Gás Ideal e Teoria Cinética

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Gás ideal e Teoria Cinética dos Gases 
______ 
Pinheiro & Corradi - Fundamentos de Mecânica dos Fluidos e Termodinâmica - 26/03/2023 
1 
1 Gás ideal e Teoria Cinética dos Gases 
Carlos Basílio Pinheiro - Universidade federal de Minas Gerais 
Wagner Corradi Barbosa - Universidade federal de Minas Gerais 
 
APÓS O ESTUDO DESTA UNIDADE VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE: 
• Identificar variáveis de estado e equações de estado; 
• Operar a equação de estado dos gases ideais; 
• Compreender as bases do modelo cinético molecular; 
• Relacionar pressão e velocidades quadráticas medias; 
• Relacionar temperatura e energia cinética translacional média; 
• Entender e usar o princípio da equipartição da energia; 
• Calcular calores específicos de gases e sólidos; 
• Entender a curva distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzman. 
 
Nesta unidade será discutido o conceito de gás ideal suas variáveis de estado e a equação que 
descreve seu comportamento. Também será introduzido o conceito de gás real e a equação de van 
der Waals que descreve alguns deles e que prediz, inclusive, a temperatura na qual ocorre a mudança 
de estado gás-líquido. Em seguida será discutida a teoria cinética dos gases que permite determinar 
a relação entre grandezas macroscópicas que descrevem os gases (pressão e temperatura) com 
quantidades microscópicas que descrevem seu movimento (velocidades médias e energia cinética) a 
partir do estudo do movimento dos átomos e/ou moléculas que constituem os gases. Essa teoria 
permitirá anunciar o princípio da equipartição da energia e a entender a curva de distribuição de 
velocidades de Maxwell -Boltzman. Vários problemas serão resolvidos ao longo do capítulo e uma 
série de questões conceituais, e problemas são apresentados ao final do capítulo, visando a fixação 
dos conceitos apresentados. 
 
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 LOCALIZAÇÃO DO ITEM NOS CAPÍTULOS E LIVROS 
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do
s G
as
es
 
LIVRO AUTORES ED. SEÇÕES 
Física II 
Addison-Wesley 
Sears, Zemansky, Young 
Freedman; 10ª. 
16.3 – 16.7 
Física 2 
LTC 
Sears, Zemansky, Young 2ª. 17.1 - 17.7 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 4ª. 
23.1 – 23.4 e 23.8 
24.1 – 24.5 
25.3 – 25.4 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 5ª. 
22.1-22.7 
e 23.4 
The Feynman Lectures on 
Physics; Vol. I 
Feynman, Leighton, 
Sands . 
 
Fundamentos de Física, vol.2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Halliday, Resnick 3ª. 21.1 – 21.9 
Física 2 
Editora Makron Books do Brasil 
Keller, Gettys, Skove 1ª. 
17.1-17.2 
18.1-18.6 
Curso de Física, vol.2 
Ed. Edgard Blücher 
Moysés Nussenzveig 3ª. 
9.1 – 9.3 
11.1 – 11.7 
12.2 – 12.3 
Física, vol.1b 
Ed. Guanabara 
Tipler 2ª 
16.6 – 16.7 
17.1 , 17.5 – 17.7 
e 18.3 
Física, vol.2 
Ed. Guanabara 
Tipler 3ª. 15.4 – 15.7 e 16.7 
Física, vol.2 
Ed. Guanabara 
Tipler 5ª. 
17.4 – 17.5 
18.1 – 18.2 
Física, vol.2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Alaor S. Chaves 1ª. 
9.1 – 9.3 
9.7 – 9.10 
Física, Fundamentos e 
Aplicações, vol.2 
Editora McGraw Hill 
Eisberg e Lerner 1ª. 18.1-18.6 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A R. A. Serway 3ª. 
21.1 – 21.4 
21.6 – 21.9 
 
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1.1 Lei dos gases ideais 
Os gases reais (os que existem na natureza) apresentam comportamentos diferentes dependendo da 
situação em que as suas propriedades macroscópicas tais como de mols (n), volume (V), pressão (p) 
ou temperatura (T) são manipulados. Por exemplo, para um gás qualquer confinado em um cilindro é 
possível controlar o número de mols pela adição ou remoção de gás do interior do cilindro. Também 
é possível controlar sua temperatura através de uma fonte de calor externa. O volume e a pressão do 
gás podem ser controlados pela modificação do volume do cilindro que o confina ou pela adição e/ou 
retirada de calor (Figura 1). 
 
Figura 1.1: Dispositivo hipotético usado para estudar o comportamento de gases. Nele, a pressão (P), o 
volume (V) , a temperatura (T) e o número de Mols (n) do gás podem ser controlados e seus valores 
relacionado 
Através da experimentação foi observado que quando a temperatura e a pressão são mantidas 
constantes, a adição ou remoção do gás do interior do cilindro irá resultar na variação proporcional 
de seu volume. Em outras palavras, o volume ocupado por um gás, independentemente do tipo de 
gás, depende somente do número de moléculas contidas no recipiente. Em termos matemáticos: 
 𝑉 = 𝐶$𝑁	(𝑝, 𝑇	𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠), (1-1) 
onde N e o número de moléculas do gás contido no volume V e C1 é um coeficiente de 
proporcionalidade. A equação (1) e conhecida como Lei de Avogadro. Mantendo o número de 
moléculas e a temperatura constantes no interior do cilindro e variando a pressão, é observado que 
o volume ocupado pelo gás varia inversamente com a variação da pressão na forma: 
 𝑉 =
𝐶3
𝑝 	
(𝑁, 𝑇	𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠),	 (1-2) 
C2 é um coeficiente de proporcionalidade. A equação (2) é chamada a Lei de Boyle. Quando a pressão 
e o número de moléculas forem mantidos constantes no recipiente, verifica-se que o volume ira variar 
proporcionalmente com a temperatura de acordo com a seguinte relação: 
 𝑉 = 	𝐶4𝑇	(𝑁, 𝑝	𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠) (1-3) 
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C3 é um coeficiente de proporcionalidade. A equação (3) e chamada Lei de Charles ou Lei de Gay-
Lussac. De um modo geral as equações (1), (2) e (3) descrevem o comportamento dos gases reais 
através de suas propriedades macroscópicas (P, V, N e T). 
Combinando as equações (1-1), (1-2) e (1-3), temos: 
 
𝑝𝑉
𝑁𝑇 = 	𝐾6	.	 
(1-4) 
A constante KB = 1,38066 x 1023 J/K, conhecida como constante de Boltzmann, é independente do gás. 
O número de átomos ou moléculas do gás também pode se descrito em função do número de mols 
(n) e do número de Avogadro (NA), tal que N = nNA e desta forma (4) pode ser reescrita como: 
 
𝑝𝑉
𝑛𝑇 =	𝐾6𝑁8 	= 𝑅	 
(1-5) 
Sendo R a constante universal dos gases. Como NA = 6,022x1023 moléculas, o valor de R = 8,314 J/mol.K 
é igual para todos os gases. A equação (5) é normalmente escrita na seguinte forma: 
 𝑝𝑉 = 	𝑛𝑅𝑇	 (1-6) 
e denominada Lei dos Gases Ideais ou equação de estado do gás ideal. 
Gases ideal é todo e qualquer gás cujo comportamento macroscópico de suas variáveis de estado 
(p,V, T, n ou N) seja descrito pela equação de estado 	𝑝𝑉 = 	𝑛𝑅𝑇. 
Na prática, a equação (1-6). descreve as propriedades de gases com baixa densidade (p < 10 Atm) e 
altas temperaturas (T > 300 K). Deve ser enfatizado que vapor é matéria no estado gasoso em 
equilíbrio com seu estado líquido (ou sólido). Ou seja, quando confinamos um liquido em um 
recipiente, ele diminui o volume (embora muitas vezes isso não seja fácil de ser observado 
experimentalmente) até que a taxa de evaporação se iguale à taxa de liquefação. A partir desse 
instante, liquido e seu vapor ficam em equilíbrio termodinâmico. Gás é o estado da matéria. 
Exemplo 1: (a) Calcule o volume em litros ocupado por 1,00 mol de um gás ideal em condições 
normais (CNPT), isto é, pressão de 1,00 atm (1,01 x 105 Pa) e temperatura de 0 oC (273 K). (b) Mostre 
que o número de moléculas por centímetro cúbico (o número de Loschimidt) em CNTP é 2,68 x 
1019. 
(a)	V =
nRT
P =
1mol	 × 	8,31 jmol . K	 × 	273,15	K
1,01 × 10M	Pa = 0,0224m
4 = 22,4	l 
(b)	N = nNQ = 1mol	 × 	6,022 × 1034
moléculas
mol = 6,022 × 10
34	moléculas 
N
V =
6,022 × 1034	moléculas
0,0224 × 10W	cm4 	= 2,68	 ×	10
$X 	
moleculas
cm4 
Podemos relacionar as variáveis de estado de um gás ideal (p, V, T, n) com outraspropriedades físicas 
tais como coeficiente de dilatação volumétrica e coeficiente de compressibilidade de volumétrica. 
Definindo o coeficiente de dilatação volumétrica b e o coeficiente de compressibilidade volumétrica 
k, por: 
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5 
 𝛽 =
1
𝑉 [
𝜕𝑉
𝜕𝑇]^
				𝑘 = −
1
𝑉 [
𝜕𝑉
𝜕𝑝]a
, (1-7) 
teremos para gases ideais: 
 𝛽 = 1 𝑇b 			𝑒			𝜅 =
1 𝑝b 	 (1-8) 
1.2 Gases Reais 
Para situações onde a pressão é alta ou a temperatura é baixa a equação (1-6) não consegue descrever 
o comportamento do gás precisamente. Basta observar que gases se liquefazem em altas pressões 
e/ou em baixas temperaturas (gás de cozinha, aerossóis, nitrogênio líquido, etc.) e a equação (1-6) 
não permite estabelecer essa mudança de fase. Ou seja, é evidente que a relação entre pressão e 
volume dos gases próximo a estes limites não pode ser descrita por (1-6). 
Várias tentativas foram feitas para encontrar uma equação que represente adequadamente a relação 
entre P, V e T para um gás real - ou seja, para encontrar uma Equação de Estado para um gás real. 
Algumas dessas tentativas foram tentativas puramente empíricas de ajustar uma fórmula matemática 
a dados reais. Outros são o resultado de pelo menos uma tentativa de descrever algum modelo físico 
que explicaria o comportamento dos gases reais. Uma das primeiras equações usadas para descrever 
o comportamento de gases reais é foi a equação de van der Waals: 
 d𝑝 +
𝑎𝑛3
𝑉3 f
(𝑉 − 𝑛𝑏) = 	𝑛𝑅𝑇	 (1-9) 
os termos 𝑎𝑛3 𝑉3⁄ e nb são correções para a pressão e o volume respectivamente e as constantes a 
e b são determinadas experimentalmente para cada gás. 
A equação (1-9) pode ser entendida com alguns argumentos simples. Em geral, quando uma molécula 
de um gás se aproxima da parede do recipiente que o confina, ela interage com moléculas da 
vizinhança com uma força que é proporcional à densidade dessas moléculas, n/V. Como o número de 
moléculas que atinge a parede em um dado intervalo de tempo também é proporcional à densidade 
das moléculas, a diminuição de pressão sobre a parede (e lida no barômetro) devido à atração das 
moléculas é proporcional ao quadrado da densidade e, portanto, 𝑛3 𝑉3⁄ . A constante a é pequena 
para gases inertes os quais apresentam interações químicas muito fracas entre suas moléculas. A 
constante b na equação surge porque as moléculas do gás não são partículas pontuais de volume Nilo, 
mas moléculas com tamanho finito. Portanto, o volume físico do recipiente disponível para cada 
molécula é reduzido do volume físico ocupado pelo conjunto de moléculas. 
O tamanho de b é da ordem de grandeza do volume de um mol de moléculas de um gás. Os termos 
𝑎𝑛3 𝑉3⁄ e bn são desprezíveis quando o volume V é grande e, desta forma, para baixas densidades a 
equação de Van der Waals tende à lei dos gases ideais. 
Para o gás dióxido de Carbono (CO2), as constantes da equação de van der Waals são a=0,364 
J×m3/Mol2 e b = 4,27 x 10-5 m3/mol. No Exemplo 1 observamos que um mol de gás ideal em CNTP 
ocupa um volume de 22,4 l (0,0224 m3). Usando a equação (1-9) e os valores de a e b listados 
anteriormente, 1 mol de CO2 ocupando o mesmo volume e à mesma temperatura estaria sob uma 
pressão de p = 0.995Atm (100793 Pa), uma diferença de apenas 0,5% em relação ao valor obtido com 
a equação do gás ideal. 
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De uma maneira mais geral a equação do virial 
 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇	(1 +
𝑎$(𝑇)
i𝑉𝑛j
	+	
𝑎3(𝑇)
i𝑉𝑛j
3 +
𝑎4(𝑇)
i𝑉𝑛j
4 +⋯) (1-10) 
onde an são termos de compressibilidade com valores distintos para cada gás, descreve 
satisfatoriamente o comportamento dos gases em todos os intervalos de temperatura e pressão. 
Obviamente, se a densidade do gás é baixa (V/n » 0) a equação (1-10) se torna a equação dos gases 
ideais (1-6). Pode ser mostrado que a equação (1-9) é obtida pela equação (1-10) considerando os 
dois primeiros coeficientes do virial a1(T) e a2(T) como: 
 𝑎$(𝑇) = 𝑏 −
𝑎
𝑅𝑇 					𝑎3
(𝑇) = 𝑏3 (1-11) 
A Figura 1.2 abaixo resume as características gerais dos gases que se comportam conforme a Lei dos 
Gases Ideais (a) e conforme a equação de Van der Waals (b). 
 
