AULA 1 - Pesquisa Operacional e Tomada De Decisão (20pág)

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Pesquisa operacional 
como ferramenta de tomada de 
decisão 
DESCRIÇÃO 
A Pesquisa Operacional e sua aplicação na análise de decisões, a Programação Linear na solução de problemas 
complexos e o método gráfico para asolução de modelos de Programação Linear. 
 
PROPÓSITO 
Compreender o conceito, a origem e as aplicações da Pesquisa Operacional para fins de apoio ao processo de 
tomada de decisão na atuação comogestor, em especial, na solução de problemas complexos. 
 
PREPARAÇÃO 
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos uma régua para aplicar o método gráfico. Também são necessários 
uma calculadora ou um software editor de planilhas eletrônicas para realizar as operações matemáticas 
necessárias. 
 
INTRODUÇÃO 
É comum termos dificuldades para identificar a melhor solução quando nos deparamos com um problema 
complexo. Afinal, são tantos os dados e possíveis cenários que não conseguimos processar sozinhos tantas 
informações. Esse tipo de situação é comum em nossas vidas pessoais e, especialmente, nos negócios. 
 
Acabamos, nesses casos, tomando decisões com base em opiniões, intuições ou em experiências passadas – nossas 
ou mesmo de outras pessoas ou empresas. Sem dúvidas, esses caminhos são importantes e devem ser sempre 
considerados no processo de tomada de decisão. No entanto, em situações complexas, o desenvolvimento de 
modelos pode ser uma poderosa ferramenta de auxílio à tomada de decisão. 
 
Modelos são simplificações do objeto ou do problema de decisão que representam. A grande vantagem em adotar 
um modelo para apoio ao processode tomada de decisão é a possibilidade de examinar diferentes cenários, em 
geral, de forma mais rápida e barata do que se fosse analisado na realidade. 
 
Entre os diversos tipos de modelo que podem ser utilizados, destacam-se os modelos matemáticos, que adotam a 
lógica e a formulação matemáticapara representar o problema estudado. 
 
A Pesquisa Operacional (PO) é o campo do conhecimento que trata do desenvolvimento de modelos matemáticos 
e algoritmos para auxiliar o decisor na análise de problemas complexos. A PO se destaca por fornecer uma 
ferramenta quantitativa para apoio ao processo de tomada de decisão para problemas complexos. 
 
No primeiro módulo, iremos abordar os principais conceitos da Pesquisa Operacional, sua origem e a importância 
de sua aplicação no ambiente gerencial. A PO compreende diferentes técnicas, como programação matemática, 
simulação, cadeias de Markov, métodos estatísticos, Teoria dasFilas, Teoria dos Jogos, Teoria dos Grafos, heurística 
e meta-heurísticas. Neste conteúdo, iremos focar em programação matemática, mais precisamente na 
Programação Linear. 
 
No segundo módulo, conheceremos as técnicas de Programação Linear para o desenvolvimento de modelos 
matemáticos e da aplicação do métodográfico para a solução de problemas de Programação Linear. 
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MÓDULO 1 
Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional 
e sua importância no processo de tomada de decisão 
 
PESQUISA OPERACIONAL 
A Pesquisa Operacional (PO) é definida pela Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) como: 
 
A ÁREA DE CONHECIMENTO QUE ESTUDA, DESENVOLVE E APLICA 
MÉTODOS ANALÍTICOS AVANÇADOS PARA AUXILIAR NA TOMADA DE 
MELHORES DECISÕESNAS MAIS DIVERSAS ÁREAS DE ATUAÇÃO HUMANA. 
SOBRAPO, 2021 
 
A Pesquisa Operacional fornece ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões (PRADO, 2016). 
Dessa forma, a PO auxilia o decisor na análise de variados aspectos e situações de um problema complexo, por 
meio de uso de técnicas de modelagem matemática e eficientes algoritmos computacionais. Isso permite a tomada 
de decisões efetivas e a construção de sistemas mais produtivos (SOBRAPO, 2021). 
 
O estudo da PO permite o domínio de diversas técnicas relacionadas à programação e modelagem matemática. 
 
Por meio desses conceitos e das ferramentas quantitativas, poderemos analisar os mais variados tipos de 
problemas, e fornecendo dados einformações concretos para auxiliar no processo de tomada de decisão. 
 
SAIBA MAIS 
Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional 
Fundada em 1969, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) reúne os 
profissionais de Pesquisa Operacional que atuam no País – em universidades, na iniciativa 
privada e no setor público –, com o objetivo de incentivar o desenvolvimento desse campo do 
conhecimento. 
 
Além de organizar simpósios anuais, a SOBRAPO mantém as revistas Pesquisa Operacional e 
Pesquisa Operacional para Desenvolvimento,buscando incentivar a publicação sobre o tema. 
 
ORIGEM – CIRCO DE BLACKETT 
A PO teve seus primeiros casos de aplicação no meio militar, durante a Segunda Guerra Mundial. Na ocasião, 
foram formados grupos de cientistas de diferentes especialidades a fim de oferecer apoio quantitativo aos 
comandantes das operações militares inglesas e norte-americanas para a solução de complexos problemas de 
natureza logística e de tática e estratégia militar (BELFIORE; FÁVERO, 2012). 
 
SAIBA MAIS 
Entre os grupos formados, destacou-se o aquele liderado por Patrick Maynard Stuart Blackett 
– o Barão de Blackett. A equipe do Barão de Blackett, composta por membros de formações 
diversas – físicos, matemático, topógrafos, astrofísicos e fisiólogos –, era conhecida como o 
Circo de Blackett. Aequipe foi responsável pela publicação de um dos primeiros artigos sobre 
Pesquisa Operacional. 
 
