Raciocínio Quantitativo

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Marília Valério Rocha
Raciocínio quantitativoA Série Universitária foi desenvolvida pelo Senac São 
Paulo com o intuito de preparar profissionais para o 
mercado de trabalho. Os títulos abrangem diversas 
áreas, abordando desde conhecimentos teóricos e 
práticos adequados às exigências profissionais até a 
formação ética e sólida.
O livro Raciocínio quantitativo apresenta os principais 
conceitos matemáticos aplicados na área de 
negócios. Entre os temas abordados estão a teoria 
dos conjuntos, equações e sistemas lineares, 
proporcionalidade, funções e suas representações. 
O objetivo é proporcionar ao leitor uma visão das 
ferramentas matemáticas empregadas na modelagem 
de problemas.
SÉRIE 
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Simone M. P. Vieira – CRB 8a/4771) 
Rocha, Marília Valério 
Raciocínio quantitativo / Marília Valério Rocha. – São Paulo: Editora 
Senac São Paulo, 2021. (Série Universitária) 
Bibliografia. 
e-ISBN 978-65-5536-894-9 (ePub/2021) 
e-ISBN 978-65-5536-895-6 (PDF/2021) 
1. Matemática 2. Equação de 1º e 2º. Grau (Matemática) 3. Equação 
linear e quadrática (Matemática) 4. Funções e gráficos (Matemática) 
5. Função de 1º e 2º Grau (Matemática) I. Título. II. Série. 
21-1396s CDD – 510 
BISAC MAT000000 
Índice para catálogo sistemático 
1. Matemática 510 
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aterial para uso exclusivo de aluno m
atriculado em
 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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RACIOCÍNIO QUANTITATIVO 
Marília Valério Rocha 
 
 
 
 
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Sumário 
Capítulo 1 
Conjuntos, 7 
1 Conjuntos, 8 
2 Conjuntos numéricos, 18 
3 Reta real, 21 
4 Aplicações, 23 
Considerações finais, 25 
Referências, 25 
Capítulo 2 
Equações lineares e 
quadráticas, 27 
1 Equação, 28 
2 Equação linear ou de 1º grau, 32 
3 Equação quadrática ou de 
2º grau, 32 
4 Sistema de coordenadas 
cartesianas, 35 
5 Equação da reta, 38 
Considerações finais, 49 
Referências, 49 
Capítulo 3 
Sistemas de equações lineares 
e quadráticas, 51 
1 Sistemas de equações, 52 
2 Aplicações, 65 
Considerações finais, 66 
Referências, 66 
Capítulo 4 
Proporcionalidade e regra de 
três, 67 
1 Razão, 68 
2 Proporção, 69 
3 Grandezas diretamente 
proporcionais, 70 
4 Grandezas inversamente 
proporcionais, 73 
5 Porcentagem, 76 
6 Escala, 81 
7 Aplicações: divisão proporcional, 84 
Considerações finais, 87 
Referências, 87 
Capítulo 5 
Funções e gráficos, 89 
1 Função, 90 
2 Função definida por partes, 103 
3 Aplicações, 104 
Considerações finais, 106 
Referências, 106 
Capítulo 6 
Funções de 1º e 2º graus, 107 
1 Função do 1º grau ou afim, 108 
2 Inequações do 1º grau, 118 
3 Função do 2º grau ou 
quadrática, 120 
4 Inequação do 2º grau, 125 
Considerações finais, 129 
Referências, 129 
Capítulo 7 
Exponencial e logaritmos, 131 
1 Potenciação, 132 
2 Equação exponencial, 135 
3 Função exponencial, 137 
4 Logaritmo, 142 
5 Equação logarítmica, 145 
6 Função logarítmica, 147 
Considerações finais, 152 
Referências, 152 
Capítulo 8 
Representações gráficas, 153 
1 Tipos de gráficos, 154 
2 Pontos de atenção, 163 
3 Aplicações, 166 
Considerações finais, 170 
Referências, 170 
Sobre a autora, 173 
7 
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Capítulo 1 
Conjuntos 
Neste capítulo, são apresentados os principais conceitos da Teoria 
dos Conjuntos, os conjuntos numéricos e a reta real e seus intervalos. 
Esses conceitos são empregados para delimitar o universo de um pro-
blema na área de negócios. 