 
Figura 1.2: Representação de um gás que se comporta como um gás ideal e como um gás real . 
 
Exemplo 2: O melhor vácuo que pode ser obtido em laboratório corresponde a uma pressão de 
aproximadamente 10-18 Atm, ou 1,01 x 10-13 Pa. Quantas moléculas existem por cm3 neste vácuo a 
22 oC? 
𝑛 =
𝑝𝑉
𝑅𝑇 =
1,01	x	10m$4 	×	10mW
8,31	 × 	295 = 4,12	 ×	10
m34	𝑚𝑜𝑙𝑠 
𝑁 = 𝑛𝑁8 = 4,12	 ×	10m34 	× 	6,022 × 1034
𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚𝑜𝑙 = 24,8	𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠	𝑒𝑚	𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
Exemplo 3: Um tanque de 0,02 m3 contem 300 mols de hélio a uma pressão de 400 Atm. (a) qual o 
valor de 𝑎𝑛3 𝑉3⁄ . (b) Qual a temperatura do hélio? Para o hélio a=0,0035 Jm3/mol2 b=2,38 x 10-5 
m3/mol 
𝑎𝑛3
𝑉3 =
(0,0035	J. m4/mol3) ×	(300)3
(0,02𝑚4)3 = 787500	𝑃𝑎 = 7,79	𝐴𝑡𝑚	 
𝑏𝑛 = 2,38	 ×	10M
m4
mol × 	300	𝑚𝑜𝑙 = 0,007	𝑚
4 
Pela equação de van der Waals 
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𝑇 =
[𝑝 + 𝑎𝑛
3
𝑉3 ] (𝑉 − 𝑛𝑏)
𝑛𝑅 =
(4,04	 ×	10x	𝑃𝑎 + 	787500	𝑃𝑎)	×	(0,02 − 0,007)𝑚4
300	𝑚𝑜𝑙𝑠	 × 	8,31 𝐽𝑚𝑜𝑙 . 𝐾
= 215	𝐾 
 
1. Atividades para auto avaliação: Modelo Atômico e Propriedades dos Gases 
1.1 A existência de átomos não era bem aceita por muitos cientistas até 1827, quando Robert Brown 
observando um grão de pólen flutuando na água descobriu que ele se move continuamente de 
maneira aleatória. As figuras abaixo são evidências experimentais da existência dos átomos. uma 
representação das partículas de resina observadas por Perrin em 1909. As linhas horizontais 
representam camadas separadas entre Si de 0,01 cm e o diâmetro das partículas é de 0,6 x 10-13 
cm. (b) O movimento de uma partícula minúscula, em suspensão na água é observado ao 
microscópio. Os pequenos segmentos lineares ligam a sua posição em intervalos consecutivos de 
30 segundos. (a) Como o que é visto nas figuras evidencia o caráter atômico da matéria? (b) Sabe-
se que Na (número de Avogadro) é 6,02x 1023 moléculas. Se Na fosse muito maior, como isso 
afetaria a figura? E se fosse muito menor? 
 
1.2 Quais das equações abaixo são equações de estados? Justifique sua resposta. 
(a) 𝐿 = 𝐿{ |1 +	
a
}8
+ 	𝛼(𝑇 − 𝑇{)�; L=comprimento, T=Temperatura, A=Área Y=módulo de Young 
(b) 𝑀 = 𝐶�
�
a
; M=magnetização, H=Campo Magnético, T=Temperatura 
(c) 𝜎 = 𝜎� i
a�ma
a�ma�
j; 𝜎 =tensão supercial, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(d) 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(e) i𝑝 +	 �
��
j (𝑉 − 𝑏) = 𝑛𝑅𝑇; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(f) 𝑝 = −𝛽 i�
��
j
�
ln i�
��
j; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
 
1.3 Os gráficos abaixo descrevem o comportamento de um gás que tem sua pressão variada em 
função do número de moles, com volume e temperatura constante. Posteriormente a pressão é 
variada em função da temperatura, mantendo constante o número de mols e o volume; e por 
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último a pressão é variada em função do volume, mantendo constante o número de moles e a 
temperatura. A partir da observação dos gráficos encontre as relações entre p, V, T e n. 
 
1.4 Como se relacionam o número de partículas e o número de moles? 
1.5 Como se relacionam a massa molar e a massa de uma molécula? 
1.6 Qual é a diferença entre um gás real e um gás ideal? 
 
1.3 Teoria Cinética dos gases 
O comportamento de um gás em termos das variáveis macroscópicasé satisfatoriamente descrito 
pela equação do gás ideal, conforme discutido no subitem anterior. Agora, o que é interessante 
observar é que as propriedades macroscópicas de um gás podem ser relacionadas com as grandezas 
microscópicas tais como massa e velocidade moleculares. A teoria que daí resulta é chamada Teoria 
cinética dos gases. 
A Teoria cinética dos gases decorre da combinação entre a lei dos gases ideais e das leis de newton 
para descrever a cinética das moléculas do gás. O contexto da teoria cinética dos gases é aquele em 
que a força gravitacional não exerce influencia na movimentação das moléculas. Logo, entre as 
colisões com outras moléculas ou com as paredes do recipiente, as moléculas de um gás ideal movem-
se movem em linha reta. Para se estabelecer as bases desta teoria, as seguintes hipóteses também 
devem ser observadas: 
1. O gás é constituído de moléculas de massa e volume desprezíveis em relação à distância de 
separação das mesmas; 
2. o número de moléculas no gás é muito grande e elas estão distribuídas uniformemente em 
um elemento de volume DV; 
3. o movimento das moléculas obedece às leis de Newton e tem movimento desordenado 
devido às colisões; 
4. O volume ocupado por cada molécula deve ser muito menor que o volume do recipiente no 
qual elas são mantidas 
5. as colisões entre as moléculas são elásticas, com duração e alcance desprezíveis. 
6. As direções e os sentidos das velocidades das moléculas estão distribuídos uniformemente 
1.3.1 Cálculo cinético da pressão 
Considere um gás ideal confinado em um cubo com arestas L conforme indicado na Figura 1.3a e 
suponha que a molécula da figura colida elasticamente com as paredes do recipiente conforme 
decomposição de vetores velocidade mostrado na Figura 1.3b. 
 
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(a) 
 
(b) 
Figura 1.3: (a) Molécula de um gás confinada em um recipiente cúbico de aresta L deslocando-se com 
velocidade descrita pelo vetor v. (b) Diagrama mostrando a decomposição do vetor velocidade de uma 
molécula de gás antes e após colidir elasticamente com a parede de um recipiente. 
Considerando o movimento somente na direção x, temos que a força média exercida por uma 
molécula que colide na face B2, por exemplo, é dada em termos da variação do momento linear nesta 
direção da seguinte forma: 
 𝐹 = [
Δ𝑝
Δ𝑡] =
p� − p�
Δ𝑡 = 	
mv� − (−mv�)
Δ𝑡 	=
2mv�
Δ𝑡 . 
(1-12) 
Assim, o momento linear cedido a parede é +2mvx. Para calcular a força média, estimamos a variação 
de tempo Dt entre duas colisões sucessivas da molécula em uma mesma parede. Supondo que a 
molécula em seu percurso de sair da face B2, colidir com face B1 e retornar a face B2, não colida com 
outra partícula, temos: 
 Δ𝑡	 =
2L
v�
. (1-13) 
Assim, a pressão exercida por uma molécula na face B2 em termos de seu momento linear será: 
 𝑝 =
𝐹
𝐴 =
1
𝐿3 d
m𝑣�3
𝐿 f = d
m𝑣�3
𝑉 f, 
(1-14) 
onde A é a área da parede e V é o volume do cubo. A pressão total exercida por todas as moléculas 
dentro da caixa sobre a parede B2, será obtida somando a pressão exercida por cada molécula 
viajando ao logo da direção x: 
 𝑝 =�d
m𝑣��3
𝑉 f
�
��$
=
𝑁𝑚
𝑉 �d
𝑣��3
𝑁 f
�
��$
= 𝜌〈𝑣�3〉. (1-15) 
O resultado foi obtido multiplicando e dividindo a soma em (1-16 por N. Observe que 𝑁𝑚 𝑉⁄ é a 
densidade (r) do gás no interior do recipiente. Considerando a isotropia espacial nas três dimensões, 
ou seja, a indistinguibilidade da definição de direção de deslocamento da molécula de gás nas direções 
x, y e z da caixa, temos: 
 𝑣3 = 	𝑣�3 + 𝑣�3 + 𝑣�3 = 3𝑣�3 	 ∴ 	 𝑣�3 = 𝑣3 3⁄ (1-16) 
onde 〈𝑣3〉	é o valor médio das velocidades ao quadrado das moléculas. Assim, 
 𝑝 = 𝜌〈𝑣�3〉 =
1
3 𝜌
〈𝑣3〉. (1-17) 
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A equação (1-17) é uma relação entre a pressão (p) de um gás e a média do quadrado das velocidades 
(〈𝑣3〉) das moléculas do mesmo gás. A raiz quadrada de 〈𝑣3〉 é chamada de velocidade rms ou de 
velocidade média quadrática (𝑣�� ) e pode ser definida a partir de (1-17) como: 
 𝑣��  = ¡
3𝑝
𝜌 . 
(1-18) 
A velocidade média quadrática (𝑣�� )	é uma velocidade que, de certa forma, representa a velocidade 
média (𝑣�) das moléculas: 𝑣�� 	e 𝑣� diferem muito pouco (menos de 10 %). Resumidamente, a 
equação (1-18) relaciona uma grandeza microscópica, no caso a velocidade média quadrática com 
duas grandezas macroscópicas facilmente mensuráveis que são a pressão (p) e a densidade (r). A 
equação (1-18) também pode ser escrita em função da massa molar (M=m/n) do gás e de sua 
temperatura (T) da seguinte forma: 
 𝑣��  = ¡3[
𝑛𝑅𝑇
𝑉 ] [
𝑉
𝑚] =
¡[
3𝑅𝑇
𝑀 ] 
(1-19) 
A Tabela 1 apresenta as massas e as velocidades médias quadráticas de diferentes gases. 
Tabela 1: Velocidades as velocidades médias quadráticas de diferentes gases a 293 K. 
 Velocidades moleculares (293 K) 
Gás Massa Molar (g/mol) Vrms (m/s) 
Hidrogênio (H2) 2,02 1920 
Hélio (He2) 4,0 1370 
Vapor de água (H2O 18 645 
Nitrogênio (N2) 28,0 517 
Oxigênio (O2) 32,0 483 
Dióxido de enxofre (SO2) 233 342 
 
