A MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA DO MERCADO - Rogério Gomes de Faria

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ROGÉRIO GOMES DE FARIA
A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
AVANÇADA DO MERCADO
Usando a HP – 12C e o EXCEL nos exercícios
Revisada em Fevereiro de 2010
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MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA
PROGRAMA
Capítulo 1
OPERAÇÃO DOS BANCOS
1. DE CURTÍSSIMO PRAZO – 9 
 1.1. Hot Money – 9
 1.1.1. Conceitos – 9
 1.1.2. Tributação – 9
 1.1.3. Exercícios Resolvidos e Propostos – 10
2. DE CURTO PRAZO – 14
2.1. Desconto Bancário – 14
 2.1.1. Conceitos – 14 
 2.1.2. Valor Atual Bancário – 14 
2.1.3. IOF – Imposto sobre Operação Financeira – 14
 Aplicação e Exemplo – 144
2.1.4. RSM – Reciprocidade do Saldo Médio – 16
 Aplicação e Exemplo – 16
2.1.5. Observação sobre o Desconto Bancário – 17
2.1.6. PIS E COFINS – 18
2.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 18
2.2. Desconto de Bordearau – 23
 2.2.1. Conceitos – 23
 2.2.2. Aplicação – 23
2.3. Desconto Racional – 25
 2.3.1. Conceito e Exemplo – 25
2.4. Empréstimo de Capital de Giro – 25
 2.4.1. Conceito e Exemplo em Juro Simples e Composto – 25
2.5. Cheque Especial – 27
 2.5.1. Conceito – 27
 2.5.2. Exemplo – 27
3. DE LONGO PRAZO – 29
3.1. Operações do Sistema BNDES – 29
3.1.1. Considerações Iniciais – 29
3.1.2. Programas – 29
 FINEM – 30
 BNDES AUTOMÁTICO – 30
 FINAME – 31
3
3.1.3. A Amortização dos Financiamentos – 32
 Conceitos – 32
 A Carência nos Programas – 32
3.1.4. A TJLP – 33
3.1.5. A URTJLP – 34
 Observações Operacionais – 34
3.1.6. Planilha de Financiamento do Finame em URTJLP – Quadro 1.1 – 35
3.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 37 
Capítulo 2
RENDAS UNIFORMES E CONSTANTES
2.1. Considerações Iniciais – 41 
 2.1.1. Classificação e Tipos –41
2.2. Rendas Imediatas ou Postecipadas – 42
 2.2.1. Cálculo do VPI e do VFI – Quadro 2.1; do PMT – Quadro 2.2 e da 
TIR – Quadro 2.3 – 44
2.3. Rendas Antecipadas – 47
 2.3.1. Cálculo do VPA e do VFA – Quadro 2.4 – 48 
2.4. Rendas Diferidas – Cálculo do VPD e do VFD – 48
2.5. Rendas Perpétuas ou Perpetuidades – Cálculo do VPP – 48 
2.6. Exercícios Resolvidos e Propostos – 49
 2.6.1. Impostos Incidentes – 49
2.7. Rendas Uniformes e Não-Constantes – 55
 2.7.1. Exercícios Resolvidos – Quadro 2.5 e Quadro 2.6 – 56
Capítulo 3
OPERAÇÕES DE PRAZO MÉDIO
3.1. O ARRENDAMENTO MERCANTIL – LEASING – 59 
3.1.1. Operações de Leasing – 59
3.1.2. Tipos de Leasing – 59
3.1.3. Impostos Incidentes – 60
3.1.4. Tipos de Operação – 60
 Comentário 1 – 61
 Comentário 2 – 62
 Comentário 3 – 63
3.1.5. Exercícios Propostos – 64 
3.2. CRÉDITO DIRETO AO CONSUMIDOR – CDC – 66
3.2.1. Generalidades – 66
3.2.2. CDC usando Rendas Postecipadas – Quadro 3.1 – 66
3.2.3. Coeficientes das Financeiras com o IOFT incluído – 67
 Tabela Completa do Crediário – Quadro 3.2 – 68 
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Capítulo 4
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A LONGO PRAZO
PAGAMENTO POR PRESTAÇÕES
1. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO SIMPLES – 69
1.1. Conceitos – 69
1.2. Tipos de Sistema – 70
1.2.1. Sistema Francês de Amortização – 70
Duas Observações Importantes – 70 
Conceitos e Fórmulas – 70
Planilha 4.1 e Quadro 4.1 da Teoria do Sistema Francês – 71 
Idem, usando a Programação Específica da HP – 12C – 73
Antecipação do Pagamento do Saldo Devedor – 74
1.2.2. Tabela Price – 75
Conceitos – 75
Exemplos – 76 
1.2.3. IOFT no Pagamento por Prestações – 76
1.2.4. IOF1 na Tabela Price a partir de 2008 – Quadro 4.2 – 78
1.2.5. Cálculo do Número de Prestações na Tabela Price pelo Método de 
Atingir Metas do Excel – Quadro 4.3 – 79
1.2.6. Sistema de Amortização Constante – SAC – 80
Conceitos – 80
Exemplo – 81 
Montagem do Quadro Teórico de Financiamento – Quadro 4.4 – 81
Equivalência do SAC com o Sistema Francês – 81
Aplicações Práticas do SAC – 82
Comparação entre o SAC e o Sistema Francês – 82
1.2.7. Exercícios Resolvidos e Propostos – 83
1.2.8. Sistema de Amortização Crescente – SACRE – 86
Conceitos – 86
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COM CM – 87 
 
 2.1. Esclarecimentos Iniciais sobre a Correção Monetária no SACRE – 87
 2.2. SACRE – Desenvolvimento Simulado da CEF – 88
 2.2.1. Cálculo do Valor das Prestações – 88
 2.2.2. Quadro 4.5 – Evolução do Sistema SACRE – 93
 2.3. Tabela Price – Desenvolvimento Simulado da CEF – 93
 2.3.3. Cálculo do Valor das Prestações – 93
 2.3.4. Quadro 4.6 – Evolução do Sistema Price – 93
 2.4. Considerações sobre o SAC e a Tabela Price – 97
 2.4.1. Quadro 4.7 – Evolução da Prestação e Comprometimento Renda – 97
 2.4.2. Quadro 4.8 – Evolução do Saldo Devedor – 98
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Capítulo 5
MERCADO BRASILEIRO DE TÍTULOS
5.1. COMO PROJETAR A TAXA FUTURA DE JURO
Contrato Futuro de Taxa Média de DI de 1 dia – 99 
Conceitos – 99
Especificações do Contrato – 100
Precificação das LTN – 103
Exercícios Resolvidos – 103
5.2. MERCADO DE TÍTULOS PRIVADOS
CDB – Certificado de Depósito Bancário – 106
Conceitos – 106 
Tipos de CDB – 106
IOF nas Aplicações Financeiras – Tabela I – 107 
Operações – 108
Uso de Dias Corridos dc e Dias Úteis du – 109
Exercícios Resolvidos e Propostos – CDB Prefixado – 110 
Exercícios Resolvidos e Propostos – CDB Pósfixado – 115 
5.3. MERCADO DE TÍTULOS PÚBLICOS FEDERAIS
Conceitos – 120
Política Monetária – 120
Política Orçamentária – 121 
SELIC – Serviço Especial de Liquidação e Custódia – 121
Padronização do Cálculo da Taxa de Rentabilidade dos Títulos Públicos Federais 
no SELIC – 122
Mercados Primário e Secundário – 122
NBCE – Notas do Banco Central – Série E – 123
Conceitos – 123
Características Principais – 123
Exercícios Resolvidos e Propostos – 125
LTN – Letra do Tesouro Nacional – 133
Conceitos – 133
Características Principais – 133
Exercícios Resolvidos – 129
LFT(N) – Letra Financeira do Tesouro (Nacional) – 133
Conceitos – 133
Características Principais – 133
Exercícios Resolvidos – 133
6
NTNC – Notas do Tesouro Nacional – Série C – 137
 Conceitos – 137
 Características Principais – 137
 Exercícios Resolvidos e Propostos – 139
NTND – Notas do Tesouro Nacional – Série D – 145
 Conceitos – 146
 Características Principais – 146
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1
OPERAÇÕES DOS BANCOS 
1. DE CURTÍSSIMO PRAZO
1.1. Hot Money
1.1.1. Conceitos
O “Hot Money” é o empréstimo que as grandes Empresas bem posicionadas 
no mercado e algumas pequenas e médias reconhecidamente sólidas e bem 
equilibradas, tomam junto à Rede Bancária para cobrir momentâneos desequilíbrios de 
caixa por períodos muito curtos variando de 1 a 3 dias úteis 1 e, portanto, usando taxa 
over mensal ou anual. É uma operação típica dos Bancos Comerciais e de Investimento.
Como o prazo é pequeno, aos Bancos interessa fazer a operação apenas com os 
seus clientes preferenciais e em volumes significativos, uma vez que os ganhos são 
proporcionalmente baixos, não só em função do mencionado pequeno prazo como 
também porque as boas e sólidas empresas não são de pagar altos spreads e o risco para 
o emprestador praticamente é o mesmo das operações de prazos um pouco mais longos.
Em geral não existem garantias colaterais no empréstimo, dado o pequeno prazo 
da operação que normalmente inviabiliza o seu estabelecimento, usando-se tão somente 
o contrato com uma Nota Promissória. Mesmo assim, na realidade, existe é uma disputa 
entre os Bancos para atender as empresas, visando atrair os clientes mais tradicionais 
para os outros produtos que os Bancos oferecem, estes sim, com mais rentabilidade. 
1.1.2. Tributação
Todas as operações realizadas no SFN entre as Instituições Financeiras e a 
clientela PF e/ou PJ não financeiras, estão sujeitas à cobrança do Imposto sobre 
Operações Financeiras – IOF, à exceção das operações de Leasing e as de compra da 
primeira residência que não possuem esse tributo. O IOF é devidointegralmente quando 
da entrega dos recursos ao tomador e incide apenas sobre o principal emprestado, não 
podendo, portanto, ser aplicado sobre os valores relativos ao desconto bancário ou 
racional, a comissões ou a outras despesas que os bancos costumam cobrar. É o mesmo 
imposto que vai ser visto no Desconto Bancário e Capital de Giro, tanto na forma da 
cobrança efetuada (IOF1 e IOF2) no início da operação, quanto ao posterior recolhimento 
à Receita Federal.
1 Dias úteis são os dias corridos do ano subtraídos dos sábados, domingos e feriados nacionais. Feriados estaduais ou 
municipais não entram no total a subtrair. 
9
A Instituição Financeira, auferindo uma receita líquida (receita bruta deduzida 
dos custos que a Receita Federal permite sejam abatidas através da IN nº 247 de 21 de 
novembro de 2002, modificada a partir de 01 de setembro de 2003) chamada de spread, 
sofre a cobrança do PIS (0,65%) e da COFINS (4%) sobre essa receita líquida. 
Porém, é comum no mercado as Instituições Financeiras imputarem, tanto o PIS – 
Programa de Integração Social, quanto a COFINS – Contribuição Financeira para a 
Seguridade Social ao cliente, usando o percentual invertido como vai ser mostrado logo 
à frente.
Para ilustrar, exercícios de alguns casos reais mais usados no mercado serão 
vistos a seguir, usando a calculadora HP-12 C e/ou o Excel, lembrando que os cálculos 
deverão ficar no visor das máquinas ou nas suas memórias até o encerramento do 
exercício, devido à armazenagem e arredondamento que elas fazem automaticamente. 
Assim, o que está no visor nem sempre é exatamente o que está sendo usado pelas 
calculadoras para a efetivação de determinado cálculo. Como os valores da negociação 
em geral são grandes, dá diferença, às vezes significativa.
1.1.3. Exercícios Resolvidos e Propostos 
1. A Indústria Rafa S/A está fazendo um empréstimo de curtíssimo prazo de R$ 
40.000.000,00 com o Banco Gama S/A à taxa efetiva mensal de 3,20% , líquida de 
despesas dedutíveis, de 11/03/2009 (4ª feira) para 16/03/2008 (2ª feira). Sabendo que 
o mês de março/2009 tem 22 dias úteis, calcular os valores da Receita Líquida do 
Banco e do PIS e da COFINS, que foram imputados ao cliente. Não usar IOF.
 Cálculo da Receita Líquida RL do Banco, através do uso da taxa líquida 
mensal fornecida de 3,20% ð A Receita é líquida porque o PIS e a COFINS 
devidos ao Banco foram pagos pelo cliente numa imposição do Banco.
A operação é para 3 du em 5 dc. O Banco vai trabalhar apenas com os dias úteis 
(3 du), porque nesse tipo de operação de prazo muito curto, se forem considerados 
também os dias não úteis (sábado, domingo e feriado), o custo para o cliente ficará 
muito alto e pode inviabilizar a negociação, além de não ser justo. A Receita Líquida 
é uma das incógnitas pedidas e ela é a base de cálculo para o PIS e a COFINS.
f3 = (1,032) (3/22) = 1,004305 ð t3 = f 3 –1 = 0,004305 _ taxa decimal do período 
 
