599556_80_Generalizacao_do_Metodo_de_Coates_para_3D_SBMR_2014_Lara_Figueiredo

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Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura 
SBMR 2014 – Conferência Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014 
© CBMR/ABMS e ISRM, 2014 
 
SBMR 2014 
Um Estudo Teórico para Generalização do Método de Coates a 
3D e sua Aplicação em Otimização da Recuperação na Lavra por 
Câmaras e Pilares 
 
Henrique Hermano de Oliveira Lara 
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, henriquelara8@yahoo.com.br 
 
Rodrigo Peluci de Figueiredo 
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, rpfigueiredo@yahoo.com.br 
 
RESUMO: Ainda hoje, a maneira mais comumente utilizada para se calcular a tensão média atuante 
em pilares é por meio da Teoria da Área Tributária (TAT), sabidamente conservadora. Apresentar-
se-á neste artigo uma solução analítica alternativa, para determinação dessa tensão de maneira mais 
realista. Trata-se de uma generalização do método de Coates (1965) para três dimensões. Tal 
método leva em consideração vários fatores não contemplados pela TAT: as dimensões finitas do 
painel de lavra; a deformabilidade elástica dos pilares e encaixantes e, finalmente, as tensões in situ. 
Tais fatores tornam a análise da tensão atuante nos pilares mais acurada, permitindo, assim, 
dimensioná-los mais corretamente e, consequentemente, praticar recuperações maiores. Aliada a 
essa generalização, é utilizada uma nova metodologia de dimensionamento, na qual um problema 
de Programação Matemática Não-linear é formulado com o objetivo de maximizar a recuperação, 
levando em consideração, ao mesmo tempo, restrições geomecânicas, de segurança e requisitos 
tecnológicos/operacionais. Pôde-se concluir que a generalização do Método de Coates para três 
dimensões, associada a essa nova metodologia, permite dimensionar arranjos de lavra com 
recuperações que superam bastante as obtidas pela metodologia convencional, utilizando a TAT. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Câmaras e Pilares, Teoria da Área Tributária, Método de Coates, 
Otimização de Recuperação na Lavra, Programação Matemática Não-linear. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Ainda hoje, dimensionam-se vãos e pilares em 
minas subterrâneas, por tentativa e erro, 
definindo-se um arranjo no qual a estabilidade 
dos pilares seja garantida por um fator de 
segurança (FS) previamente arbitrado. Para um 
dado arranjo, calculam-se as tensões médias 
atuantes nos pilares, pela Teoria da Área 
Tributária (TAT), e a resistência dos mesmos 
por alguma fórmula empírica existente (Brady e 
Brown, 2004). Caso o FS seja satisfeito, a 
recuperação obtida é uma mera decorrência do 
arranjo geométrico resultante, não sendo 
geralmente a máxima possível (Figueiredo e 
Curi, 2004). 
Uma metodologia de dimensionamento 
alternativa, na qual a recuperação é a função- 
objetivo de um problema de programação 
matemática não-linear, que foi originalmente 
proposta por Figueiredo e Curi (2004), é 
adotada neste trabalho. As restrições à 
maximização da recuperação são geomecânicas 
(manutenção da estabilidade de pilares e vãos) e 
condicionantes tecnológicos/operacionais. 
No cálculo dos pilares, a TAT não leva em 
conta características como a dimensão do painel 
de lavra, posição dos pilares, deformabilidade 
elástica de pilares e encaixantes e as tensões in 
situ, resultando, por isso mesmo, sempre 
conservadora (Jaeger e Cook, 1979). Neste 
trabalho é proposta uma nova solução analítica 
aproximada para determinação da tensão nos 
pilares (Figueiredo, 2013), que contempla tais 
fatores. Baseia-se numa generalização do 
método de Coates (1965) para três dimensões, 
que, ao considerá-los, permite uma análise bem 
mais acurada da tensão atuante nos pilares. Isso, 
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invariavelmente, resulta em dimensionar 
arranjos de lavra com maiores recuperações. 
 