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1 Conjuntos 
1.1 Conceitos primitivos 
As noções de conjunto, elemento e pertinência são conceitos primiti-
vos, ou seja, são entendidos sem definições. Um conjunto nos dá a ideia 
de coleção ou agrupamento de elementos. Por exemplo, o conjunto das 
vogais. Cada elemento pertence (∈) ao seu conjunto. 
O conjunto V, das vogais, é composto de cinco elementos: a, e, i ,o, u. 
O elemento a pertence ao conjunto das vogais. Os conjuntos são iden-
tificados por letras maiúsculas e seus elementos são apresentados em 
letras minúsculas, quando possível, e entre chaves. 
• V: conjuntodas vogais; exemplo: V = {a, e, i, o, u}. 
• a ∈ V (o elemento a pertence a V) e b ∉ V (o elemento b não per-
tence a V). 
• n (V) = 5 (o conjunto V é composto de 5 elementos). 
É possível identificar o número de elementos de um conjunto (n) 
quando este é um conjunto finito, ou seja, quando apresenta um núme-
ro finito de elementos. Há também os conjuntos infinitos (com infinitos 
elementos). Neste caso, os elementos iniciais são apresentados entre 
vírgulas, seguidos de três pontos. Os primeiros elementos permitem 
identificar a lei de formação do conjunto. 
• I = {1, 3, 5, 7, 9, …}. Os elementos listados informam que o conjunto 
infinito I é o conjunto dos números ímpares positivos. 
• C = {…, −12, −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, …}. Os elementos listados infor-
mam que o conjunto infinito C é o conjunto dos números inteiros 
múltiplos de 3. 
9 Conjuntos
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• K = {0, 1, 2, 3, …, 100}. Os elementos listados informam que o conjun-
to finito K é o conjunto formado pelos números inteiros de 0 a 100. 
Os conjuntos finitos podem ser representados graficamente por um 
diagrama de Euler-Venn. O conjunto unitário apresenta um único ele-
mento e o conjunto vazio (∅ ou { }) não tem elementos. 
A figura a seguir mostra representações de conjuntos por meio dos 
diagramas de Venn: o conjunto V, das vogais (com cinco elementos), o 
conjunto A (unitário) e B (vazio). 
Figura 1 – Diagramas de Venn 
A 
5 
Nome do conjunto 
V 
Elementos 
i 
e 
uo 
B 
a 
1.2 Conjunto universo 
De acordo com Iezzi e Murakami (1993, p. 21), podemos descrever 
um conjunto por uma propriedade: 
• A = {x ⁄ x é divisor inteiro de 5}. O conjunto A é composto pelos 
elementos {1, −1, 5, −5}. 
• B = {k ⁄ k é inteiro e 0 ≤ k < 5}. O conjunto B é composto pelos 
elementos {0, 1, 2, 3, 4}. 
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• C = {c ⁄ c é inteiro ímpar e 1 < c < 3}. O conjunto C é vazio (B = ∅ ou 
B = { }). 
Observe que o elemento x foi identificado como pertencente ao con-
junto dos números inteiros. Portanto, os elementos listados formam um 
subconjunto dos inteiros que obedecem também a outro critério: em 
A, é inteiro e divisor de 5; em B, é inteiro e está entre 0 (inclusive) e 5 
(exclusive); em C, é inteiro ímpar e está entre 1 e 3. Então, o conjunto 
universo (U) é o conjunto dos inteiros. Lembramos que Z = {… −3, −2, −1, 
0, 1, 2, 3, …}. 
Nos exemplos dados, temos que A = {x ∈ Z ⁄ x é divisor de 5}, B = {k 
∈ Z ⁄ 0 ≤ k < 5} e C = {c ∈ Z ⁄ c é ímpar e 1 < k < 3}. 
1.3 Subconjuntos 
O conjunto S é um subconjunto de um conjunto T se todo elemento 
de S pertence à T. Indicamos por S ⊂ T (o conjunto S está contido em T), 
ou T ⊃ S (T contém S). 
Analisando os conjuntos K = {1, 3, 7, 8}, L = {8, 1, 3, 7}, M = {8, 1, 3} e N 
= ∅ e elaborando o diagrama de Euler-Venn, observe a figura 2. 
Figura 2 – Diagrama de Euler-Venn dos conjuntos K, L, M e N 
K 
7 
L 
81 
3
M 
N 
Os conjuntos K e L são iguais, ou seja, apresentam os mesmos ele-
mentos). Note que não há ordem para listar os elementos do conjunto. 
11 Conjuntos
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Se os conjuntos apresentam elementos diferentes, eles são chamados 
de distintos. Portanto, K = L. 