O artigo apresentava um modelo matemático para analisar o emprego dos meios antiaéreos das tropas aliadas 
para fazer frente aos bombardeiros alemães (Stuckas). Outros problemas típicos abordados na ocasião se referiam 
ao tamanho e roteamento de comboios, ao gerenciamento da produção e à distribuição de armamentos e 
munições, à coleta e distribuição de correspondência, ao problema de escala e à localização de radares, de modo a 
maximizar as áreas de cobertura. 
 
Os bons resultados obtidos com a aplicação das técnicas de Pesquisa 
Operacional durante a Segunda Guerra levaram à disseminaçãodesse conhecimento entre organizações de 
diversas áreas após o fim do período de combate. 
 
A partir de 1947, é crescente o interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar para 
auxiliar no planejamento econtrole da produção. 
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ATENÇÃO 
A disseminação da Pesquisa Operacional na área de planejamento e controle, no entanto, 
só foi possível devido aos avanços que ocorriam no campo da informática. Tais avanços 
permitiram o advento de microcomputadores, bem como o aumento da velocidade e de 
capacidade de processamento computacional. 
 
APLICAÇÃO DA PO NA ANÁLISE DE DECISÃO 
Empresas dos mais diversos setores, atualmente, empregam técnicas de Pesquisa Operacional com intuito de 
tornar seu processo de tomada de decisão mais eficiente e assertivo. Além do meio militar, a PO é aplicada em 
indústrias de manufaturas, empresas de transporte, empresas de construção, de telecomunicações, bancos, em 
assistência médica e até no serviço público. 
 
Veja algumas empresas que utilizam a PO: 
 
 PETROBRÁS 
A Petrobrás é uma empresa petroleira que possui diversos especialistas em pesquisa operacional em seu quadro de 
funcionários. Esses especialistas utilizam modelos matemáticos para analisar e criar cenários para diferentes 
problemas de natureza complexa. 
 
Entre os problemas resolvidos com auxílio da PO, podemos citar o dimensionamento da frota e a roteirização de 
helicópteros para o transporte de pessoal para as plataformas offshore, a previsão de reservas de petróleo, a 
programação de operações em poços de petróleo, a alocação de equipes em diversas atividades ou o 
gerenciamento da distribuição de derivados de petróleo. 
 
 MRS LOGÍSTICA 
A MRS Logística – operador ferroviário que atua na Malha Regional Sudeste da antiga Rede Ferroviária Federal S.A. 
– também é um exemplo deempresa brasileira que adota diferentes técnicas de pesquisa operacional para apoiar 
seus diferentes processos de tomada de decisão. 
 
AMRS possui especialistas em diversas técnicas de PO que utilizam seu conhecimento para apoiar a solução de 
problemas complexos. Entre esses problemas, estão a alocação eficiente da tripulação nos trens, a alocação de 
locomotivas e vagões nas diferentes composições de trens, a programação de manutenção preventiva de seus 
ativos, ou o processo de planejamento e programação do transporte ferroviário de carga. 
 
 CONSULTORIA ESPECIALIZADA 
Existem empresas de consultoria especializadas em Pesquisa Operacional, que fornecem seus serviços para auxiliar 
outras organizações na solução em seus processos de tomada de decisão. Tais empresas utilizam conceitos das 
diversas áreas da PO – como programação matemática, simulação ou Inteligência Computacional – para modelar 
os problemas de seus clientes. 
 
As empresas conseguem, com isso, rodar diversas análises, fornecendo dados aos seus clientes sobre como o 
evento em estudo se comportaria emdiversos cenários, sujeito a alterações dos parâmetros. 
 
PROBLEMAS DO COTIDIANO 
É evidente a importância da Pesquisa Operacional na análise de decisão, em especial no ambiente gerencial. No 
entanto, as técnicas de pesquisaoperacional também podem auxiliar a tomar decisões no seu dia a dia. 
 
EXEMPLO 
Vamos supor que você queira comprar seu primeiro carro. Para isso, tem economizado a 
remuneração que recebe no estágio e deseja selecionar investimentos para obter o 
melhor rendimento possível. Nesse caso, o planejamento financeiro pode ser modelado 
por um modelo matemático queauxiliará a maximizar os seus rendimentos. 
 
O planejamento financeiro é apenas um exemplo de como você pode aplicar conceitos de 
PO em sua vida cotidiana. 
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Ao aplicar conceitos de PO para a solução de um problema, desenvolvemos um modelo matemático para 
representar o fenômeno estudado. 
Dessa forma, conseguimos analisar diversos cenários e ter estimativas baseadas em uma análise quantitativa. 
 
As decisões, portanto, não serão tomadas apenas com base em opiniões, intuições ou experiências passadas de 
outras pessoas ou empresas. Aomodelar um problema, temos um processo decisório mais criterioso e com menos 
incertezas. 
 
MODELO 
 
"um modelo é uma representação abstrata e simplificada de um sistemareal, com o 
qual se pode explicar, reproduzir, simular ou testar seu comportamento, no todo ou 
em partes". 
COUGO, 1997 
 
Um mapa é um modelo, assim como uma maquete que o arquiteto utiliza para que seus clientes consigam ter 
noção da visão espacial, em 3D, do projeto desenvolvido. Uma formulação matemática usada para expressar um 
fenômeno físico também é um modelo. 
 
É importante ter em mente que os modelos são versões simplificadas 
do objeto ou problema de decisão que representam. 
 
Entretanto, para que seja válido, o modelo precisa representar, de forma precisa, as características relevantes do 
objeto ou problema de decisão estudado. Afinal, espera-se que o modelo melhore os processos de tomada de 
decisão ao ser implementado. 
 
ATENÇÃO 
A modelagem permite explicitar objetivos, bem como a possibilidade de ganhar 
conhecimento e entendimento sobre o problema investigado. Além disso, a implantação 
de um modelo quantifica as decisões, permitindo a análise de cenários que seriam 
impossíveis de serem analisados na realidade. Outra vantagem da construção de modelos 
é a economia de recursos e de tempo. 
 