Exemplo 4: O gás mais abundante no universo é o hidrogênio e a temperatura no espaço 
interestelar é de 2,7 K. Determine a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio nesta 
temperatura. Considere MH2=2 g/mol = 2 x 10-3 kg/mol 
𝑣��  = ¡[
3𝑅𝑇
𝑀 ] =
¡3	 × 	8,31	 × 	2,7	
2	 ×	10m4 = 183	𝑚/𝑠 
1.3.2 Interpretação cinética da Temperatura 
Seguindo a lógica utilizada na seção anterior para obtenção da pressão de um gás em função de uma 
quantidade microscópica, no caso a velocidade média quadrática, a temperatura de um gás ideal 
também será deduzida em função de quantidades microscópicas. Multiplicando a equação (1-17) pelo 
volume V temos: 
 𝑝𝑉 =
1
3 𝜌𝑉
〈𝑣3〉, (1-20) 
Gás ideal e Teoria Cinética dos Gases 
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Fazendo 𝜌𝑉 = 𝑁𝑚, onde m é a massa de cada molécula e N o número total de moléculas do gás, 
temos: 
 𝑝𝑉 =
1
3𝑁𝑚
〈𝑣3〉, (1-21) 
Multiplicando e dividindo a equação (1-21) por 2 e usando a equação dos gases ideias (5), temos 
 𝑁𝐾6𝑇 =
2
3 [
1
2𝑁𝑚
〈𝑣3〉]. (1-22) 
Definindo a energia cinética translacional média 𝐾¢� do gás por 
 〈𝐾¢�〉 =
1
2𝑁𝑚
〈𝑣3〉 
(1-23) 
temos, 
 〈𝐾¢�〉 =
3
2𝑁𝐾6𝑇. 
(1-24) 
Ou seja, a energia cinética translacional de uma certa massa de gás ideal (quantidade microscópica) é 
proporcional à temperatura do mesmo (quantidade macroscópica). Este resultado relaciona a 
equação de estado do gás ideal e a teoria cinética. 
Suponhamos que temos uma mistura de gases, que não reagem quimicamente entre si e que sua 
temperatura e densidade são tais que seu comportamento pode ser descrito pela lei dos gases ideais 
(1-6). Experimentalmente, segundo a chamada Lei de Dalton das pressões parciais, é verificado que a 
pressão total da mistura é a soma da pressão que seria verificada se cada gás ocupasse sozinho o 
volume da mistura, com a massa de gás equivalente àquela com que participa da mistura. A pressão 
exercida por cada gás, caso ele estivesse presente sozinho, é chamada pressão parcial. Se os gases 
forem identificados por índices teremos então: 
 𝑝$𝑉 = 	𝑁$𝐾6𝑇													𝑝3𝑉 =	𝑁3𝐾6𝑇	 (1-25) 
Onde 𝑝$, 𝑝	3 … são as pressões parciais dos gases constituintes da mistura, 𝑁$, 𝑁3 … são os números 
de molécula de cada componente e V e T são o volume e a temperatura comum a todos os gases da 
mistura. Pela lei de Dalton 
 𝑝 = 𝑝$ +	𝑝3 (1-26) 
Logo, 
 𝑝𝑉 = 𝑝$𝑉 +	𝑝3𝑉+ (1-27) 
Sejam, 𝑚$,𝑚	3, etc as massas das moléculas dos componentes da mistura e 〈𝑣$3〉, 〈𝑣33〉 etc. as 
respectivas médias dos quadrados das velocidades escalares. Usando a equação (1-21) podemos 
escrever: 
 𝑝$𝑉 =
1
3𝑁$𝑚$
〈𝑣$3〉𝑝3𝑉 =
1
3𝑁3𝑚3
〈𝑣33〉	 
(1-28) 
E portanto, 
 
3
2 (𝑁$ + 𝑁3)𝐾6𝑇 =
1
3𝑁$𝑚$
〈𝑣$3〉 +	
1
3𝑁3𝑚3
〈𝑣33〉	 
(1-29) 
e já 𝑁$ ≠ 𝑁$ ≠ 𝑁¥ temos que 𝑇$ = 𝑇3. E portanto, igualando as expressões correspondentes para 
𝑝$𝑉 e 𝑝3𝑉, etc. para gases à mesma temperatura, obtemos: 
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 〈𝐾¢�〉 =
𝐾¢�
𝑁 =
3
2𝐾6𝑇 =
1
2𝑚$
〈𝑣$3〉 =
1
2𝑚3
〈𝑣33〉 = ⋯	 
(1-30) 
Concluímos assim que as energias cinéticas translacionais médias das moléculas dos gases, em uma 
mistura de gases, são idênticas. Isto é, em uma mistura de hidrogênio com vapor de mercúrio, embora 
as massas dos gases estejam em uma razão de 2 para 200, a energia cinética translacional média das 
moléculas de hidrogênio é igual a das moléculas de mercúrio. Reorganizando a equação (1-30), temos: 
 𝑇 =
2
3𝐾6
[
1
2𝑚$
〈𝑣$3〉] =
2
3𝐾6
[
1
2𝑚3
〈𝑣33〉], 
(1-31) 
Assim, quando dois gases estão à mesma temperatura, o gás de maior massa se move, em média, 
mais lentamente e o de menor massa se move, em média, mais rapidamente. Este resultado é um 
exemplo do princípio da equipartição da energia que será discutido na próxima seção. 
Uma aplicação deste fato é o processo se separação de isótopos de um elemento químico por difusão. 
Este método se baseia no fato de que, em equilíbrio térmico, os dois isótopos, com a mesma energia 
cinética translacional média terão diferentes velocidades médias. Os átomos leves (ou as moléculas 
que contêm ambos) viajam mais rapidamente tendo uma probabilidade maior de se difundir através 
de uma membrana. A razão da velocidades entre isótopos é proporcional à raiz quadrada da razão 
entre suas massas (ver equação (1-31)), de tal forma que a eficiência da separação é pequena. Este 
método é dispendioso devido ao elevado número de ciclos requeridos e ao trabalho necessário para 
empurrar o gás através de uma membrana para se obter o material desejado com elevada pureza. A 
primeira separação em larga escala de isótopos de urânio foi alcançada pelos Estados Unidos em 
grandes instalações de separação por difusão gasosa de hexafluoreto de urânio no Oak Ridge 
Laboratory. Este trabalho fez parte do Projeto Manhattan que resultou no desenvolvimento das 
primeiras bombas nucleares. 
Exemplo 5: A 440 oC e 1,23 x 10-2 Atm a densidade de um gás é 1,32 g/cm3. (a) Determine Vrms para 
as moléculas do gás. (b) Determine a massa molecular do gás e o identifique. 
𝑣��  = ¡
3𝑝
𝜌 =
¡
3	 × 	1,23	 ×	10m3 	× 	1,01	 ×	10M	𝑃𝑎
0,0132	𝑘𝑔/𝑚4 = 532,4	𝑚/𝑠 
𝑣��  = ¡[
3𝑅𝑇
𝑀 ]	⟹ 	𝑀 =
3𝑅𝑇
𝑣�� 3
=
3 × 	8,31	 ×	(44 + 273,15)
(531,4)3 = 0,0279	𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙	 
O gás do problema é o N2, que possui massa molecular igual a 0,028 Kg/mol. 
 
Exemplo 6: Calcule a velocidade média quadrática dos elétrons da coroa do sol, sabendo-se que a 
temperatura e pressão na cora são 2,0 x 106 K e 0,030 Pa. Considere a massa do elétron (Me) 
9,11	 ×	10m4$	𝐾𝑔. 
𝑣��  = ¨〈𝑣〉3 = ¡[
3𝐾6𝑇
2 ]
2
𝑀©
 
𝑣��  = ¨〈𝑣〉3 = ¡
3
2 × 1,3807	 × 	10
m34 𝐽
𝐾 	× 	2	 ×	10
W 	×	
2
9,11	 ×	10m4$	𝐾𝑔 
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𝑣��  = 9,55	 ×	10W	𝑚/𝑠	 
 