• O conjunto M está contido em K (M ⊂ K), ou K contém M (K ⊃ M). 
• O conjunto M está contido em L (M ⊂ L), ou L contém M (L ⊃ M). 
• O conjunto vazio N está contido nos conjuntos M, K e L. O conjunto 
vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Portanto, N ⊂ M, N ⊂ K 
e N ⊂ L. 
1.4 Operações 
Dados os conjuntos A, B, C e D, são válidas as seguintes operações e 
suas propriedades, numeradas de P1 a P17: 
1.4.1 União 
O conjunto união A ∪ B é formado pelos elementos pertencentes a pelo 
menos um dos conjuntos A ou B. Notação: A ∪ B = {x ⁄ x ∈ A, ou x ∈ B}. 
(P1) Idempotente: A ∪ A = A 
(P2) Elemento neutro: A ∪ ∅ = A 
(P3) Comutativa: A ∪ B = B ∪ A 
(P4) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
(P5) Se A ⊂ D, então A ∪ D = D 
1.4.2 Intersecção 
O conjunto intersecção A ∩ B é formado pelos elementos pertencen-
tes ao conjunto A e também ao conjunto B. Notação: A ∩ B = {x ⁄ x ∈ A 
e x ∈ B}. 
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Se A ∩ B = ∅, os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos. 
(P6) Idempotente: A ∩ A = A 
(P7) Elemento neutro: A ∩ ∅ = ∅ 
(P8) Comutativa: A ∩ B = B ∩ A 
(P9) Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
(P10) Se A ⊂ D, então A ∩ D = A 
(P11) Distributiva da união em relação à interseção: 
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
(P12) Distributiva da intersecção em relação à união: 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
1.4.3 Diferença 
O conjunto diferença A − B é formado pelos elementos pertencentes 
ao conjunto A que não pertencem ao conjunto B. Notação: A − B = {x ⁄ x 
∈ A e x ∉ B}. 
1.4.4 Complementar 
O conjunto diferença A − B é chamado complementar de B em rela-
ção a A, composto pelos elementos de A que não pertencem a B. O 
complementar é definido quando B ⊂ A. Notação: Se B ⊂ A, então 
CB
A = B = A − B . 
(P13) CB
A , B = A 
(P14) CB
A + B = Ø 
(P15) CA
A = Ø 
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(P16) CA
Ø = A 
(P17) CA Q CB
A V = B 
Para fixar as operações e propriedades, apresentamos seis exem-
plos com os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {0, 1, 3}, D= ∅ 
e E = {7, 8}, usando os diagramas de Euler-Venn: 
1. Operações entre A e A (mesmo conjunto): 
Figura 3 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 1) 
A 
1 
3 
4 
0 
2 
A ∪ A = {0, 1, 2, 3, 4} (P1) 
A ∩ A = {0, 1, 2, 3, 4} (P6) 
CA
A = Ø (P15) 
CA
Ø = E 0, 1, 2, 3, 4 H (P16) 
2. Operações entre A e D (D, conjunto vazio, e A): 
Figura 4 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 2) 
A 
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2
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.
 
	 	 	 	 	 	 	 	
 
	 	 	 	
A ∪ D = {0, 1, 2, 3, 4} (P2) 
A ∩ D = ∅ (P7) 
A − D = {0, 1, 2, 3, 4} 
3. Operações entre A e C (C contido em A): 
Figura 5 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 1) 
A
1
3 
4 
0
2 
A 
42 
C 
30 
1 
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4} (P5) 
A ∩ C = {0, 1, 3} (P10) 
A – C ={2, 4} 
C − A = ∅ 
CC
A , C = E 2, 4 H , C = E 0, 1, 2, 3, 4 H (P13) 
CA
C + C = E 2, 4 H + E 0, 1, 3 H = Ø (P14) 
C E 2, 4 HCA Q CA V = CA = E 0, 1, 3 H (P17) 
4. Operações entre A e B (conjuntos com intersecção não vazia): 
15 Conjuntos
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Figura 6 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 4) 
A B 
1 
2 
5 
6 
3 
4 
0 
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
B ∪ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A ∩ B = {3, 4} 
B ∪ A = {3, 4} 
A – B = {0, 1, 2} 
B – A = {5, 6} 
5. Operações entre A, B e C: 
(P3) 
(P8) 
Figura 7 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 5) 
A B 
2 
5 
64 
310 
C 
(A ∪ B ) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {0, 1, 3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A ∪ (B ∪ C) = {0, 1, 2, 3, 4} ∪ {0, 1, 3, 4, 5, 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (P4) 
16 Raciocínio quantitativo M
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(A ∩ B) ∩ C = {3, 4} ∩ {0, 1, 3} = {3} 
A ∩ (B ∩ C) = {0, 1, 2, 3, 4} ∩ {3} = {3} 
A ∪ (B ∩ C) = {0, 1, 2, 3, 4} ∪ {3} = {0, 1, 2, 3, 4} 
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {0, 1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 
4} A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2, 3, 4} ∩ {0, 1, 3, 4, 5, 6} = {0, 1, 3, 4} 
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {3, 4} ∪ {0, 1, 3} = {0, 1, 3, 4} 
6. Conjuntos A e E (conjuntos disjuntos):
(P9) 
(P11) 
(P12) 
Figura 8 – Diagrama de Euler-Venn (exemplo 6) 
A 
4 
2 
3 
1 
0 
E 
87 
• Conjuntos disjuntos: A e E. Também são disjuntos os conjuntos
B e E; C e E.