Na PO, modelamos os problemas matematicamente e, a partir do modelo obtido, usamos algoritmos para 
encontrar soluções para diferentes cenários do problema a ser analisado. Podemos utilizar diferentes tipos de 
modelos, como veremos a seguir nesta aula. 
 
Os diferentes tipos de modelo nos levam a adotar diferentes técnicas de PO, como Programação Linear, 
Programação Não Linear, Teoria dasFilas, Simulação, Inteligência Computacional e Teoria dos Jogos. Nesta aula, 
vamos conhecer os modelos de Programação Linear. 
 
Veja o posicionamento da Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) sobre Disciplinas da pesquisa 
Operacional: 
 
DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL 
A Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) é a instituição representativa 
de docentes, discentes e profissionais de Engenharia de Produção no País. Em 2017, a 
ABEPRO organizou as áreas do conhecimento relacionadas à Engenharia de Produção, 
tanto na graduação quanto naPós-Graduação, na pesquisa e nas atividades profissionais. 
 
A Pesquisa Operacional, por ser uma importante área do conhecimento para a Engenharia de Produção, foi incluída 
na organização da ABEPRO. 
 
De acordo com o documento da ABEPRO, a PO envolve resolução de problemas reais, envolvendo situações de 
tomada de decisão, por meio de modelos matemáticos processados computacionalmente. Aplica conceitos e 
métodos de outras disciplinas científicas na concepção, no planejamento ou na operação de sistemas para atingir 
seus objetivos. Procura, assim, introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de 
decisão, sem descuidar dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os 
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problemas. 
 
O documento ainda organiza as principais disciplinas de PO em: 
 
1. Modelagem, Simulação e Otimização 
2. Programação Matemática 
3. Processos Decisórios 
4. Processos Estocásticos 
5. Teoria dos Jogos 
6. Análise de Demanda 
7. Inteligência Computacional 
 
O foco deste tema é a Programação Matemática. 
 
 
MODELOS MATEMÁTICOS 
Ragsdale (2009) define um modelo matemático como: 
 
Conjunto de relacionamentos matemáticos e suposições lógicas, geralmente implementados em um computador, 
como representação de algumproblema ou fenômeno de decisão do mundo real. 
 
O modelo matemático usa a lógica e a formulação matemática para obter uma representação do problema ou do 
evento a ser analisado e, a partir de então, analisar, desenvolver cenários e obter soluções para a situação 
modelada. 
 
O uso de modelos matemáticos é mais barato do que replicar a estrutura real, além de permitir testar todas as 
possíveis soluções para diferentes cenários (RODRIGUES et al., 2014). 
 
COMPOSIÇÃO 
Um modelo matemático em pesquisa operacional é composto, basicamente, por variáveis de decisão, funções 
objetivo e restrições. O modelo de otimização busca os valores das variáveis de decisão que otimizam – 
maximizam ou minimizam – a função objetivo, ao mesmo tempo emque atendem às restrições às quais o problema 
é submetido. Vejamos alguns exemplos: 
 
 FUNÇÃO OBJETIVO - MAXIMIZAR OU MINIMIZAR 
Maximizar lucro de uma empresa 
 
 SUJEITO A RESTRIÇÕES 
Disponibilidade de matérias-primas, de mão de obra etc. 
 
Por exemplo, para aplicar o dinheiro que você conseguiu economizar com a remuneração de seu estágio, você 
vai ao banco verificar asdiferentes opções de investimento disponíveis. 
 
Nesse problema, você deseja maximizar seu rendimento – função objetivo. Os recursos que você aplicará em cada 
opção de investimento são as variáveis de decisão. Além disso, você está sujeito às restrições relativas ao total de 
recurso disponíveis e às exigências do banco para que sejamrealizadas as diferentes aplicações. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Os modelos matemáticos de otimização, segundo Winston (2004), podem ser classificados em: 
 
 MODELOS ESTÁTICOS OU DINÂMICOS 
As variáveis de decisões nos modelos estáticos não envolvem sequências de decisões em múltiplos períodos de 
tempo, ao contrário do que ocorre emmodelos dinâmicos. 
 
Em outras palavras, em um modelo estático, analisamos o problema em um único intervalo de tempo. Já em um 
modelo dinâmico, analisamos oproblema ao longo do tempo. 
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 MODELOS LINEARES OU NÃO LINEARES 
Quando as funções objetivo e restrições envolvem apenas equações lineares, temos um modelo linear. Quando a 
função objetivo ou alguma restriçãoé função polinomial ou de qualquer outro tipo, temos modelos não lineares. 
 
A solução de modelos não lineares é mais complexa do que a de modelos lineares. 
 
 MODELOS INTEIROSOU NÃO INTEIROS 
Quando todas as variáveis de decisão estão livres para assumir valores fracionais, temos um modelo não inteiro. 
No entanto, se uma ou mais variáveis de decisão adotadas no modelo matemático necessitam ser inteiras, temos 
um modelo inteiro. 
 
 MODELOS DETERMINÍSTICOS OU ESTOCÁSTICOS 
Os componentes são definidos a priori, ou seja, sem aleatoriedade. No entanto, quando os elementos apresentam 
probabilidade de ocorrência – ouseja, há aleatoriedade –, temos um modelo estocástico. 
Neste conteúdo, abordaremos apenas os modelos determinísticos. 
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL 
Winston (2004) propõe um procedimento composto por sete passos para o desenvolvimento de modelos 
matemáticos em estudos de pesquisaoperacional, conforme apresentado na imagem abaixo: 
 
 
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 
O passo inicial do procedimento proposto por Winston (2004) consiste em entender e definir o problema a ser 
analisado. Para tanto, é preciso identificar os objetivos e processos organizacionais que precisam ser estudados 
antes de resolver o problema. De tal forma, é fundamental ouvir aquele que lida com o problema. 
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A comunicação com o cliente, nesse momento, é indispensável para entender a situação real a ser modelada. No 
exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio, o problema consiste 
em maximizar os rendimentos de suas aplicaçõesfinanceiras. 
 
