Filtros Passivos e Ativos para Sistemas Elétricos

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7. FILTROS PASSIVOS E ATIVOS 
 
 São estudadas neste capítulo estruturas de circuitos capazes de mitigar o problema de 
distorção de correntes e/ou tensões em sistemas elétricos. Inicia-se com os filtros passivos, 
verificando alguns aspectos de seu dimensionamento, bem como problemas de uso em 
sistemas com distorção de tensão e com harmônicos não característicos. 
 No que se refere aos filtros ativos, toma-se como base os conversores CC-CA 
operando com Modulação por Largura de Pulso, conforme estudados em capítulo anterior, 
aproveitando-se sua capacidade de sintetizar correntes ou tensões de formas quaisquer, 
seguindo uma referência específica. Verifica-se a aplicação de técnicas diferentes para o 
controle de filtros ativos trifásicos. São vistos filtros mono e trifásicos operando com o 
método da síntese de cargas resistivas. Na seqüência são analisados filtros híbridos, os quais 
associam filtros passivos e ativos. 
 
7.1 Filtros passivos 
 
 A solução clássica para a redução da contaminação harmônica de corrente em sistemas 
elétricos é o uso de filtros sintonizados conectados em derivação no alimentador. 
 A estrutura típica de um filtro passivo de harmônicos de corrente é mostrada na figura 
7.1. As várias células LC série são sintonizadas nas proximidades das freqüências que se 
deseja eliminar, o que, via de regra, são os componentes de ordem inferior. Para as 
freqüências mais elevadas é usado, em geral, um simples capacitor funcionando como filtro 
passa-altas. A carga considerada neste exemplo é do tipo fonte de corrente e é similar à que se 
obtém com o uso de um retificador tiristorizado trifásico, alimentando uma carga indutiva, 
como um motor de CC. 
Na freqüência da rede, os diferentes filtros apresentam uma reatância capacitiva, de 
modo que contribuem para a correção do fator de potência (na freqüência fundamental), 
supondo que a carga alimentada seja de característica indutiva. 
A distribuição da capacitância total entre os diferentes ramos pode ser feita de diversas 
maneiras. A ref. [7.1] indica que a distribuição é indiferente, não afetando o comportamento 
do filtro. Em [7.2] a indicação é que a alocação seja proporcional á corrente total que deve 
fluir por cada ramo, ou seja, depende do conteúdo espectral de uma determinada carga. Esta 
solução tenderia a equalizar as perdas pelos capacitores. Em [7.3] e [7.4] indicam-se divisões 
da capacitância total em função da ordem harmônica do ramo do filtro, cabendo uma parcela 
maior ao filtro de 5ª harmônica em relação aos demais. A ref. [7.5], no entanto, mostra que a 
distribuição da capacitância afeta a capacidade global do filtro, embora não seja possível 
generalizar uma solução pois, os diferentes métodos produzem resultados melhores ou piores 
a depender de vários fatores, como o nível de curto-circuito local, a distorção presente na 
tensão ou a existência de harmônicos não característicos. 
Um outro aspecto relevante é que os filtros não devem ser sintonizados exatamente nas 
freqüências harmônicas pois, na eventualidade de que a tensão apresente-se com distorção, 
poderiam surgir componentes muito elevadas de corrente. Também para a “dessintonia” 
existem diferentes indicações. A norma IEEE 1531 (IEEE Guide for Application and 
Specification of Harmonic Filters, IEEE Std 1531 – 2003) indica que a dessintonia deve ser 
feita 6% abaixo da freqüência harmônica. A ref. [7.3] sugere que a sintonia seja feita 5% 
abaixo da harmônica. Já a ref. [7.4] indica um deslocamento absoluto de 18Hz para todos os 
ramos. 
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Os filtros usados nas simulações que se seguem tiveram a capacitância total distribuída 
igualmente entre os três ramos sintonizados e uma parcela menor incluída no ramo passa-
altas. O fator de qualidade de cada ramo é de 20, o que é um valor típico para indutores com 
núcleo ferromagnético. Dispositivos com núcleo de ar têm fator de qualidade superior. O 
ramo passa-altas possui uma resistência de amortecimento. O ramo da 5ª harmônica foi 
sintonizado em 290Hz enquanto os demais os ramos foram dessintonizados em 20Hz abaixo 
da harmônica. 
O alimentador apresenta um nível de curto-circuito de 20 p.u. A impedância em série 
com a fonte tem um papel essencial na eficácia do filtro. Observe que se for considerada uma 
fonte ideal, qualquer filtro é indiferente, posto que, por definição, a impedância de uma fonte 
de tensão é nula. Ou seja, o caminho preferencial para os componentes harmônicos da 
corrente da carga sempre seria a fonte. 
A carga apresenta fator de deslocamento de 0,866 e fator de deformação de 0,95, 
configurando um fator de potência de 0,82. Dada a simetria da forma de onda, não estão 
presentes as componentes pares, assim como as múltiplas de ordem três. 
 
+
-
150u 150u 150u
I3
+-
2.15m
0.19
1.05m
.13
440u
.085
20u
2
.1
.25m
I1
+
-
 
Figura 7.1 Filtragem passiva de corrente em carga não-linear. 
 
 A figura 7.2 mostra a resposta em freqüência da tensão sobre a carga. A carga, dado 
seu comportamento de fonte de corrente, é considerada um circuito aberto neste teste. Nota-se 
que nas ressonâncias dos filtros, dado que a impedância vai ao mínimo, tem-se uma redução 
da tensão. Tem-se ainda outras três ressonâncias série que surgem da combinação entre a 
reatância do alimentador e cada um dos quatro ramos do filtro. Em tais freqüências observa-se 
uma amplificação da tensão sobre o filtro. Caso existam componentes espectrais de tensão 
nestas freqüências estas serão amplificadas. 
 
 
Figura 7.2 Ganho (em dB) de tensão do filtro, em relação à tensão da fonte CA. 
 
Na figura 7.3 tem-se a impedância vista pela carga. Neste teste a fonte de tensão é 
curto-circuitada. Em baixa freqüência, pode-se esperar que a corrente flua pela rede. Nas 
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ressonâncias do filtro, as respectivas componentes presentes na corrente da carga fluirão pelo 
filtro. No entanto, nas freqüências em que a impedância se eleva, eventuais componentes 
presentes na corrente da carga produzirão distorções na tensão no barramento de instalação do 
filtro. Assim, do ponto de vista da carga, o que se tem são ressonâncias paralelas entre os 
ramos do filtro e a reatância da rede. 
Assim, pode-se concluir que a presença de vários filtros numa mesma rede produz 
interferências mútuas. O comportamento de cada filtro pode ser influenciado pela presença 
dos outros filtros e outras cargas. 
 
 
Figura 7.3 Impedância vista pela carga. 
 
 A figura 7.4 mostra o sistema simulado, com uma carga não-linear, que absorve uma 
corrente retangular. A ação do filtro permite compensar o fator de deslocamento, assim como 
reduzir o conteúdo harmônico da corrente da rede em relação à da carga. A THD da corrente 
da carga é de 29%, enquanto na rede tem-se 15%. Os espectros destas correntes são mostrados 
na figura 7.5. A redução na componente fundamental deve-se à melhoria do fator de 
deslocamento. 
 