• Conjuntos distintos: A, B, C, D e E. Nenhum dos conjuntos apre-
senta os mesmos elementos.
1.5 Contagem de elementos (união) 
Na contagem dos elementos do conjunto união de dois ou mais con-
juntos, ao somar isoladamente a quantidade de elementos de cada con-
junto, estaremos contando em duplicidade os elementos pertencentes 
à interseção. Sendo assim, vale n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B). 
17 Conjuntos
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Para exemplificar, considere dois conjuntos A e B, nos quais A tem 
430 elementos, B tem 160 elementos e a intersecção entre eles tem 
25 elementos. 
Conforme o enunciado, n(A) = 430, n(B) = 160 e n(A ∩ B) = 25. Assim, 
montamos o diagrama 9, considerando o: 
• número de elementos da interseção: n(A ∩ B) = 25 
• número de elementos que pertencem somente a A: 
430 − 25 = 405 
• número de elementos que pertencem somente a B: 
160 − 25 = 135 
Figura 9 – Diagrama de Euler-Venn dos conjuntos A e B 
A B 
405 13525 
Calculando o total de elementos, temos: n(A ∪ B) = 405 + 25 + 135 
= 565. 
Ou aplicando diretamente a regra: 
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) → n (A ∪ B) = 430 + 160 − 25 = 565. 
Portanto, o número total de elementos é 565. 
18 Raciocínio quantitativo M
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IMPORTANTE 
Dados dois conjuntos A e B, vale a regra:
 n (A U B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) 
 
2 Conjuntos numéricos 
2.1 Conjunto dos naturais (ℕ) 
O conjunto dos naturais é formado pelos números inteiros positivos. 
• ℕ = {0, 1, 2, 3…} 
Em particular, listamos um subconjunto de N: 
• ℕ = {1, 2, 3…} é o conjunto dos números naturais não nulos. 
São definidas as operações de adição e multiplicação e, consideran-
do a, b e c ∈ ℕ, valem as propriedades: 
(A1) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) 
(A2) Comutativa: a + b = b + a 
(A3) Elemento neutro: a + 0 = a 
(M1) Associativa: (a ∙ b) ∙ c = a (b ∙ c) 
(M2) Comutativa: a ∙ b = b ∙ a 
(M3) Elemento neutro: a ∙ 1 = a 
(D) Distributiva da multiplicação em relação à adição: 
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c 
19 Conjuntos
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2.2 Conjunto dos inteiros (ℤ) 
O	 conjunto	 dos	 inteiros	 é 	 formado	 por	 todos	 os	 números 	 inteiros 	 
(positivos e negativos). 
• ℤ 	=	 {…	 −3,	 −2,	 −1, 	0,	 1,	 2,	 3…} 
Em particular, listamos os subconjuntos de ℤ: 
• Z+ = E 0, 1, 2, 3f H é o conjunto dos inteiros positivos. 
• Zt- = E f - 3, - 2, - 1 H é o conjunto dos inteiros negativos não nulos. 
São 	definidas 	as 	operações 	de 	adição 	e 	multiplicação 	e, 	consideran-
do a, b e c ∈ ℤ, valem as propriedades A1, A2, A3, M1, M2, M3, D e a 
propriedade: 
(A4) 	Simétrico 	(ou 	oposto): 	a 	+ 	(−a) 	= 	0 
◦ Divisibilidade: 	o 	inteiro 	a 	é 	divisor 	do 	inteiro 	b 	(a 	⁄ 	b) 	quando 	
existe um inteiro c, tal que c ∙ b = a. Dizemos que a é divisor de 
b, 	b 	é 	divisível 	por 	a, 	ou 	b 	é 	múltiplo 	de 	a. 