 Receita Líquida do Banco = 0,004305 x 40.000.000,00 
RL = R$ 172.180,44 ð PIS e COFINS foram pagos pelo cliente no final da 
operação
Cálculo do PIS e COFINS imputados ao Cliente
 PIS = 0,0065 x 172.180,44 _ PIS = 1.126,50 reais ou
 1 – 0,0065
 PIS = 0,65 % x 0,004305 x 40.000.000,00 _ PIS = 1.126,50 reais
 0,9935
 
 COFINS = 0,04 x 172.180,44 _ COFINS = 7.174,18 reais ou
10
 1 – 0,04
 COFINS = 4% x 0,004305 x 40.000.000,00 _ COFINS = 7.174,18 reais
 0,96
2. O Banco Ipsilon S/A concedeu um hot money à Cia XYZ de Petróleo S/A no valor 
de R$ 60.000.000,00 do dia 24/03/2009 (3ª feira) até o dia 27/03/2009 (6ª feira), à 
taxa over mensal líquida para o Banco de 3,20%. Calcular os valores do PIS e da 
COFINS imputados à Cia de Petróleo pelo Banco e a Receita Líquida do Banco na 
operação. Não usar IOF.
Este exercício é praticamente igual ao anterior, com a única diferença residindo no 
tipo de taxa, que aqui é over mensal também líquida e não a efetiva mensal. Assim:
 
t3 = [1 + (3,20/3.000)] 3 − 1 = 0,003203 _ taxa do período na forma decimal 
 
a) Cálculo do PIS e COFINS pagos pelo cliente
 PIS = 0,65 % x 0,003203 x 60.000.000,00 _ PIS = 1.257,51 reais
 0,9935
 COFINS = 4 % x 0,003203 x 60.000.000,00 _ COFINS = 8.008,54 reais
 0,96
b) Cálculo da Receita Líquida do Banco
 RL = 0,003203 x 60.000.000,00 _ RL = 192.204,96 reais
 
3. A Construtora Pioneira S/A fez uma operação de curtíssimo prazo com o Banco 
Eta S/A no valor de R$ 20.000.000,00 à taxa “over” ativa de 5% a.m. Sabendo-se 
que na captação dos recursos necessários para o empréstimo o banco pagou 1,30% 
a.m. de taxa “over” (operação passiva) e que o período foi de 27/03/2009 (6ª feira) 
a 31/03/2009 (3ª feira), calcular os valores do PIS e da COFINS imputados pelo 
Banco à construtora e a despesa total da construtora, incluindo o IOF. 
 Trata-se de uma operação com 2 du e 4 dc, estes usados para o IOF.
 a) PIS e COFINS
 1°) Usando Juros Simples para se obter a taxa líquida ou spread do Banco:
 5 % − 1,30 % = 3,70 % a m _ Taxa Líquida do Banco
 Spread do Banco = [[ 1 + 3,70 ] 2 − 1] . 20.000.000,00 
 3.000
 RL = 0,002468 x 20.000.000,00 ð RL = Spread do Banco = 49.363,74 reais 
 
 PIS = 0,65 % x 49.363,74 ð PIS = 322,96 reais
 0,9935
11
 COFINS = 4 % x 49.363,74 ð COFINS = 2.056,82 reais
 0,96
 2º) Usando Juros Compostos para obtenção da taxa líquida do spread:
 Spread do Banco = [[ (1 + 5/3.000)2 ] − 1] x 20.000.000,00 = 
49.342,38 
 (1 + 1,30/3.000)2
 Sp Banco = 0,002467 x 20.000.000,00 ð Spread do Banco = 49.342,38 reais
 PIS = 0,65% x 49.342,38 ð PIS = 322,82 reais 
 0,9935
 COFINS = 4% x 49.342,38 ð COFINS = 2.055,93 reais
 0,94
 Obs - Como a diferença dos cálculos é muito pequena, usa-se qualquer regime. 
 b) Despesa Total da Construtora
 
 CT = ((1 + 5/3000)2 −1 + 0,000041 x 4 + 0,0038) x 20.000.000,00 + PIS + COFINS
 
 CT _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS onde CB = Custo Bancário
 1º CT = 66.722,24 + 3.280,00 + 76.000,00 + 322,96 + 2.056,82 ð R$ 148.381,88
 2º CT = 66.722,24 + 3.280,00 + 76.000,00 + 322,82 + 2.055,93 ð R$148.380,99
Um capital de giro de R$ 50.000.000,00 foi concedido a uma empresa do ramo de 
siderurgia à taxa anual de 56,45% por três dias consecutivos. Sabendo que o 
custo do dinheiro para o Banco que fez o empréstimo foi de 12,68% a.a., calcular 
a receita líquida do banco e o custo total da siderúrgica.
Como se trata de 3 dias consecutivos, deve-se entender por 3 du = 3 dc.
 1º) Usando Juros Simples, mas depois de calculados os fatores do prazo de 3 dias 
por Juros Compostos, porque as taxas dadas foram anuais e se não for assim a 
diferença vai ficar muito grande e fora de propósito.
 
TL3 = (1,5645) (3/252) - (1, 1268) (3/252) = 1,005342 - 1,001422 = 0,003920
RL = 0,003920 x 50.000.000,00ð RL = R$ 196.008,40 
 
PIS = 0,65 % x 196.008,40 ð PIS = 1.282,39 reais
 0,9935
COFINS = 4 % x 196.008,40 ð COFINS = 8.167,01 reais
 0,96
 Custo Total _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS 
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 CT = ((1,5645)(3/252) -1 + 0,000041 x 3 + 0,0038) x 50.000.000,00 + PIS + COFINS
 CT = (0,005342 + 0,000123 + 0,0038) x 50.000.000,00 + 1.282,39 + 8.167,01 
 CT = 0,009265 x 50.000.000,00 + 1.282,39 + 8.167,01 
 
 Custo Total = 463.269,50 + 9.449,40 
 
 1º Custo Total = R$ 472.718,90
 2º) Usando Juros Compostos através da divisão dos fatores
TL3 = [ 1,5645 ] (3/252) - 1 = 1,003915 - 1 = 0,003915 
 1,1268
 RL = R$ 195.730,05 reais
PIS = 0,65 % x 195.730,05 ð PIS = 1.280,57 reais
 0,9935
COFINS = 4% x 195.730,05 ð COFINS = 8.155,42 reais
 0,96
CT _ CB + IOF1 + IOF2 + PIS + COFINS
CT = (0,005342 + 0,000123 + 0,0038) x 50.000.000,00 + PIS + COFINS 
CT = 463.269,50 + 9.435,99
 
 2° Custo Total = R$ 472.705,49
5. O Banco Zeta S/A concedeu um “hot money” de R$ 20.000.000,00 a um cliente do 
dia 31/03/2009 (3ª feira) até 03/04/2009 (6ª feira) à taxa anual de 54,65 %. Se o 
custo de captação do banco foi de 18,16% ao ano, calcular a e b abaixo, sabendo que 
o banco imputou o PIS e a COFINS ao cliente.
 a) O Custo Total da operação para o cliente
 b) A Receita Líquida do Banco
 Resp. a) R$ 185.632,11 b) R$ 64.180,10
6. A CIA de Armamentos S/A tomou um empréstimo de curtíssimo prazo junto ao seu 
principal banqueiro no valor de R$ 30.000.000,00 de 18/06/2009 (5ª feira) até 
23/06/2009 à taxa mensal efetiva de 3,30 %. Se o custo do “funding” para o Banco 
na ocasião estava por volta de 1,10 % de taxa efetiva mês e sabendo que junho/2009 
tem 20 dias úteis, quais foram os valores de a, b e c abaixo, se o banco pagou o 
PIS e a COFINS do seu caixa? 
a a) A Receita Líquida do banco sem ele pagar o PIS e a COFINS.
 b) A Despesa Total do cliente na operação.
 c) Os valores do PIS e da COFINS que vão sair da Receita Líquida do Banco.
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 Resp. a) R$ 98.086,71 b) R$ 266.608,71 c) R$ 637,56 e R$ 3.923,47
2. DE CURTO PRAZO
2.1. Desconto Bancário
2.1.1. Conceitos
O Desconto Bancário ou por Fora – DB é a quantia equivalente ao juro simples 
cobrado sobre o Valor Final ou Nominal do título à taxa combinada, chamada taxa 
pré ou taxa de desconto, no prazo que decorre da negociação até o vencimento do título. 
É também uma operação típica dos Bancos Comerciais e de Investimento.
Seja F o Valor Final ou Nominal de um título que vai ser descontado em um 
banco à taxa i, n períodos antes do seu vencimento. Usando a fórmula inicial de Juro 
Simples J = Pin e colocando F no lugar de P, segundo a definição do Desconto 
Bancário, teremos DB igual a:
 DB = Fin (1)
Exemplo: Um título de Valor Final R$ 40.000,00 vai ser descontado à taxa de 5% a.m. 
de juros. Faltando 45 dias para o vencimento do título, qual é o valor do desconto 
bancário?
DB = Fin; i = taxa pré = 5% a.m.; n = 45 dias = 1,5 mês
DB = 40.000 x 0,05 x 1,5 = 3.000,00 _ DB = R$ 3.000,00 
2.1.2. Valor Atual Bancário 
O valor atual A de um título é dado pela diferença entre o seu valor final F e o 
desconto D. Sendo o desconto bancário, o Valor Atual AB é dito bancário e dado por: 
AB = F – DB ð AB = F – Fin = F (1 – in) ð AB = F (1 – in) (2)
 