 
Figura 7.4 Corrente da carga e corrente na fonte com filtragem passiva. 
 
 A figura 7.6 mostra a tensão no ponto de conexão da carga e seu espectro. Observem-
se os afundamentos na tensão quando há a variação acentuada da corrente da carga. Sem os 
filtros, a distorção harmônica total da tensão no ponto de conexão da carga é de 13%. Com o 
filtro, o afundamento não é compensado plenamente, mas a THD se reduz para 8%. Mesmo 
com a atenuação introduzida neste ramo passa-altas tem-se alguma oscilação em torno de 3 
kHz, conforme se poderia antever pelo resultado da figura7.2. Verifica-se assim que o uso do 
filtro melhora não só a corrente como a tensão, que é, na verdade, a grandeza elétrica que é 
compartilhada pelos usuários. 
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Figura 7.5 Espectro da corrente na carga (superior) e na rede (inferior). 
 
 
 
a) b) 
Figura 7.6 Tensão no barramento da carga e seu espectro: antes da conexão do filtro (a) e 
depois da conexão do filtro (b). 
7.1.1 Efeito de componentes não característicos da carga 
A ref. [7.6] denomina como “harmônicos menores” todas componentes espectrais 
presentes na tensão, assim como aquelas devidas à carga e que não possuem um ramo 
sintonizado no filtro passivo. Neste exemplo incluem-se todas componentes que não as de 5ª, 
7ª e 11ª ordem. 
A presença de uma distorção na tensão pode ter um efeito muito danoso, uma vez que 
pode encontrar no filtro sintonizado um caminho de mínima impedância, contribuindo para o 
surgimento de uma elevada corrente naquela freqüência que circula entre a fonte e o filtro, e 
que não é proveniente da carga. Este efeito pode sobrecarregar o filtro. A figura 7.7 mostra o 
efeito de uma distorção de 3% na 7ª harmônica na tensão da fonte. Observe-se que além da 
distorção ser visível na tensão sobre o filtro, que se reduz para 1%, ocorre uma amplificação 
na corrente da fonte, a qual assume um valor de 16% da componente fundamental, elevando a 
THD da corrente de 8% para 22%. 
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Figura 7.7 Efeito de 3% de 7ª harmônica na tensão da rede. 
 
 Uma maneira de reduzir a interação entre filtros e a rede é fazer o acoplamento dos 
filtros com o barramento através de uma indutância, procurando isolar eletricamente (em alta 
freqüência) os diversos sistemas. Esta solução, no entanto, é custosa e aumenta as perdas e a 
queda de tensão para a carga. Além disso, tal indutância deve ser incluída no cálculo dos 
filtros, uma vez que ela altera as ressonâncias do sistema. 
7.1.2 Filtragem passiva em cargas tipo fonte de tensão 
 Os casos estudados anteriormente consideravam cargas com comportamento de fonte 
de corrente, que são típicas em situações de acionamento de máquinas, por exemplo. Por outro 
lado, se consideradas as fontes de alimentação com filtro capacitivo, a tensão na entrada do 
retificador é imposta pelo capacitor do lado CC durante o intervalo de tempo em que os 
diodos estiverem em condução [7.7]. Esta situação é ilustrada pela figura 7.8. 
 
 
V i 
Z i 
Z f I o Z o 
V i 
Z i 
Z f 
Z o 
V 
o 
I c I i I i I c 
I f I f 
 
 
Figura 7.8 Filtro passivo em derivação para cargos tipo fonte de corrente e fonte de tensão. 
 
 Da figura 7.8 pode-se verificar que a relação entre a corrente enviada à carga e a 
corrente da fonte CA é dada por um divisor de corrente. Nota-se aí a conclusão já apresentada, 
que a eficácia da filtragem depende da impedância da rede. Num caso ideal em que Zi for 
zero, não ocorreria filtragem alguma. 
 
if
f
c
i
ZZ
Z
I
I
+
= (7.1) 
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 Já no caso de uma carga com comportamento de fonte de tensão, a eficácia do filtro 
LC, conectado em paralelo com a carga, pode ser expressa por: 
 
fifoio
f
o
i
ZZZZZZ
Z
V
I
++
= (7.2) 
 
 É claro que a compensação depende tanto da impedância da carga quanto da fonte. No 
entanto, se Zo for nula (a carga se comporta como uma fonte de tensão ideal), o filtro 
conectado em paralelo é inútil. De maneira análoga, se a impedância da rede for nula, o efeito 
é o mesmo. 
 Em tais situações torna-se mais efetivo o uso de filtros conectados em série com a 
alimentação, numa associação LC paralela, de modo a bloquear a passagem das parcelas das 
correntes indesejadas, como mostra a figura 7.9. Nesta figura tem-se indicado um filtro 
sintonizado na terceira harmônica e outro na quinta, incluindo um resistor de amortecimento. 
Tal resistor, embora reduza a eficácia de filtro da quinta harmônica, garante o amortecimento 
necessário para as possíveis ressonâncias série que podem ocorrer no circuito. 
 Resultados de simulação de um sistema alimentando um retificador monofásico com 
filtro capacitivo estão indicados nas figura 7.10 e 7.11. No primeiro caso tem-se as formas de 
onda da corrente da rede com um filtro em derivação e com filtro série, como o da figura 7.9. 
 Nota-se que o filtro derivação não é eficaz na filtragem (a reatância da rede e da carga 
é 10 vezes menor que a do filtro na freqüência fundamental), enquanto na conexão em série 
tem-se uma efetiva melhoria na forma de onda da corrente de entrada. 
 
 
V i 
Z i Zo 
V 
o 
I i I c 
L L
C 3
3 f
C f R f
 
Figura 7.9. Filtro passivo tipo série. 
 
 
Figura 7.10 Formas de onda da corrente de entrada com carga tipo fonte de tensão para filtro 
em derivação (superior) e filtro série (inferior). 
 
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Figura 7.11 Espectro da corrente de entrada para as correntes mostradas na figura anterior. 
7.2 Filtros Ativos 
 
A realização de um filtro ativo de potência utiliza a capacidade de um conversor CC-
CA produzir uma tensão ou corrente alternada com qualquer forma de onda. Obviamente tal 
capacidade de síntese é limitada em termos de freqüência a um valor de aproximadamente 
1/10 da freqüência de comutação, admitindo-se ainda a existência de um filtro de saída que 
minimize a penetração de componentes de alta freqüência na rede elétrica. 
A função dos inversores é fazer com que se produza uma corrente ou tensão que siga 
uma dada referência, a qual está relacionada com as componentes da corrente (ou tensão) que 
se quer compensar. 
São possíveis implementações de filtros série ou filtros em derivação. 
7.2.1 Filtro série 
Neste caso, em geral, o objetivo é o de minimizar a distorção da tensão de alimentação 
de uma carga, corrigindo as eventuais componentes harmônicas presentes na tensão da rede 
local. A tensão produzida pelo filtro é de alguns porcento da tensão nominal da rede, enquanto 
a corrente que o percorre é a própria corrente da carga. A figura 7.12 mostra um circuito de 
filtro série monofásico. 
 
