1 0 primeiro conceito desenvolvido no estudo da geometria analítica é o plano cartesiano, que proporciona uma representação visual dos pontos e das...

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das sentenças apresentadas: I. Há apenas uma possibilidade com x = 4. Se x = 4, a distância entre os pontos A(4,1) e B(1,5) é dada pela fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) Calculando a distância entre A e B com x = 4, temos: √((1 - 4)² + (5 - 1)²) = √((-3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 Portanto, a sentença I está correta. II. Se trocarmos o ponto B por C(x, 9), o conjunto solução para x é o mesmo. Se a distância entre A(4,1) e C(x,9) for 5 unidades, teremos: √((x - 4)² + (9 - 1)²) = 5 √((x - 4)² + 64) = 5 (x - 4)² + 64 = 25 (x - 4)² = 25 - 64 (x - 4)² = -39 Como não existe raiz quadrada real de um número negativo, não há solução real para x. Portanto, a sentença II está incorreta. III. Caso x = -3, a distância não será de 5 unidades. Se x = -3, a distância entre A(-3,1) e B(1,5) é dada por: √((1 - (-3))² + (5 - 1)²) = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 ≠ 5 Portanto, a sentença III está correta. IV. Há duas soluções reais. Analisando as possibilidades de x, vemos que apenas x = 4 satisfaz a condição de distância de 5 unidades entre os pontos A e B. Portanto, há apenas uma solução real. A sentença IV está incorreta. Assim, a alternativa correta é: Somente as sentenças I e III estão corretas.