OBSERVAÇÃO DO SISTEMA 
É necessário, em seguida, observar o sistema para descobrir o que deve ser determinado – as variáveis do 
problema – e aquilo que está disponível – os dados do problema. Nessa etapa, devem ser coletados os dados 
necessários para estimar os valores das variáveis e os parâmetros que afetam o problema analisado. Tais 
estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo (passo 3) e em sua análise (passo 4). 
 
É nesse momento que coletamos os dados para nossos parâmetros e as variáveis de entrada. É importante 
ressaltar a importância do processo decoleta de dados, pois a qualidade dos dados de entrada é fundamental para 
a qualidade dos resultados obtidos pelo modelo. 
 
No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio, é preciso que 
você conheça as taxas deadministração do banco, o rendimento de cada opção de investimento e o valor mínimo 
que deve ser aplicado em cada opção. 
 
FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO 
O modelo matemático é desenvolvido nessa etapa, com a identificação das variáveis de decisão, sua função 
objetivo e suas restrições. Ao longo desta aula, desenvolveremos a formulação de vários modelos matemáticos 
para a solução de problemas. 
 
VERIFICAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO E USO PARA PREDIÇÃO 
Após o desenvolvimento do modelo matemático, é necessário se certificar de que o modelo é válido e representa a 
realidade de forma fidedigna.Deve-se ter em mente que não basta aplicar cegamente o modelo desenvolvido. 
 
Caso ocorram modificações na situação real que está sendo analisada, é necessário que tais modificações possam 
ser incorporadas no modelo. No exemplo da seleção dos investimentos, novas opções de investimento poderiam 
ser oferecidas pelo banco, e você deve poder incorporá-las em suaanálise. 
 
SELEÇÃO DA MELHOR ALTERNATIVA 
Este é o momento de selecionar a alternativa – ou as alternativas, afinal, podemos ter mais de uma solução ótima – 
que otimiza a função objetivo doproblema analisado. 
 
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO 
As melhores alternativas e os diferentes cenários devem ser apresentados ao decisor, para que ele tenha todas as 
informações necessárias para umatomada de decisão mais assertiva. Nesse momento, pode ser que o decisor não 
esteja contente com os resultados apresentados. 
 
Isso pode ocorrer em função de alguma definição incorreta do problema analisado, devido a problemas na etapa 
de formulação do problema – etapa 1 –, ou mesmo à falha por parte do modelador em envolver o decisor no 
projeto desde o início. Desse modo, pode ser necessário retornar para ospassos 1, 2 ou 3. 
 
IMPLANTAÇÃO E ANÁLISE DAS RECOMENDAÇÕES 
O sistema deve ser constantemente monitorado, e qualquer alteração deve ser incorporada ao modelo, de modo 
que as recomendações permitam quea organização atinja seus objetivos. 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. A modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever um fenômeno pela representação de 
sistemas, a fim de prever o comportamento deles ou propor soluções não previstas. Com relação ao processo de 
modelagem matemática em Pesquisa Operacional, assinale a alternativa INCORRETA. 
 
Fonte: questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da Pesquisa – UFMG (FUNDEP) para 
Indústrias Nucleares do Brasil (INB) 2018 para o cargo de Engenheiro de Produção. 
 
a) A qualidade da solução do modelo depende da qualidade dos dados de entrada no modelo. 
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b) Modelos matemáticos são objetos abstratos que procuram representar as principais características de um 
objeto real. 
c) Modelos matemáticos podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos em função de como a 
variação do tempo é considerada no processo de modelagem. 
d) Uma das vantagens relacionadas à modelagem matemática é a possibilidade testar todas as possíveis 
soluções para diferentes cenários, geralmente, a um custo reduzido e em menor intervalo de tempo. 
e) Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático seja considerado 
inteiro. 
 
2. A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos dados de entrada no modelo. 
Para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de Pesquisa Operacional, o processo de coleta de 
dados ocorre no seguinte passo: 
 
a) Formulação do problema 
b) Observação do sistema 
c) Formulação do modelo matemático 
d) Verificação do modelo matemático e uso para predição 
e) Seleção da melhor alternativa 
 
 
 
MÓDULO 2 
Descrever as principais características e propriedades de 
um modelo de Programação Linear 
 
PROGRAMAÇÃO LINEAR 
A Programação Matemática – geralmente chamada de otimização –, pode ser definida como: 
 
“UM CAMPO DA CIÊNCIA DE GERENCIAMENTO QUE ENCONTRA A MANEIRA IDEAL 
OUMAIS EFICIENTE DE USAR RECURSOS LIMITADOS PARA ATINGIR OS OBJETIVOS DE 
UM INDIVÍDUO OU DE UMA EMPRESA.” 
RASGADALE, 2009 
 
A Programação Linear, por sua vez, é uma das técnicas mais difundidas de otimização, e sua aplicação é indicada 
para a solução de problemas deotimização que podem ser modelados por meio de equações lineares. 
 
SAIBA MAIS 
A Programação Linear vem sendo aplicada em problemas de indústrias de diferentes setores, 
como bancos, petroleiras, empresas de educação ou emoperadores de transportes. Empresas 
como a Fedex e a Amazon, por exemplo, utilizam essas técnicas para programar as rotas e 
determinar o caminho mínimo na gestão de suas cadeias de distribuição. 
 
No processo de modelagem, é preciso entender as características do problema a fim de traduzi-las para uma 
linguagem matemática. No caso específico da Programação Linear, essa “tradução” ocorre por meio do 
desenvolvimento de uma série de equações lineares, que representam ascaracterísticas do problema analisado. 
 
ATENÇÃO 
A Programação Linear, em suma, é uma técnica de solução de problemas que visa determinar 
o máximo ou o mínimo de uma função linear cujas variáveis estão sujeitas a um conjunto de 
restrições representadas por um sistema de equações ou inequações lineares. 
 
CARACTERÍSTICAS 
As principais características de problemas de Programação Linear são: 
 
1. Todas as equações são da forma linear, ou seja: 
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + … + am xm = an 
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2. Há sempre um objetivo a ser otimizado – maximizado ou minimizado. Isso significa que há sempre a busca pela 
melhor solução entre váriasalternativas. Apenas um objetivo pode ser otimizado por vez, sendo representado pela 
função objetivo. 
 
3. No problema, há fatores controláveis que serão analisados, verificando-seos valores desses fatores que levam 
ao melhor resultado para otimizaro objetivo. Tais fatores controláveis são as variáveis de decisão (x1, x2, ..., xm). A 
função objetivo é escrita em termos das variáveis de decisão. 
 
4. No problema, há fatores não controláveis que influenciam os resultados encontrados para as variáveis de 
decisão. Esses fatores não controláveissão os parâmetros (a1, a2, ..., am). 
 
ELEMENTOS 
Um modelo de Programação Linear apresenta elementos principais – as variáveis de decisão, os parâmetros, a 
função objetivo e o conjunto derestrição. A seguir, vejamos cada um deles. 
 
Variáveis de decisão: 
São os fatores controláveis do problema a ser analisado. Trata-se, portanto, das incógnitas a serem definidas na 
solução do problema de otimização.Podemos citar como exemplo a quantidade de um produto a ser transportado 
da origem i para o destino j, xij, sendo x a quantidade do produto a ser transportado de i para j. 
 
Parâmetros: 
São os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que devem ser coletados 
antes da etapa de modelagem do problema. Os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a 
solução ótima do problema de otimização. 
 
Como exemplo, podemos citar o custo de transportar uma unidade de um produto por quilômetro, cij. Nesse caso, 
c corresponde ao custo porquilômetro percorrido no transporte de um determinado produto de i para j – R$/km. 
 
Função objetivo: 
É a expressão matemática do objetivo a ser maximizado ou minimizado na situação analisada. Por exemplo, pode- 
se desejar minimizar o custo total do transporte de um produto de n origens i para m possíveis destinos j. Dessa 
forma, a função objetivo seria Min Custo = 
𝒏 
𝒊=𝟏 
 
𝒎 
𝒋=𝟏 
𝒄𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 
 
Restrições: 
É um conjunto de equações lineares que traduzem o limite físico à solução do problema, ou seja, são os limitantes 
dos valores das variáveis dedecisão. Por exemplo, a quantidade total de um produto que pode ser transportado da 
origem i para o destino j não pode ser infinita. 
 
Esse total é limitado pela disponibilidade de produtos na origem i. Desse modo, temos que 
i, sendo Si a disponibilidade de produto na origem i 
 
REPRESENTAÇÃO 
Podemos representar um modelo de Programação Llinear da seguinte forma: 
𝒎 
𝒋=𝟏 
𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝑺𝒊, 
∨
 
 
 
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PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Uma vez compreendidas as principais características e os principais elementos de problemas de Programação 
Linear, podemos passar para aconstrução de modelos matemáticos de Programação Linear. 
 
No processo de modelagem, devemos transformar a linguagem do 
problema em uma linguagem matemática. Para isso, devemos começar definindoas 
variáveis de decisão e, posteriormente, a função objetivo e as restrições. 
 
Sugerimos que seja seguida uma sequência de três passos para a modelagem de um problema de Programação 
Linear, conforme apresentado na imagem a seguir: 
 
 Procedimento para desenvolvimento de modelos de Programação Linear. 
 
 IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO 
O passo inicial do procedimento proposto consiste em identificar as variáveis desconhecidas a serem determinadas 
– variáveis de decisão. 
 
 IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO 
Nessa etapa, deve-se identificar o objetivo a ser atingido e representá-lo como uma função linear das variáveis de 
decisão. Conforme Rodrigues et al.(2014) orientam, essa etapa é explicitada no enunciado do problema, bastando 
uma leitura atenta do texto. 
 
Deve-se prestar especial atenção a alguns sinalizadores, como: 
 Deseja-se minimizar o custo total de transporte – minimização. 
 Deseja-se maximizar o lucro da empresa. - maximização. 
 
 IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES 
Nessa etapa, devem ser listadas todas as restrições do problema, sendo expressas como equações (=) ou 
inequações lineares (>,<) em termos das variáveis de decisão. Tal como na identificação da função objetivo, uma 
leitura atenta do enunciado é a melhor forma de identificar os limitantes à função objetivo. 
 
Segundo Rodrigues et al. (2014), deve-se dar especial atenção a passagens do problema em que aparecem 
expressões como: 
 
 A quantidade transportada não poderá ultrapassar (...) 
 A quantidade recebida não poderá ser menor do que (...) 
 O máximo de horas disponíveis é (...), entre outras. 
 
PROGRAMAÇÃO LINEAR 
No vídeo a seguir você conhecerá o conceito de Programação Linear, os principais elementos de um modelo de 
Programação Linear e os passos paraa construção desse tipo de modelo: 
 
APLICAÇÃO DO PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Agora, iremos revisar os conceitos de Programação Linear estudados até aqui a partir de um exemplo. Com isso, 
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serão reforçados os elementos e as principais características de um problema de Programação Linear por meio da 
construção de um modelo. Para isso, seguiremos os passos apresentados previamente. 
 