 
2 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES 
MÉDIAS NO PILAR: ÁREA TRIBUTÁRIA X 
MÉTODO DE COATES 
 
2.1 Teoria da Área Tributária (TAT) 
 
Dentre as hipóteses para se determinar a tensão 
média em pilares, esta é a mais conservadora e 
simplista. Baseia-se em simples considerações 
de equilíbrio estático na direção vertical (Brady 
e Brown, 2004). 
Para se analisar, por meio da TAT, pilares 
em carregamento uniaxial, podem-se considerar 
as geometrias mostradas na Figura 1. 
 
 
Figura 1. Arranjo uniforme de pilares: (a) - seção 
quadrangular em planta; (b) - seção retangular (c) - rib-
pillars (Figueiredo e Curi, 2004). 
Imaginando-se que há um elevado número n 
de subunidades constituídas por pilares e vãos 
adjacentes (Figura 1), ter-se-á que as áreas dos 
pilares pA e totais TA são dadas, para pilares 
quadrados, respectivamente, por  2pp WnA  e 
 2opT WWnA  . 
Analogamente, para pilares retangulares: 
 ppp LWnA  e   popoT LLWWnA  . 
Da mesma forma, tem-se para rib pillars, que: 
 pp WnA  e  poT WWnA  . De maneira 
geral, a recuperação em qualquer caso pode ser 
expressa por: TpTpT AAAAAR /1/)(  . 
De acordo com a TAT, a tensão média em 
um pilar ( p ) é dada por: 
 
RA
A V
p
T
Vp 









1
 (1) 
 
A expressão acima, onde V é a tensão 
vertical in situ, representa simplesmente o 
equilíbrio de forças na direção vertical, no qual 
a reação do pilar iguala o peso da coluna de 
rocha tributária sobrejacente, e mostra que a 
tensão no pilar tende ao infinito quando R se 
aproxima de 1 (um). 
Portanto, as tensões médias nos pilares 
quadrados, retangulares e rib-pillars, indicados 
na Figura 1, são dadas, respectivamente, por 
(Figueiredo e Curi, 2004): 
 
 
2
2
p
po
Vp
W
WW 
  (2) 
 
  
pp
popo
Vp LW
LLWW 
  (3) 
 
 
p
po
Vp W
WW 
  (4) 
 
Jaeger e Cook (1979) demonstraram que 
essas tensões médias fornecidas pela TAT 
representam um limite superior para as cargas 
atuantes nos pilares. Rigorosamente, aplica-se a 
um caso hipotético em que as dimensões do 
painel de lavra seriam infinitas. 
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2.2 Método de Coates (1965) 
 
A TAT não leva em consideração propriedades 
geométricas como: extensão ou comprimento 
(finito) do painel de lavra, a altura dos pilares e 
localização dos mesmos dentro do painel. 
Características geomecânicas como a 
magnitude da tensão horizontal ( H , paralela 
ao corpo de minério) e os módulos de 
deformabilidade das rochas encaixantes e dos 
pilares também são ignoradas (Coates, 1965). 
Para incluir o efeito dessas características no 
problema, Coates (1965) propôs uma solução 
baseada nas deflexões elásticas das escavações 
de lavra. 
Segundo Coates (1965), a deflexão total nos 
pilares resultante da lavra, p , e o aumento da 
tensão nos mesmos são diretamente 
proporcionais. As componentes dessa deflexão 
podem ser consideradas como: 
(i) a deflexão para dentro (convergência) devido 
à escavação completa do painel, isto é, 
correspondente a uma recuperação de 100%, 
somada à deflexão devida à compressão do 
maciço pelas tensões in situ e (Figura 2); 
 
 
 
Figura 2. Deflexão para dentro (convergência - e) devida 
à escavação completa do painel (adaptada de Coates, 
1965). 
 
(ii) a deflexão, associada a um efeito de 
Poisson, r , que é causada pela eliminação do 
confinamento lateral dos pilares (Figura 3). 
 
