e-Book - Matemática Básica

Prévia do material em texto

Olá, aluno!
Na Unidade 1, serão abordados os sistemas de numeração, que foram o ponto de partida para o desenvolvimento das operações aritméticas dos dias atuais, além dos conjuntos 
numéricos e a compreensão de problemas numéricos. 
APRESENTAÇÃO
Reitor
Gustavo Pereira da Costa
Vice-Reitor
Walter Canales Sant´ana
Pró-Reitoria de Graduação
Zafira da Silva de Almeida
Pró-Reitoria de Gestão de Pessoas (PROGEP)
José Rômulo Travassos da Silva
Pró-Reitoria de Planejamento e Administração (PROPLAD)
Antonio Roberto Coelho Serra
Pró-Reitoria de Extensão e Assuntos Estudantis (PROEXAE)
Paulo Henrique Catunda Aragão
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-graduação (PPG)
Rita de Maria Seabra Nogueira
Pró-Reitoria de Infraestrutura (PROINFA)
Fabíola de Oliveira Aguiar
Núcleo de Tecnologias para Educação
Ilka Márcia Ribeiro S. Serra - Coordenadora Geral
Assessoria de Programas e Projetos Especiais
Eliza Flora Muniz Araújo
Coordenação do Setor Design Educacional
Cristiane Peixoto - Coord. Administrativa
Maria das Graças Neri Ferreira - Coord. Pedagógica
Conteudista
Edmilson Mendes Meireles Junior
Revisão de Linguagem
Marco Antonio Pereira dos Santos
Designer Pedagógica
Luciana de Souza
Projeto Gráfico e Diagramação
Josimar de Jesus Costa Almeida
Capa
Yuri Almeida
UNIVERSIDADE 
ESTADUAL DO 
MARANHÃO
O sistemas de numeração que conhecemos são:
Os egípcios;
Os babilônios;
Os maias;
Os romanos;
O hindu-arábico.
Os conjuntos numéricos são:
Números naturais;
Números inteiros;
Números racionais;
Números irracionais;
Números reais.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Egípcios (3.000 a.C.)
Um dos primeiros sistemas de numeração que temos conhecimento é o egípcio, 
desenvolvido pelas civilizações que viviam no vale do Rio Nilo, ao nordeste da 
África.
Os símbolos e as suas representações
Este sistema adota o princípio aditivo, ou seja, os símbolos possuem 
seus respectivos valores individuais e juntos passam a formar novos 
valores pela simples adição destes.
Os egípcios da Antiguidade utilizavam um sistema muito interes-
sante para escrever números, baseando-se em agrupamentos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
I II III IIII
II
II
I
III
III
III
III
I
IIII
IIII
IIII
IIIII
Fonte: do Autor
Ao chegar às dezenas, os traços foram substituídos por ∩:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
∩ ∩I ∩II ∩III ∩IIII
∩III
II
∩III
III
∩III
IIII
∩IIII
IIII
∩IIII
IIIII
∩ ∩
∩ ∩
I
Fonte: do Autor
Por exemplo:
2.019 = 1.000+1.000+10+1+1+1+1+1+1+1+1+1.
Babilônios (2000 a.C.)
Os babilônios viviam na Mesopotâmia, nos vales dos rios Tigres e 
Eufrates, na Ásia. Esta região é ocupada atualmente pelo Iraque.
Sistema de numeração babilônio
7 9 14 26 59
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: do Autor
Na escrita dos números, o sistema de numeração dos babilônios se 
parecia muito com o sistema de numeração desenvolvido pelos egíp-
cios, pois ambos eram aditivos. Observe os símbolos e a representa-
ção de alguns números, de 7 a 59, nesse sistema de numeração.
Romanos
O sistema de numeração romano, apesar das dificuldades 
operatórias que apresentava, foi utilizado na Europa durante 
muitos séculos. Ele foi desenvolvido pela civilização romana, cuja 
sede era a cidade de Roma, situada na Itália.
São utilizadas sete letras (símbolos), que representam os seguintes 
números:
1
5
10
50
100
500
1000
I
V
X
L
C
D
M
Maias
No sistema de numeração maia, os algarismos são representados 
por símbolos, ou seja, por pontos e barras horizontais. Foram 
adotados pela civilização pré-colombiana e consiste num sistema 
de numeração vigesimal, isto é, de base vinte. De acordo com 
relatos históricos, o sistema é vigesimal porque possui como base 
a soma dos números de dedos das mãos e dos pés.