Exemplo – Qual o valor atual de um título de R$ 40.000,00 disponível dentro de 45 
dias em um banco que cobra 5% a.m. de taxa pré ou de desconto?
AB = F (1 – in) ð AB = 40.000 (1 – 0,05 x 1,5) _ AB = R$ 37.000,00
 O Desconto Bancário, como todo desconto, é cobrado antecipadamente, ou seja, 
no início da operação e isso aumenta, obviamente, o custo (taxa) para o tomador, pois 
sobre uma quantia menor que lhe é creditada (valor atual bancário do título), ele pagará 
o mesmo juro calculado sobre o Valor Final.
14
Aplicação – Uma pessoa vai a um banco descontar um título de valor F por n meses à 
taxa mensal i ; na realidade, a sua taxa final postecipada X ou taxa final postecipada 
mensal t de custo, será :
F (1 – in) → líquido recebido (valor atual bancário)
F (in) → juros pagos (desconto bancário)
Assim, arma-se a seguinte regra de três simples para se obter taxa de juro pós:
F (1 – in) → F (in) 
 1 → X → X = in /(1 – in) (3)
Exemplo: Seja o caso do exemplo anterior:
F = 40.000,00 n = 45 dias = 1,5 mês i = 5% a.m. ou 0,05
X = (0,05 x 1,5) / ( 1 – 0,05 x 1,5) = 0,081081 = 8,1081%, pelo período de 1,5 mês. 
 
A taxa final postecipada mensal t será = 8,1081% /1,5 → t = 5,40% a.m., i. e, 
8% maior do que a taxa pré cobrada pelo banco. Pela simples observação da relação 
acima, pode-se ver que o valor de X (e t) será tanto maior quanto maior for o prazo do 
desconto, ou seja, X (e t) não é só função da taxa bancária i, mas também do prazo.
2.1.3. IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
 Aplicação e Exemplo 
Todos os empréstimos no sistema financeiro estão sujeitos ao imposto sobre 
operações financeiras (IOF), devido integralmente quando da entrega dos recursos ao 
tomador. Esse IOF, incidente somente sobre o principal emprestado, portanto, livre do 
valor do desconto bancário e outras despesas liberadas pela Receita Federal através da 
IN nº 247 de 21/11/2002, sempre foi exigido antecipadamente como o desconto 
bancário, mas cobrado à alíquota de 0,0041% ao dia corrido para Pessoa Física e/ou 
para Pessoa Jurídica pelo prazo da operação financeira isto é, 1,50% ao ano de 365 2 
dias. Se a entrega dos recursos era parcelada, o IOF incidia sobre cada parcela liberada.
Com o fim da CPMF – Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira 
em 29/12/2007, o governo federal instituiu o Decreto nº 6339/2007 para compensar a 
perda daquele imposto com vigência imediata a partir de 02/01/2008, no qual o IOF = 
IOF1 de PF passou a 0,0082% a.d. e o de PJ restou mantido em 0,0041% a.d. Pelo 
mesmo Decreto, foi criado também o IOF2 = 0,38%, fixo e cumulativo para qualquer 
prazo e incidente da mesma forma sobre o principal líquido, para PF e PJ.
 Entretanto, o Decreto nº 6339/2007 só vigorou na íntegra durante o ano de 2008, 
pois, na metade desse exercício o governo já havia arrecadado o total por ele projetado 
para todo o ano com a CPMF perdida e aí voltou a fixar as alíquotas do IOF1 para PF = 
PJ = 0,0041% a.d., mantendo o IOF2 = 0,38%, tudo para viger a partir de 02/01/2009. 
 Os créditos concedidos para aquisição da casa própria nos programas específicos 
criados pelo governo e as operações de “Leasing”, não estão sujeitos a nenhum IOF e 
negociações com cartão de crédito não caracterizam empréstimo, portanto, também não 
15
estão subordinadas ao IOF – Crédito, exceto quando a Administradora do Cartão toma 
financiamento para liquidação da compra efetuada pelo usuário por qualquer motivo. 
Aplicação – Um cliente descontou um título de valor F à taxa mensal i, n 
períodos antes do vencimento. De quanto é agora a taxa pós, usando os novos IOFs?
2 É a primeira e provavelmente a última vez que se vê a Autoridade Monetária usar o ano corrido de 365 dias paranormatizar assuntos pertinentes ao mercado financeiro em confronto com o estabelecido pela Convenção Internacional 
Nasd 30/360, já que 0,0041% = 1,50%/365 e não por 360 como tudo o mais, dado que o imposto é devido pelo tomador 
dos recursos ao dia corrido.
1º) Despesa Total do tomador no recebimento dos recursos = DB + IOF1 + IOF2
Fin + F(1– in) IOF1 n + F(1– in) IOF2 ou F[in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2]
2º) Líquido entregue pelo Banco ao tomador = F – Despesa Total
F – F[(in) + (1– in)IOF1 n + (1– in)IOF2] ou F[1 – [in + (1– in)IOF1 n + (1– in)IOF2]]
3º) Custo Total do tomador = Despesa Total para o cliente 
Agora, monta-se a seguinte regra de Três:
F[1 – [in + (1– in)IOF1 n + (1– in) IOF2]] → F[in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2]
 1 → X 
 1 [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 ] 
X = (4) 
 1 – [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2] 
Exemplo – Continuando com o exemplo anterior e usando n = 1,50 meses, taxa de 
desconto i = 0,05 ao mês, IOF1 = 0,000041 x 30 = 0,00123 mensal e IOF2 = 0,0038, 
qual é a taxa final mensal postecipada t para o tomador?
1º) Usando a relação (4)
 
 0,075 + (0,925)(0,00123)1,5 + (0,925)(0,0038) 0,080222
X = = 
 1 – [0,075 + (0,925)(0,00246)1,5 + (0,925)(0,0038)] 0,919778
 
X = 0,087219 ao período ð t = 5,81% ao mês
2º) Usando os conceitos com os números do exercício – 2ª forma de resolver
Valor Nominal ou Final do título = 40.000,00
DB = 400.000,00 x 0,05 x 1,5 = (3.000,00)
IOF1 = 37.000,00 x 0,000041 x 45 = (68,26) 
IOF2 = 37.000,00 x 0,0038 = (140,60)
Líquido recebido pelo tomador = 36.791,14
Obs – O tomador usará o líquido recebido e terá que recompor o valor nominal do título 
no vencimento, pagando os juros e os impostos antecipados no total de R$ 3.208,86. 
Assim, a nova regra de três abaixo nos fornece:
16
36.791,14 → 3.208,86 donde X = 8,721828% ao período ou t = 5,81% ao mês
 100 → X
2.1.4. RSM – Reciprocidade do Saldo Médio 
Aplicação e Exemplo
Não é raro os bancos exigirem de seus clientes uma reciprocidade na concessão 
de empréstimos ou desconto de títulos, chamado de saldo médio. Esse SM, que é um 
depósito à vista ou a prazo com taxa quase zero, é função do valor do título descontado 
e do seu prazo e, obviamente, só vai aumentar o custo da operação para o cliente, pois 
implica em ele deixar depositada sem nenhuma remuneração, uma importância 
chamada número de capital, que nada mais é do que o produto da alíquota do SM pelo 
valor do título e pelo nº de dias da operação. Pode ser formado no prazo que o cliente 
quiser desde que não ultrapasse o prazo da negociação. O comum é ser constituído ao 
longo da operação, quando o banco bloqueia o valor do SM pelos dias da negociação e, 
no final, devolve o SM ao cliente, sem nenhum acréscimo.
Aplicação: Um cliente vai a um banco descontar um título F por n meses à taxa mensal 
i. Se a reciprocidade para o banco for um SM de Y% sobre o valor F do título, qual a 
taxa mensal postecipada t de custo para o tomador?
1º) Despesa Total do tomador na entrega dos recursos = DB + IOF1 + IOF2 
Fin + F(1– in)IOF1 n + F(1– in)IOF2 ou F[in + (1– in)IOF1 n + (1– in) IOF2]
2º) Líquido recebido utilizável pelo tomador = F – Despesa Total – YF 
F [1 – [ (in) + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 + Y]]
3º) Custo Total para o tomador = Despesa Total
F [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2)]
Montando a regra de três abaixo, vamos obter:
1– [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2+ Y] ð in + (1– in) IOF1 n + (1– n)IOF2 
 1 ð X
 1 [ in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 ]
X = (5)
 1 – [in + (1– in) IOF1 n + (1– in) IOF2 + Y] 
Exemplo – No exemplo anterior, se fosse acrescentada a reciprocidade de Y = 10% 
sobre o valor do título, qual seria a taxa final mensal postecipada t a ser paga pelo 
tomador ?
X = 0,081928 / 0,818072 = 0,100148 ou 10,01% ao período ð t = 6,67% a.m.
2.1.5. Observação sobre o Desconto Bancário 
17
O Desconto Bancário deve ser usado para prazos curtos e taxas baixas porque seu uso 
para prazos longos e taxas mais altas pode ocasionar distorções graves. Assim, seja um 
título de R$ 40.000,00 que vai ser descontado à taxa de 5% a.m., 20 meses antes de seu 
vencimento. O Desconto Bancário será:
DB = 40.000,00 x 0,05 x 20  DB = 40.000,00 x 1 _ DB = R$ 40.000,00 
isto é, o Desconto Bancário é igual ao Valor Final do título e assim, o Valor Atual 
Bancário AB será nulo.
 