Figura 3. Deflexão devida à eliminação do confinamento 
lateral dos pilares (r) - adaptada de Coates (1965). 
Ressalta-se que a deflexão supracitada acontece 
na vertical, embora seja a "resposta" a uma 
extensão horizontal (efeito de Poisson), por 
eliminação do confinamento lateral; 
(iii) a deflexão reversa (divergência no sentido 
contrário à deflexão (i)) das encaixantes, δ’, que 
resulta duma tensão média, devida à reação de 
todos os pilares, distribuída uniformemente 
(Figura 4); 
 
Figura 4. Deflexão reversa (divergência - ') das rochas 
encaixantes devida à média da reação nos pilares 
(adaptada de Coates, 1965). 
(iv) a deflexão reversa (divergência), n, devida 
ao puncionamento dos pilares nas encaixantes, 
que se associa a uma concentração local datensão média considerada em (iii) (Figura 5). 
 
Figura 5. Deflexão reversa (n) devida ao puncionamento 
dos pilares nas rochas encaixantes (adaptada de Coates, 
1965). 
Considerando-se expressões da Teoria da 
Elasticidade em deformação plana (Jaeger e 
Cook, 1979), para todas essas componentes da 
deflexão total e que cada qual produz 
acréscimos correspondentes de tensão nos 
pilares, os quais podem ser simplesmente 
superpostos, Coates (1965) deduziu uma 
expressão para o acréscimo total de tensão, 
p , em rib-pillars (Fig. 1(c)), que pode ser 
colocada genericamente como: 
 
Vp CC  )( (5) 
 
onde V é novamente a tensão vertical in 
situ e CC é uma expressão que depende de 
características geométricas e mecânicas do 
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problema, podendo ser vista no Anexo 1. 
A tensão média total no pilar ( p ) é dada, 
pois, simplesmente pela soma de p com V : 
 
pVp   (6)a 
 
com zV   , sendo  o peso específico 
médio das rochas sobrejacentes e z a 
profundidade. 
Portanto, tendo em vista a Eq. (5), a tensão 
média total no pilar vale, finalmente: 
 
 CCVp  1 (6)b 
 
 
3 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE 
COATES PARA 3D 
 
Como já foi mencionado, as expressões (5) e 
(6), deduzidas por Coates (1965), são relativas a 
pilares 2D (rib-pillars - Fig. 1(c)), sendo essa a 
sua principal limitação para uso prático. 
Hoek e Brown (1980) apresentaram um 
simples argumento de superposição de efeitos, 
totalmente válido para que se obtenha uma 
generalização do método de Coates (1965) para 
3D. Tal argumento de superposição está 
ilustrado na Figura 6. No caso, as tensões 
atuantes em dois pilares 2D, perpendiculares 
entre si, poderiam ser simplesmente somadas, 
considerando-se as respectivas direções, para 
que se obtenha a tensão resultante num pilar 
3D, quadrangular ou retangular, formado pela 
interseção de ambos (Fig. 6). 
 
 
Figura 6. (a) Distribuição de tensão em um rib pillar 
norte-sul, devido à interação dos campos de tensões das 
aberturas que o ladeiam; (b) idem a (a) para a direção 
leste-oeste; (c) distribuição da tensão em um pilar 3D 
quadrangular, ladeado por aberturas norte-sul e leste-
oeste, obtida por simples superposição (Hoek e Brown, 
1980). 
Considerando válido o argumento de 
superposição apresentado por Hoek e Brown 
(1980) - perceba-se que a solução analítica de 
Coates (1965) é derivada da elasticidade linear 
e, portanto, vale o Princípio da Superposição 
dos Efeitos (Chou e Pagano, 1992) - Figueiredo 
(2013) propôs, com base no mesmo, uma 
elegante generalização do método de Coates 
(1965) para 3D. Tal generalização permite 
determinar as tensões atuantes em pilares 
quadrangulares e/ou retangulares como aqueles 
mostrados nas Figs. 1(a) e 1(b). Tais tensões 
são bem mais acuradas que as fornecidas pela 
TAT (item 2.1), permitindo, assim, dimensionar 
melhor os pilares e, consequentemente, praticar 
recuperações maiores na lavra. Na sequência 
será apresentada essa solução generalizada a 3D 
para pilares quadrados ou retangulares. 
 