2. Atividades para auto avaliação: Cálculo cinético molecular da pressão e da temperatura 
2.1 O modelo do gás ideal pressupõe as seguintes condições: 
(a) O gás é constituído de moléculas 
(b) O número total de moléculas deve ser muito grande 
(c) Os movimentos são desordenados e seguem as Leis de Newton 
(d) O volume ocupado por cada molécula deve ser muito menor que o volume do recipiente 
(e) As colisões são elásticas e de duração ínfima (∆𝑇 → 0) 
(f) As forças de interação só são apreciáveis durante as colisões. 
Discuta quais as razões pelas quais cada uma dessas aproximações é feita. 
2.2 Mostre que 𝑝𝑉 = 3
4
𝑁〈𝐾¢�〉 
2.3 Partindo de 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 mostre que a equação de um gás ideal pode ser expressa numa base 
molecular, ou seja 𝑝𝑉 = 𝑁𝐾𝑇 
2.4 Compare a energia cinética translacional média de n moles de um gás ideal com a Energia cinética 
translacional média da molécula de um gás? 
1.4 Princípio da equipartição de energia 
O princípio da equipartição a energia apresentado na equação (1-31) não é uma lei universal da 
natureza, mas antes um caso limite sob certas circunstâncias especiais. Ele será discutido 
detalhadamente abaixo. 
Um sistema com N moléculas de gás monoatômico possui 3N graus de liberdade translacionais, já que 
cada molécula pode se deslocar segundo três direções ortogonais do espaço com velocidades 𝑣�, 𝑣� 
e 𝑣�. As equações (1-24) e (1-31) revelam então um relação interessante entre energia e graus de 
liberdade, pois cada grau de liberdade do sistema, armazena 𝐾6𝑇 2⁄ de energia térmica. Assim, os 
graus de liberdade do sistema podem ser pensados como o número de modos distintos e 
independentes de armazenamento de energia. De fato, cada mecanismo de acúmulo de energia de 
um sistema termodinâmico está associado com uma energia térmica de 𝐾6𝑇 2⁄ , desde que a energia 
varie de forma quadrática com a variável associada ao grau de liberdade, tal como a posição (energia 
potencial 𝑘𝑥3 2⁄ ), velocidade (energia cinética 𝑚𝑣3 2⁄ ), ou velocidade angular (energia rotacional 
𝐼𝜔3 2⁄ ). 
O enunciado geral do princípio de equipartição da energia diz que se a energia associada a qualquer 
grau de liberdade é uma função quadrática da variável que especifica, o grau de liberdade, o valor 
médio da energia correspondente a este grau de liberdade é igual a 𝐾6𝑇 2⁄ . 
Supondo que o princípio da equipartição da energia seja válido, a energia total média de uma molécula 
com f graus de liberdade, é portanto: 
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 𝐸��¢ =
𝑓
2	𝐾6𝑇. 
(1-32) 
E a energia total de N moléculas é 
 𝐸��¢ = 𝑁𝐸 =
𝑓
2	𝑁𝐾6𝑇 =
𝑓
2 	𝑛𝑅𝑇 
(1-33) 
onde n é o número de moles e R a constante universal dos gases. A equação (1-24) mostra que a 
energia cinética de um gás ideal monoatômico depende exclusivamente da temperatura. Portanto, 
para um gás ideal monoatômico, a energia cinética translacional é a energia interna do próprio gás. 
Em outras palavras, quando a energia térmica é fornecida a um gás ideal monoatômico, 3𝐾6𝑇 2⁄ 	de 
energia para cada molécula do gás será acrescida à sua energia interna. Assim a energia interna de 
um gás monoatômico é: 
 𝐸��¢ = 	
3𝑁𝐾6𝑇
2 =
3𝑛𝑅𝑇
2 	(𝑔á𝑠	𝑚𝑜𝑛𝑜𝑎𝑡ô𝑚𝑖𝑐𝑜) 
(1-34) 
Se o gás ideal considerado apresentar moléculas com dois ou mais átomos, as moléculas poderão 
apresentar além dos movimentos de translação movimentos de rotações em torno do seu centro de 
massa e vibração dos átomos em torno de suas posições de equilíbrio definidas pelas ligações 
químicas. Desta forma a energia interna destes gases deverá considerar também energias cinética de 
rotação e energia potencial de vibração dos átomos das moléculas em torno de suas posições de 
equilíbrio. 
Conforme indicado na Figura 1.4a a energia cinética de translação do centro de massa de uma 
molécula diatômica possui três componentes independentes para a velocidade. Logo, a energia 
cinética translacional do centro de massa vale : 
 𝐾¢� =
1
2𝑚
〈𝑣�3〉 +
1
2𝑚
〈𝑣�3〉 +
1
2𝑚
〈𝑣�3〉. 
(1-35) 
onde m=m1+m2. 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.4: Molécula diatômica de um gás ideal. (a) O centro de massa possui três componentes 
independentes para a velocidade. (b) A molécula possui dois eixos de rotação independente passando pelo 
seu centro de massa. (c) Os átomos e molas associados às ligações químicas possuem além da energia 
cinética, uma energia potencial em virtude da vibração. 
Conforme indicado na Figura 1.4b, a molécula diatômica possui dois eixos de rotação independentes 
passando por seu centro de massa. É importanteenfatizar que as rotações em torno do eixo de 
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simetria não permitem distinguir a molécula e, portanto, esta rotação não se configura como um grau 
de liberdade. Quando os graus de liberdade rotacionais passam a acumular energia, a energia cinética 
de rotação de um gás diatômico vale, 
 𝐾��¢ =
1
2 𝐼�𝜔�
3 +
1
2 𝐼�𝜔�
3 (1-36) 
onde 𝐼¥	é o momento de inércia da molécula para rotação em torno de um determinado eixo e 𝜔¥	 é 
a velocidade angular em relação ao eixo. Portanto, a energia cinética total (translacional + rotacional) 
de um gás diatômico é dada por: 
 𝐾 = 𝐾¢� + 𝐾��¢. (1-37) 
Conforme indicado na Figura 1.4c os átomos de uma molécula diatômica podem vibrar em torno da 
posição de equilíbrio, sujeitos à ação restauradora da força associada à ligação química, mantendo 
constante a distância média entre os átomos. Esta vibração está associada a uma energia potencial do 
tipo: 
 𝐸³�´ =
1
2𝐾𝑥$
3 +
1
2𝐾𝑥3
3 (1-38) 
onde 𝑥¥	é o deslocamento médio em torno da posição de equilíbrio de cada átomo. Assim, a energia 
interna de um gás diatômico, contabilizada as contribuições das translações, das rotações e das 
vibrações, é dada por: 
 𝐾 = 𝐾¢� + 𝐾��¢ + 𝐸³�´ (1-39) 
Deve ser enfatizado que somente a energia cinética translacional 𝐾¢�das moléculas está relacionada 
com a temperatura do gás. O gás diatômico possui, portanto, 7 graus de liberdade para acumulo de 
energia (deslocamento segundo três direções ortogonais com velocidades 𝑣�, 𝑣� e 𝑣�, rotações com 
velocidades angulares 𝜔� e 𝜔� e deslocamentos 𝑥$	 e 𝑥3	 da posição de equilíbrio de cada átomo). 
Experimentos mostram que o acúmulo de energia nas rotações e nas vibrações não acontecem abaixo 
de 100 K e 3000 K respectivamente, devido a imposições da mecânica quântica e ao grande 
espaçamento entre os níveis de energia correspondentes. 
Assim, quando a energia térmica for fornecida a um gás ideal diatômico em temperaturas abaixo de 
100 K, 3𝐾6𝑇 2⁄ 	de energia para cada molécula do gás será acrescida à sua energia interna. Quando a 
energia térmica for fornecida a um gás ideal diatômico em temperaturas entre 100 K < T < 3000 K, 
5𝐾6𝑇 2⁄ 	de energia para cada molécula do gás será acrescida à sua energia interna e quando a energia 
térmica for fornecida a um gás ideal diatômico em temperaturas T > 3000 K, 7𝐾6𝑇 2⁄ 	de energia para 
cada molécula do gás será acrescida à sua energia interna 
Assim, a energia interna de um gás diatômico com N moléculas, depende da temperatura, e vale: 
T< 100 K 𝐸��¢ = 	
3𝑁𝐾6𝑇
2 =
3𝑛𝑅𝑇
2 	 
(𝒈á𝒔	𝒅𝒊𝒂𝒕ô𝒎𝒊𝒄𝒐) (1-40) 
100 K < T < 3000 K 𝐸��¢ = 	
5𝑁𝐾6𝑇
2 =
5𝑛𝑅𝑇
2 	 
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T> 3000 K 𝐸��¢ = 	
7𝑁𝐾6𝑇
2 =
7𝑛𝑅𝑇
2 	 
Para um gás poliatômico com mais de 2 átomos por molécula, identificamos seis graus de liberdade 
(três componentes associadas ao deslocamento do centro de massa e três eixos de rotação 
independentes passando pelo centro de massa). Além disto, os átomos podem vibrar em torno de 
suas posições de equilíbrio sujeitos à ação restauradora de forças associadas interações atrativas e 
repulsivas presentes na molécula, assim contar graus de liberdade vibracionais em moléculas 
poliatômicas é uma tarefa complicada. Além disto, a energia potencial vibracional associada às 
vibrações têm valores mensuráveis apenas para temperaturas acima de 3000 K, logo, o acúmulo de 
energia vibracional em moléculas poliatômicas será desconsiderado nas discussões a seguir. Assim, a 
energia interna de um gás poliatômico com N moléculas, depende da temperatura, e vale: 
T< 100 K 𝐸��¢ =	
3𝑁𝐾6𝑇
2 =
3𝑛𝑅𝑇
2 	 
(𝒈á𝒔	𝒑𝒐𝒍𝒊𝒂𝒕ô𝒎𝒊𝒄𝒐) (1-41) 
100 K < T < 3000 K 𝐸��¢ =	
6𝑁𝐾6𝑇
2 = 3𝑛𝑅𝑇	 
 
Exemplo 7: Calcule a energia interna de 1 mol de gás ideal diatômico a 25 oC. 
𝐸��¢ = 	
5𝑛𝑅𝑇
2 	=
5
2 	× 	1	 × 	8,31
𝑗
𝑚𝑜𝑙	𝐾 	× 	298	𝐾 = 	6,19	𝑘𝐽 
 
Exemplo 8: Calcule a energia cinética rotacional total das moléculas de 1 mol ar a 25 oC. 
O ar é constituído basicamente de moléculas diatômicas que apresentam apenas 2 graus de 
liberdade rotacionais, logo: 
𝐾��¢ = 	2 [
𝑛𝑅𝑇
2 	] =
2
2	× 	1	 × 	8,31
𝑗
𝑚𝑜𝑙	𝐾 	× 	298	𝐾 = 	2,48	𝑘𝐽 
 
 
Exemplo 9: Qual o aumento de temperatura causado pela frenagem de uma partícula de radiação 
cósmica com energia igual a 1,34 TeV, em um tubo de detecção que contem 0,120 moles de gás 
neônio? Considere 1 eV = 1,6	 ×	10m$X	𝐽. 
O Ne é um gás monoatômico, logo: 
∆𝑇 =	
2∆𝐸��¢
3𝑛𝑅 	=
2
3	×
	1,34	 ×	10$3 	× 	1,6	 ×	10m$X	𝐽	
0,12	𝑚𝑜𝑙	 × 	8,31 𝑗𝑚𝑜𝑙	𝐾
= 	1,43	 ×	10mx	𝐾 
 
3. Atividades para auto avaliação: Princípio da Equipartição da Energia 
3.1 Identifique o número de graus de liberdade das moléculas esquematizadas abaixo 
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3.2 Baseado no raciocínio acima, faça uma previsão dos valores de 𝑐³ para um gás monoatômico, 
diatômico e poliatômico em temperaturas próximas a 300 K, a partir dos graus de liberdade. 
1.5 Distribuição de velocidades moleculares 
A Figura 1.5 mostra um esquema experimental para medir as velocidades moleculares. Uma 
substância é vaporizada em um forno quente; as moléculas do vapor passam por uma fenda na parede 
do forno e atingem uma câmara a vácuo. Uma série de fendas bloqueiam todas as moléculas exceto 
aquelas que se deslocam em um feixe estreito dirigido para um par de discos que giram. As moléculas 
que passam no primeiro disco são bloqueadas no segundo disco, a menos que elas atinjam o segundo 
disco no momento que a fenda esteja alinhada com o feixe. Os discos funcionam como seletores de 
velocidade que deixam passar apenas as moléculas com velocidades dentro de um certo intervalo 
muito pequeno. Este intervalo pode ser alterado pela variação da velocidade de rotação dos discos de 
tal maneira que possamos medir o número de moléculas cujas velocidades estejam dentro do limite 
determinado pelos intervalos selecionados. Para descrever os resultados de tais medidas definimos 
uma função 𝑛(𝑣) denominada função de distribuição de velocidades. Se estamos medindo um total 
de N moléculas, o número 𝑑𝑁 de moléculas com velocidade entre 𝑣 e 𝑣	 + 𝑑𝑣 é dado por 
 𝑑𝑁 = 𝑁𝑛(𝑣)𝑑𝑣 (1-42) 
 
 
Figura 1.5: Esquema experimental usado para medir velocidades moleculares de moléculas de gás 
aquecidas. 
Podemos dizer também que que probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha uma 
velocidade no intervalo entre 𝑣 e 𝑣	 + 𝑑𝑣 é dada por 𝑛(𝑣)𝑑𝑣. Logo, 𝑛(𝑣)	é a probabilidade, por 
unidade de intervalo de velocidade – ela não é a probabilidade que de que uma molécula tenha uma 
velocidade exatamente igual a 𝑣. A Figura 1.6 mostra a função distribuição para diferentes 
temperaturas. Em cada temperatura, a altura da curva para qualquer valor de 𝑣 é proporcional ao 
número de moléculas na vizinhança de 𝑣. 
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Figura 1.6: Distribuição de velocidades em diferentes temperaturas. 
Na seção anterior, o conhecimento da velocidade média quadrática ou da energia cinética de 
translação média das moléculas de um gás não nos permitiu ter alguma noção de como as velocidades 
das moléculas individuais se distribuem em torno da média. Em alguns casos podemos, a partir do 
conhecimento deste valor médio da velocidade quadrática, obter informação suficiente para 
determinar algumas propriedades do gás como a pressão ou a temperatura. Em outros casos um 
conhecimento mais completo sobre a distribuição de velocidades pode ser necessário. 
Em um gás confinado em um recipienteem condições normais de temperatura e pressão o número 
de moléculas presentes no recipiente é da ordem de 1023 moléculas. Para este número gigantesco de 
moléculas é de certa forma razoável supor que as moléculas se encontram muito próximas uma das 
outras e que existe uma taxa muito grande de colisões entre elas (~ de bilhões de colisões por segundo 
para nitrogênio gasoso à 25 °C). É razoável também pensar que devido ao grande número de colisões, 
algumas moléculas podem possuir, por um certo momento, velocidade zero ou próximas deste valor 
bem como velocidades muito altas da ordem de 1000 m/s, mas que a maioria delas apresentam 
velocidades das próximas da velocidade quadrática média (vrms). Se as velocidades possíveis de todas 
as moléculas de gás fossem colocadas em um gráfico, ele teria a forma mostrada na Figura 1.7. A 
distribuição tem uma média bem definida e tende para zero tanto para a velocidades muito baixas 
quanto para velocidades muito altas. 
 