AB = F – DB = 40.000,00 − 40.000,00 _ AB = R$ 0,00 o que não faz sentido.
Esse é um dos motivos pelos quais não se deve usar o Desconto Bancário para 
prazos longos ou taxas altas. Quando o prazo da operação de crédito é superior a 40 ou 
50 dias, usa-se o Empréstimo de Capital de Giro que trabalha com eficiência nos dois 
Sistema de Juros.
2.1.6. PIS e COFINS
Existem mais obrigações que a Receita Federal cobra das Pessoas Jurídicas que 
negociam qualquer espécie de Ativo, inclusive dinheiro, ou seja, as instituições 
financeiras e assemelhadas também estão incluídas: o PIS = Plano de Integração Social 
e a COFINS = Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social.
A Base de Cálculo para a incidência das respectivas alíquotas do PIS e da 
COFINS de 0,65% e 3% que vão gerar os valores mensais a serem recolhidos pelas 
empresas no dia 20 do mês seguinte ao referenciado, obedece à Instrução Normativa nº 
247 de 21/11/2002 da Receita Federal. Esta Base de Cálculo é formada pelo somatório 
de valores do razão do Cosif das empresas que faturaram no mês em referência: Base de 
Cálculo = Total das Receitas – Total das Exclusões – Total das Deduções + Total de 
outras Adições – Total de outras Exclusões.
Em 01/09/2003 houve um aumento na alíquota da COFINS de 3% para 4%, 
conservando o mesmo valor para a do PIS = 0,65%. Para facilitar as empresas a calcular 
corretamente a Base de Cálculo, a Receita fornece um mapa chamado de Anexo I à IN 
nº 247, onde figuram cinco colunas auto explicativas: Razão, Conta Cosif nº, Saldo 
Atual do mês em referência, Saldo do mês anterior e Movimento do mês em referência.
2.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos
(salvo indicação contrária, é obrigatório usar o IOF)
1. O proprietário de um título de valor nominal R$ 200.000,00 com vencimento em 3 
meses tem duas opções: a) vendê-lo por R$ 166.500,00 à vista, oferta de um 
particular; b) descontá-lo em um Banco que cobra 5% a.m. de taxa de desconto pré e 
comissão de 0,25% sobre o valor final de todos os títulos que desconta. Qual é a 
melhor opção?
 Resp. A segunda.
18
2. Em pagamento da dívida de R$ 88.936,60 um engenheiro vai a um Banco e assina 
uma NP para 60 dias. Qual o valor nominal desse título, supondo que o desconto 
tenha sido feito à taxa de 5% a.m. e sabendo que o Banco cobra uma comissão de 
0,50% sobre todos os títulos que desconta? 
 Resp. R$ 100.000,00
3. A empresa AMT S/A quer abrir seu capital e para isso está emitindo novas ações 
preferenciais ao valor nominal de R$ 1,00 cada. A operação foi entregue ao BIO – 
Banco de Investimento Operacional S/A que sugeriu o montante de 500 milhões de 
ações para subscrição“stand by”, com 50% pagos no ato e 50% ao fim de 3 meses. 
Sendo o juro do mercado para desconto de títulos de 3,50% a.m. e com o Banco BIO 
cobrando pela coordenação geral e colocação das ações, 6% à vista sobre o valor 
nominal de toda a emissão, qual é o valor líquido que a empresa AMT vai receber?
 Solução:
Façamos o cálculo do valor à vista de 1 (uma) ação.Depois, multiplicando esse valor 
pelo nº de ações a emitir, obtém – se o valor líquido total que a empresa vai receber.
R$ 0,50 à vista ð 6% x R$ 1,00 da comissão de coordenação do BIO ð K = R$ 0,06 
DB = 0,50 x 0,035 x 3 = 0,0525 ð AB = 0,50 – 0,0525 ð AB = R$ 0,4475
IOFT = (0,000041 x 90 + 0,0038) x 0,4475 = 0,007490 x 0,4475 ð IOFT = 0,003352
VL = (0,50 – 0,06) + 0,4475 – 0,003352 ð R$ 0,884148 ð valor de uma ação
Valor Líquido Total que a empresa vai receber com o “underwriting”:
VLT = 0,884148 x 500.000.000 ð VLT = R$ 442.074.000,00
4. Dois títulos são descontados. O primeiro, 40 dias antes do seu vencimento à taxa de 
36% a.a. e o segundo, 100 dias antes do vencimento. A diferença entre o primeiro 
título e o segundo é da R$ 40.000,00. Se o desconto sofrido pelo segundo título foi 
R$ 4.600,00 maior do que o do primeiro e igual a 20% do valor do segundo título, 
quais são os valores nominais dos dois títulos e a taxa de desconto ou pré do 
segundo? Não usar IOF.
 Resp. F1 = R$ 78.750,00 F2 = 38.750,00 i2 = 72% ao ano.
5. Um agiota que cobra 10% a.m. de taxa pós recebeu R$ 104.000,00 em pagamento por 
um empréstimo concedido e emprestou metade do valor a outro cliente pelo prazo de 
18 dias. Sabendo que o total de juros dos dois empréstimos foi de R$ 7.120,00, qual o 
valor e o prazo do primeiro?
 Resp. P1 =R$ 100.000,00 d1 = 12 dias
6. Uma Cia descontou uma duplicata de R$ 120.000,00 num banco que trabalha com 
taxa pré de 2,70% a.m. 20 dias antes do vencimento. Calcular: a) o custo total do 
cliente; b) A receita líquida do banco na operação, depois de recolhidos à Receita 
Federal o PIS de 0,65% e a COFINS de 4,00%. Os recursos para o banco realizar a 
operação lhe custaram 1,10% numa captação de CDB.
 Solução:
19
a) Custo Total CT do cliente = DB + IOFT
DB = 120.000,00 x (2,70/3.000) x 20 ð DB = R$ 2.160,00
AB = 120.000,00 – 2.160,00 ð AB = R$ 117.840,00
IOFT = 117.840,00 x ((0,000041 x 20) + 0,0038) ð R$ 544,42
CT = 2.160,00 + 544,42 ð CT = R$ 2.704,42
b) Receita Líquida RL do Banco = Faturamento – (PIS + COFINS)
Taxa Líquida do banco = 2,70% − 1,10% = 1,60% ao mês
Faturamento líquido do Banco = 120.000,00 x (1,60/3.000) x 20 = 1.280,00
 
PIS = 0,65% x 1.280,00 = 8,32 reais
COFINS = 4% x 1.280,00 = 51,20 reais
Total do PIS e COFINS que o Banco deverá recolher à Receita = 59,52 reais 
RL do Banco após PIS + COFINS = 1.280,00 – 59,52 ð RL = R$ 1.220,48
Obs: Parte dos bancos imputa o pagamento do PIS e da COFINS para o cliente, 
que passa a ter o seu custo majorado na operação em benefício de um aumento 
na RL dos bancos. Para isso é usado o processo do percentual invertido que é 
possível dado que a taxa de aplicação das Instituições Financeiras é livre. Assim, 
os bancos aumentam o faturamento líquido aplicando uma taxa maior para o 
cliente, de tal maneira que ao incidir os percentuais dos impostos sobre o 
faturamento e recolhido o produto à Receita Federal, o que resta é exatamente o 
faturamento dos bancos, agora líquido do PIS e COFINS. Vejamos:
PIS = 0,65% x (1.280,00/(1 – 0,65%)) = 0,65% x (1.280,00/(1 – 0,0065))
 
PIS = 0,65% x (1.280,00/0,9935) = 0,65% x 1.288,374434 ð PIS = R$ 8,37 
Retirando R$ 8,37, que é o novo PIS da RL do Banco convenientemente aumentada 
para recolhimento à Receita Federal, resta exatamente a RL = R$ 1.280,00 para o 
Banco, que era o seu faturamento líquido antes da cobrança do PIS. Assim, o Banco 
não paga o PIS que fica por conta do cliente e ligeiramente aumentado, de 5 cents ou 
de R$ 8,32 para R$ 8,37, no caso. 
Mesma coisa acontece com a COFINS, cujo valor para o cliente pagar muda dos R$ 
51,20 devidos ao Banco para R$ 53,33, agora devidos ao cliente, permanecendo a RL 
do Banco nos mesmos R$ 1.280,00.
NCTC = DB + IOFT + PIS + COFINS ð Novo Custo Total Cliente = R$ 2.766,12
7. A Cia Cinematográfica Raposa do Século Vinte e Um descontou um título no Banco 
Áureo S/A 27 dias antes do vencimento à taxa pré de 2,60% a.m. Sendo de R$ 
250.000,00 o valor da duplicata e sabendo que o Banco exige 5% de SM (saldo 
20
médio) de todos os títulos que desconta, qual foi o Valor Líquido VL creditado na c/c 
(conta corrente) da empresa? Que custo mensal percentual a Cia acabou pagando? 
 Solução:
SM = 5% x 250.000,00 ð R$ 12.500,00 
DB = 250.000,00 x (2,60/3.000) x 27 = 5.850,00 reais 
 AB = (250.000,00 – 5.850,00) reais
AB = R$ 244.150,00
IOFT = (0,000041 x 27 + 0,0038) x 244.150,00 = 0,004907 x 244.150,00 reais 
IOFT = R$ 1.198,04
VL = AB – IOFT – SM = 244.150,00 – 1.198,04 – 12.500,00 
 
VL = R$ 230.451,96
onde VL = valor líquido na c/c da Cia = quantia que ela vai usar pelos 27 dias.
 230.451,96 5.850,00 + 1.198,04 = 7.048,04
 100 X
X = 704.804,00 / 230.451,96 ð X = 3,058355 % pelos 27 dias 
t = 3,40 % ao mês
8. Um médico descontou uma NP (Nota Promissória) de R$ 60.000,00 no Banco Dracma 
S/A com antecedência de 32 dias corridos à taxa mensal de 2,70%. Com o Banco 
exigindo reciprocidade de SM = 5% sobre os títulos que desconta e imputando o PIS 
(0,65%) e a COFINS (4,00%) ao cliente, qual o valor líquido que o médico pôde usar 
e que custo mensal percentual ele acabou pagando? Considerar que os recursos que o 
Banco usou na operação lhe custaram 0,90% ao mês e o IOFT foi pago pelo cliente 
através de débito na sua c/c (conta corrente) no dia do desconto.
 Resp. VL = R$ 54.974,12 e t = 3,55% a.m. 
 Observação – Lembrar que o DB e o IOFT são pagos pelo cliente no início da 
operação e que o Banco quando imputa o PIS e a COFINS ao cliente, recebe os dois 
impostos no vencimento da operação. 
9. Um título de R$ 70.000,00 foi descontado num Banco que cobrou 2,40% ao mês de 
taxa de desconto, 27 dias antes do seu vencimento. Com o produto líquido recebido a 
empresa que fez a operação bancária pagou seus compromissos já vencidos e no 
mesmo dia aplicou a sobra num CDB do próprio Banco recebendo a remuneração 
mensal de 1,40% até o vencimento da operação de desconto. Sabendo que o valor do 
resgate bruto da aplicação foi de R$ 8.254,64, qual o valor dos compromissos pagos 
pela Empresa? 
 Resp. R$ 60.000,00
21
10. Ao detectar possibilidades concretas para a realização de um bom negócio de curto 
prazo, um conceituado Grupo Siderúrgico necessitou de recursos da ordem de 200 
milhões de reais, por cerca de 3 semanas. Recorreu a um dos Bancos com quem 
trabalha que lhe deu as condições para a efetiva realização do capital de giro 
pretendido e que foram: taxa pós mensal de 1,85%, PIS e COFINS por conta do 
tomador, reciprocidade no SM = 2% do valor do empréstimo, além do IOFT 
tradicionalmente pago pelo cliente. Para evitar problemas decorrentes de possíveis 
atrasos na finalização da empreitada, a Siderúrgica pediu para aumentar o prazo até 
24 dias. Calcular: a) a taxa mensal postecipada real que a Siderúrgica pagou, 
sabendo-se que os recursos que o banco utilizou tiveram um custo de 1,05% a.m.; b) 
se o retorno da negociação apresentou uma entrada de caixa para a Siderúrgica de R$ 
520.000.000,00, qual foi o resultado do Grupo Siderúrgico? 
Solução:
 a) Cálculo da taxa mensal postecipada =T
 1º) Valor Liberado pelo banco = VL = 200.000.000,00 – (IOFT + SM)
 IOFT = IOF1 + IOF2 = 200.000.000,00 x (0,000041 x 24 + 0,0038)
 IOFT = 200.000.000,00 x (0,000984 + 0,0038)= 200.000.000,00 x 0,004784 
 IOFT = R$ 956.800,00 
 SM = 2% x 200.000.000,00 ð SM = R$ 4.000.000,00 
 VL = 200.000.000,00 – (956.800,00 + 4.000.000,00) ð VL = R$ 195.043.200,00
2º) Faturamento F do banco não levando em conta o produto do uso do SM cobrado ao 
cliente mas, imputando a ele o custo do PIS e COFINS devidos.
 F = 200.000.000,00 ((1,85 −1,05)/(3.000)) x 24 = 200.000.000,00 (0,80/3.000) x 24 
 F = R$ 1.280.000,00 
 
