4. Considere a sequência an definida por a1 = 2 e para todo n ∈ N an+1 = (an)2 + 6an + 6. Determine o resto de a100 na divisão por 7. (a) 0 (...

Para resolver esse problema, podemos observar que a sequência an é definida por: an+1 = (an)² + 6an + 6 Podemos reescrever essa equação como: an+1 - 1 = (an + 3)² Podemos então reescrever a sequência como: a2 - 1 = (a1 + 3)² a3 - 1 = (a2 + 3)² = [(a1 + 3)² + 3]² a4 - 1 = (a3 + 3)² = [[(a1 + 3)² + 3]² + 3]² ... Podemos generalizar essa fórmula para: an - 1 = f(n-1) Onde f(n) = (f(n-1) + 3)² e f(1) = 1. Podemos então calcular f(99) e adicionar 1 para obter a100: f(99) = (f(98) + 3)² f(98) = (f(97) + 3)² ... f(2) = (f(1) + 3)² Podemos calcular f(2), f(3), ..., f(99) usando essa fórmula recursiva. Como estamos interessados no resto da divisão por 7, podemos calcular cada termo módulo 7: f(1) = 1 f(2) = (f(1) + 3)² = 16 ≡ 2 (mod 7) f(3) = (f(2) + 3)² = 25 ≡ 4 (mod 7) f(4) = (f(3) + 3)² = 49 ≡ 0 (mod 7) f(5) = (f(4) + 3)² = 9 ≡ 2 (mod 7) f(6) = (f(5) + 3)² = 16 ≡ 2 (mod 7) f(7) = (f(6) + 3)² = 25 ≡ 4 (mod 7) f(8) = (f(7) + 3)² = 49 ≡ 0 (mod 7) ... Podemos observar que a sequência f(n) se repete a cada 3 termos: 2, 4, 0. Como 99 é um múltiplo de 3, temos que f(99) ≡ 0 (mod 7). Portanto, a100 ≡ 1 (mod 7). A resposta correta é a alternativa B.