Figura 1.7: Representação da distribuição de velocidades moleculares por faixas de largura de v. 
Maxwell propôs a seguinte expressão matemática para a distribuição de velocidades mostrada na 
Figura 1.7 para uma amostra de gás à temperatura T contendo N moléculas, cada uma com massa m: 
 
𝑛(𝑣) = 4𝜋𝑁	 [
𝑚
2𝜋𝑘6𝑇
]
4/3
𝑣3𝑒m
�³�
3ÂÃa (1-43) 
38 TERMODINÂMICA BÁSICA
Ϯ͘ϱ͘��ŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽ�ĚĞ�ǀĞůŽĐŝĚĂĚĞƐ�ŵŽůĞĐƵůĂƌĞƐ
2�FRQKHFLPHQWR�GD�YHORFLGDGH�PpGLD�TXDGUiWLFD�RX�GD�HQHUJLD�FLQpWLFD�
GH�WUDQVODomR�PpGLD�GDV�PROpFXODV�GH�XP�JiV�QmR�QRV�SHUPLWLX�WHU�DOJXPD�
QRomR�GH�FRPR�DV�YHORFLGDGHV�GDV�PROpFXODV�LQGLYLGXDLV�VH�GLVWULEXHP�HP�
WRUQR�GD�PpGLD��(P�DOJXQV�FDVRV�SRGHPRV��D�SDUWLU�GR�FRQKHFLPHQWR�GHVWH�
YDORU�PpGLR�GD�YHORFLGDGH�TXDGUiWLFD��REWHU�LQIRUPDomR�VXÀFLHQWH�SDUD�GH�
WHUPLQDU�DOJXPDV�SURSULHGDGHV�GR�JiV�FRPR�D�SUHVVmR�RX�D�WHPSHUDWXUD��
(P�RXWURV�FDVRV�XP�FRQKHFLPHQWR�PDLV�FRPSOHWR�VREUH�D�GLVWULEXLomR�GH�
YHORFLGDGHV�SRGH�VHU�QHFHVViULR�
8P� JiV� FRQÀQDGR� HP� XP� UHFLSLHQWH� QDV� FRQGLo}HV� QmR�PXLWR� GLV�
WDQWHV�GDV�FRQGLo}HV�QRUPDLV�GH�SUHVVmR�H�WHPSHUDWXUD�SRUWDQWR�DSUHVHQ�
WDQGR�n�PROHV�GH�PROpFXODV��RX�VHMD��R�Q~PHUR�GH�PROpFXODV�SUHVHQWHV�QR�
UHFLSLHQWH�p�GD�RUGHP�GH������PROpFXODV��3DUD�HVWH�Q~PHUR�JLJDQWHVFR�GH�
PROpFXODV�p�GH�FHUWD�IRUPD�UD]RiYHO�SHQVDU�TXH�DV�PROpFXODV�VH�HQFRQWUDP�
PXLWR�SUy[LPDV�XPD�GDV�RXWUDV��TXH�H[LVWH�WD[D�PXLWR�JUDQGH�GH�FROLV}HV�
HQWUH�HODV��LVWR�GD�RUGHP�GH�ELOK}HV�SRU�VHJXQGR�SRU�H[HPSOR�SDUD�R�QLWUR�
JrQLR�DPELHQWDO�D�WHPSHUDWXUD�GH�����&�
e�UD]RiYHO�WDPEpP�SHQVDU�TXH�DV�PROpFXODV�HP�VXDV�PRYLPHQWDo}HV�
FRQVWDQWHV�SRGHP�DSUHVHQWDU�SRU�XP�FHUWR�PRPHQWR�DOJXPDV�PROpFXODV�
FRP�YHORFLGDGH�]HUR�RX�SUy[LPDV�GHVWH�YDORU�EHP�FRPR�DOJXPDV�PROpFXODV�
FRP�YHORFLGDGHV�PXLWR�JUDQGH�GD�RUGHP�GH������P�V�PDV�TXH�D�PDLRULD�GH�
ODV�DSUHVHQWDP�YHORFLGDGHV�GD�RUGHP�GD�YHORFLGDGH�TXDGUiWLFD�PpGLD��Yrms��
6H�IRVVHP�FRORFDGDV�WRGDV�DV��YHORFLGDGHV�HP�XP�JUiÀFR�WHULD�D�IRUPD�
VHJXLQWH��YHU�)LJ�������
)LJ��������5HSUHVHQWDomR�GD�GLVWULEXLomR�GH�YHORFLGDGHV�
moleculares por faixas de largura ǒY.
$�GLVWULEXLomR�WHP�XPD�PpGLD�EHP�GHÀQLGD�H�WHQGH�SDUD�]HUR�WDQWR�
SDUD�D�YHORFLGDGHV�PXLWR�EDL[DV�TXDQWR�SDUD�YHORFLGDGHV�DOWDV�
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𝑛(𝑣) = 4𝜋𝑁	 [
𝑀
2𝜋𝑅𝑇]
4/3
𝑣3𝑒m
ij�
3Åa 
onde 𝑛(𝑣)	é o número de moléculas com velocidades entre 𝑣 e 𝑣 + 𝑑𝑣 por intervalo unitário de 
velocidade e m = 1,67 x 10-24 g (= 1 unidade de massa atômica), M=massa molecular (g/mol). De modo 
equivalente dizemos que 𝑛(𝑣)𝑑𝑣 é o número de moléculas do gás com velocidade entre	𝑣 e 𝑣 + 𝑑𝑣 
. Obtemos N, número total de moléculas na amostra, pela integração: 
 𝑁 = Æ 𝑛(𝑣)𝑑𝑣
Ç
{
 (1-44) 
Para moléculas de oxigénio, à temperatura ambiente, a distribuição de velocidades de Maxwell é 
mostrada na Figura 1.8. 
 
Figura 1.8: Distribuição de velocidades de Maxwell para o oxigênio a temperatura de 100 K. 
O numero de moléculas com velocidades compreendidas entre dois limites quaisquer, 𝑣$ e 𝑣3, por 
exemplo, é igual à área entre o gráfico de 𝑛(𝑣) e o eixo horizontal. A área total sob a curva é igual a 
N. A distribuição 𝑛(𝑣) é caracterizada pela velocidade mais provável 𝑣^ que é o valor da velocidade 
para o qual 𝑛(𝑣) tem um máximo, pela velocidade média 〈𝑣〉 ≡ �̅� e pela velocidade média quadrática 
𝑣��  . 
A curva da distribuição de velocidade não é simétrica em torno da velocidade mais provável porque 
não há limite superior para a velocidade das moléculas. Logo a velocidade média é maior do que a 
velocidade mais provável. A velocidade média quadrática é ainda maior do que a velocidade mais 
provável. A medida que a temperatura aumenta, as três velocidades (𝑣^,	〈𝑣〉, 𝑣��  ) também 
aumentam e a curva se desloca para a direita isto de acordo com o raciocínio levantado na seção 
anterior de que as velocidades das moléculas de um gás aumentam com a temperatura. A Figura 1.8 
mostra ainda uma comparação da distribuição de velocidades de Maxwell para moléculas de oxigénio 
em duas temperaturas diferentes. Em geral as moléculas têm velocidades médias mais baixas em 
temperaturas menores. As áreas sob as curvas das duas distribuições são iguais, pois o número total 
de moléculas é o mesmo para os dois casos. Pela equação de Maxwell vê-se que as velocidades 
moleculares dependem da massa das moléculas assim como da temperatura do gás. Quanto menor a 
massa, maior a quantidade de moléculas em altas velocidades para uma dada temperatura. 
A equação (1-43) foi desenvolvida por Maxwell usando os conceitos da estatística para os movimentos 
aleatórios das moléculas de um gás. Desta forma, vamos fazer uso da estatística para explorar a 
equação (1-43) e deduzir as expressões para a velocidade média, para a velocidade média quadrática 
40 TERMODINÂMICA BÁSICA
)LJ��������'LVWULEXLomR�GH�YHORFLGDGHV�PROHFXODUHV�SDUD�
XP�JiV�FRQÀQDGR�HP�GXDV�WHPSHUDWXUDV�
$�)LJ������PRVWUD�XPD�FRPSDUDomR�GD�GLVWULEXLomR�GH�YHORFLGDGHV�GH�
0D[ZHOO�SDUD�PROpFXODV�GH�R[LJrQLR�j�GXDV� WHPSHUDWXUDV�GLIHUHQWHV��(P�
JHUDO� DV�PROpFXODV� WrP� YHORFLGDGHV�PpGLDV�PDLV� EDL[DV� D� WHPSHUDWXUDV�
PHQRUHV��$V�iUHDV�VRE�DV�FXUYDV�GDV�GXDV�GLVWULEXLo}HV�VmR�LJXDLV��SRLV�R�
Q~PHUR�WRWDO�GH�PROpFXODV�p�R�PHVPR�SDUD�RV�GRLV�FDVRV�
3HOD� �HTXDomR�GH�0D[ZHOO�Yr�VH�TXH�DV�YHORFLGDGHV�PROHFXODUHV�GH�
SHQGH�GD�PDVVD�GDV�PROpFXODV�DVVLP�FRPR�GD�WHPSHUDWXUD�GR�JiV��4XDQWR�
PHQRU�D�PDVVD��PDLRU�D�TXDQWLGDGH�GH�PROpFXODV�j�DOWD�YHORFLGDGH�SDUD�
XPD�GDGD�WHPSHUDWXUD�
$�HTXDomR��������IRL�GHVHQYROYLGD�SRU�0D[ZHOO�XVDQGR�RV�FRQFHLWRV�GD�
HVWDWtVWLFD�SDUD�RV�PRYLPHQWRV�DOHDWyULRV�GDV�PROpFXODV�GH�XP�JiV��'HVWD�
IRUPD��YDPRV�ID]HU�XVR�GD�HVWDWtVWLFD�SDUD�H[SORUDU�D�HTXDomR��������H�GH�
GX]LU�DV�H[SUHVV}HV�SDUD�D�YHORFLGDGH�PpGLD��SDUD�D�YHORFLGDGH�PpGLD�TXD�
GUiWLFD�H�SDUD�D�YHORFLGDGH�PDLV�SURYiYHO�GDV�PROpFXODV�GH�XP�JiV�j�XPD�
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PLQDU�R�VRPDWyULR�GH�WRGDV�DV�YHORFLGDGHV�QD�GLVWULEXLomR�GH�YHORFLGDGHV�
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³
f
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GR�D�WHPRV�
M
KT
M
RT
m
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SS
 (2.39)
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PD�OyJLFD�GD�YHORFLGDGH�PpGLD��XWLOL]DPRV�D�VHJXLQWH�H[SUHVVmR�
Gás ideal e Teoria Cinética dos Gases 
______ 
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20 
e para a velocidade mais provável das moléculas de um gás à uma determinada temperatura. Para se 
obter a velocidade média 〈𝑣〉 das moléculas, é necessário determinar o somatório de todas as 
velocidades na distribuição de velocidades molecularesde Maxwell e dividir o somatório pelo número 
N total de moléculas, obtendo-se a velocidade média através da seguinte integral. 
 〈𝑣〉 =
1
𝑁Æ 𝑣	𝑛
(𝑣)𝑑𝑣.
Ç
{
 (1-45) 
Substituindo 𝑛(𝑣) que é a equação (1-43) na integral (1-45) e integrando-a, temos: 
 〈𝑣〉 = ¡
8𝐾6𝑇
𝜋𝑚 =
¡8𝑅𝑇
𝜋𝑀 . 
(1-46) 
onde usamos 𝐾6𝑁8 	= 𝑅	e 𝑀 = 𝑁8𝑚.	Para calcularmos a velocidade média quadrática 𝑣��  , 
seguindo a mesma lógica da velocidade média, utilizamos a seguinte expressão: 
 〈𝑣3〉 =
1
𝑁Æ 𝑣
3	𝑛(𝑣)𝑑𝑣
Ç
{
= 	
3𝐾6𝑇
𝑚 =
3𝑅𝑇
𝑀 
(1-47) 
A velocidade média quadrática, que é a raiz quadrada de (1-47) , será então: 
 𝑣��  	= 	¨〈𝑣3〉 = 	¡
3𝐾6𝑇
𝑚 =
¡3𝑅𝑇
𝑀 
(1-48) 
A expressão (1-48) é idêntica à equação (1-19) deduzida na seção 1.3.2 deste capítulo. A velocidade 
mais provável é aquela em que a distribuição 𝑛(𝑣) atinge o valor máximo. Este valor é determinado 
pela diferenciação da expressão 𝑛(𝑣) em relação à 𝑣 e igualada a zero para se determinar a velocidade 
de pico (ponto de máximo, neste caso, da função 𝑛(𝑣)), ou seja	𝑑𝑛(𝑣) 𝑑𝑣b = 0. O resultado será 
então: 
 𝑣^ 	= 	¡
2𝐾6𝑇
𝑚 =
¡2𝑅𝑇
𝑀 
(1-49) 
Exemplo 10: Quais são a velocidade média 〈𝑣〉, a velocidade média quadrática 𝑣��  e a velocidade 
mais provável 𝑣^ das moléculas de oxigénio (massa molecular M=0,032) a 300 K? 
〈𝑣〉 = ¡
8𝑅𝑇
𝜋𝑀 =
¡[
8	 × 	8,314	 × 	300	
3,142	 × 0,032 ] = 445,5	𝑚/𝑠 
𝑣��  = ¡
3𝑅𝑇
𝑀 =
¡[
3	 × 	8,314	 × 	300	
0,032 ] = 483,6	𝑚/𝑠 
𝑣^ = ¡
2R𝑇
𝑀 =
¡[
2	 × 	8,314	 × 	300	
0,032 ] = 394,8	𝑚/𝑠 
A Maxwell deduziu a expressão para a distribuição de velocidades em 1859, porém somente em 1955 
foi feita a verificação experimenta de alta precisão dessa expressão pelos pesquisadores Miller e Kusch 
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21 
da Universidade de Columbia, usando o experimento mostrado na Figura 1.5. A experimentação 
realizada por Miller e Kusch concorda muito bem com a teoria de Maxwell para situações clássicas, 
porém falha quando as densidades são muito altas. Nesse limite, a expressão deduzida por Maxwell 
tem que ser corrigida por princípios da mecânica quântica, mas essa abordagem está fora do escopo 
desse texto. 
4. Atividades para auto avaliação: Distribuição de velocidades 
4.1 Com base na figura do problema calcule: (a) a velocidade mais provável (Vmp), (b) a velocidade 
média (Vm) e a (c)velocidade raiz média quadrática (Vrms) 
4.2 
4.3 Sabendo que a figura abaixo representa a curva de distribuição de velocidades, ordene T1, T2 e T3 
em ordem crescente de temperatura. 
 