 PIS = 0,65 % (1.280.000,00/0,9935) = 0,65 % x 1.288.374,43 ð PIS = R$ 8.374,43
 COFINS = 4% (1.280.000,00/0,96) = 4% x 1.333.333,33 ð COFINS = R$ 53.333.33
3º) Pagamento do empréstimo de R$ 200.000.000,00 à 1,85% a.m. por 24 dias = P
 P = 200.000.000,00 x (1 + (1,85/3.000) x 24) ð P = R$ 202.960.000,00
4º) Valor a pagar pelo cliente ao fim do empréstimo = VT = PIS + COFINS + P – SM 
 VT = 8.374,43 + 53.333,33 + 202.960.000,00 – 4.000.000,00 
 VT = R$ 199.021.707,70
5º) Diferença entre o valor pago ao final e o liberado pelo banco no início = VT − VL
 VT – VL = 199.021.707,70 – 195.043.200,00 = 3.978.507,70 ou custo total cliente
 195.043.200,00 3.978.507,70
 100 X
22
X = 397.850.770,00 / 195.043.200,00 = 2,039808% pelos 24 dias ou
T = 2,549761 % ao mês ð T = 2,55% a.m.
b) Cálculo do resultado obtido pelo Grupo Siderúrgico = R
R = 520.000.000,00 – 199.021.707,70 ð R = 320.978.292,30 reais
Obs – Os R$ 4.000.000,00 do SM exigidos trouxeram lucros para o Banco que não 
foram computados nesse exercício, pois esses recursos a custo zero foram 
obviamente aplicados em outras operações. Para o Grupo Siderúrgico só serviram 
para diminuir o VL que o Banco lhe emprestou e com isso aumentar o seu custo 
financeiro na operação, dado que, para usar um valor menor de R$ 195.043.200,00 
(já deduzidos o IOFT e o SM)), o Grupo Siderúrgico pagou o resgate calculado 
sobre o valor combinado de R$ 200.000.000,00 que foi de R$ 199.021.707,70, 
depois de deduzido o SM conforme o acordado. 
2.2. Desconto de Borderau 
2.2.1 Conceitos
O desconto de um borderau formado com títulos de vencimentos e valores finais 
diferentes, consiste em se calcular o Prazo Médio Ponderado – PMP desses títulos, 
usando como peso ou ponderação seus valores finais e depois procedendo a apenas uma 
operação de desconto do total do borderau, exatamente igual ao desconto bancário já 
mostrado individualmente, utilizando a taxa pré ou de desconto praticada pelos Bancos 
e também o IOFT alterado recentemente pela Receita Federal. Mesmo com os títulos 
possuindo valores nominais e prazos de vencimento desiguais, mas o Banco levando 
isso em consideração no cálculo do AB e as alíquotas do IOFT para obter o imposto 
correto, o Valor Líquido – VL do borderau, que deveria ser igual ao que o cliente 
obteria se descontasse os títulos um por um numa mesma data, não acontece, devido ao 
pequeno número de casas decimais usadas e à maior quantidade de títulos. O VL do 
borderau unificado acaba sendo um pouco maior, como vai ser visto a seguir. Para 
diminuir essa diferença, aumenta-se as decimais para quatro, porém, mantém-se o 
número de títulos do borderau, dado que isso é uma necessidade do cliente. 
O Prazo Médio Ponderado – PMP dos papéis que compõem o borderau é 
calculado pela relação abaixo ou usando a programação da HP – 12C.
Exemplo: Calcular o PMP do borderau composto pelos três títulos abaixo:
R$ 25.000,00 para 28 dias de prazo
R$ 18.500,00 para 22 dias de prazo
R$ 32.000,00 para 25 dias de prazo
1º) Usando o método algébrico: 
 28 x 25 + 22 x 18,5 + 25 x 32 1.907
PMP = = = 25,258278 ð PMP = 25,2583
23
 25 + 18,5 + 32 75,5
2º) Usando a HP – 12C ð digitar cada prazo, dar o Enter, o peso respectivo e Σ+:
 PRESSIONAR VISOR PRESSIONAR VISOR
f 4 0,0000 (4 decimais)
28, Enter 28,0000 25, Σ+ 1,0000
22, Enter 22,0000 18,5 Σ+ 2,0000
25, Enter 25,0000 32, Σ+ 3,0000
g xw 25,2583 = PMP
Obs. Como se pode ver, o PMP pelos dois processos fornece o mesmo número de dias.
2.2.2. Aplicação
Utilizando os números do borderau acima e a taxa de desconto de 3% a.m. (taxa pré) 
cobrada pelo Banco, calcular: o Desconto Bancário DB, o Valor Atual Bancário AB, o 
Imposto Total sobre Operação Financeira IOFT, o valor VL que o cliente poderá usar, 
uma vez descontadas as despesas (DB e IOFT), a taxa efetiva TEP no período e a taxa 
mensal TEM, efetivamente pagas pelo tomador. 
F = R$ 75.500,00; i = 3% a.m.; d = 25,2583
a) Cálculo do DB
DB = 75.500,00 x 3 x (25,2583/3000) ð DB = 1.907,0017 reais
b) Cálculo do AB
AB = 75.500,00 – 1.907,00 ð AB = 73.593,00 reais
c) Cálculo do IOFT:
IOFT = 73.593,00 [ (0,000041 x 25,2583) + 0,0038 ]
IOFT = 73.593,00 x 0,0048 ð IOFT = 355,8656 reais 
d) Cálculo do Valor Líquido VL que o cliente poderá usar: 
VL = AB – IOFT = 73.593,00 – 355,8656 ð VL = 73.237,13 reais 
e) Cálculo da Taxa Efetiva no Período TEP:
73.237,13 ð (75.500,00 – 73.237,17) = 2.262,87
 100 ð TEP
TEP = 3,0898 ð TEP = 3,09% ao período 
 
f) Cálculo da Taxa Mensal TEM:
TEM = 3,0898% (30/25,2583) ð TEM = 3,6698% a.m. ð TEM = 3,67% a.m.
g) Comprovação dos Cálculos:
24
VL1 = 25.000,00 [[ 1 – (0,03(28/30) + 0,000041 x 28 + 0,0038 ]]
VL1 = 25.000,00 x 0,9671 ð VL1 = 24.177,50 reais
VL2 = 18.500,00 [[ 1 – (0,03(22/30) + 0,000041 x 22 + 0,0038 ]]
VL2 = 18.500,00 x 09733 ð VL2 = 18.006,01 reais
VL3 = 32.000,00 [[ 1 – (0,03(25/30) + 0,000041 x 25 + 0,0038 ]]
VL3 = 32.000,00 x 0,9702 ð VL2 = 31.045,60 reais
VL = VL1 + VL2 + VL3 ð VL = 73.229,11 reais
Como se pode ver, o valor do borderau unificado é realmente um pouco 
maior do que o conjunto dos títulos descontados isoladamente.
2.3. Desconto Racional e Valor Atual 
2.3.1. Conceito e Exemplo
Valor Atual Racional ou por dentro de um título é o valor do título que aplicado à 
taxa de juros pactuada produz um juro que somado a ele reproduz seu Valor Final: 
AR + ARin = Fn → AR (1 + in) = Fn → AR = Fn/(1 + in) (6)
 
onde: 
AR = Valor Atual Racional
Fn = Valor Final ou Nominal do Título
n = prazo para o vencimento do Título
i = taxa de juro pós
 Como se sabe, desconto de um título é a diferença entre o seu Valor Final e o 
Valor Atual; se o Valor Atual é Racional o Desconto é também Racional e a incidência 
da taxa de juro para se calcular o desconto é sobre o Valor Atual do Título: 
DR = AR x i x n ou DR = Fn – AR = Fn – Fn/(1 + in) = Fn (1 + in)/(1 + in) – Fn/(1 + in)
DR = Fn (1 + in – 1)/(1 + in) → DR = Fn x in/(1 + in) (7)
Exemplo: Qual é o Desconto Racional DR de um Título de Valor Nominal igual a R$ 
40.000,00 com vencimento para 45 dias e à taxa (pós) de 5% ao mês? 
DR = 40.000,00 x 0,05 x 1,5/(1 + 0,05 x 1,5) = 2.790,697674 = 2.790,70
 
DR = R$ 2.790,70 
 
Como AR = F – D → AR = 40.000,00 – 2.790,70= 37.209,30 → AR = R$ 37.209,30 
25
2.4. Empréstimo de Capital de Giro
 2.4.1. Conceitos e Exemplos em Juro Simples e Composto
Além da operação de “Hot Money” oferecida pelos bancos comerciais e de 
investimento para cobrir momentâneos desequilíbrios de caixa das empresas num prazo 
de 1 a 3 dias úteis (du), todos os bancos operam também o segmento mais longo dessa 
modalidade, chamado de Capital de Giro.O prazo agora varia de 1 a 3 meses e a 
negociação pode ser efetuada em dias corridos (dc) no regime de juro simples (1º 
Exemplo abaixo) e no de juro composto (2º Exemplo a seguir).
 
