Equilíbrio de Corpos Rígidos

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ESTÁTICA
Beatriz Alice 
Weyne Kullmann
de Souza
 
Equilíbrio de corpo rígido: 
análise bidimensional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever os conceitos de força reativa e diagrama de corpo livre 
aplicados a corpos rígidos em duas dimensões.
  Relacionar as equações de equilíbrio em duas dimensões para corpos 
rígidos.
  Aplicar as equações de equilíbrio para corpos rígidos em duas dimen-
sões na resolução de problemas.
Introdução
O equilíbrio de corpos rígidos está diretamente relacionado às aplica-
ções práticas da Engenharia. Na maioria das situações cotidianas, todas 
as dimensões dos objetos influenciam em seu equilíbrio. Por isso, eles 
precisam ser considerados como corpos rígidos.
Neste capítulo, você vai estudar as condições necessárias para que 
um corpo rígido esteja em equilíbrio estático em duas dimensões. Vai 
aprender como representar as forças que atuam sobre ele, de maneira a 
facilitar sua análise, bem como aplicar as equações de equilíbrio estático à 
resolução de problemas envolvendo situações reais, em duas dimensões.
Reações de apoio em duas dimensões
Nas obras de Engenharia, quando pensamos em equilíbrio estático, torna-
-se relevante considerar as forças de reação características de cada suporte 
como forças a mais no sistema. Essas forças são retratadas na Terceira Lei de 
Newton e, na Engenharia, são chamadas de Reações de apoio, pois acontecem 
em pontos de apoio entre duas estruturas, sujeitas à ação de forças externas 
coplanares. Em geral, podemos considerar que essas reações se comportam 
da seguinte maneira:
  Quando o movimento de translação em uma direção específica é im-
pedido, a reação constitui uma força nessa mesma direção;
  Quando, além da translação, o movimento de rotação é impedido, a 
reação constitui um par força e momento de binário.
Observe os exemplos de suportes que caracterizam essas considerações 
(Figuras 1 e 2).
Figura 1. Suporte tipo rolete e sua reação. O rolete impede apenas o movimento de 
translação da viga na direção vertical.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
rolete F
Figura 2. Suporte tipo pino e sua reação. O pino impede o movimento de translação e de 
rotação da viga em qualquer direção φ.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
pino
F
Conforme o tipo de conexão, a restrição do movimento e as reações podem 
variar. Na Figura 3, você verá outros dentre os principais tipos de conexões, 
bem como a representação de suas reações. Conhecê-los é fundamental para 
representar corretamente as forças reativas no diagram de corpo livre.
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional2
Figura 3. Tipos de conexões e suas reações.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2011, p. 148-149).
Tipo de conexão Reação
Cabo:
Ligação sem peso:
Nesse caso, a reação é uma força de tração
para fora, na direção do cabo
Nesse caso, a reação é uma força que 
atua ao longo do eixo e pode assumir 
dois sentidos.
F
F F
ou
Tipo de conexão Reação
Membro �xo conectado à 
haste lisa
Apoio �xo ou engaste
F
F
M
Fy
Fx
M M
ou
Nesse caso, a reação é dada por uma força
perpendicular à haste e um momento de binário
Nesse caso, a reação é dada por uma força na 
direção Φ e um momento binário
Tipo de conexão Reação
Apoio oscilante:
ou
F
Conexão por pino sobre 
anel em haste lisa:
Superfície de contato lisa:
F
F
Nesse caso, a reação é uma força perpendicular 
à superfície no ponto de contato
Nesse caso, a reação é uma força perpendicular 
à superfície no ponto de contato
Nesse caso, a reação é uma força perpendicular 
à barra
3Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Outro fato importante de se ter em mente ao representar o diagrama de 
corpo livre, no caso de se analisar o equilíbrio, em duas dimensões, de corpos 
rígidos, são as forças internas: por que não representá-las? Essas forças, que 
envolvem as partículas que formam o corpo rígido, surgem em pares colineares, 
sempre com mesma intensidade e sentidos opostos. Dessa forma, cancelam-se 
mutuamente. Por isso, não geram nenhum efeito externo no corpo rígido, o 
que nos libera da necessidade de representá-las no diagram de corpo livre. 