1.6 Calor específico de gases a volume constante 
Para se determinar a capacidade calorífica de gases de um modo geral é necessário saber sob qual 
processo termodinâmico um gás em especial passa quando nele é adicionado calor. Estes processos 
podem manter o volume do gás constante ou a pressão do gás constante. Excetuando as situações 
em que ocorrem mudanças de fase (condensação), o calor adicionado a um gás é acumulado na forma 
da variação da energia interna Δ𝐸��¢ o que consequentemente irá variar sua temperatura. Em 
processos a volume constante, o gás poderá acumular o calor adicionado aumentando exclusivamente 
sua energia interna e consequentemente sua temperatura sem a realização de trabalho 
termodinâmico. Já em processos a pressão constante, o gás recebe calor, varia sua energia interna, 
varia sua temperatura e sofre um processo de expansão, realizando trabalho sobre a vizinhança. Na 
seção 1.4 vimos que a energia interna de um gás se relaciona também com os seus graus de liberdade. 
Desta forma, iremos recorrer àquela seção, para determinarmos a capacidade calorífica molar dos 
gases e em especial do gás ideal. 
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22 
A Figura 1.9a representa esquematicamente o movimento de um gás ideal monoatômico no interior 
de um recipiente a uma certa temperatura. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.9: (a) Molécula de um gás confinada em um recipiente em uma (a) temperatura e em uma 
temperatura (T + �T). Um gás ideal monoatômico só possui energia do tipo “energia cinética de 
translação. 
Ao fornecer calor a este sistema, mantendo o volume constante, o gás não realiza de trabalho sobre 
a vizinhança e todo o calor deve ser convertido em energia interna do gás conforme representado na 
Figura 1.9b. Dito de outra forma, para sair do estado termodinâmico representado na Figura 1.9a, à 
temperatura T, para o novo estado termodinâmico representado na Figura 1.9b, à temperatura T+DT, 
a quantidade de calor introduzida no sistema será exatamente igual a variação da energia interna 
(DEint) do gás. Assim 
 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢.	 (1-50) 
 
Para um gás monoatômico, com 3 graus de liberdade conforme mostrado em(1-34) , temos: 
 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	𝑛𝑐³ΔT = 	
3
2 𝑛𝑅ΔT 
∴ 	 𝑐³ =
3
2𝑅 = 12,47	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾	 
(𝒈á𝒔	𝒎𝒐𝒏𝒐𝒂𝒕ô𝒎𝒊𝒄𝒐) (1-51) 
 
Portanto, o calor específico à volume constante (𝑐³) de um gás monoatômico, tem valor constante e 
independente da temperatura do gás. 
 
Repetindo o mesmo procedimento para um gás ideal diatômico, temos: 
T< 100 K 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	 𝑐³ =
3
2𝑅 = 12,47	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾	 
(𝒈á𝒔	𝒅𝒊𝒂𝒕ô𝒎𝒊𝒄𝒐) (1-52) 100 K < T < 3000 
K 
𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	 𝑐³ =
5
2𝑅 = 20,79	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾 
T> 3000 K 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	 𝑐³ =
7
2𝑅 = 29,11	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾	 
 
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A Figura 1.10 mostra valores experimentais obtidos para 𝑐³ de gases diatômicos. Observe que 𝑐³ varia 
com o aumento da temperatura e que os platôs 𝑐³�
4
3
𝑅, M
3
𝑅, e x
3
𝑅 são bem característicos. Valores 
intermediários indicam apenas a distribuição estatística da população entre os respectivos estados. 
 
Figura 1.10: Valores experimentais de cv, o calor específico molar a volume constante, para o gás 
hidrogênio (H2). A temperatura é representada em escala logarítmica 
Para um gás ideal poliatômico temos: 
T< 100 K 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	𝑐³ =
3
2𝑅 = 12,47	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾	 
(𝒈á𝒔	𝒑𝒐𝒍𝒊𝒂𝒕ô𝒎𝒊𝒄𝒐) (1-53) 
100 K < T < 3000 K 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	𝑐³ =
6
2𝑅 = 24,94	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾 
 
A Tabela 2 apresenta os valores experimentais obtidos para 𝑐³	de alguns gases a 300 K. Note a 
excelente concordância dos valores medidos e calculados para gases mono e diatômicos. Este 
resultado mostra a validade do princípio de equipartição da energia, usado aqui para calcular a 
variação da energia interna dos gases ideais em função da temperatura. A discordância parcial 
verificada para os valores teóricos e experimentais de 𝑐³	para gases poliatômicos indica que as 
hipóteses usadas na construção da Teoria cinética dos gases, não se aplicam satisfatoriamente aos 
gases poliatômicos. 
Tabela 2: Calor específico molar de diferentes gases à temperatura ambiente (293 K). 
Calor específico molar a volume constante (293 K) 
Tipo de gás Gás cv (J/mol.K) 
Monoatômico He 12,47 
 Ar 12,47 
Diatômico H2 20,42 
 N2 20,76 
 O2 21,10 
 CO 20,85 
Poliatômico CO2 28,46 
 SO2 31,39 
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 H2S 25,95 
 
Conforme podemos observar na Tabela 3, os calores específicos dos sólidos variam de um material 
para outro. Entretanto, mostramos também nessa tabela que amostras de diversos sólidos contendo 
o mesmo número de átomos, e não a mesma massa, apresentam capacidade calorífica molar em 
torno de 25 J/ mol K. Esta observação foi primeiramente feita por Dulong e Petit em 1919, resultando 
daí a conhecida Lei de Dulong-Petit. 
 
Tabela 3: Calores específicos e molares de algumas substâncias. 
 Calor Específico 
(293 K) 
Calor Específico Molar 
(293 K) 
SubstânciaJ/kg.K cal/g.K J/mol.K 
Alumínio 900 0,215 24,3 
Bismuto 123 0,0294 25,7 
Chumbo 128 0,0305 26,4 
Cobre 386 0,0923 24,5 
Latão 380 0,092 - 
Ouro 126 0,0301 25,6 
Prata 233 0,0558 24,9 
Tungstênio 134 0,0321 24,8 
Zinco 387 0,0925 25,2 
 
Para poder entender a lei de Dulong-Petit recorremos ao modelo simples para sólidos como mostrado 
na Figura 1.11. De acordo com esse modelo, cada átomo tem uma posição fixa de equilíbrio e está 
conectado por molas hipotéticas aos seus vizinhos. 
 
Figura 1.11: As forças entre átomos vizinhos em uma rede cristalina podem ser modeladas imaginando-se 
os átomos interligados por molas 
Embora o princípio da equipartição da energia tenha sido derivado e utilizado no estudo de gases 
ideias, podemos aplica-lo a diferentes sistemas. Se fornecermos calor a um sólido, de acordo com o 
teorema da equipartição de energia, cada átomo do sólido irá receber a mesma quantidade de energia 
térmica e cada átomo irá armazenar a energia térmica recebida em partes iguais correspondentes ao 
seu número de graus de liberdade. Cada átomo vibra nas direções x, y e z. Quando um átomo vibra 
em uma direção ele tem dois graus de liberdade: um para a energia cinética de translação ($
3
𝑚𝑣3) e 
outro para energia potencial ($
3
𝑘𝑥3) para mola hipotética. Portanto, considerando o sólido 
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25 
tridimensional, temos 6 graus de liberdade. Ainda de acordo com o teorema da equipartição da 
energia, cada átomo do sólido tem energia média de 𝐾6𝑇 2⁄ por grau de liberdade. Usando a equação 
(1-32) temos então: 
 
 𝑑𝑄 = Δ𝐸��¢ 	⇒ 	𝑛𝑐³ΔT = 	
6
2 𝑛𝑅ΔT 
∴ 	𝑐³ = 3𝑅 = 24,9	
𝐽
𝑚𝑜𝑙. 𝐾	 
𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 (1-54) 
 
O valor indicado em (1-54) concorda com valores experimentais encontrados por Dulong e Petit para 
valores de 𝑐³ à temperatura ambiente. Porém, a capacidade térmica de um sólido depende da 
temperatura. A Figura 1.12 mostra a dependência de 𝑐³ para alguns sólidos em relação à temperatura. 
 
