Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-067-069

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 𝑀𝑁𝑃 é o triângulo órtico do Δ𝐴𝐵𝐶. 
4.2.2. TEOREMA 
 O ortocentro 𝐻 do triângulo acutângulo 𝐴𝐵𝐶 é o incentro do triângulo órtico. 
 Demonstração: 
 Vamos provar que 𝑃�̂�𝐻 ≡ 𝐻�̂�𝑁. Perceba que os triângulos 𝐻𝐵𝑃 e 𝐻𝐶𝑁 são semelhantes, 
pois 𝑃�̂�𝐵 ≡ 𝑁�̂�𝐶 e ambos são triângulos retângulos, logo, 𝑁�̂�𝐻 ≡ 𝑃�̂�𝐻. 
 
 
 Os quadriláteros 𝐻𝑀𝐶𝑁 e 𝐻𝑀𝐵𝑃 são inscritíveis, pois possuem dois ângulos opostos 
retos: 
 
 
 
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 Note que os ângulos 𝑃�̂�𝐻 e 𝐻�̂�𝑃 enxergam o mesmo segmento 𝐻𝑃, logo, eles são 
congruentes 𝑃�̂�𝐻 ≡ 𝐻�̂�𝑃. Analogamente, 𝑁�̂�𝐻 ≡ 𝑁�̂�𝐻. 
 
 Assim, podemos ver que a altura 𝐴𝑀 do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é a bissetriz interna do triângulo 
órtico. Usando o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras alturas 𝐵𝑁 e 𝐶𝑃 também são 
bissetrizes internas do triângulo órtico. Portanto, o ortocentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é o incentro do 
triângulo órtico. 
 
 
 
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4.2.3. PROPRIEDADE 
 O triângulo órtico possui o menor perímetro entre os triângulos inscritos no Δ𝐴𝐵𝐶 
acutângulo. 
 Não veremos essa demonstração, o importante é saber esse resultado. 
 
4.3. CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIO 
 Dado um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (𝐴 ≠ 𝐵) no plano 𝛼, chamamos de circunferência de Apolônio, o 
lugar geométrico dos pontos 𝑃 de 𝛼 tal que 
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 𝑘, com 𝑘 ∈ ℝ+
∗ − {1}.