Resolva a integral ∫C 2y/(x²-4x)ds na qual C é o semicírculo centrado na origem, com raio 3 e rotação no sentido horário. A. 96 B. 72 C. 36 D. -1...

Para resolver essa integral, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiro, vamos encontrar a curva C em termos de x e y: x² + y² = 9 (equação do círculo com raio 3 e centrado na origem) y = √(9 - x²) (isolando y) Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a s (parâmetro da curva): dx/ds = -3sin(t) (derivada de x em relação a s) dy/ds = 3cos(t) (derivada de y em relação a s) Substituindo na integral, temos: ∫C 2y/(x²-4x)ds = ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA Onde R é a região delimitada pelo semicírculo C. Para calcular essa integral dupla, podemos utilizar coordenadas polares: x = 2 + 3cos(θ) y = 3sen(θ) dA = 3dθ Substituindo na integral dupla, temos: ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = ∫π/2 0 ∫2π/3 4π/3 (4cos(t)sin(t))/(-3sin(θ)cos(θ)) 3dθ dφ Simplificando, temos: ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = -24 ∫2π/3 4π/3 cos(t)sin(t) dθ Usando identidades trigonométricas, temos: ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = -12 ∫2π/3 4π/3 sin(2t) dθ Integrando, temos: ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = 6 [cos(4π/3) - cos(2π/3)] ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = 6 [-1/2 - (-1/2)] ∫∫R (4cos(t)sin(t))/(x²-4x) dA = 6 Portanto, a resposta correta é a letra C) 36.