3.1 Pilares e Painéis Quadrados/Retangulares 
 
Considere-se uma lavra 1, no sentido leste-oeste 
(Fig. 7). Pela Eq. 6(a) a tensão atuante nos rib-
pillars 2D para tal lavra seria: 
 
11
pVp   (7) 
 
sendo )1(1 CCVp   , na qual CC1 é o termo 
CC (da Eq. (5)) para as respectivas condições, 
dimensões e número de pilares/vãos específicos 
da lavra 1, que se está considerando. 
 
 
Figura 7. Rib-pillars de comprimento infinito na direção 
leste-oeste (lavra 1): L1 é a largura do painel; Wp
1 é a 
largura do pilar e Wo
1 o vão das aberturas. 
Considere-se, agora, uma lavra 2 no sentido 
norte-sul (perpendicular à lavra 1 - Figura 8). A 
tensão nos rib-pillars será dada por: 
 
 22 pVp   (8) 
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com )2(2 CCVp   , na qual CC2 é o valor 
de CC para as condições/dimensões e número 
de pilares/vãos específicos da lavra 2. 
Imaginemos, no entanto, que a lavra 2 fosse 
realizada após a lavra 1, gerando pilares 3D 
(quadrangulares ou retangulares) conforme se 
observa na Figura 9. Note-se que, quando a 
lavra 2 vier a ser realizada, já estará atuando 
sobre os pilares uma tensão 1p , decorrente da 
lavra 1 que a precedeu. Daí, o incremento de 
tensões "acumulado", em razão da superposição 
dos efeitos (Chou e Pagano, 1992), será: 
 
)11)(2()2)(1(
)2()2()2(
)2)(()2(
1
1121
CCCCCCCC
CCCCCC
CCCC
VV
VpV
pVpp


 



 (9) 
 
 
Figura 8. Rib pillars de comprimento infinito na direção 
norte-sul (lavra 2): L2 é a largura do painel; Wp
2 é a 
largura do pilar e Wo
2 o vão das aberturas. 
A tensão final atuante nos pilares 3D da 
lavra mostrada na Figura 9 ( 21p ) será então 
dada por: 
 
)2)(1()2()1(
21121121
CCCCCCCC VVVV
ppVppp



 
 
 
 
 
)21211(21 CCCCCCCCVp 
  (10) 
 
que é a expressão final proposta por Figueiredo 
(2013) para as tensões nos pilares retangulares 
(dimensões 21 pp WW  em planta) ilustrados na 
Figura 9. 
De posse da solução analítica expressa pela 
Eq. (10), foram comparados os seus resultados 
com aqueles fornecidos pela TAT, variando-se 
alguns parâmetros que figuram nos termos CC. 
Observam-se os resultados nas Figuras 10, 11 e 
12. 
 
 
Figura 9. Arranjo obtido com a realização da lavra 2 após 
já ter sido realizada a lavra 1. 
 
Figura 10. Variação da tensão no pilar para diferentes 
recuperações. 
Observa-se nas referidas figuras que, para 
uma ampla faixa dos parâmetros envolvidos no 
problema, a tensão nos pilares calculada a partir 
da generalização do método de Coates para 3D 
é sempre menor que aquela calculada a partir da 
TAT. Tal resultado é totalmente consistente 
com o que seria esperado, em face da natureza 
extremamente conservadora dessa última 
(Jaeger e Cook, 1979). Adicionalmente, cabe 
também mencionar um importante aspecto: o de 
que a generalização do método de Coates, aqui 
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apresentada, constitui, na realidade, um limite 
superior para o valor das tensões médias e, 
portanto, é a favor da segurança (Figueiredo, 
2013). 
 
 
Figura 11. Variação da tensão no pilar para diferentes 
valores da razão entre as tensões principais in situ (K = 
tensão horizontal/tensão vertical). 
 
Figura 12. Variação da tensão no pilar para diferentes 
valores da razão entre os parâmetros de elasticidade da 
rocha encaixante (M) e do pilar (Mp) - ver Anexo 1 para 
definição desses parâmetros. 
 
