RESMAT II - A1

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1.0 PROJETO DE VIGAS
Projetar vigas (material e dimensões da seção transversal), de modo que elas
não venham a falhar quando submetidas a cargas de flexão e cisalhamento. Vigas
são importantes elementos estruturais e mecânicos, usados em projetos de
engenharia, que suportam carregamentos que são aplicados perpendicularmente ao
eixo longitudinal.
1.1 Classificação das vigas
1.2 Diagramas de esforços
Como as vigas estão sujeitas aos carregamentos aplicados, surgem nas mesmas
forças cisalhantes internas e momentos fletores, que podem variar ao longo do comprimento
da viga. Os valores máximos são os de nosso interesse e podem ser determinados
expressando-se V e M em função de uma distância arbitrária x ao longo do eixo da viga. Os
diagramas de esforço cortante e momento fletor representam a variação da força cisalhante
e do momento fletor ao longo da viga e são obtidos “cortando-se” a seção no ponto onde se
deseja determinar os valores de V e M.
1.2 Diagramas de esforços
Nesses diagramas, as abscissas (horizontais) representam a posição da seção ao
longo da viga, e as ordenadas (verticais) indicam os valores da força cortante e do momento
fletor, respectivamente.
Uma das grandes aplicações dos diagramas de força cortante e momento fletor na
engenharia é que auxiliam na decisão de onde colocar materiais de reforço no interior da
viga ou de como calcular as dimensões da viga em vários pontos ao longo do seu
comprimento (HIBBELER, 2010).
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1.2.1 Convenção de sinais
Embora a escolha da convenção de sinais seja arbitrária, adotaremos a convenção
de uso mais frequente na prática da engenharia e segundo os autores Beer (2006) e Hibbeler
(2010). Assim, temos um sistema de coordenadas com a origem na extremidade A, e a
distância de uma seção qualquer da viga à extremidade A é denotada pela variável x. A viga
é submetida a um tipo qualquer de carga transversal distribuída de uma forma geral, como
mostrada na figura 1.1. Essa viga apresenta apoios simples, mas as considerações aqui
valem para qualquer tipo de vinculação.
1.2.1 Convenção de sinais
 Vigas - elementos estruturais que suportam
forças em vários pontos ao longo do elemento.
 Objetivo – Análise e projeto de vigas.
 Carregamentos transversais de vigas são
classificados como forças concentradas ou
como forças distribuídas.
 Forças aplicadas resultam em forças internas
consistindo de força cortante que provoca
tensões de cisalhamento e momento fletor que
provoca tensões normais.
 Tensões normais dependem somente do valor
do momento fletor e da geometria da seção.
S
M
I
cM
I
My
mx  
 Requer a determinação da localização da
distância entre a linha neutra e ponto onde se
deseja a tensão.
1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
Primeiramente devemos determinar as reações nos apoios da viga, usando as
equações de equilíbrio;
O segundo passo é determinar as funções de cisalhamento e momento e para isso é
necessário:
Consideramos a origem na extremidade esquerda da viga, e especificamos por x
cada trecho da viga. Trecho pode ser considerado a região entre forças concentradas e/ou
momentos, ou até onde não existir nenhuma descontinuidade do carregamento e distribuído;
1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
Depois de determinado o trecho a ser analisado, devemos fazer o diagrama de corpo
livre do mesmo. As ações de V e M devem ser mostradas no sentido positivo, de acordo
com a convenção adotada;
O cisalhamento (ou força cortante) é obtido pelo somatório das forças verticais
(perpendiculares) ao eixo da viga;
O momento é determinado pelo somatório dos momentos em torno da extremidade
onde o elemento foi secionado;
De posse dos valores de V e M em extremidade da seção, podemos construir os
diagramas (DEC e DMF), diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga;
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1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, serão
marcados acima do eixo x, logo valores negativos serão marcados abaixo do eixo, pois
𝑑𝑀=𝑉𝑑𝑥 ou 𝑉=𝑑𝑀𝑑𝑥.
Devemos observar que uma mudança abrupta na força cortante, o que corresponde
a uma força concentrada, é acompanhada de uma mudança abrupta na inclinação do DMF;
Nas seções em que a força cortante é zero, a inclinação do DMF é zero. Nesses
pontos em que a tangente do DMF é horizontal, o momento fletor pode ter um valor
máximo ou mínimo. Essa situação resulta da técnica usual do cálculo de obtermos os
valores máximos ou mínimos de uma função igualando a zero a primeira derivada da
função.