 
T3 T4 D3 D4 
T1 T2 
Carga 
D1 D2 
Vs Vcc 
Rede 
Filtro 
passa-
baixas 
Tensão senoidal 
Tensão distorcida 
Referência 
Erro 
PWM 
Tensão de 
compensação 
 
Figura 7.12 Filtro série monofásico para compensação de tensão. 
 
Na figura 7.13 tem-se uma forma de onda distorcida, por efeito da carga (“notches”) e 
pela presença de distorção na rede (3% de 5ª harmônica). A atuação do filtro (iniciada no 
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instante 50ms) cancela o efeito da distorção harmônica e minimiza o afundamento da tensão, 
embora não o consiga eliminar. A rede e a carga são as mesmas utilizadas nos exemplos dos 
filtros passivos em derivação. 
 
 
Figura 7.13 Formas de onda na tensão sobre a carga e da tensão produzida pelo filtro série 
 (a partir de 50ms). 
7.2.2 Filtro em derivação (shunt) 
 O objetivo de um filtro em derivação (“shunt”) é o de minimizar a distorção da 
corrente que flui pela rede elétrica, conforme mostra a figura 7.14. O filtro deve ser capaz de 
injetar uma corrente que, somada à corrente da carga, produza uma corrente “limpa” na rede. 
Na seqüência deste capítulo serão discutidos diferentes métodos para obter estecomportamento. Note-se que o conversor CC-CA, por não alterar a potência ativa pela rede, 
não necessita de uma fonte de potência no barramento CC. A estabilização desta tensão pode 
ser feita contando apenas com um capacitor. 
 
 
Carga 
Rede 
i 
c 
Icc 
Filtro 
Passivo 
Passa-
baixas 
i 
i 
r 
f 
Corrente da carga Referência 
(senóide) 
Erro 
PWM 
 
Figura 7.14 Filtro ativo tipo derivação, monofásico. 
 
 A figura 7.15 mostra uma simulação de um filtro monofásico. A oscilação que se 
observa na corrente da rede deve-se à presença do filtro de alta freqüência colocado na saída 
do inversor e que tem como função minimizar a injeção de componentes de alta freqüência na 
rede. 
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10
5
0
5
10
10 15 20 25 30
t(ms)
 
5
0
5
10 15 20 25 30
t(ms)
 
Figura 7.15 Filtragem ativa de corrente de carga não linear. 
7.2.3 Local de instalação do filtro 
A tabela 7.1 mostra o efeito da compensação da distorção harmônica da corrente 
produzida por cargas não-lineares. Considera-se o uso de filtros ativos mono e trifásicos, 
assim como de pré-conversores de fator de potência (PFC), que serão tratados em capítulo 
posterior. Um PFC tem como propriedade fazer com que a corrente absorvida por qualquer 
aparelho apresente-se com elevado fator de potência, ou seja, tenha baixa distorção 
harmônica. 
Toma-se como exemplo uma instalação de 60kVA na qual há cargas lineares e não 
lineares distribuídas em diferentes fases da rede e ambientes, como ilustram as figuras 7.16, 
7.17 e 7.18 [7.8]. 
 Se a compensação é realizada em cada carga, por toda a rede circulará corrente 
senoidal e no mínimo valor necessário para o fornecimento da potência ativa requisitada. Isto 
minimiza as perdas, como se nota na tabela 7.1. 
 
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
i f
io
 
io 
1 φ 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ
 
PFC 
i f
io
 
1 φ 
PFC 
i f
1 φ
 
PFC 
i f 
io
 
io
 
1 φ
 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
io
 
1 φ 
PFC 
i f
 
i s 
V
 s 
z
 s PCC
 
1 φ
 
PFC 
 
Figura 7.16 Correção do fator de potência em cada carga individual. 
 
 Uma solução alternativa é a de fazer a compensação de um grupo de cargas, utilizando 
um filtro ativo (monofásico, no exemplo). Nesta situação a corrente pela rede será senoidal 
após o filtro, restando distorcida deste ponto até as cargas. A redução nas perdas é parcial, 
como se vê na tabela 7.1 
 
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1 φ 
APF 
i f i o total 1 
i s 1 
1 φ 
APF 
i f i o total 2 
i s 2 
1 φ 
APF 
i f i o total 3 
i s 3 
1 φ 
APF 
i f i o total 4 
i s 4 
i s 
V s 
z s PCC 
 
Figura 7.17 Correção do fator de potência por conjunto de cargas usando filtro ativo 
monofásico. 
 
 Uma compensação no secundário do transformador que alimenta toda a instalação 
permite que a corrente no secundário seja corrigida. No entanto, a partir deste ponto a corrente 
por toda a instalação continua distorcida, de modo que praticamente não ocorre redução das 
perdas, conforme se nota na tabela 7.1. 
 A colocação de um filtro neste ponto se justificaria pelo aspecto de eventuais 
penalizações da concessionária em virtude da elevada distorção da corrente ou da tensão no 
ponto de acoplamento deste consumidor com a rede. 
 
 
3 φφφφ
APF
 
if
is iototal
Vs
z s PCC 
 
Figura 7.18 Correção do fator de potência do total de cargas usando filtro ativo trifásico. 
 
Tabela 7.1 Impacto da localização do dispositivo para correção do fator de potência na 
redução das perdas [7.9]. 
 Local de instalação 
 
Saída do 
transformador 
 
Perdas totais sem 
compensação (W) 
 
8148 
 
Perdas totais com 
compensação (W) 
 
5378 
 
% de perdas depois da 
compensação 
8.96 
 
Redução das perdas para 
uma carga de 60kVA (W) 
 
2770 
 
% da redução das perdas/ 
60kVA 
 
4.62 
 
Redução de custos 
(US$/ano) 
 
