **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{38x} \, dx \): \[ \int_{0}^{1} x e^{38x} \, dx = \left[ \frac{x e^{38x}}{38} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{38x}}{38} \, dx = \frac{e^{38}}{1444} - \frac{1}{1444}. \] 766. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(39x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(39x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 39x - \frac{59319x^3}{6} + \frac{2498657x^5}{120} - \cdots. \] 767. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(40x)}{\sin(41x)} \). **Resposta:** Utilizando a expansão em série de Taylor para \( \tan x \) e \( \sin x \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(40x)}{\sin(41x)} = \lim_{x \to 0} \frac{40x + \frac{(40x)^3}{3}}{41x + \frac{(41x)^3}{6}} = \frac{40}{41}. \] 768. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(37x + 1) \). **Resposta:** A derivada é: \[ f'(x) = \frac{37}{37x + 1}. \] 769. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(38x-36)^n}{n} \). **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{38} \). 770. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 39y' + 114y = 0 \). **Resposta:** A solução geral é: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}, \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 771. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). **Resposta:** O comprimento da curva é: