aula_02

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Retomando o 
conceito de taxa 
de variação média
1ª série
Aula 2 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Elaboração de 
expressões algébricas 
relacionando duas 
grandezas.
● Listar, mediante uma tabela, a 
relação entre grandezas por 
meio de uma função 
polinomial de 2º grau em 
situações diversas.
Conteúdo Objetivo
Para começar
# Você se lembra disso? 
O esboço gráfico ao lado 
representa uma função polinomial 
de primeiro grau. Elabore uma 
justificativa de como foi obtido o 
valor da Taxa de Variação Média 
(TVM) cujo valor é igual a 2 e 
escreva a expressão algébrica que 
representa a função. 
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min
Para começar Correção
A Taxa de Variação Média (TVM) 
de uma dada função f no intervalo 
[a, b] é dada pela expressão: 
( ) ( )f b f a
TVM
b a
−
=
−
No caso de uma função 
polinomial de 1º grau, temos:
Essa taxa indica a variação das medidas 
da função por unidade, em média, nesse 
intervalo. 
Para começar Correção
Intervalo [0,1]
( ) ( )f 1 f 0 3 1 2
TVM 2
1 0 1 1
− −
= = = =
−
Intervalo [1,2]
( ) ( )f 2 f 1 5 3 2
TVM 2
2 1 2 1 1
− −
= = = =
− −
Para começar Correção
Intervalo [-1,0]
( ) ( )
( )
( )f 0 f 1 1 1 2
TVM 2
0 1 1 1
− − − −
= = = =
− −
Intervalo [-2, -1]
( ) ( )
( )
( )f 1 f 2 1 3 2
TVM 2
1 2 1 1
− − − − − −
= = = =
− − −
Então, podemos concluir a expressão 
algébrica da função representada no 
esboço gráfico é f x = 2x + 1
Foco no conteúdo
Verificando a Taxa de Variação Média em 
tabelas
A tabela ao lado apresenta as 
medidas da área (y) de 
hexágonos em função das 
medidas do segmento da base 
(x) e esses segmentos da base 
elevados ao quadrado x 2.
x
(U.M)
x2
(U.M.)
y
U.M 2
1 1
3
2
3
2 4 6 3
3 9
27
2
3
4 16 24 3
5 25
75
2
3
Tempo: 10 min
Foco no conteúdo
Tomando como base os dados informados, podemos calcular a taxa 
de variação da seguinte maneira: 
 
−
−

= = = = =
− 2
Intervalo 1,4
3 12 3 3 3 9 3
6 3 3
y 92 2 2TVM
4 1 3 3x
( )
( )


 =
3
3
3 1 3
3
2 23
 
−
−

= = = = =
− 2
Intervalo 4,9
27 27 3 12 3 15 3
3 6 3
y 152 2 2TVM
9 4 5 5x
( )

5
3 1
2 5
( )
=
5
3
3
2
Foco no conteúdo
 
−
−

= = = = =
− 2
Intervalo 9,16
27 48 3 27 3 21 3
24 3 3
y 212 2 2TVM
16 9 7 7x
( )

7
3 1
2 7
( )
 

=
−
−

= = = = =
−
7
2
3
3
2
Intervalo 16,25
75 75 3 48 3 27 3
3 24 3
y 272 2 2TVM
25 16 9 9x
( )

9
3 1
2 9
( )
=
9
3
3
2
Foco no conteúdo
Na aula passada, verificamos que a razão de proporcionalidade 
entre a medida da área de um hexágono e a medida do segmento 
da base elevada ao quadrado é constante e foi demonstrada da 
seguinte maneira: 
= =
2
y 3
k
2x
Então, podemos contatar que:

= =
2
y y
k
xx
Na prática
Evolução salarial por tempo de serviço
Considere a função salário s(t) na tabela 
ao lado. Sabendo que t é o tempo de 
contrato em anos, e S, o salário em 
quantidade de salários mínimos, 
responda às questões a seguir: 
t (anos) 
S (Salários 
mínimos)
0 2
2 3
4 6
6 11
8 18
10 27
a. Calcule a Taxa Média de Variação das 
variáveis t e S.
b. Determine a expressão algébrica que 
estabelece a quantidade de salários 
mínimos em função do tempo em 
anos trabalhados. 
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 10 min
Na prática
t 
(anos) 
t2 
(anos)
S 
(Salários 
mínimos)
0 0 2
2 4 3
4 16 6
6 36 11
8 64 18
10 100 27
Correção
 
 
 
 
 
 
 
 −
= = =
−
 −
= = = =
−
0,4
0 ,4 2
0 ,4
16,4
16,4 2
16,4
a.
Intervalo [0,4]
S 3 2 1
TVM
4 0 4t
Intervalo 16,4
S 11 6 5 1
TVM
36 16 20 4t
Na prática
t 
(anos) 
t2 
(anos)
S 
(Salários 
mínimos)
0 0 2
2 4 3
4 16 6
6 36 11
8 64 18
10 100 27
Correção
 