Sendo assim, justifica-se plenamente o seu 
uso com o objetivo de dimensionar pilares de 
maneira mais acurada, propiciando a obtenção 
de recuperações mais elevadas nos projetos de 
lavra. 
Apenas a título ilustrativo apresenta-se aqui, 
uma única validação da Eq (10), dentre as 
várias que foram realizadas por Lara (2013) e 
Figueiredo (2013). Trata-se de uma comparação 
entre os resultados da solução analítica e de 
análises numéricas obtidos pelo Método das 
Descontinuidades de Deslocamentos (Crouch e 
Starfield, 1983) - utilizando o software 
EXAMINE-Tab da RocScience. A Fig. 13 
apresenta os resultados numéricos para uma 
dada situação, cujos dados de entrada estão 
mostrados na tela do software. Salienta-se, 
apenas, que o módulo de elasticidade do pilar é 
a metade do módulo da rocha encaixante e H = 
3V (isto é, K = 3 - Fig. 11). Percebe-se que os 
valores máximos de tensão obtidos 
numericamente ficam numa isofaixa de 26 a 28 
MPa, enquanto a solução analítica fornece uma 
tensão média de 28.30 MPa, só ligeiramente a 
favor da segurança. Vale ressaltar que a TAT 
fornece um valor de 46.94 MPa para tal tensão 
(excepcionalmente conservador). É oportuno 
ainda mencionar que situações como a 
apresentada, com painéis finitos (pequeno 
número de pilares/vãos),são justamente aquelas 
onde a TAT leva a maiores erros. 
 
4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO 
DE COATES GENERALIZADO PARA 3D 
Tratou-se o dimensionamento de uma lavra por 
câmaras e pilares como sendo um problema de 
otimização, via programação matemática não-
linear, implementando-se o método de Coates 
3D para o cálculo da tensão nos pilares. 
Em tal abordagem, o dimensionamento é 
formulado como um problema padrão de 
Programação Matemática, no qual o objetivo é 
maximizar a recuperação, buscando, todavia, 
satisfazer às restrições impostas à mesma por 
questões operacionais, tecnológicas e 
geomecânicas. Tal formulação garante que a 
recuperação alcançada seja sempre a máxima 
possível diante das restrições existentes 
(Figueiredo e Curi, 2004). 
 
 
Figura 13. Análise numérica para pilares quadrangulares 
num painel finito: tensão máxima entre 26 e 28 MPa, 
representada pela isofaixa de cor vermelha. A tensão 
fornecida pela generalização do método de Coates para 
3D é de 28.30 MPa (contra 46.94 MPa pela TAT). 
 
Lara (2013) estudou alguns casos de minas 
reais. Dentre esses, analisou uma mina de 
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manganês onde atualmente se está reavaliando 
o arranjo de lavra. Os dados de entrada foram: 
propriedades mecânicas do corpo de minério e 
de suas rochas encaixantes e a geometria de 
lavra. Foram realizadas comparações entre a 
recuperação praticada (real) e a que seria 
atingida com o redimensionamento pelo método 
de Coates generalizado para 3D, considerando 
diferentes números de pilares. Dessa forma, 
pôde-se observar qual seria o ganho de 
recuperação ao longo do desenvolvimento da 
lavra. Percebe-se na Tabela 1 e na Figura 14 o 
ganho de recuperação que seria possível com a 
utilização da metodologia de dimensionamento 
aqui adotada. 
 
 
Tabela 1. Ganho de recuperação com a utilização do 
método de Coates generalizado para 3D, associado à 
metodologia de dimensionamento otimizado via 
programação não-linear para uma mina de manganês. 
Variável n n n n n
Número de Pilares 10 25 50 100 200
Recuperação Praticada 46,5% 44,9% 44,3% 44,4% 43,9%
Recuperação Otimizada 74,0% 72,0% 71,0% 71,0% 71,0%
Ganho de Recuperação 27,5% 27,1% 26,7% 26,6% 27,1%
Mina de Manganês
Resultados Obtidos
 
 
Figura 14. Ganho de recuperação com a utilização do 
método de Coates generalizado para 3D, associado à 
metodologia de dimensionamento otimizado via 
programação não-linear para uma mina de manganês. 
 