Fonte: do Autor
Fonte: do Autor
Com o passar dos anos, o sistema de numeração romano sofreu um 
longo processo de evolução. Inicialmente, os romanos utilizavam 
apenas o princípio aditivo, sendo que um mesmo símbolo podia 
ser repetido até, no máximo, quatro vezes. Posteriormente, com 
a evolução, passou-se a utilizar também o princípio subtrativo e 
a permitir a repetição de um mesmo símbolo, no máximo, três 
vezes.
2
3
20
30
200
300
2000
3000
II
III
XX
XXX
CC
CCC
MM
MMM
Ainda hoje utilizamos esse sistema de numeração em algumas 
situações, tais como:
• na designação de papas e reis;
• na designação de séculos e datas;
• na indicação de capítulos e volumes de livros;
• nos mostradores de alguns relógios etc.
Você sabia?
Fonte: do Autor
Para formar outros números romanos, utiliza-se as letras acima 
repetindo-as uma, duas ou três vezes (nunca mais de três), sendo 
que as letras V, L e D não podem ser repetidas.
Para formar números diferentes dos citados até agora, devemos 
saber que as letras I, X e C colocam-se à esquerda de outras de 
maior valor para representar a diferença deles, obedecendo às 
seguintes regras:
I coloca-se à esquerda de V ou X;
X coloca-se à esquerda de L ou C;
C coloca-se à esquerda de D ou M;
Se colocarmos um símbolo de maior valor primeiro que o de menor 
valor, somamos os números assim:
VI ( 5 + 1)
XIII (10 + 3)
LIV (50 + 4)
CX (100 + 10)
6
13
54
110
Fonte: do Autor
Se colocarmos um símbolo de menor valor primeiro que o de 
maior valor, diminuímos os números. Assim:
IV (5 - 1)
IX (10 - 1)
XL (50 – 10)
XC (100 – 10)
CD (500 – 100)
CM (1000 – 100)
4
9
40
90
400
900
Fonte: do Autor
Para o maior valor na 
adição e subtração.
Atenção!
Sobre operações com números romanos, efetue a adição:
DCCV + CDIX =
Passo para expressar numericamente:
DCCV = 500 + 100 + 100 + 5 = 705
CDIX = 400 + 9 = 409
Efetuar, 705 + 409 = 1.114.
Obs.: Esta questão proposta será base para sua atividade virtual.
Hindu-Arábico
Os hindus, que viviam no vale do Rio Indo, onde hoje é o 
Paquistão, conseguiram desenvolver um sistema de numeração 
que reunia as diferentes características dos antigos sistemas.
Tratava-se de um sistema posicional decimal. Posicional porque 
um mesmo símbolo representava valores diferentes dependendo 
da posição ocupada, e decimal porque era utilizado um 
agrupamento de dez símbolos.
Evolução do Sistema de Numeração Hindu-Arábico
HINDU
300 a.C.
HINDU
500 d.C.
ÁRABE
900 d.C.
ITALIANO
1400 d.C.
TOTAL
ÁRABE 
(ESPANHA)
1000 d.C.
Atividade
Formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema 
posicional, ou seja, a posição do algarismo no número modifica o 
seu valor.
Características
• Possui símbolos diferentes para representar quantidades de 1 a 9 
e um símbolo para representar a ausência de quantidade (zero).
• Como é um sistema posicional, mesmo tendo poucos símbolos, 
é possível representar todos os números.
As quantidades são agrupadas de 10 em 10 e recebem as seguintes 
denominações:
10 unidades = 1 dezena;
10 dezenas = 1 centena;
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante.
Por exemplo, o número 2.019
9 unidades
10 unidades = 1 dezena
0 unidades = nenhuma centena
2.000 = unidades = 2 unidades de milhar.
Ordens e Classes
No sistema de numeração decimal, cada algarismo representa 
uma ordem, começando da direita para a esquerda. A cada três 
ordens, temos uma classe.
CLASSE DOS BILHÕES
12ª ordem 11ª ordem 10ª ordem
Centenas de bilhão Dezenas de bilhão Unidades de bilhão
CLASSE DOS MILHÕES
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem
Centenas de milhão Dezenas de milhão Unidades de milhão
CLASSE DOS MILHARES
6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem
Centenas de milhar Dezenas de milhar Unidades de milhar
CLASSE DAS UNIDADES SIMPLES
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centenas Dezenas Unidades
Fonte: do Autor
Exemplo
a. 57283
Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a 
esquerda e colocamos um ponto para separar o número: 57. 283.
