EP4-2022-2_GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP4 – Introdução à combinatória de contagem – 2/2022
Código da disciplina EAD01093
GABARITO
Questão 1 Quantos são os elementos do conjunto {1, 2, 3, . . . , 500} que são diviśıveis por 3 ou 5
mas não são diviśıveis por 7?
R: Definem-se:
A1 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 3}.
A2 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 5}.
A3 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 7}.
Deseja-se calcular n((A1 ∪ A2) − A3). De forma geral, pode-se representar n((A1 ∪ A2) − A3)
como n(A1 ∪ A2) − n((A1 ∪ A2) ∩ A3). Assim, a partir das propriedades associativas e de inclusão
e exclusão, tem-se, para cada parte da equação, os seguintes resultados
n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2)
e
n((A1 ∪ A2) ∩ A3) = n((A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3)) (1)
= n(A1 ∩ A3) + n(A2 ∩ A3) − n(A1 ∩ A2 ∩ A3)
Logo, é necessário encontrar a quantidade de elementos em cada um dos conjuntos descritos nas
equações acima. Portanto, seguem
n(A1) =
[500
3
]
= 166,
sendo [ ] = a parte inteira.
n(A2) =
[500
5
]
= 100
n(A3) =
[500
7
]
= 71
Note que A1 ∩ A2 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 15}, então
n(A1 ∩ A2) =
[500
15
]
= 33
.
Note que A1 ∩ A3 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 21}, então
n(A1 ∩ A3) =
[500
21
]
= 23
.
Note que A2 ∩ A3 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 35}, então
n(A2 ∩ A3) =
[500
35
]
= 14
Introdução à combinatória de contagem EP4 2
.
Note que A1 ∩ A2 ∩ A3 : {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 500 e x é diviśıvel por 105}, então
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) =
[500
105
]
= 4
.
Logo, tem-se
n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2) (2)
= 166 + 100 − 33
= 233
e
n((A1 ∪ A2) ∩ A3) = n(A1 ∩ A3) + n(A2 ∩ A3) − n(A1 ∩ A2 ∩ A3) (3)
= 23 + 14 − 4
= 33
Assim,
n((A1 ∪ A2) − A3) = n(A1 ∪ A2) − n((A1 ∪ A2) ∩ A3) (4)
= 233 − 33
= 200.
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