Nos casos de corpos rígidos com distribuição de massa uniforme, o peso 
é representado no centro geométrico do corpo. Por outro lado, quando a 
distribuição de massa acarretar algum deslocamento em relação ao centro 
geométrico, essa posição precisa ser previamente determinada. Nos exercícios 
e exemplos retratados neste capítulo, quando esse for o caso, o vetor força 
peso será representado em sua posição devida.
Ao analisar uma situação real de equilíbrio estático na Engenharia, na 
verdade, são criados modelos idealizados, capazes de dar conta da situação 
proposta, obtendo resultados muito próximos da realidade. Para que isso 
aconteça, é fundamental que a escolha do tipo de apoio a ser representado, das 
dimensões do objeto e do comportamento do material sejam compatíveis com 
a situação a ser descrita. Assim, os resultados obtidos na análise tornam-se 
confiáveis. Observe a Figura 4.
Figura 4. Viga de apoio para telhado.
Fonte: Vetores... ([201-?]).
A B
A viga de aço ilustrada servirá de suporte para as três vigas de um telhado. 
Nessa situação, um diagrama de corpo livre coerente à situação seria (Figura 5):
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional4
Figura 5. Viga de apoio para telhado.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
F F F
A B
a b c d
Podemos supor a viga como um corpo rígido, uma vez que o aço poderá 
sofrer apenas deformações desprezíveis ao ser submetido ao peso das demais 
vigas a serem conectadas. Observe que, no ponto A, foi representado um pino, 
pois a situação real impede a translação, permitindo apenas uma ínfima rotação. 
Como no ponto B não há impedimento da translação na direção horizontal, 
um rolete pode ser representado no diagrama de corpo livre. As forças F, 
que representam as cargas na viga, são calculadas com base nas normas de 
edificações, que consideram, de antemão, situações extremas de carga, efeitos 
dinâmicos e eventuais vibrações do sistema. E, por fim, pode-se desprezar o 
peso da viga, pois este é irrelevante frente à carga total suportada pela viga. 
Assim, os cálculos feitos com base nesse diagrama são confiáveis. Esses 
cuidados você precisa ter ao desenhar seu diagrama de corpo livre.
Vejamos duas outras representações e as considerações feitas para elaborar 
o diagrama de corpo livre (Figuras 6 e 7).
Figura 6. Viga e diagrama de corpo livre.
Fonte: adaptada de Finotti (2014).
1200 N
2 m
6 m
m = 100kg
A
Efeito da
for;a aplicada
na viga
Efeito do
apoio �xo atuante
na viga
Efeito da gravidade
(peso) atuante na viga
981 N
3 m
2 m
MA
Ay
A
y
x
1200 N
G
5Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Figura 7. Estruturando o diagrama de corpo livre.
Fonte: adaptada de Finotti (2014).
70º B
GA
1,40 m
0,8 m
1 m
70º
T
Ax
Ay
A 1,40 m
0,8 m
1 mG
1962 N
Para analisar situações de equilíbrio, em duas dimensões, de corpos rígidos, é impor-
tante lembrar: 
  Sempre representar o diagrama de corpo livre e fazê-lo de forma fidedigna à 
situação real a ser analisada;
  A reação de um suporte que impede a translação do objeto é uma força, sobre o 
corpo, nessa mesma direção;
  Se o movimento rotacional é impedido, então a reação constitui um conjunto força 
e momento de binário;
  Cada tipo de suporte possui uma reação característica;
  Forças internas não são representadas no diagrama de corpo livre;
  A força peso é representada no centro de gravidade do corpo;
  Por serem vetores livres, os momentos de binário podem ser representados em 
qualquer ponto do diagrama;
  Por serem vetores deslizantes, as forças podem ser representadas em qualquer 
ponto de sua linha de ação.
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional6
Equações de equilíbrio em duas dimensões 
para corpos rígidos 
Dizer que todas as dimensões de um objetoinfl uenciam na determinação de 
sua situação de equilíbrio e que, por isso, ele precisa ser considerado como um 
corpo rígido, implica levar em consideração mais uma condição de equilíbrio 
estático: o momento resultante do sistema.