EXEMPLO 
A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas e tem uma linha fitness feminina. Essa 
linha produz roupas de ginástica exclusivas paramulheres, como tops e calças de lycra. 
 
Cada top de ginástica é vendido por R$ 80,00 e utiliza R$ 20,00 de matéria-prima, como 
tecido e alinhamentos, e R$ 32,00 com mão de obra. Alémdisso, são demandados 30 minutos 
de corte e 15 minutos de costura para a confecção de um top de ginástica. 
 
Cada calça de ginástica é vendida por R$ 120,00 e utiliza R$ 35,00 de matéria-prima, como 
tecido e alinhamentos, e R$ 40,00 de mão de obra. Sãodemandados 15 minutos de corte e 30 
minutos de costura para a confecção de uma calça de ginástica. 
 
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A 
confecção não tem problemas no fornecimento de matérias-primas, de modo que o seu 
suprimento pode ser considerado ilimitado assim como a demanda semanal de seus 
produtos. 
 
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros. 
 
Vamos usar, a seguir, os passos do procedimento proposto para construção do modelo de Programação Linear para 
o caso da Fitwear S/A. 
 
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO 
As variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem tomadas. No caso da Fitwear, a 
empresa deve decidir os produtos aserem confeccionados. Com isso, a definição da Variável de Decisão seria: 
xi – quantidade de produto i confeccionada 
Desse modo, temos: 
x1 = Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana. 
x2 = Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana. 
 
 
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO 
Em qualquer problema de Programação Linear, o analista sempre deseja maximizar ou minimizar alguma função 
das variáveis de decisão. No enunciado do problema, devemos procurar pelo propósito que se procura atingir. 
Dessa forma, saberemos o que deve ser maximizado ou minimizadoa fim de definirmos a função objetivo. 
 
No caso da Fitwear, a empresa deseja maximizar seu lucro semanal: 
 
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros. 
 
ATENÇÃO 
Lucro semanal = lucro semanal oriundo da venda de tops + lucro semanal oriundo da venda 
de calças. 
 
Precisamos, portanto, determinar o ganho semanal obtido com a venda dos produtos e subtrair destes os gastos 
semanais com matéria-prima e mãode obra. Vejamos: 
 
GANHO SEMANAL DA VENDA DE TOPS E CALÇAS 
Cada top é vendido por R$ 80,00, e cada calça é vendida por R$ 120,00. Logo, o ganho 
semanal é igual a 80x1 + 120x2. 
 
Observe que também devemos considerar os custos. Vejamos: 
12 
 
Gasto semanal com matéria-prima: 
Cada top utiliza R$ 20,00 em matéria-prima, e cada calça utiliza R$ 35,00.Logo, o gasto semanal com matéria-prima 
é igual a 20x1 + 35x2. 
 
Gasto semanal com mão de obra: 
Para confeccionar cada top, gasta-se R$ 32,00 em mão de obra. Para cada calça, gasta-se R$ 40,00. Logo, o gasto 
semanal com mãode obra é iguala 32x1 + 40x2. 
 
Desse modo, para determinar a função objetivo, tem-se: 
 
(+) GANHO SEMANAL COM VENDAS: (80X1 + 120X2) 
(-) CUSTO DE MATÉRIA-PRIMA: – (20X1 + 35X2 ) 
(-) CUSTO DE MÃO DE OBRA: – (32X1 + 40X2 ) 
(80X1 + 120X2 ) – (20X1 + 35X2 ) – (32X1 + 40X2 ) 
= 28X1 + 40X2 
 
A função objetivo, portanto, é 
 
Os coeficientes da função objetivo indicam a contribuição de cada variável nos lucros da Fitwear. 
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES 
Observa-se que os valores dos coeficientes da função objetivo para o problema de Programação Linear do caso da 
Fitwear são positivos, e este é umproblema de maximização. Desse modo, à medida que x1 e x2 crescem, o valor 
da função objetivo aumenta. No entanto, x1 e x2 não podem crescemindefinidamente, pois existem as restrições. 
 
COMENTÁRIO 
No caso do problema da Fitwear, foram consideradas ilimitadas a demanda por seus 
produtos e a oferta de matéria-prima, de modo que não entram como restrições no 
modelo matemático. 
 
Existem, no entanto, duas restrições relacionadas ao tempo disponível para corte e ao 
tempo disponível para a costura. 
 
Essas restrições devem ser definidas em termos das variáveis de decisão x1 e x2. Com isso, temos: 
 
 RESTRIÇÃO 1: 100 HORAS DE CORTE POR SEMANA. 
Cada top de ginástica requer 30 minutos de corte, e cada calça de ginástica requer 15 minutos de corte para sua 
confecção. Além disso, a Fitwear sópode contar com 100 horas de corte por semana. 
 
 
(total de horas de corte/semana) = (0,5x1 + 0,25x2) 
Logo, a restrição 1 é dada por: 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100. 
13 
 
 RESTRIÇÃO 2: 160 HORAS DE COSTURA POR SEMANA. 
Cada top de ginástica requer 15 minutos de costura, e cada calça de ginástica requer 30 minutos de costura para 
sua confecção. Além disso, a Fitwearsó pode contar com 160 horas de corte por semana. 
 
(total de horas de costura/semana) = (horas de costura/top) *(tops produzidos/semana) + (horas de costura/calça) 
* (calças produzidas/semana) 
 
(total de horas de corte/semana) = (0,25x1 + 0,5x2) 
 
Logo, a restrição 2 é dada por: 0,25x1 + 0,5x2≤160. 
 
 RESTRIÇÃO 3: RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO. 
Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que não se pode produzir um número 
negativo de calças e tops deginástica. 
 
Logo, a restrição 3 é dada por: x1, x2≥0. 
 