Entrada do 
transformador 
 
8148 
 
8125 
 
13.54 
 
23 
 
0.04 
 
10 
 
1213 
 
Conjunto 
de cargas 
 
8148 
 
4666 
 
7.78 
 
3482 
 
5.8 
 
1523 
 
Equipmentos 
 
8148 
 
3346 
 
5.58 
 
4802 
 
8.0 
 
2101 
 
 
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7.3 Considerações sobre as teorias de potência e o método de compensação 
 No enfoque da aplicação de um filtro ativo, ou seja, quando se buscam medidas de 
variáveis elétricas para identificar componentes nas correntes (ou tensões) que devam ser 
compensadas deve-se levar em conta qual o objetivo da compensação. 
 Os métodos de medida de potência que são baseados no domínio da freqüência ou que 
apenas tratem com valores médios (e não instantâneos) não possibilitam a identificação de 
grandezas temporais, de modo que não se aplicam no caso de compensação de componentes 
harmônicas. 
 Consideremos, por exemplo, um alternador automotivo tipicamente produz uma tensão 
de saída não senoidal (quase trapezoidal). A absorção de uma corrente com a mesma forma de 
onda fornece um fator de potência unitário (simula uma carga resistiva), no entanto leva a um 
torque pulsante no gerador. Por outro lado, a síntese de correntes como as obtidas com a 
aplicação da teoria da potência instantânea, ao conduzirem à compensação de todas 
componentes da potência, exceto a potência média, significam um torque constante para o 
alternador, o que, claramente, melhora sua condição mecânica de funcionamento. 
 Pode-se considerar, alternativamente, que o objetivo da filtragem da corrente seja obter 
uma forma de onda que siga a forma da tensão, ou seja, que o conjunto carga + filtro 
represente uma carga resistiva, maximizando o fator de potência, o que vale dizer, 
minimizando a corrente eficaz absorvida da fonte, mantida a potência ativa da carga. 
 Uma outra possibilidade seria a de sintetizar uma corrente senoidal, mesmo na 
presença de distorções na tensão. Este método apresenta alguns inconvenientes que são 
discutidos a seguir. 
 Caso o sistema apresente uma tensão senoidal e nenhuma não-linearidade, ambos os 
métodos seriam idênticos. Como normalmente o sistema de alimentação apresenta distorções 
e a tensão nunca é perfeitamente senoidal, sempre existirão elementos harmônicos capazes de 
excitar ressonâncias. Os elementos que introduzem amortecimento no sistema são, 
essencialmente, as cargas, uma vez que as perdas próprias das linhas e transformadores são 
baixas. Assim, um sistema sem carga tende a ver amplificadas as possíveis ressonâncias 
presentes. 
 Quando um filtro ativo leva à absorção apenas de uma corrente senoidal, isto significa 
que a rede vê uma carga aberta para as outras freqüências, ou seja, a carga deixa de atuar 
como fator de amortecimento para as eventuais ressonâncias do sistema. 
 Além disso, essa corrente senoidal absorvida não minimiza a corrente eficaz e, 
conseqüentemente, não maximiza o fator de potência. 
 A defesa desta última técnica é feita com o argumento de que a absorção de correntes 
senoidais melhoraria a forma da tensão da rede, mas isto nem sempre é verdade 
 É bastante comum a presença de capacitores em uma rede de distribuição de energia, 
no lado de baixa tensão, para a compensação do fator de deslocamento. Em tal situação 
ocorrerá uma ressonância entre a capacitância e a reatância indutiva do alimentador. Para 
valorestípicos, com a elevação do fator de potência de 0,85 para 0,95, a ressonância se dá em 
torno da 11ª harmônica, mas cada caso deve ser analisado em particular. 
A figura 7.19 mostra resultados de simulação com ambos métodos aplicados. A fonte 
de entrada possui uma 9a harmônica com 1% de amplitude da fundamental. O indutor (20mH) 
e o capacitor (6,25uF) produzem uma ressonância nesta 9a harmônica. Quando se tem uma 
carga resistiva, devido ao amortecimento introduzido, praticamente não se observa o efeito 
desta harmônica, pois ela continua afetando as tensões em um nível muito baixo. 
 Quando se força a carga a absorver uma corrente apenas na freqüência fundamental 
(50Hz), nota-se a ressonância e a conseqüente distorção na tensão. 
 
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20ms 30ms 40ms 50ms 60ms 70ms 80ms 90ms 100ms
 
200V
-200V
200V
-200V Na fonte Na carga
 
Figura 7.19 Formas de onda e circuitos simulados para carga resistiva e "senoidal". 
7.3.1 Considerações sobre três estratégias de controle de filtros ativos em derivação 
Serão analisados na seqüência resultados do emprego de uma estratégia de controle 
que impõe uma corrente senoidal na rede (Síntese de Corrente Senoidal – SCS) [7.10], 
comparando seus resultados com o método denominado Síntese de Carga Resistiva – SCR 
[7.11] e com outro chamado de Síntese de Carga Resistiva Variável (SCRV) [7.12]. 
Para cada um destes métodos será verificado na seqüência o comportamento de um 
filtro ativo de potência (FAP) trifásico em situações transitórias da carga e para alimentação 
distorcida. A figura 7.20 mostra o sistema considerado. 
 
Active Filter
CDC
SOURCE
Generic Load
Linear / Non-linear
Inductive Load
PFcap
s
i
L
i
pcc
i
c
i
 
Figura 7.20 Sistema considerado para comparação dos métodos de controle do filtro ativo. 
7.3.1.1 Síntese de corrente senoidal 
Considere-se inicialmente uma carga não-linear alimentada a partir de uma rede 
senoidal, equilibrada. A figura 7.21 mostra a ação do FAP (em 50ms) compensando as 
distorções, elevando o fator de potência à unidade e eliminando a potência imaginária 
(conforme definida na Teoria da Potência Instantânea) pela rede. Quando ocorre uma variação 
na carga, o sistema mantém a compensação. Na tensão da rede nota-se a presença de uma 
pequena contaminação de alta freqüência devido ao fato da rede simulada não ser ideal, de 
modo que se observa no ponto de acoplamento o efeito da comutação do conversor CC-CA. 
 
Carga 
genérica 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-13
 
Figura 7.21 – Método SCS: De cima para baixo: Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência 
ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
Incluindo-se uma distorção de 3% na sétima harmônica e uma redução de 4% nas fases 
b e c, tem-se os resultados mostrados na figura 7.22. A corrente na rede mantém-se senoidal 
após a atuação do filtro. Mas como a rede apresenta-se senoidal e desequilibrada, tem-se uma 
parcela de potência imaginária e a potência ativa não é constante. O fator de potência é 
praticamente unitário. 
 
Figura 7.22 – Método SCS com tensão distorcida e desequilibrada: De cima para baixo: 
Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
 Uma terceira situação considerada é a instalação de um banco de capacitores cuja 
função seria a de correção do fator de potência. Este é um caso bastante comum em 
instalações elétricas industriais. A presença deste banco capacitivo introduz uma ressonância 
com a reatância da rede. Neste caso, tal ressonância encontra-se nas proximidades da 7ª 
harmônica, de modo que coincide com a componente harmônica presente na tensão. A figura 
7.23 mostra que ocorre uma amplificação na distorção da tensão no PAC, a qual independe da 
atuação do FAP. 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-14
 
