Intervalo de Confiança e Amostragem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPOS DE ENGENHARIAS E  CIÊNCIAS AGRÁRIAS
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
Rio Largo, Alagoas
INFERÊNCIA
UFAL CECA
João Messias
Geraldo Veríssimo
Inferência Estatística
Tem como objetivo obter conclusões sobre algumas
características de um conjunto de interesse, denominado
população, com base na informação oriunda de um conjunto de
dados disponível, denominado amostra.
Fonte: http://umolharmatematico.weebly.com/populaccedilatildeoamostra.html
Como uma metáfora, imagine que você está preparando um
panelão se sopa!
Inferência Estatística
Inferência Estatística
Assim, com o uso da inferência estatística, os resultados de
nosso estudo passa a valer para todos os indivíduos de nossa
população, inclusive os que não entraram na amostra.
Fonte: http://umolharmatematico.weebly.com/populaccedilatildeoamostra.html
ESTIMAÇÃO
 Os parâmetros são os valores populacionais, que na
maioria das vezes são desconhecidos
 Na população temos os parâmetros:
média verdadeira
 variância verdadeira
desvio padrão verdadeiro
 Como trabalhamos com amostras, temos as estimativas
desses parâmetros
ESTIMAÇÃO
 ESTIMATIVA POR PONTO: é quando especificamos um único
valor
 Exemplos de estimativas:
 da média (m)
 do desvio padrão (s)
 da amplitude (A)
 de uma proporção (p)
ESTIMAÇÃO
 ESTIMATIVA POR INTERVALO: podemos ter intervalos
(limites inferior e superior) que contenham o verdadeiro
parâmetro a um nível de confiança desejado
 É comum usar os níveis de confiança de 95% e de 99%, com
probabilidades de erros de 5% e 1%, respectivamente
ESTIMAÇÃO
 ESTIMATIVA POR INTERVALO
• Para amostras de tamanho grande (n>25), usamos a distribuição
normal para obter os limites inferior e superior
 A expressão para o Intervalo de Confiança (IC) da média é:
IC(; 1‐α): m ± z. s(m)
Onde: m é a estimativa da média; s(m) é o erro padrão da
média
= s/n
z é obtido na Tabela da Distribuição Normal Reduzida
• Para α = 5%, o nível de confiança será 95% e z é igual a 1,96
• Para α = 1%, o nível de confiança será 99% e z é igual a 2,58
ESTIMAÇÃO
 Exemplo 1: Para os dados de Brix em 28 colmos de cana, foram
estimados:
m = 13,03 e s = 0,96
 IC (; 0,99): 13,03 ± (2,58)(0,18) = {12,60; 13,50}
OBS: Na normal reduzida z=2,58 para uma área de 0,495
(metade de 0,99)
 Isto indica que o intervalo {12,60; 13,50} contém a verdadeira
média brix, com uma confiança de 99%
ESTIMAÇÃO
12,60 13,03 13,50
0,005 0,005
0,99
IC (; 0,99): {12,57; 13,49}
ESTIMAÇÃO
Exemplo 2: Para Número de Insetos por planta (NIP) em 27
plantas foram estimados:
m = 4 e s = 1,88
Assim:
IC (; 0,95) = 4 ± (1,96)(0,36) = {3,3; 4,7}
OBS: Na normal reduzida z=1,96 para uma área de 0,475
(metade de 0,95)
Isto quer dizer que há uma confiança de 95% do intervalo
{3,3 ; 4,7} conter a verdadeira média de NIP
ESTIMATIVA POR INTERVALO PARA AMOSTRAS PEQUENAS (n<25)
 Para amostras de tamanho pequeno (n<25), usamos a
distribuição t de “student” para obter esses limites
 A expressão para o Intervalo de Confiança (IC) da média é:
IC (; 0,95): m ± t. s(m)
Onde: m é a estimativa da média; s(m) é o erro padrão da média =
s/n;
t é obtido em Tabela de acordo com o nível de confiança (1‐α) e
os graus de liberdade da amostra
ESTIMATIVA POR INTERVALO PARA AMOSTRAS PEQUENAS (n<25)
 Exemplo 1: Número de insetos capturados por dois tipos de
armadilhas.
Temos as estimativas: 
m1=12; s12 = 4; n1=10; gl1 = 9
m2=15 ; s22=5;  n2= 7; gl2 = 6
IC (1 ; 0,95) = 12 ± 2,26 (2/ 10) = {10,6 ; 13,4}
IC (2 ; 0,95) = 15 ± 2,45 (2,236/ 7) = {12,9 ; 17,1}
INTERVALO DE CONFIANÇA
1 2
Armadilha
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Nú
m
er
o 
de
 in
se
to
s
AMOSTRAGEM
 É muito importante a escolha da amostra a ser trabalhada na
pesquisa científica. Principais tipos de amostras:
 Amostra simples ao acaso ou amostra aleatória
 Amostra estratificada
 Amostra sistemática
 Amostra por conglomerado
 É a mais comum. Todos os elementos da população têm a
mesma chance de ser escolhido.
 Pode ser obtida por um simples sorteio.
 Exemplo: em 40 carregamentos de cana, obter uma
amostra simples ao acaso de 10 canas cada uma, em oito
carregamentos. Nesse caso, numeramos os carregamentos
(1 a 40) e fazemos um sorteio das oito cargas. Depois
escolhemos ao acaso as 10 canas de cada carga.
AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO
AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO
2
3
1 2
AMOSTRAGEM EXTRATIFICADA
 Em cada categoria heterogênea de estratos,
processa‐se uma amostragem simples ao acaso.
 Exemplo: os 40 carregamentos são separados em
estratos de acordo com a variedade de cana.
Poderia ter 15 cargas da variedade 1 e 25 cargas da
variedade 2. Depois aplicamos uma amostragem ao
acaso de 10 canas em três cargas da variedade 1 e
cinco cargas da variedade 2.
AMOSTRAGEM EXTRATIFICADA
15 caminhões da Variedade RB92579
3 caminhões sorteados
25 caminhões da Variedade RB0442
5 caminhões sorteados
 É constituída por elementos retirados da população
segundo um sistema.
 Exemplo: vamos amostrar apenas oito dos 40
carregamentos, segundo o sistema: carregamentos
de número 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 e 40.
AMOSTRA SISTEMÁTICA
AMOSTRA SISTEMÁTICA
Caminhão 5 Caminhão 10 Caminhão 15 Caminhão 20
Caminhão 25 Caminhão 30 Caminhão 35 Caminhão 40
AMOSTRA POR CONGLOMERADO
 É constituída por elementos retirados da população
divididas em grupos que já existem na população e são
similares.
Exemplo: vamos amostrar cinco grandes hospitais de Maceió
e entrevistar pacientes com covid. Para cada grupo
(conglomerado) aplicamos uma amostra simples ao acaso.
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 Do ponto de vista estatístico, as mostras devem ser
grandes o suficiente para garantir maior segurança as
conclusões obtidas.
• Hospital A: 120 nascimentos
• Hospital B: 10 nascimentos
Em certa ocasião nasceram em um dos
hospitais duas vezes mais meninos do que
meninas. Em qual hospital é mais provável
que isso aconteceu?
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 A mostra só trará informações sobre a população onde foi
retirada;
 Não se pode julgar a qualidade da amostra peloo resultado
obtido;
 Conclusões e decisões tomadas com base na amostra só
têm sentido quando as amostras representam a
população;
 Como saber se uma amostra é tendenciosa?
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 É determinar o tamanho da amostra de uma população,
com um erro de estimação previamente estipulado e com
um determinado grau de confiabilidade.
 Vamos aplicar para amostras simples ao acaso (ASA).
 Para o caso de proporções, usamos a distribuição de
probabilidade da normal reduzida.
 Para o caso de médias, usamos a distribuição de
probabilidade t de “student”.
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 Se o objetivo da pesquisa é obter estimativas de
proporções, usamos o Intervalo de Confiança para
Proporções para determinar o tamanho da amostra:
 Temos que IC(p; 1‐α) = p ±
Podemos considerar:
nível de confiança = 1‐ α
margem de erro = e =
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 Então, o tamanho da amostra é:
 Nem sempre p é conhecido. Ou substituímos p por uma
estimativa obtida em uma amostra prévia, ou admitimos
o valor máximo para o produto p(1‐p) =0,25
2
2 )1(
e
ppzn 

DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 Exemplo 1: Suponha que se deseja fazer uma
pesquisa e que a proporção estimada de indivíduos
com uma determinada característica deva diferir em
menos de 8% do valor verdadeiro. Obter o tamanho
de uma amostra com uma confiabilidade de 95%
 Como não conhecemos p, vamos admitir a máxima
variância, ou seja, p(1‐p) = 0,25.
 A margem de erro é de 0,08 e o valor de z a 95% é
1,96.
150
)08,0(
)25,0()96,1(
2
2
n
DETERMINAÇÃO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA
 Exemplo 2: se tivéssemos uma informação prévia de 
que p = 0,35 teríamos
 indivíduos 137
)08,0(
)65,0)(35,0()96,1(
2
2
n
CÁLCULO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA PAR A MÉDIA
Se oobjetivo da pesquisa é obter estimativas de
médias, podemos usar o Intervalo de Confiança da
Média:
IC (; 1‐α): m ± t. s(m) = m ± t. s/n
Admitindo a margem de erro: e = t. s/n
CÁLCULO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA PAR A MÉDIA
 Então, o tamanho da amostra é:
𝒏 𝒕𝟐𝒔𝟐
𝒆𝟐
 Como não conhecemos m e s, geralmente fazemos
uma amostra prévia para poucos dados e obtemos
suas estimativas
 Com o valor estimado de m, obtemos uma margem
de erro (uma percentagem da média, por exemplo)
CÁLCULO DO TAMNAHO DE UMA AMOSTRA PAR A MÉDIA
 Exemplo 1: Em 10 plantas, o Brix médio foi de 13,12 com
desvio padrão de 1,06. Obter um tamanho de amostra
com 95% de confiança e 7% de margem de erro da
média.
 Pela tabela t de “student” temos para 9 graus de
liberdade e 5% de nível de significância, o valor 2,26
 A margem de erro será: e = (0,07)(13,12) = 0,9184
𝒏 𝟐,𝟐𝟔 𝟐 𝟏,𝟎𝟔 𝟐
𝟎,𝟗𝟏𝟖𝟒 𝟐 = 6,8. Usamos indivíduos