No quadro anterior, vemos que 57 pertence à classe dos milhares 
e 283 à classe das unidades simples. Assim, o número será lido 
como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e três.
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais (N)
O conjuntodos números naturais é representado por N. Ele reúne os números 
que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
Subconjuntos dos Números Naturais
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não-
nulos, ou seja, sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais 
ímpares.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne 
todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. 
Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjunto 
dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-
negativos. Note que Z+= N.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e 
sem o zero.
Z– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-
positivos.
Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros 
negativos e sem o zero.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é representado por Q e 
reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, 
sendo p e q números inteiros e q ≠ 0.
Subconjuntos dos Números Racionais
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado 
pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado 
pelos números racionais positivos e o zero.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado 
pelos números racionais positivos, sem o zero.
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado 
pelos números racionais negativos e o zero.
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado 
números racionais negativos, sem o zero.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado por I e reúne os números 
decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica.
Por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
É importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e 
não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por 
exemplo: 1,3333333...
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado 
pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além 
disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também 
irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
Subconjuntos dos Números Reais
R*= {x ∈ R | x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R | x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R | x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R | x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
 RAZÃO E PROPORÇÃO
O que é razão?
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente 
𝑎
𝑏
, ou 𝑎 ÷ 𝑏.
Nesta expressão, a é chamado de antecendete e b consequente.
A leitura é realizada da seguinte forma: a está para b.
Olá, aluno!
C hegamos à nossa última Unidade 2! Aqui nós poderemos aplicar os conhecimentos adquiridos ao longo da disciplina e compreender sua indispensabilidade na interpretação de uma 
fração, porcentagem e equação; construções de equações do primeiro 
grau e técnicas de resoluções. Compreenderemos as resoluções de 
uma porcentagem de forma tradicional com o uso do por cento % e 
com uso de uma equação do primeiro grau. 
APRESENTAÇÃO
O que é razão?
Teorema fundamental das proporções;
Métodos de resolução para porcentagens;
Métodos de resolução problemas do 1° grau.
Termos Antecedente
Consequente
𝑎
𝑏
Por exemplo:
Em um concurso para Técnico em Assistente Administrativo, participaram 4.500 
participantes e foram aprovados 500. Estabeleça a razão do número de candidatos 
aprovados para o total de candidatos participantes do concurso.
Resolução:
Dados:
Total = 4.500
Aprovados = 500
A razão estabelecida é 
500
4.500
Proporção
Dadas duas razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 com b e d ≠ 0, teremos uma proporção 
se 
𝑎
𝑏
 = 
𝑐
𝑑
A esse tipo de igualdade entre duas razões, dá-se o nome 
de proporção. Na expressão acima, a e c são chamados de 
antecedentes e b e d de consequentes.
A proporção também pode ser representada como a : b = c : d. 
Qual quer uma dessas expressões é lida assim: a está para b assim 
como c está para d. É importante notar que b e c são denominados 
meios e a e d, extremos.
Por exemplo:
Usando o teorema fundamental das proporções, verifique se são 
proporções ou não.
a. 45 = 
8
10
Resolução: Primeiro, efetua-se a multiplicação cruzada pela ideia 
do teorema.
a. 45 = 
8
10
4 . 10 = 5 . 8 40 = 40
Note que, após a multiplicação, encontrou-se uma igualdade, ou 
seja, estas razões formam sim uma proporção.
b. 1355 = 
87
15 
13 . 15 = 55 . 87 195 ≠ 4 . 785
Note que, após a multiplicação, encontrou-se uma desigualdade, 
ou seja, estas razões não formam uma proporção.
Porcentagens
Algumas situações envolvendo porcentagem podem ser resolvidas 
por meio de uma multiplicação cruzada.
Entendemos que porcentagem é uma razão centesimal (fração com 
denominador igual a 100) que é denominada de taxa percentual 
e é representada pelo símbolo % (por cento). 
Por exemplo, se temos 45%, podemos representá-lo das 
seguintes formas:
TAXA PERCENTUAL = 45%
FRAÇÃO PERCENTUAL = 
45
100
NÚMERO CENTESIMAL = 0, 45 
NOTE QUE:
• A taxa percentual é representada pelo símbolo %.