Quando um corpo rígido está sob a ação se diversas forças, que podem ser 
de origem gravitacional, elétrica, magnética ou de contato, das quais algumas 
geram momento e outras não, o sistema pode ser representado por uma força 
e um momento de binário resultantes e equivalentes. Se a força resultante e o 
momento de binário resultante são iguais a zero, o corpo está em equilíbrio. 
Ou seja, para um corpo rígido, as condições de equilíbrio estático, são:
FR = ∑ F = 0 e (MR)0 = ∑M0 = 0
Por meio dessas condições, fica estabelecido que, para o equilíbrio, a soma 
de todas as forças que agem sobre o corpo resulta em zero, e a soma de todos 
os momentos em relação ao ponto O e dos momentos de binário também 
possuem resultado nulo.
Quando aplicamos as condições de equilíbrio, pressupomos que o corpo 
é rígido, apesar de que, na prática, os objetos sofrem pequenas deformações 
quando submetidos a cargas. Entretanto, na Engenharia, essa idealização é 
perfeitamente possível, uma vez que muitos dos materiais mais utilizados (aço 
e concreto) são extremamente rígidos e suas deformações, ínfimas. “Conse-
quentemente, quando aplicamos as equações de equilíbrio, em geral podemos 
assumir, sem induzir qualquer erro significativo, que o corpo permanecerá 
rígido e não deformará sob a carga aplicada” (HIBBELER, 2011, p.146).
Ao escrever as equações na forma cartesiana, podemos trabalhar com as 
condições de equilíbrio para cada componente. Assim, podemos pensar nas 
condições como:
∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0
∑ (MR)0 = 0
Cabe lembrar,que devem ser considerados todos os momentos das compo-
nentes de forças e os momentos de binário que atuem no sistema.
7Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Além de utilizar as condições gerais de equilíbrio estático, essas condições 
podem ser adequadas para casos específicos (Figura 8).
Figura 8. Treliça.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 164).
(b)
BA
DC
Ax
Ay
Py Px
Qy Qx Sx
Sy
B
W
P Q S
DC
A B
(a)
A treliça está sob a ação das forças P Q e S. Sua base, presa por um pino 
em A e por um rolete em B. A reação do pino é uma força que pode ser 
representada por suas componentes Ax e Ay, enquanto a reação do rolete é 
uma força vertical B. Já as forças P Q e S também podem ser decompostas. 
O peso será representado por W (weight), para que não seja confundido com 
a força P. Observe como essas forças foram representadas no diagrama de 
corpo livre, na Figura 8b. 
Como o pino impede tanto a translação quanto a rotação em A, podemos 
afirmar que:
∑ MA = 0
Dessa forma, podemos calcular a intensidade de B.
Por outro lado, considerando que:
∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0
Podemos calcular as componentes Ax e Ay. Mas, também podemos con-
siderar que:
∑ MB = 0
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional8
Essa equação não pode ser adicionada às condições de equilíbrio. Entre-
tanto, por ser interessante para conferir os resultados obtidos anteriormente, 
podemos considerar o seguinte conjunto de condições alternativo: 
∑ Fx = 0
∑ MA = 0
∑ MB = 0
Ainda em relação à treliça da Figura 8, porém, considerando os pontos 
A, B e C, podemos escrever um outro conjunto de condições alternativo:
∑ MA = 0 Equação 1
∑ MB = 0 Equação 2
∑ MC = 0 Equação 3
Nesse caso, é necessário que os pontos A, B e C não estejam sobre a mesma 
reta, para garantir que as condições acima, se forem satisfeitas, determinam 
o equilíbrio do corpo rígido. Observe a Figura 9.
Figura 9. Diagrama de corpo livre em duas dimensões.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2011, p. 157).
B C
A
(c)
FR
B C
A
(b)
MRA
FR
F2
F1
F4
F3
C
A
B
(a)
Para que a Equação 1 seja satisfeita, é necessário que MRA = 0. Se a linha 
de ação da força resultante passar pelo ponto C, conforme ilustrado na Figura 
9c, então, a Equação 3 é satisfeita. Para satisfazer a Equação 2, é preciso que 
a força resultante seja nula, o que garante que o corpo está em equilíbrio.
