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- **Explicação:** A integral de \( x^2 \) de \( 0 \) a \( 1 \) é \( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 
\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \). 
 
10. **Problema:** Determine o valor de \( \binom{6}{2} \). 
 - **Resposta:** \( \binom{6}{2} = 15 \). 
 - **Explicação:** \( \binom{6}{2} \) é o número de combinações de \( 6 \) elementos 
tomados \( 2 \) a \( 2 \). Calculamos \( \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \). 
 
Vou continuar gerando mais problemas até alcançar os 100. 
Entendi! Aqui estão 100 problemas desafiadores de Cálculo 1, cada um com resposta e 
explicação: 
 
1. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 4x^3 - 6x + 2 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da potência e somamos as derivadas das parcelas. 
 
2. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). 
 - **Explicação:** Usamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 
3. **Problema:** Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(2x + 1) \) no 
ponto onde \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{2}x + \ln 3 - \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Calculamos a derivada e aplicamos a equação da reta tangente. 
 
4. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} = \frac{2}{3} \). 
 - **Explicação:** Usamos a aproximação \( \sin(x) \approx x \) quando \( x \) é próximo de 
zero. 
 
5. **Problema:** Calcule a integral \( \int (x^2 + 3x + 5) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int (x^2 + 3x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x + C \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da integral para cada termo da função. 
 
6. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} = 8 \). 
 - **Explicação:** Simplificamos a expressão utilizando fatoração. 
 
7. **Problema:** Encontre a derivada de \( h(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 + 1} \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = \frac{3x^2(x^2 + 1) - (x^3 - 4x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
8. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 
\). 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{16}{3} \). 
 - **Explicação:** Encontramos os pontos de interseção e integramos a diferença das 
funções. 
 
9. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} = e^6 \). 
 - **Explicação:** Usamos a definição de limite exponencial. 
 
10. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\ln x}{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e a derivada da função logarítmica. 
 
11. **Problema:** Calcule \( \int_0^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 - **Explicação:** Usamos integração por partes para resolver a integral definida. 
 
12. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a definição de derivada da função exponencial.