Normalmente, a garantia que os bancos exigem neste caso é uma NP – Nota 
Promissória – emitida pela empresa e avalizada pelos diretores e esposas ou 
companheiras, para não haver meação na única garantia do crédito.
 1º Exemplo – A empresa de cosméticos Laura & Nívea Ltda tomou por empréstimo a 
quantia de R$ 100.000,00 para 65 dias à taxa efetiva de 3,50% ao mês no Banco Duta 
S/A. Que taxa mensal realmente foi paga pela empresa, considerando os Decretos do 
final de 2007 e de 2008 que modificaram as alíquotas do IOF? Fig. 1.1 
 
 F65 = a ser pago no final
 0 65
 VL utilizado
 Fig. 1.1
 
VL = P (1 – IOF1 x 65 – IOF2) = 100.000,00 (1 – 0,000041 x 65 – 0,0038)
 
VL = 100.000,00 (1 – 0,006465) 
VL = 99.353,50 reais
F65 = P (1 + (3,50/3.000) x 65) = 100.000,00 x1,075833 
F65 = 107.583,33 reais ð Despesa = 107.583,33 – 99.353,50 
 
Despesa = R$ 8.230,33 ð montando a regra de três simples:
99.353,50 ð 8.230,33
100 ð X
X = 8,283927% pelos 65 dias ou 
t = 3,82% a.m.
 
26
2º Exemplo – o exemplo anterior no regime de juros compostos, usando taxa efetiva e 
dias corridos dc. Mesma Fig.1.1 também.
VL = R$ 99.353,50 ð o mesmo valor anterior
F65 = 100.000,00 x (1 + (3,5/100))(65/30) = 100.000,00 x 1,077385
F65 = R$ 107.738,46 
t = ((107.738,46/99.353,50)(30/65) − 1) x 100 ð t = 3,81% a.m. 3
 
3 A taxa do 2º Exemplo no cálculo pelo regime de juro composto foi um pouco menor que a do juro simples do 1º Exemplo, 
devido à capitalização que ocorre naquele regime e que faz com que o fator do multiplicador da quantia emprestada seja 
maior e venha a produzir um valor de resgate maior. Basta reparar nos valores de resgate dos dois regimes e ver que o de 
juro composto (R$ 107.738,46) é maior que o de juro simples (R$ 107.583,33), embora a sua taxa de juro menor. 
2.5. Cheque Especial
2.5.1. Conceito
O cheque especial é uma autorização que o Banco Comercial concede ao cliente 
para ele sacar contra a sua conta corrente, mesmo quando esta não apresenta saldo, isto 
é, trata-se de um saque a descoberto ou empréstimo com limite previamente autorizado 
pelos Bancos que possuem reserva bancária
Esta autorização, concedida através de um contrato celebrado com a clientela, 
tem um dos maiores custos do mercado, com a taxa efetiva (incluindo os tributos), 
alcançando quase 10% ao mês e com capitalização mensal ou praticamente 214,00 ao 
ano. A título de comparação, a taxa preferencial do mercado brasileiro chamada taxa 
Selic, que já é muito alta para a inflação anual de 4,50% hoje no Brasil e que foi criada 
para balizar as taxas das Instituições Financeiras e financiar a nossa dívida pública 
interna, está atualmente em 8,75% ao ano (fevereiro de 2010). Realmente um disparate 
muito grande e de difícil explicação por parte das autoridades.
A operacionalização do Cheque Especial consiste na aplicação sobre o saldo 
devedor, da taxa pactuada entre o cliente e a Instituição Financeira, usando o conhecido 
método hamburguês, ou seja, sem a incorporação diária do juro ao valor que lhe deu 
origem, como se faz em juro simples. Cada Banco elege um dia (em geral o último dia 
útil do mês) para fazer a capitalização ou incorporação dos juros contabilizados a cada 
variação do saldo devedor desse mês ao saldo do mês que se inicia e então ter o novo 
saldo sobre o qual vai começar a cobrar juro para o mês iniciante. Em outras palavras, 
durante o mês é aplicado o juro simples e, mensalmente, ele é capitalizado. O devedor 
pode fazer amortizações a qualquer dia, zerando ou apenas reduzindo o saldo devedor. 
Obviamente, também são cobrados a TAC – Taxa de Abertura de Crédito 
recentemente ressuscitada e o custo de implantação periódica anual do Cheque Especial, 
além dos altos tributos de que os governantes não querem abrir mão, a exemplo do 
IOFT, escandalosamente aumentado há dois anos passados, para cobrir receitas perdidas 
com o fim da provisória Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira – 
CPMF, o conhecido imposto do cheque, que é repassado para a Receita Federal no 
princípio do novo mês que começa,
27
2.5.2. Exemplo
Calcular o saldo devedor em 31/07/2009 de um contrato de cheque especial firmado em 
09/07/2009 com a TAC de R$ 230,00 e tarifa mensal de manutenção da c/c no valor de 
R$ 36,00, ambos pagos em espécie pelo cliente no mesmo dia. A taxa de juro sobre o 
saldo devedor foi estabelecida em 8,70% ao mês com limite de R$ 10.000,00, tendo 
ocorrido os seguintes eventos financeiros em julho/2009:
1) 09/07/07 → saque de R$ 1.870,00 → SD = − 1.870,00 por 4 dias
2) 13/07/07 → saque de R$ 2.450,00 → SD = − 4.320,00 por 7 dias
3) 20/07/07 → saque de R$ 3.000,00 → SD = − 7.320,00 por 4 dias
4) 24/07/07 → depósito de R$ 5.000,00 → SD = − 2.320,00 por 7 dias
Desenvolvimento → 8,70/3.000 = 0,0029 → coeficiente diário do juro mensal 8,70%
A) Cálculo dos juros contabilizados ao longo do mês sobre os Saldos Devedores:
1) j = 0,0029 x 1.870,00 x 4 = 21,69
2) j = 0,0029 x 4.320,00 x 7 = 87,70
3) j = 0,0029 x 7.320,00 x 4 = 84,91
4) j = 0,0029 x 2.320,00 x 7 = 47,10
Total de juro no mês = 241,40 reais
B) Cálculo do IOFT contabilizado ao longo do mês
1) = (0,000041 x 4 + 0,0038) x 1.870,00 = 0,003964 x 1.870,00 = 7,41
2) = (0,000041 x 7 + 0,0038) x 4.320,00 = 0,004087 x 4.320,00 = 17,66
3) = (0,000041 x 4 + 0,0038) x 7.320,00 = 0,003964 x 7.320,00 = 29,02
4) = (0,000041 x 7 + 0,0038) x 2.320,00 = 0,004087 x 2.320,00 = 9,48
 IOFT no mês = 63,57 reais
O SD para 31/07/2009 = 2.320,00 + 241,40 + 63,57 = R$ 2.703,46, sendo que o 
IOFT é recolhido à Receita Federal de uma única vez no princípio do mês seguinte e a 
capitalização dos juros é realizada realmente no último dia do mês em pauta. 
 
28
3. DE LONGO PRAZO
3.1. OPERAÇÕES DO SISTEMA BNDES
3.1. 1. Considerações Iniciais
Constituído pelo BNDES – Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico e 
Social e pelas subsidiárias, FINAME – Agência Especial de Financiamento Industrial e 
BNDESPAR – BNDES Participações S/A, o sistema tem como objetivo financiar 
projetos e investimentos nas aquisições de máquinas e equipamentos nacionais e 
importados sem similar nacional, obras civis incluindo montagens e instalações, móveis 
e utensílios, estudos e projetos de engenharia, despesas pré-operacionais, gastos com 
treinamento de pessoal, capital de giro associado e outros mais, destinados a empresas 
sediadas no País, desde que tais projetos sigam a lista de critérios do sistema.
Contando com uma rede credenciada de agentes financeiros públicos e 
privados, onde estão presentes os Bancos Comerciais,Bancos de Investimento, Bancos 
de Desenvolvimento, e Bancos Múltiplos, as tratativas dos interessados nos diversos 
programas oferecidos começam através de uma consulta prévia ao BNDES onde 
são especificados os dados cadastrais das empresas solicitantes para fins de 
enquadramento operacional. Dependendo do programa pretendido, os interessados 
devem procurar os roteiros de informações para enquadramento junto à Área de 
Planejamento do BNDES ou o agente financeiro credenciado de sua preferência. 
Os setores básicos de atividade contemplados com variadas linhas de 
empréstimo, são os de Indústria, Infra-Estrutura, Comércio e Serviços e Agropecuária, 
sendo que o objetivo de todos os projetos deverá beneficiar um ou mais dos itens: 
implantação, expansão, modernização, capacitação tecnológica, melhoria de qualidade 
e o conseqüente aumento de produtividade, reestruturação, racionalização empresarial, 
exportação de máquinas e equipamentos etc. 
29
As participações, condições e facilitações, às vezes até taxas de juro e outras 
condescendências sobre os financiamentos, dependem muito da capacidade de 
pagamento dos beneficiários, obviamente depois de atendidos os critérios de porte dos 
pretendentes, que interferem nos percentuais dos valores e nos destinos dos recursos. 
Para isso, as empresas interessadas, considerado todo o grupo financeiro, comercial e 
industrial a que pertencem, foram classificadas pelo seu faturamento anual em:
a) micros – faturamento anual até R$ 1.200.000,00.
b) pequenas – idem de R$ 1.200.000,00 a R$ 10.500.000,00. 
c) médias – ídem de R$ 10.500.000,00 a R$ 60.000.000,00. 
d) grandes – idem acima de R$ 60.000.000,00. 
 
3.1.2. Programas
 
Existe uma variedade muito grande de programas de financiamento oferecidos 
pelo BNDES. No presente estudo que se vai fazer, serão abordados os mais procurados, 
FINEM, BNDES Automático e FINAME.
FINEM – FINANCIAMENTO A EMPREENDIMENTO
Basicamente, o FINEM é utilizado nos financiamentos de valor superior a R$ 10 
milhões destinados a investimentos, incluindo aquisição de máquinas e equipamentos 
novos de fabricação nacional e importados, exclusivamente para empresas do setor 
industrial e realizados diretamente com o BNDES ou através de agentes credenciados. 
Se o valor a ser financiado for inferior a R$ 10 milhões, o financiamento deverá 
ser feito através das instituições financeiras credenciadas. Os custos do programa, se 
resumem ao somatório de :
i) custo financeiro variável 4 + remuneração do BNDES 5 + :
ii) se com apoio direto do BNDES _ + taxa de risco de crédito 6 
iii) se com apoio de agente credenciado _ + taxa de intermediação financeira 7 + 
remuneração do agente financeiro.8
As operações com micros, pequenas e médias empresas estão isentas da taxa de 
intermediação financeira e o prazo total da operação é determinado em função da 
capacidade de pagamento do empreendimento, por parte da empresa beneficiária.
A parcela de capital de giro associado será calculada em função das necessidades 
específicas do empreendimento.
As garantias serão definidas na análise da operação (apoio direto) ou negociadas 
entre o agente financeiro e a beneficiária. 
O nível máximo de participação do BNDES varia de 60% a 100% e é indicativo 
para cada segmento de atuação, incidindo sobre o valor total do financiamento. 
 BNDES AUTOMÁTICO
30
Destinado a financiar as obras civis, montagens e instalações de um projeto para 
abrigar os móveis e utensílios, as máquinas e equipamentos nacionais e importados, 
também financiados da mesma maneira, enfim a própria empresa, o BNDES Automático 
é o financiamento mais abrangente que existe para uma Cia, pois dá apoio financeiro 
completo aos projetos de implantação, ampliação, recuperação e modernização de ativos 
fixos, até o limite de R$ 10 milhões. Inclusive gastos com estudos e projetos de 
engenharia, despesas pré-operacionais e gastos com treinamento de pessoal, além de 
capital de giro associado, são também objeto de financiamento deste programa, que só 
pode ser implementado através de agentes credenciados.
O custo total do financiamento é a taxa de juro resultante do somatório do custo 
financeiro variável, da remuneração básica do BNDES, das taxas de intermediação 
financeira e remuneração do agente financeiro, cujos valores seguem na nota abaixo. 
 