A utilização de conexões deve ser feita de maneira a buscar a estabilidade 
da estrutura em questão, verificada pelas equações de equilíbrio estático. 
9Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Costuma-se classificar as estruturas com relação a sua estaticidade. Essas 
podem ser:
  Hipostáticas: quando a estrutura apresenta vinculação insuficiente, 
permitindo o movimento global. Apenas o equilíbrio das partes pode 
ser constatado, não o do sistema como um todo.
  Isostática: quando a estrutura apresenta vinculação mínima, sufi-
ciente para garantir o equilíbrio do sistema como um todo. Qualquer 
movimento global está restringido e as reações de apoio podem ser 
determinadas exclusivamente com as equações de equilíbrio estático.
  Hiperestáticas: quando a estrutura apresenta vinculação excessiva. 
Nesse caso, as reações de apoio não podem, todas, ser determinadas 
exclusivamente com a utilização das equações de equilíbrio estático.
A Figura 10 ilustra esses casos.
Figura 10. Estruturas hipostática, esostática e hiperestática, respectivamente.
Fonte: adaptada de Sperandio e Piffer ([2011]).
Equilíbrio Instável!
3 componentes das
reações de apoio
Equilíbrio Estável!
4 componentes das
reações de apoio
Equilíbrio Estável!
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional10
Na Engenharia, sempre se deve buscar uma estrutura isostática, pois ela 
garante que, mesmo quando submetido a uma força maior do que as partes são 
capazes de suportar, o arranjo resiste à ação dessa força. Isso acontece porque 
a estrutura é capaz de distribuir a ação entre seus membros, minimizando seu 
efeito. As treliças são um excelente exemplo de estrutura isostática, quando 
bem dimensionadas, pois, apesar de serem constituídas de barras relativamente 
estreitas, o arranjo é capaz de suportar uma carga consideravelmente maior 
do que cada barra, isoladamente, suportaria. Veja um exemplo na Figura 11.
Figura 11. A ponte de treliça Astoria Megler Birdge liga os Estados de Oregon e Washington, 
cruzando o rio Columbia.
Fonte: James Bentley Photography/Shutterstock.com.
Membros de duas e três forças
Para simplifi car a análise das situações de equilíbrio, torna-se relevante re-
conhecer os membros sobre a ação de apenas duas ou três forças. A Figura 
12 ilustra esses casos.
11Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Figura 12. Membro de duas forças.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
A A A
FA
FA = F FA = F
FB = F FB = FFB
B B
(a) (b) (c)
Nesse caso, para que se configure uma situação de equilíbrio estático, as 
duas forças que atuam sobre o membro devem ter a mesma linha de ação, 
que precisa estar sobre a reta que une os dois pontos nos quais as forças são 
aplicadas e a mesma intensidade, mas atuarem em direções contrárias. 
No caso de um membro de três forças (Figura 13), para que se contemple 
a condição de equilíbrio do momento, é fundamental que as forças sejam 
concorrentes, ou, em um caso especial, paralelas entre si. Na Figura 13a, as 
linhas de ação de F1 e F3 passam pelo ponto O, portanto, para que o momento 
resultante seja nulo, a linha de ação de F2, obrigatoriamente, deve passar 
pelo mesmo ponto O. Quando, como na Figura 13b, as forças são paralelas, 
a intersecção das linhas de ação se dará próximo ao infinito, que garante um 
momento resultante nulo.
Figura 13. Membro de três forças.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
F2 F2
F1
F1F3 F3(a) (b)
O
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional12
Aplicações das equações de equilíbrio em 
duas dimensões para um corpo rígido
A seguir, você terá a oportunidade de acompanhar a resolução de exercícios 
que envolvem a aplicação das condições de equilíbrio bidimensional para 
corpos rígidos.
Um guindaste fixo, com 1000 kg de massa, ergue uma caixa de 2400 kg. O equipamento 
está fixado por um pino no ponto Ae um suporte basculante no ponto B. Seu centro 
de gravidade está representado pelo ponto G. Determine as reações nos suportes de 
conexão A e B (Figura 14).