◦ Números primos: 	um 	número 	inteiro 	é 	primo 	quando 	é 	divisí-
vel por ±1 e por ele mesmo. Exemplos: ±1, ±3, ±5, ±7. 
2.3 Conjunto dos racionais (ℚ) 
O conjunto dos racionais é formado pelas frações e pelos inteiros. 
• ℚ	 =	 {x	⁄	 x	 =	a	⁄	 b,	a	 ∈ ℤ, b ∈ ℤ*} 
Definimos	 as	 operações 	de 	adição 	e	 multiplicação,	 e	 a	 igualdade	 en-
tre	 números	 racionais: 
a c Igualdade: = ) a b $ d = b $ cd 
a c a $ d ! b $ cAdição: =b ! d b $ d 
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a c a $ c a
b a d a = e = = $ dMultiplicação: $ b d b $ d c b $d c b $ c
a Fração . Dizemos que a é o numerador e b o denominador da fra-b
ção. Se a e b são primos entre si, o máximo divisor comum entre a e b é 
igual a 1, ou seja, mdc (a, b) = 1, e a fração é chamada irredutível. 
Um	 número 	racional	 escrito	 na 	forma 	decimal, 	apresenta:1 • Um	 número	 finito	 de	 casas	 após 	a 	vírgula.	 Por 	exemplo,	 = 0,5; ou 2
• Um 	número 	infinito 	de 	casas 	após 	a 	vírgula, 	que 	se 	repetem 	(dízi-
4 mas periódicas). Por exemplo, = 0,363636... 11 
São 	definidas 	as 	operações 	de 	adição 	e 	multiplicação, 	considerando 	
a, b e c ∈ ℤ: A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3, D e a propriedade: 
a b a b(M4) Simétrico: para todo ∈ ℚ, existe ∈ ℚ* tal que ∙ = 1.b a b a 
2.4 Conjunto dos irracionais (𝕀) 
É	 o 	conjunto	 dos	 números 	que 	não 	podem 	ser 	representados	 na	 for-
ama , a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*. 	Um 	número 	irracional 	apresenta 	na 	sua 	forma 	de-b 
cimal 	um 	número 	infinito 	de	 casas 	após 	a 	vírgula, 	que 	não 	se 	repetem.	
−Exemplos: √2 	= 	1, 	414…; 	e 	= 	2,718281828… 	e 	π 	= 	3,14159… 	. 
2.5 Conjunto dos reais (ℝ) 
O conjunto dos reais é formado pela união dos conjuntos ℚ e I, ou 
seja,	 contempla	 os	 inteiros,	 as	 frações	 e	 os	 números	 irracionais. 
• ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Note que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. 
São 	definidas 	as 	operações 	de	 adição 	e	 multiplicação 	e, 	conside-
rando a, b e c ∈ ℤ, são válidas as propriedades A1, A2, A3, A4, M1, M2, 
M3, M4 e D. 
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3 Reta real 
Todo real corresponde a um e somente um valor na reta real, con-
forme mostra a figura 10. Todo valor da reta real corresponde a um e 
somente um número real (relação biunívoca). Entre dois reais na reta, 
existem infinitos reais. Os números são ordenados, crescentes da es-
querda para a direita. 
Figura 10 – Reta real 
PositivosNegativos 
√ – �3/2 1/2 2 e π 
�4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 
Origem 
Adaptado de Tan (2014, p. 2). 
3.1 Ordem em ℝ 
Sejam a e b reais, temos as desigualdades a > b (a é maior que b), 
a < b (a é menor que b), a ≥ b (a é maior ou igual a b) e a ≤ b (a é menor 
ou igual a b). 
Somente uma das expressões é verdadeira: a < b, a > b, ou a = b. 
3.2 Desigualdades 
Consideremos a, b e c ∈ ℝ, são válidas as propriedades: 
Transitiva: Se a < b e b < c, então a < c. 