4 TJLP ou UMBNDES (Unidade Monetária do BNDES) + ECM (encargos da cesta de moeda) ou dólar USA + Libor ou 
IPCA + encargos.
5 Até 3% ao ano.
6 De 1,80% ou de 0,80% ao ano, conforme o risco do crédito e se tiver fiança bancária, respectivamente.
7 0,8% ao ano.
8 Até 4% ao ano, negociada entre o agente e o cliente.
O prazo total da operação, incluindo carência e amortização, é determinado de 
acordo com as características do projeto e da capacidade de pagamento do 
empreendimento, pela beneficiária.
O limite máximo do capital de giro associado ao investimento fixo varia em 
função do porte da beneficiária, devendo ser comprovada sua real necessidade.
 
Microempresa _ até 70%
Pequena e média empresa _ até 40%
Grande empresa _ até 15%
A participação máxima do BNDES nos investimentos financiáveis varia de 70% 
a 100% e as garantias serão negociadas entre o agente financeiro e a beneficiária.
Os beneficiários podem ser:
1. pessoas jurídicas de direito privado.
2. idem de direito público
3. empresários individuais.
4. pessoas físicas do setor agropecuário.
5. cooperativas.
6. associações.
7. fundações.
Obs – O produto BNDES AUTOMÁTICO está sujeito às normas e procedimentos 
estabelecidos pela circular nº 198 de 18/08/06
FINAME
O produto FINAME tem por objetivo precípuo, o financiamento da produção e 
da comercialização de máquinas e equipamentos novos de fabricação nacional, 
devidamente credenciados no BNDES e sempre através da intermediação financeira de 
um agente credenciado.
31
A aquisição de máquinas e equipamentos importados sem similar nacional, 
constantes da lista de ex-tarifário, estabelecida pelo Ministério do Desenvolvimento, 
Indústria e Comércio Exterior, também pode ser financiada pelo programa FINAME.
O custo total do financiamento é igual ao do BNDES AUTOMÁTICO com 
exceção da remuneração básica do BNDES, que aqui varia de 1% a 3% e da taxa de 
intermediação financeira, que não existe para as micros, pequenas e médias empresas.
Os prazos das operações, definidos em função da capacidade de pagamento das 
beneficiárias, de uma maneira geral devem respeitar o máximo de 60 meses, ressalvados 
alguns casos, como operações do transportador autônomo de cargas (até 72 meses), 
operações de financiamento à concorrência internacional (até 144 meses) e outros.
A parcela de capital de giro associado é limitado a 50% do valor do equipamento, 
no caso das microempresas; para as pequenas e médias empresas, o limite cai para 30%.
Não existem valores mínimos ou máximos para o financiamento de 
equipamentos. Todo equipamento credenciado pelo BNDES é passível de 
financiamento, independentemente do seu valor. Entretanto, para valores superiores a R$ 
10 milhões, as operações devem ser submetidas à etapa de enquadramento no BNDES.
A participação máxima do BNDES no investimento varia de 70% a 100%. 
Os beneficiários podem ser:
1. pessoas jurídicas de direito privado.
2. idem de direito público.
3. empresários individuais.
4. pessoas físicas do setor de transporte autônomo de cargas.
5. cooperativas.
6. associações.
7. sindicatos.
8. condomínios e assemelhados.
9. clubes.
 
Obs – O produto FINAME está sujeito às normas e procedimentos estabelecidos pela 
circular nº 195 de 28/07/06. 
3.1.3. Amortização dos Financiamentos
Conceitos
A amortização dos três financiamentos vistos, obedece ao SAC – Sistema de 
AmortizaçãoConstante, adaptado a algumas modificações realizadas pela equipe técnica 
do Banco. Assim, o sistema de amortização criado pelo BNDES é composto de 
prestações periódicas que englobam amortização e juro, como os sistemas de 
amortização usados no Brasil e nos outros países, ou por outra, cada prestação é a soma 
de uma parcela de amortização com outra de juro, sendo a parcela de juro dada pelo 
produto da taxa pactuada com o saldo devedor do período anterior. A parcela de 
amortização é constante, se todos os cálculos forem efetuados numa moeda estável, a 
URTJLP – Unidade de Referência da Taxa de Juro de Longo Prazo ou Unidade de 
32
Referência do BNDES, que é o que se usa fazer. Assim, ao se dividir o valor do 
empréstimo em reais pelo valor da URTJLP em reais do dia inicial da operação, obtém-
se o valor da dívida em URTJLP. Daí para a frente se passa trabalhar com a nova moeda, 
começando por determinar a parcela de amortização em URTJLP ao dividir a dívida 
pelo número de amortizações, o que obviamente vai resultar num valor constante na 
nova moeda URTJLP ao longo de todo o período da operação. A URTJLP, como vai ser 
mostrado, tem um valor em reais para cada dia e então, através do produto do número de 
URTJLPs pelo seu valor em reais do dia em que se deve fazer qualquer pagamento, se 
tem o valor desse pagamento em reais e ele é efetuado na nossa moeda corrente. 
Os períodos de carência dos programas são trimestrais como vai ser mostrado e 
os pagamentos normais são mensais e ocorrem nos dias 15 de cada mês, desde que sejam 
dias úteis. Caso contrário, postergam-se os pagamentos para o primeiro dia útil.
Nem é preciso falar nas vantagens que existem ao se usar a URTJLP para os 
cálculos da Planilha Financeira do Financiamento, tanto para o agente financeiro quanto 
para o cliente final, que passa a visualizar melhor o programa. Por isso é que os agentes 
e/ou o BNDES usam este método, que vai ser mostrado mais à frente.
A Carência dos Programas
Carência é o prazo durante o qual não existem amortizações e as prestações 
pagas pelo beneficiário final são formadas apenas pelos juros J (somatório simples 
dos custos de cada programa) ou encargos ENCK, a cada período k da carência. Esses 
encargos são obtidos através da aplicação de J sobre o Saldo Devedor do período 
anterior, como em todos os sistemas de pagamentos periódicos. Acontece que na 
composição de J, pelas normas do BNDES, só entram 6 pontos percentuais anuais da 
TJLP (custo financeiro variável mais usado) e assim, aquele saldo devedor tem que ser 
corrigido pelo que exceder aos 6% da TJLP e que não foram pagos pelo empresário a 
cada prestação, tanto no período da carência quanto nas prestações normais, que incluem 
as amortizações, enquanto a TJLP exceder 6% a.a. Vide relação (8) abaixo.
ENCK = ((1 + J/100)(t/360) – 1) x ((1 + TJLP/100)/(1,06))(t/360) x D(K-1) (8)
onde:
ENCK → encargos totais pagos na prestação de ordem k.
J → somatório de 6% da TJLP + até 3% do BNDES + até 1,80% de taxa de risco + 
até 4% da remuneração do agente financeiro, se for o caso.
 t → nº de dias corridos entre os momentos (k −1) e k ou entre dois eventos 
financeiros consecutivos, isto é, eventos que modificam o saldo devedor de um 
contrato.
D(k-1) → saldo devedor no momento (k −1). 
TJLP → expressa em %
O período da carência é sempre o trimestre e a fixação do seu início obedece aos 
seguintes critérios:
a) se a data de formalização jurídica da operação entre o BNDES ou o Agente e o 
Cliente Final se der depois do dia 15 (quinze) do mês, a carência só terá início a partir 
do dia 15 (quinze) do mês seguinte; equivale dizer que se a formalização jurídica da 
operação se der, por exemplo, a 16/01/07 e o período de carência for 2 (dois) trimestres, 
o início da contagem da carência só se dará a 15/02/07, terminando, portanto, em 
33
15/08/07 (na realidade 211 dias de carência) e assim a amortização mensal começará a 
17/09/07, pois 15/09/07 é sábado (244 dias depois da entrada dos papéis no BNDES), 
com os encargos e forma já mostrados. 
b) se a data de formalização jurídica da operação se der antes do dia 15 (quinze) do mês, 
a carência terá início a partir do primeiro dia 15 (quinze) próximo, portanto, no próprio 
mês de formalização, ou seja, o Cliente Final terá a sua carência reduzida, com o restante 
da operação se passando como no caso anterior.
3.1.4. TJLP – Taxa de Juro de Longo Prazo
A TJLP é uma taxa anual com vigência trimestral, criada no dia 1º/12/94 para 
vigir inicialmente até 1º/03/95 com o valor de 26,01% ao ano. A sua fórmula de cálculo 
era através do somatório simples entre a taxa de juro da nossa dívida externa com peso 3 
e a da dívida interna com peso 1, tomando por base os três meses anteriores, isto é, 
setembro, outubro e novembro de 1994. Posteriormente, devido a problemas surgidos
no mercado internacional com as taxas de juro da dívida externa de um país emergente 
(Rússia, em setembro de 1998), o que veio a contaminar todos os outros, a fórmula foi 
modificada para a média aritmética das doze últimas TJLPs mais 10% e a sua vigência 
também, embora continuando trimestral, passou para o trimestre civil, a partir de janeiro 
de 1999. Ainda no ano de 1999, precisamente para o último trimestre, outubro, 
novembro e dezembro, a fórmula outra vez foi modificada, passando a representar o 
somatório simples da projeção da inflação brasileira para os 12 meses à frente com a 
projeção da taxa internacional de juro, também para 12 meses adiante, obviamente taxa 
anual, mas, mantendo a vigência trimestral.
3.1.5. URTJLP – Unidade de Referência do BNDES
A URTJLP teve o seu início em 1º/12/94 por ocasião da criação da TJLP, com 
o valor de R$ 1,00. Seu cálculo nos dias subseqüentes foram e são assim encontrados:
a) descapitaliza-se a TJLP anual, com vigência para um trimestre e já 
descontada da taxa de 6% a.a. paga periodicamente pelo beneficiário, por 360 dias, que é 
o número de dias do ano comercial, obtendo-se então o fator diário que vai corrigir a 
URTJLP ao longo de todo aquele trimestre. Se a TJLP atingir 6% ao ano ou valor 
mais baixo, não será mais preciso de se corrigir o D(k-1) da relação (8), pois a TJLP 
estará sendo paga integralmente nas prestações normais. Assim vejamos:
TJLP de 1º/12/1994 a 1º/03/1995 = 26,01% a.a. (1º TJLP)
 [ 1,2601 ] (1/360) = (1,188774) (1/360) = 1,000480 → fator diário 
 1,06
URTJLP de 1º/12/94 = 1,00 real
URTJLP de 02/12/94 = 1,00 x 1,000480 = 1,000480 reais 
URTJLP de 03/12/94 = 1,000480 x 1,000480 = 1,000961 reais
URTJLP de 04/12/94 = 1,000961 x 1,000480 = 1,001442 reais etc.
34
até o dia 1º/03/1995 inclusive, quando foi publicada a 2ª TJLP. Daí em diante o cálculo 
continuou a ser dessa forma com a mudança do fator corretivo se dando a cada nova 
TJLP.
Atualmente, como já foi dito, a vigência da TJLP é a cada trimestre civil.
b) vale a pena ressaltar que a TJLP do trimestre dezembro/1998 – 
fevereiro/1999 com o valor de 18,06% a.a. e que só valeu para os 31 dias de 
dezembro/1998, porque a fórmula de cálculo foi modificada e o trimestre de vigência 
também, passando ao trimestre civil, entrou no cálculo para se chegar aos valores atuais 
de URTJLP, obviamente com o peso dos seus 31 dias. Foi mencionado com o problema 
russo. 
Assim temos: 
 [ 1,1806 ] (1/360) = 1,000299 → fator diário
 1,06
 