4 CONCLUSÕES 
Observou-se que as tensões médias em pilares 
calculadas a partir do método de Coates (1965) 
generalizado para 3D são menores e bem mais 
realistas que as fornecidas pela Teoria da Área 
Tributária (TAT) - vide validação apresentada 
na Fig. 13. 
A generalização do método de Coates para 
3D, proposta por Figueiredo (2013), é uma 
solução analítica bastante simples, que pode ser 
facilmente aplicada nas análises preliminares 
em projetos de lavra subterrânea por câmaras e 
pilares (por exemplo, implementada em 
planilhas eletrônicas). A sua incorporação a 
uma metodologia de dimensionamento ótimo, 
via programação matemática não-linear, 
permite maximizar a recuperação, de forma 
bastante eficaz, e ainda garantir que não sejam 
superadas as resistências dos pilares, o que, por 
sua vez, contribui para a segurança das 
operações de produção (Lara, 2013). 
Sendo assim, foi possível estabelecer um 
método racional para se determinarem tensões 
mais realistas em pilares e associá-lo a uma 
metodologia de dimensionamento eficaz e 
rigorosa, o que permite elaborar projetos com 
recuperação maximizada e ainda manter fatores 
de segurança aceitáveis. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Brady B. e Brown, E. (2004) Rock Mechanics for 
Underground Mining. 3rd ed., Dordrecht, Kluwer, 
628 p. 
Chou, P. C. e N. J. Pagano (1992) Elasticity - Tensor, 
Dyadic and Engineering Approaches. New York, 
Dover, 290 p. 
Coates, D. F. (1965) A new hypothesis for the 
determination of pillar loads. PhD Thesis in Mining 
Engng., McGill University, 287 p. 
Crouch, S. L. e A. M. Starfield (1983). Boundary 
Element Methods in Solid Mechanics. London, 
George Allen & Unwin, 322 p. 
Figueiredo, R. P. de (2013). Comunicação Pessoal. Ouro 
Preto (MG), 6 p. 
Figueiredo, R. P. e Curi, A. (2004). Dimensionamento 
ótimo de painéis, câmaras e pilares com 
programação não-linear. Anais do I SIAEM (I 
Simpósio Ibero Americano de Engenharia de Minas), 
São Paulo, pp 565-573. 
Hoek, E. e Brown, E. T. (1980) Underground 
Excavations in Rock. . London, IMM, 527p. 
Jaeger, J. C. e N. G. W. Cook (1979) Fundamentals of 
Rock Mechanics. 3rd ed., London: Chapman-Hall, 
593 p. 
Lara, H. H. O. (2013) Otimização de recuperação na 
lavra por câmaras e pilares, via programação não-
linear, aplicando o método de Coates generalizado 
para 3D. Monografia de Graduação em Engenharia 
de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, 42p. 
 
 
 
 
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ANEXO 1: 
 
A expressão de CC que comparece nas eqs. (5), 
(6), (9) e (10) é dada por (Coates, 1965): 
 


/)1(2)/11)(1(2
)1(2



RbnRNh
KNhKhR
CC p , 
 
onde, 
 
pM
M
N  ; 
L
H
h  ; 
L
W
b p ; 
V
HK


 ; 
)1( 2

E
M ; 
)1( 2p
p
p
E
M

 ; 
)1( 


 ; 
)1( p
p
p 



 , 
com, 
 
Ep = Módulo de Elasticidade dos pilares; 
p = Coeficiente de Poisson dos pilares; 
E = Módulo de Elasticidade das encaixantes; 
 = Coeficiente de Poisson das encaixantes; 
H = espessura do minério (= altura dos pilares, 
Fig. A1); 
L = largura total do painel de lavra (Fig. A1); 
Wp = largura dos pilares (Fig. A1); 
n = número total de pilares no painel (Fig. A1); 
 popTp nWWnnWAAR  )1(/1/1 é a 
recuperação na lavra, que é uma função das 
dimensões dos vãos e pilares (Fig. A1); 
Wo = largura dos vãos (Fig. A1). 
 
 
Figura A1. Seção transversal esquemática de um painel 
de lavra com largura finita L e n (= 2) pilares (Wo e Wp 
são as larguras dos vãos e pilares, respectivamente).