Figura 7.23 – Método SCS com tensão distorcida e ressonância: De cima para baixo: Tensões 
no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
 Observa-se que a filtragem, que tem como meta final a melhoria da tensão no PAC, 
não consegue atingir este objetivo, apesar de impor uma corrente senoidal na rede e elevar 
praticamente à unidade o fator de potência. 
7.3.1.2 Síntese de carga resistiva 
O mesmo procedimento foi seguido para verificar o comportamento do método da 
síntese de carga resistiva. O sistema de controle, conforme será explicitado mais adiante neste 
capítulo, impõe que a forma de onda da corrente seja idêntica à da tensão (daí o 
comportamento resistivo da carga, do ponto de vista da fonte). A amplitude da corrente 
depende do balanço de potência, e é ajustada até que a potência ativa absorvida da rede seja 
exatamente aquela consumida pela carga. Enquanto tal situação de equilíbrio não se 
estabelece, a diferença instantânea é fornecida ou absorvida pelo capacitor do barramento CC. 
A figura 7.24 mostra a atuação do FAP para uma alimentação senoidal, simétrica e 
equilibrada. A resposta transitória no ajuste da corrente é muito mais lenta do que a obtida no 
método SCS. O resultado final são correntes senoidais, fator de potência unitário. Mas esta é 
uma estratégia que tem dificuldade de acompanhar cargas que apresentem um comportamento 
dinâmico com variações em curtos intervalos de tempo. 
 A figura 7.25 mostra o que acontece quando a tensão da rede apresenta-se distorcida e 
desequilibrada. As correntes compensadas também apresentarão as mesmas distorções e 
desequilíbrios presentes na tensão, o que leva a um fator de potência unitário, cancelando a 
parcela imaginária da potência. 
 A figura 7.26 mostra o caso em que há ressonância entre a reatância da rede e o banco 
capacitivo. Quando o filtro começa a atuar tem-se uma significativa redução na distorção na 
tensão do PAC uma vez que o FAP, ao sintetizar um comportamento resistivo, atua como 
elemento amortecedor da oscilação. Note-se ainda que a forma de onda da corrente segue a 
forma da tensão no PAC. Também neste caso o fator de potência vai à unidade, anulando a 
potência imaginária. A oscilação na potência ativa decorre dos produtos cruzados entre as 
componentes harmônicas de tensão e de corrente. 
 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-15
 
Figura 7.24 – Método SCR: De cima para baixo: Tensões no PAC, Correntes na rede, 
Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
Figura 7.25 – Método SCR com tensão distorcida e desequilibrada: De cima para baixo: 
Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
Figura 7.26 – Método SCR com tensão distorcida, desequilibrada e ressonância: De cima para 
baixo: Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-16
7.3.1.3 Síntese de carga resistiva variável 
Este método determina as correntes de compensação com base no cálculo instantâneo 
de proporcionalidade entre a potência ativa e uma norma que considera os valores 
instantâneos das tensões [7.13-14]. Em sistemas desequilibrados ou com harmônicas, tais 
valores são variáveis no tempo, levando a um fator de relação entre tensão e corrente que 
também é variável, embora mantenha uma característica resistiva. 
A figura 7.27 ilustra a rápida resposta do método SCRV, sendo comparável ao da SCS. 
Quando o sistema apresenta-se com tensões distorcidas e desequilibradas,o método 
faz com que as correntes também sejam distorcidas, mas sejam equilibradas, resultando numa 
oscilação da potência ativa, conforme mostra a figura 7.28. 
 
Figura 7.27 – Método SCRV: De cima para baixo: Tensões no PAC, Correntes na rede, 
Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
 
Figura 7.28 – Método SCRV com tensão distorcida e desequilibrada: De cima para baixo: 
Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de potência. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-17
 Quando se tem a presença da ressonância, também este método é capaz de atuar como 
amortecedor, de modo análogo ao método SCR. No entanto, a corrente não apresenta a mesma 
forma de onda da tensão, como se observa na figura 7.29. O fator de potência não é 
exatamente unitário por causa das diferenças entre as formas de tensão e de corrente. 
 Considerando a velocidade de compensação, e o bom efeito sobre eventuais 
ressonâncias do sistema, este é um método que se mostra conveniente para aplicação em um 
FAP, embora ainda estejam sendo realizados estudos a seu respeito. 
 
Figura 7.29 – Método SCRV com tensão distorcida, desequilibrada e ressonância: De cima 
para baixo: Tensões no PAC, Correntes na rede, Potência ativa e imaginária, Fator de 
potência. 
7.4 Filtro ativo monofásico operando com síntese de carga resistiva 
 
 Filtros ativos monofásicos podem ser utilizados na correção do fator de potência de 
cargas de pequena e média potência. As aplicações restringem-se tipicamente a potências de 4 
kVA (para alimentação em 220V), dado que cargas maiores normalmente possuem entrada 
trifásica. 
 Filtragem ativa de uma carga única, ou um conjunto delas, é uma opção a se fazer a 
correção do fator de potência no estágio de entrada de cada equipamento, utilizado os 
chamados pré-conversores de fator de potência. 
 Conforme já foi visto em capítulo anterior, diferentes técnicas de modulação podem 
ser empregadas para o acionamento do conversor de potência, normalmente um inversor. As 
mais usuais são a MLP e a por histerese (quando se trata de controle de corrente). 
 O controle por histerese apresenta como grandes vantagens a robustez (insensibilidade 
à variação de parâmetros) e resposta instantânea, ou seja, a corrente sintetizada está sempre 
acompanhando a referência. Por outro lado, o fato da freqüência de comutação ser variável faz 
com que o projeto do filtro de saída (que atenua as componentes produzidas pela comutação) 
torne-se mais difícil. Existem alternativas para a produção de um controle por histerese com 
freqüência constante [7.15] através da modulação da janela de histerese, mas isto envolve uma 
elaboração adicional da estrutura de controle. 
 O controle MLP [7.16], por operar em freqüência de chaveamento constante, permite 
um projeto mais simples do filtro de saída. No entanto, se a forma de onda a ser compensada 
for muito rica em componentes de alta freqüência, o sistema terá dificuldades em compensar 
corretamente a onda devido à atuação do filtro. Por outro lado, se a carga consumir uma 
corrente "suave", a resposta poderá ser adequada. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-18
7.4.1 Estrutura de controle do filtro 
 A figura 7.30 mostra uma possível estrutura do sistema de controle para um filtro de 
acúmulo capacitivo operando em MLP [7.17] [7.18]. A forma da referência da corrente é 
obtida da própria tensão. A amplitude desta referência é modulada de modo a manter a tensão 
CC no valor desejado. O sinal do erro da tensão CC, passado por um compensador tipo PI 
(que anula o erro em regime para uma entrada constante) é uma das entradas do bloco 
multiplicador. Sendo um valor contínuo (que varia muito mais lentamente do que a referência 
de corrente, que varia na freqüência da rede), funciona como fator de escalonamento da forma 
da corrente. A corrente da rede é realimentada, produzindo, em relação à referência de 
corrente, um erro o qual, passando por um compensador (tipicamente tipo P ou PI) produz a 
tensão de controle, que é comparada com a portadora MLP, gerando os pulsos para o comando 
dos transistores. 
 Retornando à questão do controle da tensão VCC, consideremos este caso a título de 
exemplo. Supondo que a tensão no barramento não se altere significativamente, a corrente 
absorvida pela carga tem uma forma típica e estável. A diferença instantânea entre ir e ic deve 
fluir pelo filtro. Se a amplitude da corrente da rede for tal que a potência ativa absorvida da 
rede for maior do que a consumida pela carga, seu único caminho é circular pelo filtro ativo, 
acumulando energia na capacitância (subindo a tensão). O erro de tensão eventualmente 
produzido leva, sendo multiplicado pela "forma" da corrente, a uma redução da referência da 
corrente restabelecendo o balanço de potência e, conseqüentemente, retornando ao valor 
correto de referência, VCC. 
Rede Carga
Filtro de saída
Inversor
Comando dos
Gerador MLP
Referência de corrente
Compensador
de corrente
Erro de corrente
-
+
sensor de
corrente
Amostragem
da tensão
"Forma" da corrente
transistores
Vcc
+
-
Compensador 
de tensão (PI)
Referência
de tensãoCondicionadorde sinal
i
i
ir c
f
 
Figura 7.29 Diagrama de controle de filtro ativo em derivação pelo método da síntese de carga 
resistiva. 
 