1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
As curvas representam partes de um DMF, então valores críticos podem ocorrer nos
pontos A e B. De uma maneira geral, igualando a equação do esforço cortante a zero,
determinados o ponto (x) onde o valor do momento é extremo, assim substituímos esse
valor de x na equação do momento fletor da seção obtendo seu valor máximo; De posse dos
valores de V e M em extremidade da seção, podemos construir os diagramas (DEC e DMF),
diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga;
1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
A tabela 1.1 ilustra a inclinação dos diagramas de esforço cortante e momento
fletor, para casos comuns de carregamentos. É importante salientar que existem equações
específicas que demonstram esses resultados (HIBBELER, 2010, item 6.2) e os gráficos não
devem ser simplesmente decorados e sim estudados.
1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF
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1.3 Procedimentos para construção do DEN, DEV, DMF 1.4 Considerações para o projeto de vigas prismáticas
“Quando escolhemos uma viga para resistir a ambas as tensões de
cisalhamento e flexão, diz-se que ela é projetada com base na resistência”
(HIBBELER, 2010, pág. 400). A partir dessa consideração utilizaremos as fórmulas de
Flexão Pura (capítulo 4 de Resistência dos Materiais I) e de Esforço cortante (capítulo
5 de Resistência dos Materiais I), e nosso estudo ficará limitado ao caso de vigas
homogêneas (feitas de um único material) e que tenham comportamento linear elástico.
1.4 Considerações para o projeto de vigas prismáticas
Para isso, a máxima tensão normal 𝜎 na viga não deve exceder a tensão
admissível 𝜎 do material e a tensão máxima de cisalhamento 𝜏 também deve
ser menor que a tensão cisalhante admissível 𝜏 .
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor representam a variação da
força cortante do momento fletor ao longo da viga e são obtidos “cortando-se” a seção
no ponto onde se deseja determinar os valores de V e M, que serão utilizados nas
equações de flexão e cisalhamento.
1.5 Tensões em um viga
Vimos nos capítulos 4 e 5 de resistência dos Materiais I que, dentro do regime elástico,
as tensões que se exercem dentro de um pequeno elemento de faces perpendiculares,
respectivamente aos eixos x e y, se reduzem a tensão normal 𝜎 =𝑀.𝑐/𝐼, se o elemento está
localizado na superfície livre da viga (c é a distância do eixo neutro a superfície), ou a tensão de
cisalhamento 𝜏 = 𝑉𝑄/𝐼𝑡 se o elemento estiver na linha neutra.
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1.5 Tensões em um viga
Em qualquer outro ponto da viga, o elemento vai estar submetido simultaneamente a
tensão normal 𝜎=𝑀.𝑦/𝐼, onde y é a distância do eixo neutro até a fibra onde se encontra o
elemento, e a tensão de cisalhamento é 𝜏=−𝑉𝑄/𝐼𝑡. Para estas expressões I é o momento de
inércia da seção transversal, Q é o momento estático em relação ao eixo neutro da parte da
seção transversal localizada acima do ponto onde se deseja calcular a tensão, e t é a largura da
seção transversal nesse ponto.
1.5 Tensões em um viga
1.6 Projeto de vigas prismáticas
O projeto de uma viga deve levar em conta também a economia. Isto é, entre vigas
do mesmo material, quando outros dados coincidem, devemos optar por aquela de menor
peso por unidade decomprimento, e, portanto, de menor seção transversal.
Agora vamos traçar os passos para o dimensionamento de uma viga:
1º) Determinamos os valores de 𝜎 e 𝜏 do material a partir do valor especificado no
projeto ou por meio de tabelas de propriedades mecânicas dos materiais (BEER, 2006,
apêndice B). Podemos obter esse valor também a partir da tensão última do material
associada a um coeficiente de segurança;
1.6 Projeto de vigas prismáticas
2º) O projeto de uma viga depende da força cortante e momento fletor
máximos, assim, com as condições de carregamento dadas, usando o método das
seções, desenhamos os diagramas de V e M, determinando os valores máximos
absolutos |𝑉|𝑚á𝑥 e |𝑀|𝑚á𝑥;
3º) Calculamos o mínimo valor admissível do módulo resistente 𝑊, onde
𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑦. Considerando que o dimensionamento da viga é dado pelo valor da
tensão normal no ponto 𝑦=±𝑐 na seção transversal do máximo momento fletor,
substituímos 𝜎𝑎𝑑𝑚em lugar de 𝜎𝑚á𝑥, encontrando:
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1.6 Projeto de vigas prismáticas 1.6 Projeto de vigas prismáticas
Entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência aceitável, aquela
com o menor peso por unidade de comprimento portanto a menor área de seção transversal será
menos cara e a melhor escolha.
A maior tensão normal é encontrada na superfície onde o momento máximo de flexão
ocorre.
𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑀
𝑊
Um projeto seguro requer que a tensão máxima normal seja inferior à tensão admissível
do material utilizado. Este critério leva à determinação do mínimo módulo de resistência à flexão
aceitável.
