Analise Dimensional Pre-Aula

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
 
Análise Dimensional 
 
 
Podemos dividir as grandezas físicas entre fundamentais e derivadas. As grandezas fundamentais 
não são definidas em termos de outras e o seu número é o mínimo possível para obter uma descrição 
coerente dos fenômenos. 
 
As grandezas derivadas podem ser, sempre, expressas por uma constante que multiplica potências 
arbitrárias das grandezas fundamentais. 
 
Em MECÂNICA, as grandezas fundamentais são: 
 
• Massa – M 
• Espaço – L 
• Tempo - T 
 
 
Assim, na mecânica, qualquer grandeza derivada pode ser expressa em função dessas três. Por 
exemplo, considere uma grandeza x, 
 
[x] = MaLbTc. 
 
A equação acima á chamada de fórmula dimensional da grandeza x (observe que representamos a 
fórmula dimensional com o símbolo da grandeza entre colchetes), e as potências a, b e c são 
denominadas dimensões das grandezas fundamentais M, L e T. 
 
Observação: Convenção 
 
• Dimensão de m: [m] = M 
• Dimensão de l: [l] = L 
• Dimensão de t: [t] = T 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1) Área: A equação para a área de um retângulo com lados medindo x e y é A = x.y 
 
A fórmula dimensional é 
 
[A] = [x].[y], 
 
como x e y são comprimentos, então [x] = L e [y] = L, logo 
 
 
[A] = [x].[y] = L.L = L2. 
 
Dizemos que a área tem dimensão de espaço ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
 
2) Densidade: Por definição, para um corpo homogêneo, ρ = m/V 
 
A fórmula dimensional é 
 
[ρ] = [m]/[V] 
 
como m é massa, [m] deve ter dimensão de massa, isto é, [m] = M. E V deve ter dimensão de 
comprimento ao cubo, então e [V] = L3, logo 
 
[ρ] = [m]/[V] = M/L3 = M.L-3. 
 
Note que a análise dimensional das grandezas é independente da unidade, mas, uma vez feita a 
análise dimensional, a determinação das unidades de medida fica simples. Por exemplo, se 
usamos o S.I. sabemos que massa é medida em kg e espaço em m, portanto teremos 
 
[ρ] = kg/m3 = kg.m-3. 
 
Se usamos o CGS, a massa é medida em g e espaço em cm, portanto 
 
[ρ] = g/cm3 = g.cm-3. 
 
 
 
 
 
3) Velocidade: Por definição, a velocidade é dada por v = dx/dt 
 
A fórmula dimensional é 
 
[v] = [dx]/[dt] 
 
como dx é um intervalo (infinitesimal) de espaço, [dx] deve ter dimensão de espaço, isto é, [dx] = L. 
E dt (intervalo infinitesimal de tempo) deve ter dimensão de tempo, então e [dt] = T, logo 
 
[v] = [dx]/[dt] = L/T = L.T-1. 
 
 
 
 
 
Princípio da homogeneidade dimensional 
 
Se tivermos uma equação física que consiste em uma soma algébrica de diversos termos, a 
dimensão de qualquer das grandezas fundamentais em um dos termos deve ser a mesma que em 
qualquer um dos outros. (Fourier) 
 
Este princípio pode ser usado na determinação de equações que relacionam grandezas físicas, 
apenas impondo à equação que ela seja dimensionalmente homogênea. 
Vamos analisar alguns casos. 
 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
1) Equação horária do movimento 
 
x = x0 + v0t + ½ at2 
 
A equação dimensional se escreve com os colchetes 
 
[x] = [x0] +[v0][ t ]+ ½ [a][ t ]2 
 
Note que o fator ½ fica fora da análise, pois é uma constante adimensional, ou seja, não tem 
dimensão. 
Agora identificando as dimensões de cada termo, [x] = L, [x0] = L, [v0] = L.T-1, [ t ] = T e [a] = L.T-2, o 
que nos permite escrever 
 
L = L + L.T-1 T+ L.T-2 T2. 
 
O termo do lado esquerdo tem dimensão de comprimento, portanto, segundo o princípio da 
homogeneidade dimensional, todos os outros termos da equação devem ter dimensão igual. O 
primeiro termo do lado direito satisfaz essa exigência. Notando que o segundo termo L.T-1 T = L e 
que o último termo L.T-2 T2 = L. Isso mostra que todos os termos têm dimensão de comprimento, ou 
seja, a equação é dimensionalmente homogênea. 
 
2) Equação horária da velocidade 
 
v = at 
 
A equação dimensional se escreve com os colchetes 
 
[v] = [a][ t ] 
 
Identificando as dimensões de cada termo, [v] = L.T-1, [a] = L.T-2 e [ t ] = T, o que nos permite escrever 
 
L.T-1 = L.T-2 T. 
 
Como T-2 T = T-1, segue que a equação satisfaz o princípio da homogeneidade dimensional. 
 
3) Soma das equações horárias 
 
v + x 
 
A equação dimensional se escreve com os colchetes 
 
[v] + [x] 
 
Temos [v] = L.T-1, [x] = L, o que nos permite escrever 
 
L.T-1 + L, 
 
Ou seja, a expressão acima não satisfaz o princípio da homogeneidade dimensional, portanto não é 
dimensionalmente homogênea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
 
 
Determinação de equações através do princípio da homogeneidade dimensional 
 
 
 
O princípio de homogeneidade dimensional é uma poderosa ferramenta na determinação de 
equações que modelam comportamento de sistemas físicos. Para isso apenas precisamos impor 
que a equação seja homogênea. 
 
Consideremos o caso de um pêndulo simples. O Pêndulo simples (figura) 
consiste em uma massa m pendurada por uma corda de comprimento l ( e 
massa pequena o suficiente para pode ser desprezada) sob ação do campo 
gravitacional da Terra. 
 
O movimento pendular é um movimento periódico, ou seja, que se repete 
em intervalos de tempo regulares. Segue pois, que a grandeza física de 
interesse nesse sistema é o período de oscilação t, ou seja, o intervalo de 
tempo que o pêndulo leva para fazer uma oscilação completa. 
 
 
Notando que as grandezas físicas do sistemas são a massa pendular m, o comprimento l do pêndulo 
e a aceleração gravitacional g, o período t deve depender dessas grandezas ou seja, 
 
t = k ma lb gc. 
 
onde incluímos as potências a, b e c das grandezas do sistema que são, em princípio, 
desconhecidas, e as quais queremos determinar. Também incluímos uma constante k, adimensional, 
que só pode ser determinada experimentalmente. 
Escrevendo a equação dimensional, 
 
 t = k ma lb gc. 
 
Lembrando que todas as grandezas devem ser combinação das grandezas fundamentais M, L e T, 
temos que [ t ] = M0L0T1, [m] = M, [ l] = L e [g] = L.T-2. Podemos então escrever, 
 
M0L0T1 = Ma Lb ( L.T-2)c, 
então 
M0L0T1 = Ma Lb LcT-2c, 
 
e 
M0L0T1 = Ma Lb+cT-2c. 
 
 
Agora, impondo que a expressão seja homogênea, a dimensão das grandezas fundamentais deve 
ser a mesma nos dois lados da equação, ou seja, por comparação dos dois lados da equação 
 
0 = a 
 0 = b+c 
 1 = -2c, 
 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
 
De modo que as potências a, b e c ficam completamente determinadas: 
 
a = 0 
b = ½ 
c = -½, 
 
e agora temos uma expressão para o período de oscilação do pêndulo 
 
t = k m0 l½ g-½. 
Que também pode ser escrita como 
 
 
 
Note que ao determinarmos a potência a = 0 para a massa do pêndulo, percebemos que o período 
de oscilação do pêndulo independe da massa. 
 
Exercícios 
 
 
1) Determine a dimensão das seguintes grandezas: aceleração a, Energia potencial 
gravitacional U, Força F, Pressão p, Constante elástica K e potência P. 
 
a) a = dv/dt 
b) U = mgh 
c) F = ma 
d) p = F/A 
e) F = K.x 
f) P = U/Δt 
 
 
2) A partir das dimensões obtidas no exercício anterior, quais as unidades de medidas das 
grandezas aceleração a, Energia potencial gravitacional U, Força F, Pressão p, Constante 
elástica K e potência P no S.I.? 
 
g) a : 
h) U : 
i) F : 
j) p : 
k) K : 
l) P : 
 
 
 
3) Determine uma expressão para a aceleração centrípeta, a menos da constante k, de um 
corpo que se move num círculo de raio R a uma velocidade v cujo módulo é constante. 
Obtenha a expressão para ac supondo que esta dependa apenas dessas duas grandezas, R 
e v. 
 
 
 
 
t = k
s
l
g
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
Escola Politécnica 
 
 
 
 
Gabarito 
1) a) L.T-2 b) M.L2.T-2 c) M.L.T-2 
 
2) g) m/s2 h) kg.m2/s2 i) kg.m/s2 
 
3) ac = k v2/R