 
 
 
 
 
 
 
 −
= = = =
−
 −
= = = =
−
36,64
36,64 2
36,64
64,100
64,100 2
64,100
Intervalo 36,64
S 18 11 7 1
TVM
64 36 28 4t
Intervalo 64,100
S 27 18 9 1
TVM
100 64 36 4t
Na prática
b.
Como observamos, a quantidade de salários recebidos anualmente 
é diretamente proporcional ao quadrado da quantidade de períodos 
trabalhados em anos. A expressão algébrica da quantidade de 
salários em função do período trabalhado, em anos, será dada por: 
( ) 2S t k t= 
Então, temos que:
( ) 21S t t
4
= 
Correção
Aplicando
O caso da distância de frenagem de um veículo
O quadro ao lado informa as 
velocidades de um automóvel e suas 
respectivas distâncias de frenagem, 
que ocorre quando o condutor 
aciona o freio. 
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
Velocidade 
(km/h)
Distância de 
frenagem (m)
32 8
64 32
96 72
128 128
160 200
Observação: nesse caso, não há a 
necessidade de reduzir as 
velocidades de km/h a m/h ou m/s; 
o importante é que elas sejam todas 
expressas na mesma unidade. 
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 min
Aplicando
O caso da distância de frenagem de um veículo
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
Velocidade 
(km/h)
Distância de 
frenagem (m)
32 8
64 32
96 72
128 128
160 200
De acordo com os dados informados no 
quadro, responda:
a. Estabeleça uma relação 
matemática entre a velocidade do 
automóvel e a distância de 
frenagem.
b. Indique a expressão algébrica que 
relaciona a distância de frenagem 
em função da velocidade do 
veículo.
Aplicando
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
Velocidade 
(km/h)
Distância de 
frenagem (m)
32 8
64 32
96 72
128 128
160 200
Correção
a.
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
Velocidade 
(km/h)
Distância de 
frenagem (m)
32 8
2 ∙ 32 = 64 22 ∙ 8 = 32
3 ∙ 32 = 96 32 ∙ 8 = 72 
4 ∙ 32 = 128 42 ∙ 8 = 128
5 ∙ 32 = 160 52 ∙ 8 = 200
Aplicando Correção
b. Analisando os quadros anteriores, 
observamos que a distância de 
frenagem é diretamente proporcional 
ao quadrado da velocidade, então, 
consideraremos a seguinte situação:
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
v2 d
322 = 1 024 8
642 = 4 096 32
962 = 9 216 72
1282 = 16 384 128
1602 = 25 600 200
Aplicando Correção
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
v2 d
322 = 1 024 8
642 = 4 096 32
962 = 9 216 72
1282 = 16 384 128
1602 = 25 600 200
 
 
 
 
1024,4096
1024,4096 2
1024,4096
Intervalo 1024,4096
d 32 8
TVM
4096 1024v
24
 −
= = =
−
=
( )24
3072

( )
 
 
 
 
24
4096,9216
4096,9216 2
4096,9216
1
128
Intervalo 4096,9216
d 72 32
TVM
9216 4096v
40

=
 −
= = =
−
=
( )40
5120

( )40
1
128
=
Aplicando Correção
Relação: Velocidade e Distância 
de frenagem 
v2 d
322 = 1 024 8
642 = 4 096 32
962 = 9 216 72
1282 = 16 384 128
1602 = 25 600 200
 
 
 
 
9216,16384
9216,16384 2
9216,16384
Intervalo 9216,16384
d 128 72
TVM
16384 9216v
56
 −
= = =
−
=
( )56
7168

( )
 
 
 
 
56
16384,25600
16384,25600 2
16384,25600
1
128
Intervalo 16384,25600
d
TVM
v
200 128 72 1
25600 16384 9216 128

=

= =

−
= == =
−
Aplicando Correção
b.
Como observamos, a distância de frenagem é diretamente 
proporcional ao quadrado da velocidade do veículo. A expressão 
algébrica da distância de frenagem em função da velocidade será 
dada por: 
( )
2
2
2 2
2
d 1 d 1 v
k d 128 v d
128 128 128v v
1
d v v
128
= =  =   =  =
 = 
O que aprendemos hoje?
● Listar, mediante uma tabela, a relação entre 
grandezas por meio de uma função polinomial de 2º 
grau em situações diversas.
Tarefa SP
Localizador: 96910
1. Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com 
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http://tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
Referências
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão 
da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretariada Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Currículo em Ação, V. 1, 1ª série do 
Ensino Médio, São Paulo, 2020.
Referências
Lista de imagens e vídeos
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Slide 5 – Elaborado pelo autor.
Slide 6 – Elaborado pelo autor.
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