 Considerando o diagrama mostrado na figura 7.29 um dos blocos capaz de realizar esta 
função é o chamado "condicionador de sinal", que atua na realimentação da corrente. 
 O comportamento deste "condicionador" é vital para o bom desempenho do filtro. 
Dado que ele atua sobre a forma real da corrente da linha, um bom resultado na compensação 
da corrente só ocorre se o sinal realimentado for fiel à corrente da linha. Uma vez que, em 
princípio, deseja-se fazer a compensação total das harmônicas, a faixa de passagem deste 
bloco deveria apresentar um ganho constante e uma defasagem nula na faixa até 3 kHz (50a 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-19
harmônica). Além desta freqüência deve-se atenuar o sinal de modo que, nas freqüências de 
ressonância do filtro o ganho (em malha aberta) do sistema seja menor do que 0dB (condição 
de estabilidade). 
 Via de regra esta não é uma condição simples de ser satisfeita, visto que para ter uma 
atenuação adequada na freqüência de chaveamento (digamos em 20kHz), a freqüência de 
ressonância do filtro de saída estará na faixa dos kHz, ou mesmo inferior, dependendo da 
ordem deste filtro. 
 O filtro de saída (tipicamente numa estrutura LC) deve ser de ordem mais elevada, o 
que vem permitir usar componentes de menor valor (individualmente), e também produzir 
ressonâncias em valores elevados de freqüência. 
7.4.2 Resultados experimentais 
 Os resultados a seguir foram obtidos em um protótipo de baixa potência. O filtro de 
saída é de quarta ordem. 
 As figuras 730 e 7.31 mostram a tensão da rede e sua corrente, após a compensação e 
a corrente absorvida pela carga. Esta carga é um retificador monofásico a diodos com um 
filtro C e LC, respectivamente. As formas relativamente suaves da corrente são facilitadoras 
para uma correta compensação. 
 Ao ser ligado o filtro observa-se uma efetiva melhora na corrente fornecida pela rede. 
Nota-se que as distorções presentes na tensão também são observadas na corrente, indicando 
que o sistema está se comportando como uma carga resistiva. Ocorre ainda uma diminuição 
nos valores de pico e eficaz da corrente, uma vez que, para a mesma potência ativa, tem-se 
uma redução na potência aparente. 
 
 
Figura 7.30 Tensão (sup.- 150V/div.) e corrente (meio-5A/div.) da rede após compensação. 
Corrente da carga (inf. - 5A/div.) para carga com filtro capacitivo. Horiz.: 5ms/div. 
 
 A diminuição no valor eficaz deveria ser proporcional (inversamente) ao aumento do 
fator de potência. No entanto, como o filtro ativo apresenta perdas, a rede tem que fornecer 
uma potência ativa suplementar. Este efeito é muito marcante em baixas potências. Quando se 
eleva a potência da carga a parcela dissipada no inversor se torna relativamente menor, 
aumentando a eficiência do sistema. 
 A figura 7.32 mostra os espectros da corrente da linha antes e depois da atuação do 
filtro. Nota-se a expressiva melhoria, representada pela redução da amplitude das harmônicas. 
A diminuição na 5a componente não é tão significativa porque esta é uma harmônica presente 
na tensão e que, portanto, deve também surgir na corrente compensada. 
 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-20
 
 
Figura 7.31 Tensão (sup.- 150V/div.) e corrente (meio- 5A/div.) da rede após compensação. 
Corrente da carga (inf. - 5A/div.) para carga com filtro LC. Horiz.: 5ms/div. 
 
 
Figura 7.32 Espectros da corrente da rede antes e depois da ação do filtro. 
 
 A figura 7.33 mostra a corrente de saída do inversor em três estágios de filtragem: 
antes de passar pelo filtro passivo e em um estágio intermediário e na injeção na rede. 
 Um dos parâmetros a ser utilizado no dimensionamento deste filtro é respeitar os 
limites impostos pelas normas de Interferência Eletromagnética (IEM) conduzida, uma vez 
que, do ponto de vista da rede, o filtro faz parte da carga. 
 A figura 7.34 mostra os espectros, em alta freqüência, da corrente que circula pela 
rede. Indicam-se também os limites estabelecidos por normas para equipamentos de uso 
industrial, científico e médico (ISM). Nota-se que os limites são respeitados, indicando a 
adequação do filtro sob este aspecto. 
 Na primeira figura utiliza-se uma largura de faixa de 1kHz na análise, a fim de ter uma 
melhor definição de cada componente espectral, especialmente nas freqüências mais baixas, 
para as quais foi projetado o filtro. A banda de 9kHz é a especificada na norma para medição 
entre 150kHz e 30MHz. Ressalte-se que a IEM conduzida pode prover também do chamado 
ruído de modo comum, que não é atenuado pelo filtro especificado. O resultado indicado foi 
obtido inserindo-se um pequeno filtro capacitivo de modo comum (conectado entre as fases e 
o terra). 
 A figura 7.35 mostra a resposta do sistema a variações na carga. Nota-se que, ao ser 
aumentada a corrente da carga o capacitor do barramento CC é descarregado, pois é dele que 
provém a energia ativa consumida pela carga. Quando a malha de tensão identifica tal 
diminuição na tensão, produz um aumento na referência da corrente, a fim de absorver da rede 
a maior potência ativa exigida pela carga. Além disso deve haver uma sobre-corrente que 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-21
recarrega o capacitor, recuperando sua tensão de operação. Situação análoga ocorre quando a 
carga é reduzida. 
 
 
 
Figura 7.33 Corrente de saída do inversor e após o primeiro estágio do filtro passivo. 
 
66dBuV
MKR: 142 kHz
57.1 dBuV
80dBuV
60dBuV
0 250kHz 500kHz 30MHz
80dBuV
60dBuV
150kHz
Class A Limit
 
a) b) 
Figura 7.34 IEM conduzida: a)BW=1kHz, b)BW=9kHz. 
 
