Problemas de Cálculo Matemático

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- **Resposta:** \( \int g(x) \, dx = \arctan(x) + C \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a integral conhecida da função racional. 
 
15. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a expansão de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 
16. **Problema:** Calcule a derivada da função \( h(x) = \tan(x^2) \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = 2x \sec^2(x^2) \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função tangente composta. 
 
17. **Problema:** Encontre a integral definida de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} = 1 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da integral definida e avaliamos nos limites de 
integração. 
 
18. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado \( 
\frac{\infty}{\infty} \). 
 
19. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{x^2 \cos(x) - 2x \sin(x)}{x^4} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
20. **Problema:** Encontre a integral indefinida de \( g(x) = \cos(3x) \). 
 - **Resposta:** \( \int g(x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a integral conhecida da função trigonométrica. 
 
21. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a definição de derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \). 
 
22. **Problema:** Calcule a derivada da função \( h(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da derivada para o logaritmo natural 
Claro, vou continuar gerando mais problemas matemáticos para você: 
 
101. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \). Determine \( f'(x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \). 
 **Explicação:** Aplique a regra do quociente para derivar a função. 
 
102. **Problema:** Qual é o valor de \( \cot 75^\circ \)? 
 **Resposta:** \( \cot 75^\circ = 2 - \sqrt{3} \). 
 **Explicação:** Utilize a identidade para \( \cot (45^\circ + 30^\circ) \). 
 
103. **Problema:** Resolva a equação \( \log_4 (x-1) + \log_4 (x+1) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 5 \). 
 **Explicação:** Utilize as propriedades dos logaritmos para resolver. 
 
104. **Problema:** Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y 
= \cos x \) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 **Resposta:** \( A = 1 \) unidade². 
 **Explicação:** Calcule a área entre as curvas usando integração. 
 
105. **Problema:** Simplifique a expressão \( \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ \). 
 **Resposta:** \( \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left( \cos 60^\circ - 
\cos 90^\circ \right) \). 
 **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar. 
 
106. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 + \sin x} \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}} \). 
 **Explicação:** Aplique a regra da cadeia para derivar a função.