Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-070-072

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 𝑀 e 𝑁 são os conjugados harmônicos em relação ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ na razão 𝑘. 𝑀𝑁 é o 
diâmetro da circunferência de Apolônio. 
 Demonstração: 
 Sejam 𝑀 e 𝑁 os conjugados harmônicos do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ na razão 𝑘 e 𝜆 (𝑂;
𝑀𝑁
2
), a 
circunferência de Apolônio de centro 𝑂 e raio 𝑀𝑁/2. Então, podemos escrever: 
𝑀𝐴
𝑀𝐵
=
𝑁𝐴
𝑁𝐵
= 𝑘 
 Tomando-se 𝑃 um ponto qualquer do LG, temos: 
 Caso 1) 𝑃 ∈ {𝑀,𝑁} 
 Nesse caso, 𝑃 pertence à 𝜆, pois 𝑀 e 𝑁 são conjugados harmônicos do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
 Caso 2) 𝑃 ∉ {𝑀,𝑁} 
 Pela definição do LG, temos: 
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 𝑘 
 Mas da definição de conjugado harmônico: 
𝑀𝐴
𝑀𝐵
=
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 𝑘 ⇒
𝑃𝐴
𝑀𝐴
=
𝑃𝐵
𝑀𝐵
 
 Portanto, pelo teorema das bissetrizes, temos que 𝑃𝑀 é bissetriz interna do Δ𝑃𝐴𝐵. 
 Também, temos: 
𝑃𝐴
𝑃𝐵
=
𝑁𝐴
𝑁𝐵
= 𝑘 ⇒
𝑃𝐴
𝑁𝐴
=
𝑃𝐵
𝑁𝐵
 
 𝑃𝑁 é bissetriz externa do Δ𝑃𝐴𝐵. 
 
 
 
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 Podemos ver que: 
2𝛼 + 2𝛽 = 180° ⇒ 𝛼 + 𝛽 = 90° 
 Assim, 𝑀�̂�𝑁é ângulo reto e, portanto, 𝑃 ∈ 𝜆 (𝑂;
𝑀𝑁
2
). 
 
4.4. PONTO DE MIQUEL 
 Sejam 𝑟, 𝑠, 𝑡 e 𝑢 quatro retas coplanares de modo que não há duas retas paralelas nem três 
concorrentes. Essas retas determinam quatro triângulos. As circunferências circunscritas a esses 
triângulos se interceptam em um mesmo ponto, denominado ponto de Miquel das quatro retas. 
 
 
 
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 Demonstração: 
 Vamos começar com as duas circunferências circunscritas aos quadriláteros 𝐷𝐸𝐹𝑀 e 
𝐵𝐷𝑀𝐶.