• A fração percentual é indicada por denominador 100.
• O número centesimal é indicado por dois números 
após a vírgula, ou seja, à direita.
1. A empresa WDP possui um grupo de técnicos em assistente 
administrativo com 180 funcionários, divididos nos seguintes 
subgrupos, pela faixa etária.
• 45% tem idade igual a 20 anos.
• 20% tem idade superior a 20 anos.
• 35% tem idade menor que 20 anos.
a. Em relação aos valores em porcentagem, expresse: a fração 
percentual e o número centesimal.
b. Calcule a quantidade de técnicos referentes em cada taxa 
percentual.
Resolução:
Letra a:
Fração percentual: 
45% = 
45
100
20% = 
20
100
35% = 
35
100
Número centesimal: 
0, 45
0, 20
0, 35
Atividade
OBS.: Fique atento, pois utilizará na sua atividade 
avaliativa dicas desta questão proposta.
Resolução: Letra b
O cálculo de quantidades pode ser feito de várias maneiras 
lógicas, como: 
Cálculo referente a 45% de 180, usando fração percentual
45
100 × 180 =
45 × 180
100 =
8100
100 = 𝟖
Agora, usando número centesimal
0,45 × 180 = 81
Cálculo referente a 20% de 180, usando fração percentual
20
100 × 180 =
20 × 180
100 =
3600
100 = 𝟑𝟔
Agora, usando número centesimal
0,20 ×180 = 36
Cálculo referente a 35% de 180, usando fração percentual
35
100 × 180 =
35 × 180
100 =
6300
100 = 𝟔𝟑
Agora, usando número centesimal
0,35 × 180 = 63
Note que ambos os métodos encontraram a 
mesma resposta.
PROBLEMAS DO 1° GRAU
Equações
São sentenças matemáticas com um sinal de (=) e pelo menos uma incógnita 
(representada por uma letra).
Resolver uma equação é descobrir o valor desconhecido, ou seja, a incógnita 
que torna a sentença verdadeira. 
Por exemplo, vamos considerar a equação:
2𝑥 + 2.019 = 2.025. Se a incógnita (x) for substituída pelo número 3, ficamos com:
2 ∙ 3 + 2.019 = 2.025
ou
6 + 2.019 = 2.025
Verifica-se que é uma sentença verdadeira, logo, 3 é solução dessa equação.
Outro exemplo. Vamos considerar a equação:
3𝑥 + 2.019 = 2.025. Se a incógnita (x) for substituída pelo 
número 4, ficamos com:
3 ∙ 4 + 2.019 = 2.025
ou
12 + 2.019 = 2.031
Verifica-se que não é uma sentença verdadeira, logo, 4 não é 
solução dessa equação.
Fique atento neste conteúdo,pois será importante 
na sua atividade avaliativa.
Para resolver problemas do 1° grau através de equações, é 
necessário traduzir a situação apresentada para a linguagem 
algébrica. Por exemplo, vamos considerar o seguinte problema:
Um técnico assistente administrativo, da empresa WDP, deseja 
dividir a quantia de 𝑹$ 𝟑𝟕𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 entre três departamentos, de 
modo que o departamento A receba o dobro do departamento B 
e que este receba 𝑹$ 𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 a mais que o departamento C.
Isso resulta na equação:
 𝑥 + 𝑥 + 50.000 + 2(𝑥 + 50.000) = 370.000
A solução é x = 55.000, ou seja, a parte do DP(C) será R$ 
55.000,00; a do DP (B) será R$ 105.000,00; e a do DP (A) será 
R$ 210.000,00.
370.000
DP(A) → 2(x + 50.000)
DP(B) → x + 50.000
DP(C) → x
REFERÊNCIAS
IMENS, Luiz Márcio. Matemática. 7 ano 2 ed. São Paulo: Moderna, 2012.
SOUZA, Joamir Roberto de. Vontade de saber matemática. 6 ano. São Paulo: 
FTD, 2009.
Só matemática. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/ Acesso em: 
11 ago. 2019.
ANDRINI, Álvaro. Praticando matemática. 6 ano. 4ed. Renovada. São Paulo. 
Editora do Brasil, 2015.
ANDRINI, Álvaro. Praticando matemática. 7ano. 4ed. Renovada. São Paulo. 
Editora do Brasil, 2015.