• Propriedades da adição: 
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Se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 
Se a < 0 e b < 0 então a + b < 0 
Se a > b, então a + c > b + c 
• Propriedades da multiplicação: 
Se a > b e c > 0 então a ∙ c > b ∙ c 
Se a > b e c < 0 então a ∙ c < b ∙ c 
Se a > 0, então −a < 0 
Se a < 0, então −a > 0 
As propriedades das desigualdades são usadas para a resolução de 
inequações, que serão tratadas no capítulo 6. 
3.3 Intervalos 
Podemos tomar parte da reta real, construindo intervalos que podem 
ser abertos, fechados ou semiabertos. Sejam a, b ∈ ℝ e a < b, o quadro 
1 a seguir apresenta os tipos de intervalos na notação da teoria dos 
conjuntos e também na representação gráfica. 
Quadro 1 – Tipos de intervalos da reta real 
Aberto: as extremidades não pertencem ao intervalo 
]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} 
Fechado: as extremidades pertencem ao intervalo 
[a, b] = {x ∈ ℝ |a ≤ x ≤ b} 
a b 
Semiaberto - Aberto à esquerda e fechado à direita 
]a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} 
a b 
Semiaberto - Fechado à esquerda e aberto à direita 
[a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} 
a b 
a b 
(cont.) 
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Aberto à esquerda 
]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} 
a 
Fechado à esquerda 
[a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a} 
a 
Aberto à direita 
]−∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a} 
a 
Fechado à direita 
]−∞, a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a} 
a 
A reta real é o conjunto ] −∞, +∞ [ ou {x ∈ ℝ | −∞ < x < +∞}. 
Uma vez que os intervalos reais são conjuntos (subconjuntos de ℝ), 
podemos aplicar as operações apresentadas no item 1.4. 
4 Aplicações 
Que tal praticarmos um pouco? Apresentaremos uma aplicação en-
volvendo conjuntos, suas representações e operações. Mãos à obra! 
• Em uma entrevista de emprego, 52 candidatos concluíram a pós-
-graduação A, 17 candidatos concluíram a pós-graduação B, 6 
candidatos disseram que concluíram as pós-graduações A e B 
e 15 não concluíram nenhum curso de pós-graduação. Quantos 
alunos se inscreveram na vaga? Quantos candidatos concluíram 
somente a pós-graduação B? E somente a pós-graduação A? 
Extraímos do enunciado que n(A) = 52, n(B) = 17, n(A ∩ B) = 6 e 15 não 
pertencem a A ou B, mas fazem parte do conjunto universo dos candi-
datos. Construímos o diagrama na figura 11, chamando as quantidades 
de elementos desconhecidos de a e b, respectivamente "candidatos que 
só concluíram a pós-graduação A" e "candidatos que só concluíram a 
pós-graduação B". 
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Figura 11 – Diagrama de Euler-Venn (aplicação 1) 
15 
A B 
a b6 
Sabemos que 6 + a = 52 (total de A) e 6 + b = 17 (total de B). 
Isolando a incógnita a no primeiro membro da equação, temos: 
6 + a = 52 → 6 + a − 6 = 52 − 6 → a = 46. 
Isolando a incógnita b no primeiro membro da equação, temos: 
6 + b = 17 → 6 + b − 6= 17 − 6 → b = 11. Conhecendo a e b, conseguimos 
preencher o diagrama a seguir. 
Figura 12 – Diagrama de Euler-Venn (aplicação 2) 
15 
A B 
46 116 
Para calcular o valor total de candidatos: 
n (A) + n (B) − n (A ∩ B) + 15 = U → 52 + 17 − 6 + 15 = U → U = 78 
25 Conjuntos
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Assim, participaram da entrevista de emprego 78 candidatos, sendo 
que 46 concluíram somente da pós-graduação A e 11 concluíram so-
mente a pós-graduação B. 
Considerações finais 
Neste capítulo, abordamos os principais tópicos da teoria dos con-
juntos e dos conjuntos numéricos. 
Na modelagem matemática de um problema real, passamos a deter-
minar o universo de atuação das variáveis desse problema. Os conjun-
tos nos auxiliam nessa etapa. 
PARA SABER MAIS 
Para ampliar seu conhecimento sobre a teoria dos conjuntos, reco-
mendamos acessar a página da Universidade Virtual do Estado de São 
Paulo (disponível em: https://apps.univesp.br/o-diagrama-de-venn/). Lá 
você vai encontrar vários exemplos teóricos sobre os conjuntos. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: 
conjuntos e funções. v. 1. São Paulo: Atual, 1994. 
TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. São Paulo: 
Cengage Learning, 2014. 
https://apps.univesp.br/o-diagrama-de-venn