Figura 1.12: Capacidade calorifica molar a volume constante para alguns sólidos em função da 
temperatura. 
Em baixas temperaturas 𝑐³ decresce e tende a zero quando a temperatura do sólido também tende a 
zero. Isto se deve ao fato de alguns graus de liberdade se tornarem inativos em baixa temperaturas. 
Nesta região, os efeitos quânticos passam a ser importantes e a teoria quântica desenvolvida por 
Einstein e por Debye é aplicada para a compreensão do comportamento dos sólidos. Em altas 
temperaturas, digamos próximos de 600 K, 𝑐³ tende à 3R para a maioria dos sólidos. A temperatura 
em que 𝒄𝒗	está à 90 % de 3R é chamada de temperatura de Debye (TD) e tem um valor particular para 
cada sólido. 
Exemplo 11: Uma certa substância tem massa molar de 52,5 g/mol. Quando adicionamos 320 J de 
calor a uma amostra de 37,1 g desta substância, sua temperatura aumenta de 26,1 para 42 oC. (a) 
encontre o calor específico da substância. (b) Quantos moles da sustância estão presentes na 
mostra? (c) Calcule a capacidade calorífica da sustância. 
(a) 
𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇	 ∴ 𝑐 =
𝑄
𝑚∆𝑇 = 	
	320	𝐽	
0,0371	𝐾𝑔	 ×	 (315,15 − 299,25)	𝐾 = 	542,5
	𝐽
𝐾𝑔	𝐾	 
(b) 
𝑛 =
𝑚
𝑀	=
37,1
51,4 = 0,72	𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 
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26 
(c) 
𝐶 =
𝑄
𝑛∆𝑇 = 	
	320	𝐽	
0,72	𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠	 ×	(315,15 − 299,25)	𝐾 = 	27,9	
	𝐽
𝑀𝑜𝑙	𝐾	 
 
Exemplo 12: Próximo ao zero absoluto a capacidade molar calorífica do alumínio em J/(Mol K) varia 
com a temperatura absoluta T, da seguinte forma: c= (3,16 x 10-5)T3 . Qual o calor necessário para 
elevar a temperatura de 1,2 g alumínio de 6,6 para 15 K? A massa molecular do alumínio é MAl= 
27g. 
𝑛 =
𝑚
𝑀	=
1,2
27 = 0,044	𝑚𝑜𝑙𝑠 
𝑄 = Æ 𝑐(𝑇)𝑛𝑑𝑇
a�
aÏ
= 𝑛Æ 3,16	 ×	10mM	𝑇4𝑑𝑇
a�
aÏ
 
𝑄 = 0,044	 × 	3,16	 ×	10mM 	Ð
𝑇Ñ
4 	Ð
W,W
$M
 
𝑄 =
0,044	 × 	3,16	 ×	10mM
4 	
(50625 − 1897) 
𝑄 = 17	𝑚𝐽 
1.7 Exercícios de fixação 
1.7.1. Um tanque de 20,0L contém 0,225 Kg de hélio a 18ºC. A massa molecular do hélio é igual a 
4,00 g/mol. 
(a) Quantos moles de hélio existem no tanque? 
(b) Calcule a pressão no tanque em pascal e em atmosferas. 
1.7.2. Um tanque metálico com volume de 3,10 L deve estourar quando a pressão absoluta do ar 
em seu interior superar 100 atm. 
(a) Se 11,0 mol de um gás ideal for colocado no tanque a uma temperatura de 23ºC, até que 
temperatura o tanque pode ser aquecido antes que ele se rompa? Despreze a dilatação 
térmica do tanque 
(b) Com base na resposta do item (a) verifique se é razoável desprezar a dilatação térmica do 
tanque. Explique. 
1.7.3. A uma latitude de 11.000 m (uma altura típica para as viagens de avião a jato) a temperatura 
do ar é igual a 56,5 oC e a densidade do ar é igual a 0,364 Kg/m3. Qual é a pressão da atmosfera 
nesta altura? (Note que a temperatura nesta altura não é a mesma da superfície da Terra) 
1.7.4. Quantos moles existem em 1,00 Kg de água? Quantas moléculas? A massa molecular da água 
é igual a 18,0 g/mol. 
1.7.5. Considere uma certa massa de gás ideal. Compare as curvas que representam os processos a 
pressão constante, a volume constante e a temperatura constante em 
(a) um diagrama pV, 
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27 
(b) um diagrama pT e 
(c) um diagrama VT. 
(d) como estas curvas dependem da massa do gás escolhido? 
1.7.6. Um recipiente A contém um gás ideal sob pressão de 5,0x105 Pa e a temperatura de 300 K. 
Ele está ligado por um tubo fino ao recipiente C, cujo volume é quatro vezes o de A. Veja a figura. 
O recipiente B contém o mesmo gás ideal sob pressão de 1,0x105 Pa e à temperatura de 400 K. 
A válvula de conexão é aberta e o equilíbrio é atingido a uma pressão comum, enquanto a 
temperatura de cada recipiente é mantida constante e com seu valor inicial. Qual é a pressão 
final do sistema? 
 
1.7.7. Na temperatura de 0 oC e pressão de 1,000 atm as densidades do ar, oxigênio e nitrogênio 
valem, respectivamente, 1,293 Kg/m3, 1,429 kg/m3 e 1,250 kg/m3. Calcule a porcentagem, em 
massa, de nitrogênio no ar, a partir desses dados, supondo que apenas esses dois gases estejam 
presentes. 
1.7.8. Qual das curvas do gráfico abaixo apresenta maior temperatura? Por que? (b) Explique o 
processo de evaporação que ocorre em uma roupa no varal. 
 
1.7.9. Um recipiente contém dois gases ideais. Dois moles do primeiro gás estão presentes, com 
massa molar M1. As moléculas do segundo gás têm massa molar M2=3M1 e 0,5 mol deste gás 
está presente. Que fração da pressão total sobre a parede do recipiente é devida ao segundo 
gás? 
1.7.10. (a) Calcule a temperatura em que a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio 
é igual à velocidade de escape da superfície da Terra. Repita o cálculo para o oxigênio. (b) Efetue 
o mesmo cálculo para a lua, supondo que a aceleração da gravidade na sua superfície seja 0,16 
g. (c) A temperatura nas camadas mais altas da atmosfera da terra é aproximadamente 1.000 K. 
É de se esperar que haja muito hidrogênio lá? E muito oxigênio? 
1.7.11. Uma amostra de 4,34 moles de gás ideal diatômico experimenta um aumento de temperatura 
de 62,4K sob condições de pressão constante (considere o calor especifico molar à pressão 
constante cp = 5/2R) 
(a) Quanto calor se adicionou ao gás? 
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28 
(b) De quanto aumentou a energia interna do gás? 
(c) De quanto aumentou a energia cinética translacional interna do gás? 
1.7.12. A lei de Dalton afirma que, em uma mistura de gases que não interagem quimicamente, a 
pressão que cada constituinte exerce a uma certa temperatura é a mesma que exerceria seestivesse sozinho no recipiente, e que a pressão total é igual à soma das pressões parciais de 
cada gás. Deduza a lei de Dalton. 
1.7.13. O envoltório e a cesta de um balão de ar quente têm massa total de 249 kg, e o envoltório 
tem capacidade de 2.180 m3 Quando inflado completamente, qual deverá ser a temperatura do 
ar no interior do balão para que ele seja capaz de erguer 272 kg (além da sua própria massa)? 
Suponha que o ar circundante, a 18,0 oC, tenha densidade igual a 1,22 kg/m3. 
1.7.14. Nas CNTP (0 oC e 1,00 atm) o livre caminho médio dos átomos no hélio é 285 nm. Determine 
(a) o número de moléculas por metro cúbico e (b) o diâmetro efetivo dos átomos de hélio. 
1.8 Problemas 
1.8.1. Calcule o calor específico a volume constante do gás nitrogênio (N2) e compare com o calor 
específico da água líquida. A massa molecular do N2 é igual a 28,0 g/mol. 
1.8.2. Você aquece 1,00 Kg de água a volume constante de 1,00 L de 20,0 oC até 30,0 oC em uma 
chaleira. Usando-se a mesma quantidade de calor quantos quilogramas de ar a 20,0 oC você 
poderia aquecer de 20,0 oC para 30,0 oC? Que volume (em litros) este ar ocuparia a 20,0 oC e a 
pressão de 1,00 atm? Faça a hipótese simplificada de que o ar seja constituído por 100% de N2. 
1.8.3. Um frasco com volume de 1,50 L equipado com uma válvula, contém o gás etano (C2H6) a 
300K e pressão de uma atmosfera (1,03x105 Pa). A massa molar do etano é igual a 30,1 g/mol. O 
sistema é aquecido até uma temperatura de 380K mantendo-se a válvula aberta. A seguir a 
válvula é fechada e o frasco é resfriado até atingir a temperatura inicial. 
(a) Qual é a pressão final do etano no frasco? 
(b) Qual é a quantidade de etano em gramas, que permanece no frasco? 
1.8.4. Um tanque cilíndrico vertical com 0,900 m de altura possui a extremidade superior fechada 
por um pistão bem ajustado sem atrito e com massa desprezível. O ar dentro do cilindro está 
submetido a uma pressão absoluta igual a 1,00 atm. O pistão começa a descer quando 
introduzimos mercúrio em sua parte superior (ver figura). Até que profundidade o pistão descerá 
antes que o mercúrio comece a transbordar no topo do cilindro? A temperatura do ar é mantida 
constante. 
 
1.8.5. Quantos átomos você possui? Estime o número de átomos existentes no corpo de um aluno 
de física com 50 Kg. Note que o corpo humano é quase todo constituído por água, que possui 
massa molecular igual a 18,0 g/mol e que cada molécula de água contém 3 átomos. 
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1.8.6. Dado que (v) = 4πN	 i Ó
3ÔÕÖ
j
4/3
v3emÓ×�/ÕÖ, determine vØÓÙ, vÚ	e	〈v〉. 
1.8.7. Considere 5,00 mols de água líquida. 
(a) Qual é o volume ocupado por esta quantidade de água? A massa molecular da água é igual 
a 18,0 g/mol. 
(b) Imagine que todas as moléculas sejam, na média, uniformemente espaçadas, e cada 
molécula ocupa o centro de um pequeno cubo. Qual o comprimento da aresta do 
pequeno cubo sabendo que os cubos se tocam, mas não se superpõem? 
(c) Como este comprimento se compara com o diâmetro da molécula? 
1.8.8. Velocidade de escape 
(a) Mostre que um projétil de massa m pode “escapar” da superfície de um planeta quando 
ele for lançado verticalmente com uma energia cinética maior do que mgRp, onde g é a 
gravidade na superfície do planeta e Rp é o raio do planeta. Despreze a resistência do ar. 
(b) Caso o planeta considerado seja a terra, para qual temperatura a energia cinética 
translacional média da molécula de nitrogênio (massa molecular = 28,0 g/mol) se torna 
igual a energia cinética necessária para escapar? O que você diz sobre a molécula de 
hidrogênio (massa molecular = 2,02 g/mol)? 
(c) Repita o item (b) para a lua, onde g= 1,63 m/s2 e Rp = 1740 Km. 
(d) Enquanto a terra e a lua possuem temperaturas médias na superfície aproximadamente 
iguais, a lua não possui atmosfera. Use os resultados dos itens (b) e (c) para explicar por 
quê. 
1.8.9. Energia rotacional de gases diatômicos 
(a) Calcule a energia cinética rotacional total das moléculas de 1,00 mol de um gás diatômico 
a 300K. 
(b) Calcule o momento de inércia de uma molécula de oxigênio (O2) para a rotação em torno 
do eixo Oy ou do eixo Oz indicados na figura. Considere as moléculas como dois pontos 
com massa (representando os átomos de oxigênio) separados por uma distância igual a 
1,21x10-10m. A massa molecular dos átomos de oxigênio é igual a 16,0 g/mol. 
(c) Ache a velocidade angular quadrática média da molécula de oxigênio em torno do eixo Oy 
ou do eixo Oz indicados na figura. Como sua resposta pode ser comparada com a 
velocidade angular de um motor rápido típico (10.000 rotações/min)? 
1.8.10. A pressão de vapor é a pressão da fase vapor de uma substância que está em equilíbrio de 
fase envolvendo a fase líquida e a fase gasosa da substância. A unidade relativa é a pressão parcial 
do vapor d’água no ar dividida pela de vapor da água na mesma temperatura, podendo ser 
expressa como uma porcentagem. Dizemos que o ar está saturado quando a unidade relativa é 
igual a 100%. 
(a) A pressão de vapor da água a 20,0 oC é igual a 2,34x103 Pa. Se a temperatura do ar for 
igual a 20,0 oC e a unidade relativa for igual a 60%, qual será a pressão parcial do vapor 
d’água na atmosfera (ou seja, a pressão que seria exercida pelo vapor d’água caso ele 
estivesse sozinho)? 
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(b) Nas condições do item (a), qual é a massa da água em 1,00 m3 de ar? (A massa molecular 
da água é igual a 8,0 g/mol. Suponha que o vapor d’água possa ser considerado como um 
gás ideal. 
1.8.11. Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão P$, cujas 
moléculas têm massa m$, sendo vØÓÙ$ a sua velocidade média quadrática. O segundo recipiente 
contém moléculas de massa m3	à pressão 2P$ sendo sua velocidade média 〈v〉3 = 2vØÓÙ$. 
Calcule a razão m$/m3 , entre as massas de suas moléculas. 
 