 (1,000299) 31 = 1,009322 → fator dos 31 dias de dezembro de 1998
Observações Operacionais no Uso da URTJLP
 Já se falou no ítem Conceitos, da maior simplicidade e transparência ao se 
trabalhar com a URTJLP no lugar da TJLP.
 AsCondições Gerais de Financiamento são as mesmas nos dois casos, a não ser 
a distribuição dos encargos cobrados a cada prestação, onde as parcelas do BNDES – 
somatório dos 6% a.a. da TJLP (descontados na formação da URTJLP) com as outras 
remunerações – são calculadas sobre o Saldo Devedor do período anterior e abatidas dos 
Encargos Totais, ficando a sobra para o agente financeiro. O Total dos encargos do 
BNDES são assim calculados de maneira exata. 
A parte do agente financeiro nunca vai corresponder percentualmente ao encargo 
dos seus “spreads”, é claro; é sempre menor, em oposição ao que cabe ao BNDES, como 
vai ser mostrado.
É conveniente lembrar que, nesse segundo caso estamos trabalhando com a 
“moeda” URTJLP e assim todos os cálculos apresentam resultados nessa “moeda”. A 
qualquer dia podemos fazer a conversão para R$, como já foi falado.
3.1.6. Planilha do Financiamento do FINAME em 
URTJLP – Quadro 1.1
Reparar que a relação (8) dos ENCK mostrada no item a Carência dos 
Programas BNDES, apenas com o intuito de tornar mais fácil o entendimento da 
cobrança da TJLP até o valor de 6% ao ano, resultando daí a necessidade de se fazer a 
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correção do saldo D(k−1) naquilo que deixou de ser pago na época da prestação de ordem 
(k−1), é muito fácil ver que nos cálculos usando URTJLP isso não é necessário, dado 
que a própria Unidade de Referência faz a correção.
Como já falado, a distribuição dos encargos cobrados ao cliente pelo Sistema 
BNDES e o agente financeiro, não é da maneira mais justa, pois o BNDES tira a sua 
parte, no caso 8,50% e o que sobrar do total é entregue ao agente, que obviamente não 
recebe a sua parte combinada, que seria de 3%.
Exemplo: Vejamos um empréstimo do Programa Finame realizado entre a FINAME e 
um Agente Financeiro nas condições abaixo, para posterior repasse ao tomador final:
 Valor a Liberar = R$ 168.000,00 
Custo Financeiro Variável =TJLP 
“Spread” BNDES = 2,5% a.a. 
“Spread” de Risco = 3% a.a. 
 Data da formalização da operação =14/06/99
 Data da liberação dos recursos =17/06/99 
 Carência = 2 períodos 
 Número Total de Amortizações = 36
Moeda usada nos cálculos _ URTJLP
Quadro 1.1
 
36
Como foi explicado em Conceitos da Amortização dos Financiamentos, o 
valor liberado de R$ 168.000,00 no dia 17/06/99 é dividido pela URTJLP desse dia 
(1,465711) e assim se obtém a dívida L = D0 = 114.620,1408 em unidades de 
URTJLPs.
D1 = D2 = D0 = 114.620,1408 URTJLPs, pois as duas primeiras prestações pagaram 
os encargos da carência cobrada.
As Amortizações A = A1 = A2 = - - - A36 = 114.620,1408 ÷ 36 _ A = 3.183,8928 
URTJLPs
D3 = 114.620,1408 – 3.183,8928 x 1 _ D3 = 111.436,2480 URTJLPs etc.
ENC1 = [(1,115) (90/360) − 1] . 114.620,1408 _ ENC1 = 3.162,0571 URTJLPs 
ENC5 = [(1,115) (29/360) − 1] . 108.252,3552 _ ENC5 = 953,4201 URTJLPs etc. 
 
 
P5 = A + ENC5 = 3.183,8928 + 953,4201 _ P5 = 4.137,3129 URTJLPs etc. 
 
ENC5 FINAME = [(1,085) (29/360) − 1] . 108.252,3552 _ ENC5 FINAME = 713,7470
ENC5 AGENTE = 953,4201 − 713,7470 _ ENC5 AGENTE = 239,6731 ∴ 
 
239,6731 = [(1 + i) (29/360) − 1] . 108.252,3552 ∴ 
 
i = 2,7834% a.a. e não os 3% a.a. pretendidos pelo agente financeiro.
3.1.7. Exercícios Resolvidos e Propostos
Obs – Nos exercícios que seguem observar que a data da entrega dos documentos ao 
BNDES ou ao AGENTE tem como objetivo determinar a vigência dos períodos de 
carência e consequentemente do início efetivo das prestações completas ou com 
amortização.
1. Em uma operação de Finame com URTJLP intermediada pelo Banco Strongarms 
S/A, os dados da negociação foram :
Valor do Financiamento = R$ 400.000,00
Custo Financeiro Valor Variável = TJLP
Remuneração Básica do BNDES = 2,50 % a.a.
Comissão do Agente Financeiro = 2,00 % a.a.
 Data da entrega dos documentos a FINAME = 19/07/06 
 Data da Liberação dos recursos = 25/07/06 _ URTJLP = 1,950747 reais
 Carência = 1 período
 Número de Amortizações = 30 (trinta)
a) Calcular o valor da 8ª prestação em URTJLP
b) Quais foram os o valores dos encargos do Agente e do BNDES contidos na 
8ª prestação ?
37
a) Cálculo de P8 
 P8 = A + ENC8
 1º) Cálculo da Quota de Amortização = A
 A = 400.000,00 . 1 = 205.049,6553 . 1 
 1,950747 30 30
 A = 6.834,9885 URTJLPS
 2º) Cálculo dos Encargos Totais ENC8 contidos na 8ª prestação 
 Total dos encargos (juros) efetivamente pagos em cada Prestação:
 J = (6,00 + 2,50 + 2,00) % = 10,50 % a.a.
 
 ENC8 = [ (1,105) (30/360) − 1 ] . D7 
ENC8 = (0,008355) . (D0 − 6 x A) _ A 1ª prestação não teve amortização.
 
ENC8 = (0,008355) . (205.049,6553 − 6 x 6.834,9885)
 
ENC8 = (0,008355) . (205.049,6553 − 41.009,9310)
 
ENC8 = (0,008355) . (164.039,7243) → ENC8 = 1.370,5519 URTJLPS 
 
 P8 = 6.834,9885 + 1.370,5519 = 8.205,5440 URTJLPS
 b) Cálculo dos ENC8 BNDES e do Agente
 
 ENC8 BNDES = [(1,085) (30/360) −1] . 164.039,7243
 ENC8 BNDES = 0,006821) . 164.039,7243 
 ENC8 BNDES = 1.118,9958 URTJLPS
 ENC8 AGENTE = 251,5561 URTJLPs 
2. Numa operação de BNDES Automático foram usados os seguintes valores:
Valor Total a Liberar = R$ 180.000,00
Custo Financeiro Variável = TJLP
“Spread” Básico do BNDES = 2,50 % a. a.
“Spread” do Agente (“Del Credere”) = 2,70 % a. a.
Data da formalização da operação = 10/07/06
Os recursos foram liberados em duas parcelas:
 1ª) 24/07/06 = R$ 80.000,00 _ URTJLP = R$ 1,950671
 2ª) 03/08/06 = R$100.000,00 _ URTJLP = R$ 1,951431
 Carência = 2 períodos : o 1º com 91 dc e o 2º com 91 dc
38
 Número de Amortizações = 30 (trinta)
Calcular o valor da 5ª Prestação (em 16/04/07), desmembrando o valor da 
amortização e os encargos do BNDES e do Agente
a) Cálculo da Dívida em URTJLP
 L1 = 80.000,00 = 41.011,5289 URTJLPS
 1,950671
 L2 = 100.000,00 = 51.244,4457 URTJLPS
 1,951431
 D0 = D1 + D2 = 92.255,9746 URTJLPS
b) Cálculo do valor de cada Amortização:
 A = 92.255,9746 = 3.075,1992 _ A = 3.075,1992 URTJLPs 
 30
c) Cálculo do Saldo Devedor da época 4 (anterior) D4:
 D4 = D0 − A X 2 _ dado que só houve duas amortizações
 
 D4 = 92.255,9746 − 3.075,1992 x 2 = 92.255,9746 − 6.150,3984 
 D4 = 86.105,5762 URTJLPs
d) Cálculo dos Encargos ENC5 da 5ª Prestação:
Total dos Encargos de cada Prestação = (6 + 2,50 + 2,70) % = 11,20 % a.a.
 
 ENC5 = [(1,1120 (32/360) −1] . D4 = 0,009481 x 86.105,5762 
 ENC5 = 816,3778 URTJLPs
e) Cálculo dos ENC5 do BNDES
 ENC5 BNDES = [(1,085) (32/360) − 1] . D4 
 ENC5 BNDES = 626,6687 URTJLPS 
f) Cálculo dos ENC5 do Agente:
 ENC5 AGENTE = 816,3778 − 626,6687 
 ENC5 AGENTE = 189,7091 URTJLPS
 Obs – O ENC5 AGENTE deveria ser de 204,1544 URTJLPS para representar os 
2,70 % a.a. previamente acordados. Como está, a remuneração paga foi de: