Problemas de Cálculo Matemático

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**Resposta:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \). 
 
3. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - 
x^2 \). 
 **Resposta:** A área é \( \frac{32}{3} \) unidades quadradas. 
 
4. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta:** O limite é 4. 
 
5. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \). 
 
6. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{x^n}{n^2} \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é 1. 
 
7. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 
8. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \), de \( x = 0 \) a \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 **Resposta:** O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4} \). 
 
9. **Problema:** Calcule \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1 \). 
 
10. **Problema:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 **Resposta:** O limite é 1. 
 
11. **Problema:** Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 
x^2 \). 
 **Resposta:** A área é \( \frac{1}{6} \) unidades quadradas. 
 
12. **Problema:** Resolva a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \sqrt{1+x^2} + C \). 
 
13. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \cot x \). 
 
14. **Problema:** Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região 
delimitada por \( y = x^2 \) e \( y = 4 \) em torno do eixo \( x \). 
 **Resposta:** O volume é \( \frac{416 \pi}{15} \) unidades cúbicas. 
 
15. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \). 
 **Resposta:** O limite é \( e \). 
 
16. **Problema:** Determine a área da região limitada por \( y = e^x \), \( y = 1 \), \( x = 0 \) e 
\( x = \ln 2 \). 
 **Resposta:** A área é \( 1 - \frac{1}{2} \ln^2 2 \) unidades quadradas. 
 
17. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \ln(1+x) \) centrada em \( x = 0 \). 
 **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \). 
 
18. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} \). 
 **Resposta:** \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4} \). 
 
19. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{e^x}{x^2} \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{x^3} \). 
 
20. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' + y \cos x = \sin x \). 
 **Resposta:** A solução é \( y(x) = \sin x + C e^{-\sin x} \), onde \( C \) é uma constante. 
 
21. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \). 
 **Resposta:** O limite é 2.