 
Após seguirmos os passos indicados para a construção de um modelo de Programação Linear, temos a formulação 
matemática para o problema daFitwear S/A, conforme apresentado a seguir: 
 
 
Devemos considerar que o modelo está sujeito a: 
 
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100. → restrição de horas de corte 
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160. → restrição de horas de costura 
x1, x2  0. → restrição de não negatividade das variáveis de decisão 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. Entre os principais elementos de um modelo de programação linear, os fatores não controláveis do problema a 
ser analisado, ou seja, os dados de entrada que devem ser coletados previamente a etapa de modelagem do 
problema, são denominados: 
 
a) Variáveis de decisão 
b) Variáveis condicionantes 
c) Parâmetros 
d) Função objetivo 
e) Restrições 
 
2. Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Para fazer um par de sapatos novos, o 
sapateiro leva 2 horas, se fizer somente sapatos. Ele gasta 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos. 
Para consertar uma unidade de sapato, ele gasta uma unidade de couro. 
 
Sabe-se que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro trabalha 10 horas por dia. O lucro 
unitário por par de sapatos é de 8 unidades monetárias e o do conserto de uma unidade de sapato é de 2 
unidades monetárias. O sapateiro deseja planejar seu sistema de produção diário de modo a maximizar seu lucro 
por hora. 
 
Pedido 1 – A função objetivo do problema é: 
 
a) Max Z = x1 + 2x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
b) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
c) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada. 
d) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
e) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada. 
14 
 
d) + 2𝑥2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
𝑥1 
3 
a) 3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
b) 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
𝑥1 
c) 
3 
+ 𝑥2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
e) 3𝑥1 + 𝑥2  10 sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
3. Pedido 2 – A restrição em referente à disponibilidade de couro é: 
 
a) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
b) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada. 
c) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
d) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada. 
e) 3x1 + x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
 
4. Pedido 3 – A restrição referente às horas trabalhadas é: 
 
 
MÓDULO 3 
Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear 
 
 
APLICAÇÃO DO MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃODE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
No módulo anterior, aprendemos a modelar um problema de Programação Linear e aplicamos o conhecimento 
adquirido para o caso da Fitwear S/A.Dessa forma, conseguimos construir o modelo de Programação Linear. 
 
Agora, temos outra questão a resolver: 
 
Como podemos solucionar o modelo de Programação Linear de modo a definir a 
solução que corresponde ao melhor valor possível da funçãoobjetivo? Em outras palavras, 
como encontramos essa solução ótima? 
 
ESPAÇO DE SOLUÇÕES 
As restrições de um modelo de Programação Linear delimitam a região de suas possíveis soluções, ou seja, definem 
o conjunto de soluções viáveis. Nesse sentido, o conjunto de restrições delimita o chamado espaço de soluções. 
 
O espaço de soluções é formado por todos os pontos que satisfazem as restrições do problema. 
Vamos determinar, a seguir, o espaço de soluções para o caso da Fitwear. 
Voltando ao problema da Fitwear, temos: 
 
Sujeito a: 
 
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100. → restrição de horas de corte 
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160. → restrição de horas de costura 
x1, x2  0. → restrição de não negatividade das variáveis de decisão 
 
RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE 
A figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela 
Fitwear por semana, considerando acondição de não negatividade das variáveis de decisão. 
15 
 
 
 
RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA 
Já a figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela 
Fitwear por semana, considerandoa condição de não negatividade das variáveis de decisão. 
 
 
DELIMITAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES 
A figura a seguir destaca, em roxo, o espaço de soluções para o problema da Fitwear. Desse modo, a figura mostra 
a área delimitada pelo conjunto derestrições para o caso em análise. 
 
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100. → restrição de horas de corte 
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160. → restrição de horas de costura 
x1, x2  0. → restrição de não negatividade das variáveis de decisão 
 
16 
 
Conseguimos visualizar, na figura acima, o espaço de soluções para o problema da Fitwear, que consiste no 
quadrilátero formado pelos pontos ABCD. 
 
Desse modo, sabemos que todas as possíveis soluções viáveis para o problema da Fitwear se encontram nesse 
quadrilátero. 
 
É preciso responder, no entanto,a duas questões fundamentais: 
 
 Qual ponto corresponde ao melhor valor possível da função objetivo? 
 Como determinar a solução ótima, ou seja, aquela que maximiza o lucro da confecção? 
 
Já conhecemos o espaço de soluções no caso da Fitwear. Agora, só é preciso determinar qual dos pontos do 
quadrilátero ABCD nos proporciona omaior valor de Z= 28x1 + 40x2. 
 
No caso da Fitwear : Max Z = 28x1 + 40x2 
 
 
 
Repare que, para qualquer Z, temos que x2 = 0,25 * Z – 0,7*x1. Essas são as linhas de isocusto, que são paralelas 
entre si. 
 
ATENÇÃO 
 
Retas paralelas 
Duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto 
em comum. Desse modo, as retas paralelas nunca se cruzam. 
 
Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. Logo, se o coeficiente angular de 
uma reta s é ms, e esta reta é paralela a uma reta r cujocoeficiente angular corresponde a 
mr, podemos afirmar que: 
 
ms = mr 
 
Perceba, ainda, que a reta x2= 0,25 * Z – 0,7*x1 é perpendicular ao vetor (28,40), formado pelos coeficientes da 
função objetivo. Vejamos: 
 
 
ATENÇÃO 
 
Retas perpendiculares 
No ponto de intersecção de duas retas perpendiculares, é formado um ângulo reto (de 
medida igual a 90°). 
 
Duas retas perpendiculares têm os seus coeficientes angulares opostos e inversos. Logo, 
se o coeficiente angular de uma reta s é ms, e esta reta éperpendicular a uma reta r cujo 
coeficiente angular corresponde a mr, podemos afirmar que: 
 
ms = –1 / mr ou ms . mr = –1 
17 
 
SOLUÇÃO ÓTIMA 
O passo para finalizar o problema da Fitwear consiste em escolher o ponto no espaço viável que maximiza o valor 
da função objetivo. Para tanto, devemos plotar o vetor (28,40) no espaço de soluções e determinar a reta 
perpendicular que pertence ao espaço de soluções (quadrilátero ABCD) e possui o maior valor para Z. 
 