1.8.12. Calcule a fração das partículas em um gás que se movem com energia cinética de translacional 
entre 0,1kT e 0,03 kT (Sugestão: Para E<< kT, o termo emÛ ÕÖb 	na equação 
n(E) = 3Ý
√Ô
	i $
ÕÖ
j
4/3
E$ 3b emÛ/ÕÖ pode ser substituído por 1 − E kTb . Explique o por quê? 
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RESPOSTAS: Atividades de auto avaliação 
5. Atividades para auto avaliação: Modelo Atômico e Propriedades dos Gases 
5.1 A existência de átomos não era bem aceita por muitos cientistas até 1827, quando Robert Brown 
observando um grão de pólen flutuando na água descobriu que ele se move continuamente de 
maneira aleatória. As figuras abaixo são evidências experimentais da existência dos átomos. (a) 
Uma representação das partículas de resina observadas por Perrin em 1909. As linhas horizontais 
representam camadas separadas entre si de 0,01 cm e o diâmetro das partículas é de 0,6 x 10-13 
cm. (b) O movimento de uma partícula minúscula, em suspensão na água é observado ao 
microscópio. Os pequenos segmentos lineares ligam a sua posição em intervalos consecutivos de 
30 segundos Como o que é visto nas figuras evidencia o caráter atômico da matéria? 
 
As mudanças de direção do movimento evidenciam a presença de partículas colidindo com a partícula 
observada. Cada redirecionamento indica a colisão de uma partícula de água com o pólen. 
Sabe-se que Na (número de Avogadro) é 6,02x 1023 moléculas. Se Na fosse muito maior, como isso 
afetaria a figura? E se fosse muito menor? 
No primeiro caso as taxas de colisão seriam muito maiores e a intensidade do movimento seria 
reduzida (no sentido oposto ao movimento da partícula suspensa); no segundo caso o inverso 
aconteceria, as colisões seriam menos freqüentes e a intensidade do movimento aumentada. 
5.2 Quais dasequações abaixo são equações de estado? Justifique sua resposta! 
(a) 𝐿 = 𝐿{ |1 +	
a
}8
+ 	𝛼(𝑇 − 𝑇{)�; L=comprimento, T=Temperatura, A=Área Y=módulo de Young 
(b) 𝑀 = 𝐶�
�
a
; M=magnetização, H=Campo Magnético, T=Temperatura 
(c) 𝜎 = 𝜎� i
a�ma
a�ma�
j; 𝜎 =tensão supercial, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(d) 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(e) i𝑝 +	 �
��
j (𝑉 − 𝑏) = 𝑛𝑅𝑇; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
(f) 𝑝 = −𝛽 i�
��
j
�
ln i�
��
j; P=pressão, V=volume, T=Temperatura, n=numero de mols 
Uma equação de estado não tem variáveis microscópicas. Todas as equações de citadas são exemplos 
de equações de estado. No caso (a) temos a equação da variação do comprimento de um fio ou barra 
metálica sob tensão, onde T=F/A é a tensão e α é o coeficiente de dilatação linear. No caso (b) temos 
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a equação de estado para uma substância paramagnética, onde M é o momento magnético e H o 
campo magnético. Câ é a constante de Curie. No caso (c) temos a equação para uma membrana 
superficial de um líquido (interface). σ é a tensão superficial e Tä é a temperatura crítica. Nos casos (d) 
e (e) temos as bem conhecidas equações de gás ideal e de gás de van der Waals, respectivamente e 
no caso (f) é uma equação de estado para sólidos cristalinos. 
5.3 Os gráficos abaixo descrevem o comportamento de um gás que tem sua pressão variada em 
função do número de moles, com volume e temperatura constante. Posteriormente a pressão é 
variada em função da temperatura, mantendo constante o número de mols e o volume; e por último 
a pressão é variada em função do volume, mantendo constante o número de moles e a temperatura. 
A partir da observação dos gráficos encontre as relações entre p, V, T e n. 
 
p ∝ n																																											p ∝ T																																	p ∝ 1 V⁄ 			 
5.4 Como se relacionam o número de partículas e o número de moles? 
Um mol de qualquer elemento ou composto tem 6,02 x 1023 moléculas/mol. Este é chamado número 
de Avogadro (NA). Portanto o número de partículas N é o número de moles n vezes o número de 
moléculas por mol NA, ou seja N = nNQ. 
5.5 Como se relacionam a massa molar e a massa de uma molécula? 
A massa molar M é a massa de um mol de uma dada substância. Se em 1 mol existem NA moléculas 
a massa de uma molécula m pode ser obtida dividindo-se a massa molar pelo número de moléculas 
NA, ou seja m = M/NQ. 
5.6 Qual é a diferença entre um gás real e um gás ideal? 
Um gás ideal é uma simplificação que essencialmente considera que as moléculas não interagem entre 
si e existem em grande número; apesar do número de partículas por unidade de volume ser baixo. No 
limite de baixas pressões e altas temperaturas todo gás se comporta como um gás ideal. pV = 	nRT		é 
sempre válido nestas condições. 
Se levarmos em conta o volume de cada molécula que constitui o gás e a redução na pressão devido 
à interação entre as moléculas mais próximas, obtemos uma equação de estado que descreve bem o 
comportamento da maioria dos gases reais. Essa equação de estado é conhecida como Equação de 
van der Waals.	ip + çè
�
é�
j (V − nb) = 	nRT, 
onde as constantes a e b são empiricamente determinadas para cada gás, a depende da força de 
atração entre as moléculas e b representa o volume físico de 1 mol de átomos/moléculas. Assim nb 
é o volume total das moléculas. O termo (V-nb) é o volume disponível para o movimento das 
moléculas. O termo çè
�
é�
 representa a diminuição da pressão provocada pela atração intermolecular. 
 
6. Atividades para auto avaliação: Cálculo cinético molecular da pressão e da temperatura 
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6.1 O modelo do gás ideal pressupõe as seguintes condições: 
(a) O gás é constituído de moléculas 
(b) O número total de moléculas deve ser muito grande 
(c) Os movimentos são desordenados e seguem as Leis de Newton 
(d) O volume ocupado por cada molécula deve ser muito menor que o volume do recipiente 
(e) As colisões são elásticas e de duração ínfima ∆𝑇 → 0 
(f) As forças de interação só são apreciáveis durante as colisões. 
Discuta quais as razões pelas quais cada uma dessas aproximações é feita. 
Para que no equilíbrio todas as partículas possam ser consideradas idênticas, e permita uma conexão 
entre suas propriedades termodinâmicas macroscópicas e suas propriedades microscópicas. 
Para supor que mesmo que a velocidade de uma molécula mude sempre haja alguma outra se 
movendo da mesma forma tal que a distribuição de velocidades se mantenha. 
Para supor que a mecânica newtoniana seja válida no nível microscópico e que as moléculas se movam 
para todos os lugares com velocidades variadas. 
Para levar em conta que o volume das moléculas do gás é muito menor que o volume do recipiente, 
como forma de indicar que o volume das moléculas é desprezível. 
Para garantir a conservação do momentum linear. 
Para que o alcance das forças moleculares seja pequeno com relação à separação entre elas, além de 
supor que entre as colisões a velocidade permaneça constante. 
6.2 Mostre que 𝑝𝑉 = 3
4
𝑁〈𝐾¢�〉 
A energia cinética translacional média equivale a 〈𝐾¢�〉 =
�〈³�〉
3
 para cada molécula então 
considerando N moléculas temos: 
𝐾¢� =
𝑁𝑚〈𝑣3〉
2 	 ∴ 2𝐾¢� = 𝑁𝑚
〈𝑣3〉	 
𝑝 =
𝜌〈𝑣3〉
3 	 ∴ 𝑝 =
𝑁𝑚〈𝑣3〉
3𝑉 	 
Logo 
𝑝𝑉 =
𝑁𝑚〈𝑣3〉
3 =
2
3𝑁
〈𝐾¢�〉 
6.3 Partindo de 𝑝𝑉 = 	𝑛𝑅𝑇 mostre que a equação de um gás ideal pode ser expressa numa base 
molecular, ou seja 𝑝𝑉 = 	𝑛𝑅𝑇. 
A razão da Constante Universal dos Gases Ideais pelo nº de Avogadro. 𝐾6 =
Å
�ê
 é chamada de 
Constante de Boltzmann . Se o número total de moléculas é igual ao número de Avogadro multiplicado 
pelo nº de moles 𝑁 = 𝑛𝑁8, então: 
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 =
𝑁
𝑁8
(𝑁8𝐾6)𝑇 
𝑝𝑉 = 𝑁𝐾6𝑇 
Gás ideal e Teoria Cinética dos Gases 
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6.4 Compare a energia cinética translacional média de n moles de um gás ideal com a Energia cinética 
translacional média da molécula de um gás? 
Como a energia cinética translacional por mol é igual a 〈𝐾¢�〉 =
�〈³�〉
3
 vezes o número de graus de 
liberdade (f) . Para um monoatômico f=3. assim: 
〈𝐾¢�〉��ë = 3d
𝑚〈𝑣3〉
2 f =
3
2𝑝𝑉 = 	
3
2𝐾6𝑇 = [
𝑅
𝑁8
]𝑇 
Lembrando que 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 = 𝑁𝐾6𝑇 
 
7. Atividades para auto avaliação: Princípio da Equipartição da Energia 
7.1 Identifique o número de graus de liberdade das moléculas esquematizadas abaixo: 
 
Grau de liberdade se relaciona com distinguibilidade. Observe na figura que em um gás monoatômico, 
as moléculas podem se mover em três direções distintas (figura a). No gás diatômico além de ter essas 
três possibilidades de movimento, as moléculas podem rodar em torno de dois eixos (por exemplo X 
e Z (figura b). Atenção: uma rotação de qualquer grau que seja em torno do seu próprio eixo horizontal 
– por exemplo em torno do eixo Y - não permite distinguir a molécula, portanto não é um grau de 
liberdade. Num gás poliatômico as moléculas têm três possibilidades de translação associadas ao 
deslocamento do centro de massa, mais três de rotação independentes passando pelo centro de 
massa (figura c). Importante lembrar que se o gás for composto por moléculas de dois ou mais átomos 
cada possibilidade de vibração dos átomos conta como um novo grau de liberdade. Exemplo, para um 
gás diatómico, cada átomo pode vibrar em torno de sua posição de equilíbrio sujeito a ação 
restauradora da força associada à ligação química. Assim, existem dois graus de liberdade vibracionais, 
um para cada átomo. Contar graus de liberdade vibracionais em moléculas poliatômicas é uma tarefa 
complicada. Além disto,