 
Figura 7.35 Resposta da malha de tensão a uma variação na carga: tensão no barramento CC 
(sup. 50 V/div.) e corrente da rede (inf. 5 A/div.). 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-22
7.5 Filtro ativo trifásico sintetizando carga resistiva 
 
 É bastante conhecido o fato de se ter um significativo nível de distorção da tensão no 
ponto de acoplamento comum (PAC) em redes que apresentam cargas que absorvam correntes 
com alta distorção harmônica. A distorção na tensão depende fortemente da corrente de carga 
associada à impedância da linha, além, obviamente, da distorção já presente na alimentação. 
O efeito da distorção da tensão no PAC pode ser tal que afete equipamentos conectados nesse 
mesmo ponto. 
 A recomendação IEEE-519 [7.19] estabelece para redes de baixa tensão uma Distorção 
Harmônica Total aceitável de (THD) 5%, limitando cada harmônica a 3% do valor da 
componente fundamental. Este valor pode facilmente ser superado, especialmente se a 
corrente da rede estiver altamente distorcida como, por exemplo, na presença de cargas não 
lineares como são retificadores com filtro capacitivo, tipicamente usados em aparelhos 
eletrônicos. 
 A ação de filtros em derivação não muda a corrente na carga, pois praticamente não 
modifica a tensão no PAC. A ação do FAP permite suprir à carga toda a potência não ativa, 
incluindo os componentes harmônicos e a potência reativa. Da rede se consome apenas a 
corrente associada à potência ativa. Este fato maximiza o Fator de Potência (FP), já que 
implica no mínimo valor de corrente pelo sistema, liberando a capacidade de transmissão para 
as linhas, mantida constante a potência ativa na carga. 
 O filtro ativo trifásico apresentado utiliza a mesma estratégia de controle do filtro 
monofásico, com as devidas adequações. 
 O diagrama de blocos do FAP trifásico, incluindo o sistema de controle proposto é 
mostrado na Figura 7.36. O FAP é conectado a uma rede trifásica a três fios, na qual as 
tensões são distorcidas. 
 A estrutura permite realizar o controle do sistema trifásico, amostrando somente duas 
tensões da rede e a tensão do barramento CC do inversor. A corrente de referência para as 
fases a e b são obtidas por amostragem da tensão da rede (fase-neutro). Este sinal é 
multiplicado por um sinal CC, dando como resultado a forma de onda e amplitude para as 
referências. A referência da fase c é obtida pela soma invertida das outras duas referências. 
 A outra entrada dos multiplicadores recebe sinais vindos do controle da tensão do 
barramento CC. Se esta tensão está no nível desejado, a saída do compensador PI não se 
altera, ficando constantes as amplitudes das referências. De outra forma, tais referências são 
alteradas, em função do eventual desequilíbrio na tensão CC. 
 A tensão CC deve ser maior do que a tensão pico da rede para permitir injetar a 
corrente desejada através do filtro passivo, que conecta o inversor à rede. Este filtro passa 
baixas é composto, no mínimo, por indutores mas, para melhorar sua capacidade de filtragem, 
pode ser feito de ordem superior, contribuindo para minimizar a ondulação de alta freqüência 
que seria injetada na rede. 
 Tensões CC elevadas são obtidas devido a um funcionamento tipo “boost”. Quando o 
FAP é ligado, sendo a tensão CC abaixo de seu valor de trabalho, consome-se da rede uma 
corrente maior que a exigida pela carga. A energia adicional é armazenada no capacitor CC, 
até atingir o nível desejado. Neste ponto o controlador PI reduz a amplitude da corrente de 
referência e a corrente na rede se torna aquela necessária prover a potência ativa à carga mais 
as perdas no FAP. 
 O inversor utiliza Modulação por Largura de Pulso. Esta escolha foi feita devido ao 
conhecimento do espectro desta técnica, o que permite o adequado projeto do filtro passivo de 
saída a fim de evitar instabilidades na operação do sistema. Este filtro pode ser dimensionado 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-23
tomando por base a atenuação necessária para que sejam respeitadas as limitações 
estabelecidas de interferência eletromagnética conduzida em normas internacionais [7.20]. 
 
 
Figura 7.36 Diagrama de Blocos de FiltroAtivo de Potência trifásico usando controle por 
Síntese de Carga Resistiva. 
 
 O filtro passivo utilizado não deve ser do tipo amortecido, uma vez que isto afetaria a 
capacidade do sistema elevar a tensão no barramento CC. Esta ausência de amortecimento, 
por outro lado, pode provocar instabilidades no sistema, precisamente na freqüência de 
ressonância do filtro passivo. Este fato pode ser evitado por meio de um adequado projeto da 
malha de controle da corrente. 
. O circuito que faz a amostragem da corrente da rede deve ter uma característica passa-
baixa, a fim de amortecer efetivamente as ressonâncias do filtro passivo. Adicionalmente deve 
ter uma resposta plana (em ganho e fase), na faixa das harmônicas (aproximadamente 2500 
Hz), a fim de permitir sua correta compensação. Isto significa que se a corrente na rede 
apresentar um conteúdo harmônico fora desta faixa, não será possível uma compensação total. 
 
7.5.1 Resultados experimentais 
 Foi construído um protótipo de 1 kVA, 220 V. A tensão na rede local está tipicamente 
distorcida com significativos componentes de 5a e 7a harmônicas. A THD, no entanto, é 
menor que 3%, como é mostrada na Figura 7.37. 
 A Figura 7.38 mostra o caso de uma carga não-linear balanceada (retificador de 6 
pulsos). Depois da compensação, as correntes na rede são similares às respectivas tensões, 
incluindo as distorções. As transições rápidas não são completamente compensadas devido à 
limitação da resposta em freqüência da malha de corrente. 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-24
 O espectro da corrente de carga é mostrado na Figura 7.39. A DHT é 25%. Depois da 
atuação do FAP a distorção na corrente da rede diminui significativamente produzindo uma 
DHT de 5,2%, como mostrado na Figura 7.40. Note que o filtro ativo não é capaz de atenuar 
as harmônicas na faixa acima dos 2 kHz. 
 
Figura 7.37 Espectro da tensão da rede em vazio 
 
 
Figura 7.38 Carga trifásica não linear balanceada: Acima : Tensão (500V/div.); Meio : 
Corrente de linha (5 A/div.); Abaixo : Corrente de carga (5 A/div). 
 
 
Figura 7.39 Espectro da corrente da fase a, antes da atuação do FAP. 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-25
 
 A Figura 7.41 mostra a resposta do FAP trabalhando com uma carga não-linear 
desbalanceada (retificador monofásico). Também neste caso o FAP é capaz de compensar a 
carga, refletindo na rede uma carga linear balanceada. 
 
Figura 7.40 Espectro da corrente pela carga fase a, depois da atuação do FAP. 
 
 
 
Figura 7.41 Carga não-linear monofásica: Acima: Tensão (500V/div.); Meio: Correntes de 
linha (1 A/div.); Abaixo: Corrente de carga (1 A/div) 
 
 A Figura 7.42 mostra o espectro da tensão antes da atuação do FAP. Neste caso a DHT 
é significativamente alta (4,2%) e a distorção na tensão é evidente, incluindo uma importante 
3a harmônica. 
 Depois da compensação, a DHT é reduzida a 2,8%, que é aproximadamente o valor 
normal da tensão de alimentação local., como mostrado na Figura 7.43. 
 O Fator de Potência medido foi de 0,995. A eficiência do FAP foi 96,5%, para uma 
freqüência de comutação de 20 kHz. 
 A Figura 7.44 mostra a resposta transitória da malha de tensão CC. Depois de uma 
variação da carga de 50%, a tensão CC inicialmente diminui, uma vez que o inversor entrega 
energia à carga. Depois que se detecta a variação da tensão CC, a corrente de referência 
aumenta, permitindo absorver da rede a quantidade necessária de potência para alimentar a 
carga. Quando a carga diminui acontece a situação inversa. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-26
 
Figura 7.42 Espectro da tensão da rede com carga não-linear monofásica. 
 