𝜎 ≤ 𝜎
𝑊
𝑀
𝜎
1.6 Projeto de vigas prismáticas
4º) Entre as seções transversais que podem ser utilizadas, devemos considerar aquelas com 𝑊<𝑊𝑚í𝑛, entre
elas escolher a seção com menor peso por unidade de comprimento (ou seja, a favor da economia). Nem sempre essa
seção transversal será a que possui um maior 𝑊, como veremos nos exemplos resolvidos desta aula e da seguinte. Em
alguns casos, outras considerações podem ser limitantes, como os valores admissíveis para a deflexão da viga ou
restrições no valor da altura da seção transversal.
5º) Verificamos agora a resistência da viga à força cortante pela equação 1.5 (ou 1.6 e 1.7) e comparando
depois com o valor da 𝜏𝑎𝑑𝑚. Se o valor encontrado para 𝜏𝑚á𝑥 for maior do que 𝜏𝑎𝑑𝑚, devemos redimensionar a
seção transversal, escolhendo uma maior.
1.6 Projeto de vigas prismáticas
Para as vigas de seção retangular a tensão máxima de cisalhamento é dada por:
Para perfis I ou de abas largas, podemos adotar que toda a força cortante é resistida
pela alma, e nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento é dada por:
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1.6 Projeto de vigas prismáticas
6º) Para perfis I e perfis de abas largas, verificamos 𝜎𝑚á𝑥 na junção da alma com
as abas, na seção de |𝑀|𝑚á𝑥, para que a 𝜎𝑚á𝑥 não exceda o valor de 𝜎𝑎𝑑𝑚. “Usualmente
basta que se tenha uma estimativa rápida de 𝜎𝑚á𝑥 sendo, desnecessário o cálculo das
componentes de tensões 𝜎𝑥 𝑒 𝜏𝑥𝑦.
A Figura 1.5 apresenta alguns tipos de aços laminados que tem suas seções
transversais utilizadas no dimensionamento de vigas:
1.6 Projeto de vigas prismáticas
1.6 Projeto de vigas prismáticas Exercícios
1) Uma viga de madeira AB tem 3,0m de vão e 100mm de largura. Ela suporta as três cargas
concentradas indicadas. Determinar a mínima altura necessária d para a viga, sabendo-se que, para a
qualidade de madeira usada, valem 𝜎 = 12,6 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏 = 840 𝑘𝑃𝐴.
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Exercícios
2) Sabendo que para o aço valem valem 𝜎 = 160 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏 = 100 𝑀𝑃𝐴, selecionar o perfil de
abas largas W mais leve que possa ser usado para suportar o carregamento indicado com segurança.
Exercícios
3) Para a viga de aço mostrada abaixo valem 𝜎 = 140 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏 = 90 𝑀𝑃𝑎. Determine a
máxima carga P que pode ser suportada com segurança.
Exercícios
4) Para a viga de madeira com o carregamento mostrado, trace os diagramas de força cortante e momento
fletor e determine a tensão máxima provocada pelo momento fletor.
Exercícios
5) A viga de aço simplesmente apoiada, deve suportar as forças distribuídas e concentradas mostradas.
Sabendo que a tensão normal admissível para a classe de aço a ser utilizado é de 160 MPa, selecione o
perfil de mesa larga que deve ser usado.
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Exercícios
6) A viga simplesmente apoiada, abaixo mostrada, é construída em madeira para a qual valem 𝜎 =
6,5 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏 = 500 𝑘𝑃𝐴. Determine as dimensões transversais mínimas se a seção transversal deve
ser retangular com ℎ = 1,25𝑏
Exercícios
7) A viga mostrada na figura abaixo é construída em madeira para a qual valem 𝜎 = 1,1 𝑘𝑠𝑖 e
𝜏 = 0,70 𝑘𝑠𝑖. Determine a largura ‘b’ para sua seção transversal se ℎ = 2𝑏
Exercícios
8) A viga mostrada na figura abaixo é construída em madeira para a qual valem 𝜎 = 8 𝑀𝑃𝑎 e
𝜏 = 750 𝑘𝑃𝑎. Determine a largura ‘b’ para sua seção transversal se ℎ = 1,5𝑏
Exercícios
9) A viga simplesmente apoiada mostrada abaixo é de madeira para a qual valem 𝜎 = 960 𝑃𝑠𝑖 e
𝜏 = 75 𝑃𝑠𝑖. Determine suas dimensões transversais mínimas para resistir ao carregamento indicado
quando h = 1,25b.
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Exercícios
10) A estrutura apresentada é construída de uma viga de aço perfil W250 x167 e dois membros curtos
soldados entre si e a viga.
(a) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga com o carregamento dado.
(b) determinar a tensão normal máxima nas seções à direita e à esquerda do ponto D
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