Figura 14. Guindaste fixo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 168).
1,5 m
A
G
B
2.400 kg
2 m 4 m
13Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
Para esta situação, desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre (Figura 15). 
Figura 15. Diagrama Guindaste fixo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 168).
Ay
Ax
B
1,5 m
23,5 N
9,81 kN
A
B
2 m 4 m
Aplicando a condição de equilíbrio de momento em A:
∑ MA = 0
∑ MA = (1,5m)B + (–9,81kN) ∙ (2m) + (–23,5kN) ∙ (6m) = 0
Teremos B = =107,1kN.
Aplicando, agora, a condição de equilíbrio para o eixo x:
∑ Fx = 0
∑ Fx = Ax + B = 0
Logo, pelos cálculos, Ax = -107,1kN, mas, como o resultado foi negativo, concluímos 
que a componente tem sentido contrário ao estabelecido inicialmente, ou seja, é para 
a esquerda. Então, Ax = 107,1kN para esquerda.
Aplicando, agora, a condição de equilíbrio para o eixo y:
∑ Fy = 0
∑ Fy = Ay – 9,81kN – 23,5KN = 0
Logo, pelos cálculos, Ay = 33,3kN
Somando as componentes vetorialmente, calculando seu módulo, teremos que a 
reação em A será de 112,15kN na direção 17,27°, obtida pela relação θ = tan–1
Ay
Ax
.
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional14
A estrutura da figura corresponde a sustentação do teto de um prédio de pequeno 
porte. A tração no cabo éde 150kN. Determine as componentes da reação no ponto E 
(Figura 16).
Figura 16. Estrutura de sustentação de um prédio.
Fonte: adaptada de Beer e Johnston (2010, p. 13).
A B
D
C
20 kN20 kN20 kN20 kN
1,8 m1,8 m1,8 m1,8 m
4,5 m
E F
2,25 m
3,75 m
Com base na figura, desenhamos o diagrama de corpo livre para o sistema (Figura 17):
Figura 17. Estrutura de sustentação de um outro prédio.
Fonte: adaptada de Beer e Johnston (2010, p. 14).
A B
D
C
E F
6 m
4,5 m
1,8 m 1,8 m 1,8 m 1,8 m
20 kN 20 kN 20 kN 20 kN
Ex
ME
Ey
150 kN
Aplicando as condições de equilíbrio:
∑ Fx = Ex +
4,5
7,5 (150kN) = 0
Determinamos Ex = -90,0kn.
∑ Fx = Ey – 4(20kN) –
6
7,5 (150kN) = 0
Teremos, Ey = +200kN. 
( )ΣME = 20kN ∙ 7,2m + 20kN ∙ 5,4m + 20kN ∙ 3,6m + 20kN ∙ 1,8m + – 6
7,5
∙ 150kN ∙ 4,5m + ME = 0
∑ ME = 180kN ∙ m
15Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
A Figura 18 ilustra um membro que está conectado por um pino no ponto A e apoiado 
em um suporte liso no ponto B. Determine as componentes da reação no ponto A.
Figura 18. Membro de três forças.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2011, p. 190).
B
A
1 m
60 N
0,5 m
0,75 m
90 N ∙ m
30º
Representando o diagrama de corpo livre (Figura 19):
Figura 19. Diagrama de corpo livre.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2011, p. 190).
30º
30º
Ay
1 m
60 N
90 N ∙ my
x
Ny
Ax
0,75 m
Aplicando as equações de equilíbrio em A:
∑ MA = –90N ∙ m – 60N ∙ 1m + NB(0,75m) = 0
Então, NB = 200N.
∑ Fx = Ax – 200 sin 30º = 0
De onde obtemos: Ax = 100N.
∑ Fy = Ay – 200 cos 30º – 60 = 0
Portanto, Ay = 233N.
Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional16
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática: resumo e 
exercícios. 9. ed. São Paulo: Makron Books, 2010.
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
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17Equilíbrio de corpo rígido: análise bidimensional
http://www.eletrica.ufpr/
http://www.joinville.ifsc.edu/
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/07/determinac3a-
http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
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