A figura a seguir apresenta o espaço de soluções e o vetor (28,40). Ao se desenhar as retas paralelas (linhas de 
isocusto) perpendiculares ao vetor (28,40), temos que a reta que possui maior valor de z e ainda pertence ao 
espaço de soluções corresponde a z = 13.226,67 (linha destacada em vermelho), sendo x1 igual a 53,33 e x2 igual a 
293,33. 
 
 
 
Para o problema da Fitwear, temos que o planejamento de produção semanal que traz o maior lucro possível para 
a empresa é a confecção de 53,33tops e 293,33 calças de ginástica. Dessa forma, a Fitwear teria um lucro semanal 
equivalente a R$ 13.226,67. 
 
Note que o problema da Fitwear possui apenas duas variáveis de decisão. Esse tipo de problema mais simples, com 
apenas duas variáveis dedecisão, pode ser resolvido com relativa facilidade por meio de um método chamado de 
Método Gráfico. Logo, para encontrar a solução ótima, precisamos seguir os passos do Método Gráfico, 
apresentados a seguir: 
 
 Desenhe as retas correspondentes às restrições do problema e encontre o espaço de soluções. 
 
 Desenhe o vetor z. 
 
 Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas são as linhas de isocusto, isto é, são as retas que possuem o 
mesmo valor de z. 
 
 Calcule o valor de z no ponto ótimo, ou seja, a linha de isocusto com maior z que ainda toca o espaço de 
soluções. 
 
 
SITUAÇÕES PARTICULARES DA SOLUÇÃO DE UM PROBLEMADE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO 
Após resolver um problema de otimização, seja pelo Método Gráfico seja por qualquer outro método, podemos 
chegar a quatro situações particulares: 
 
1. Solução ótima única e identificada. 
2. Inviável, ou seja, não existem soluções viáveis para o problema apresentado. 
3. Ilimitado, ou seja, a função objetivo pode crescer infinitamente. 
4. Múltiplas soluções, ou seja, o problema possui mais de uma solução ótima (infinitas). 
 
Vejamos, a seguir, cada uma dessas situações representados graficamente. 
18 
 
Solução ótima única 
Na figura a seguir vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema com uma única solução 
ótima. 
 
 
Problema inviável 
Esta figura apresenta um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema inviável. Nesses casos, as 
restrições não formam nenhumespaço de soluções viáveis. 
 
 
Problema ilimitado 
Veja um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema ilimitado, ou seja, com solução tendendo ao 
infinito. Nesses casos, as restriçõesformam um espaço aberto de soluções viáveis, conforme pode ser observado no 
exemplo da figura a seguir. 
 
Observe que se trata de um problema de maximização. 
 
 
19 
 
Problema de múltiplas soluções 
Aqui vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema de múltiplas soluções, ou seja, com 
mais de uma solução ótima. Esse tipo de problema também pode ser denominado de problemas com soluções 
alternativas. 
 
Nesses casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espaço de soluções viáveis, intersecciona com uma linha inteira, 
e não somente um ponto desseconjunto. Isso ocorre porque a linha de isocusto é, na verdade, paralela à reta dessa 
restrição, conforme pode ser observado no exemplo da figura aseguir. 
 
Observe que várias soluções são simultaneamente ótimas nesse tipo de problema. 
 
 
MÉTODO GRÁFICO 
No vídeo a seguir, você verá os principais passos a serem seguidos na solução de um problema de Programação 
Linear pelo Método Gráfico e assituações particulares dos resultados que podem ser obtidos: 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir: 
MAX: 350X1 + 300X2 
Sujeito a: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
9X1 + 6X2 <= 1566 
12X1 + 16X2 <= 2880 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado é igual a: 
 
a) Zero 
b) 54.000 
c) 60.900 
d) 64.000 
e) 66.100 
20 
 
2. Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico, foi obtido o seguinte gráfico: 
 
 
Solução para um problema de programação linear. 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que se trata de um problema de: 
 
a) Minimização com uma solução ótima 
b) Maximização com uma solução ótima 
c) Maximização com múltiplas soluções alternativas 
d) Maximização ilimitado 
e) Maximização inviável 
 
 
CONCLUSÃO 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Neste conteúdo, visitamos os principais conceitos da Pesquisa Operacional, abordando a sua origem e evolução 
como campo do conhecimento. Verificamos a sua importância e a aplicabilidade de suas técnicas e ferramentas no 
apoio ao processo de tomada de decisão em diferentes campos deatuação e setores. 
 
Trabalhamos o conceito de modelo e vimos como um modelo nos traz benefícios na análise de decisão. Nesse 
sentido, um modelo é uma simplificação do problema a ser analisado, de modo que nos permite avaliar diferentes 
cenários em um menor tempo e com menos recursos. 
 
Para que possamos de fato usufruir desses benefícios, é fundamental que o modelo e a qualidade dos dados de 
entrada sejam fidedignos. Nesse contexto, foram apresentados os principais passos a serem seguidos para o 
desenvolvimento de um modelo matemático em estudos de PesquisaOperacional. 
 
Uma das técnicas mais difundidas de Pesquisa Operacional é a Programação Linear, cujos conceitos também foram 
apresentados. Aprendemos sobre os principais elementos de um modelo de Programação Linear e vimos como 
construir esse tipo de modelo e encontrar sua solução por meio do Método Gráfico. Todo esse conhecimento foi 
apresentado por meio do desenvolvimento do modelo matemático para o exemplo da Fitwear!