47. Problema: Determine os valores de a para os quais a função f(x) = ax^3 - 6x^2 + 9x tem um ponto de mínimo em x = 1.

Para determinar os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 - 6x^2 + 9x \) tem um ponto de mínimo em \( x = 1 \), precisamos analisar a concavidade da função nesse ponto. Para que haja um ponto de mínimo em \( x = 1 \), a concavidade da função deve ser para cima nesse ponto, ou seja, a segunda derivada da função deve ser positiva em \( x = 1 \). Calculando a segunda derivada da função e avaliando em \( x = 1 \), obtemos a condição para o ponto de mínimo.