 
Figura 7.43 Espectro da tensão da rede depois da atuação do FAP 
 
 
Figura 7.44 Variação da tensão no barramento CC.Acima: Tensão CC (100V/div) ; Abaixo: 
Corrente na linha (2A/div) 
7.5.2 Filtro Ativo Monofásico com Inversor Multinível 
Quando se cogita a aplicação de um filtro ativo em uma rede de tensão mais elevada, 
ou mesmo um FAP de maior potência, a opção por um inversor com modulação PWM talvez 
não seja a mais indicada pelas seguintes razões: 
• Limitação na freqüência de comutação típica dos componentes de maior 
potência (tensão e corrente); 
• Elevado nível de interferência eletromagnética causada pela comutação; 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-27
• Filtros passivos com baixa freqüência de corte, o que limita a resposta 
dinâmica do FAP. 
 
Uma alternativa é o uso de inversores multiníveis, os quais podem se apresentar em 
diversas topologias, como mostra a figura 7.45, para inversores de 5 níveis de diferentes 
topologias. 
Apesar da maior complexidade circuital, a possibilidade de operar diretamente em 
maiores tensões fazem destas estruturas uma opção muito interessante para operação em 
derivação na rede elétrica, mesmo na faixa de alguns kV. 
Outra vantagem é a menor distorção na tensão de saída, o que permite uma 
significativa redução na freqüência de corte do filtro passivo de saída, com conseqüente 
aumento na resposta dinâmica do FAP. A figura 7.46 mostra a tensão de saída em um inversor 
multinível do tipo cascata assimétrica, com 19 níveis, sendo que apenas o nível de menor 
tensão opera em PWM. 
 
 
Figura 7.45 Inversores multiníveis (5 níveis): Topologias Neutro Grampeado, Capacitor 
Flutuante e Castaca simétrica. 
 
 
Figura 7.46 Saída de inversor multinível (19 níveis com PWM), para referência senoidal. 
 
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LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-28
 O uso deste conversor como FAP foi apresentado em [7.21], tendo sido desenvolvido 
um protótipo monofásico, com inversor em cascata assimétrica, operando pelo método de 
síntese de carga resistiva. 
 A figura 7.47 mostra o circuito de teste. Uma dificuldade adicional destes inversores é 
o controle das tensões CC. No caso do inversor PWM convencional tem-se apenas uma tensão 
a ser controlada. Nos multiníveis são diversas tensões que devem ser mantidas em seus 
valores de referência, o que exige um maior esforço no desenvolvimento de algoritmos para 
tal função. 
 As figuras 7.48 e 7.49 mostram formas de onda experimentais em um protótipo de 1 
kVA, aplicado em um rede de 127V. Observe que a tensão de saída do inversor é já muito 
próxima de uma senóide, diferindo, essencialmente, nos momentos em que há alteração da 
corrente da carga, quando se faz necessária injeção de corrente com maior taxa de variação. 
 
Figura 7.47 FAP monofásico com inversor multinível 
 
 
Figura 7.48 Formas de onda do FAP multinível: Tensão da rede, tensão de saída do FAP, 
corrente da carga e corrente da rede após compensação. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-29
 
Figura 7.49 Formas de onda do FAP multinível no transitório de partida: Corrente no FAP e 
corrente da rede. 
7.6 Filtros híbridos 
 
 A fim de reduzir a potência a ser processada pelo filtro ativo, é possível utilizá-lo em 
associação com filtros passivos, de maneira que a parte ativa deve atuar apenas sobre as 
componentes não corrigidas pelo filtro passivo [7.22]. 
 A figura 7.50 ilustra o princípio de um filtro híbrido monofásico. Na figura tem-se o 
esquema geral, considerando a existência de uma fonte de tensão na freqüência fundamental 
(Vs) e uma fonte de tensão que representa a distorção harmônica datensão (Vsh). A carga é 
modelada como uma fonte de corrente (IL), a qual também possui componente harmônica (Ilh). 
Existe uma reatância da fonte, (Zs) e um filtro LC série sintonizado na freqüência da 
harmônica de interesse. O filtro ativo é modelado como uma fonte de corrente. 
 Observe-se que a componente harmônica a ser drenada pelo filtro passivo não terá que 
circular pelo filtro ativo, de modo que se tem uma redução na corrente eficaz a ser controlada 
pela parte ativa. Entretanto, não há diminuição na tensão de projeto do filtro ativo. Além 
disso, o filtro passivo não é capaz de atuar como amortecedor de eventuais ressonâncias entre 
ele próprio e a linha. 
 
Vs 
Vsh 
Zs Is 
If I L 
(60Hz) 
 
 
Figura 7.50 Esquema simplificado de filtro híbrido monofásico de corrente. 
 
 Na figura 7.51 tem-se uma outra alternativa topológica, na qual o filtro ativo é 
colocado em série com um filtro passivo. Na verdade podem estar associados diversos filtros 
passivos, sintonizados ou passa-altas. 
 O sistema de controle do filtro ativo é tal que ele absorve uma componente de corrente 
na freqüência fundamental com tal valor que produza sobre a parte passiva do filtro uma 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-30
queda de tensão igual à tensão da rede, Vs, como indica a figura (b). Isto faz com que a tensão 
a ser suportada pelo estágio ativo seja somente a tensão relativa às componentes harmônicas. 
 Além desta componente, o filtro absorve uma corrente igual ao conteúdo harmônico da 
carga, de modo que pela fonte circule apenas uma corrente na freqüência fundamental. 
 Na freqüência de ressonância do filtro passivo a parte ativa deverá suportar uma tensão 
aproximadamente igual à parcela distorcida da tensão da rede, caso exista, (figura (c)). Nas 
demais freqüências a tensão harmônica divide-se entre o filtro passivo e o ativo (figura (d)). 
 A figura 7.52 mostra o mesmo filtro passivo e carga utilizados na simulação anterior, 
mas agora com a inclusão, em série, do filtro passivo (idealizado pela fonte de corrente 
controlada por tensão – bloco G1. A referência da corrente tem a mesma forma da tensão no 
ponto de acoplamento. 
 A figura 7.53 mostra os resultados de simulação sem a inclusão de uma parcela de 
corrente na freqüência fundamental. Note, nas formas de onda intermediárias, que a corrente 
tem a mesma forma e está em fase com a tensão. Repare que as ressonâncias do filtro passivo 
são completamente amortecidas pela presença do filtro ativo, o qual impõe a corrente no ramo 
em derivação. Na parte superior desta figura tem-se a tensão a ser suportada pelo filtro 
passivo, que é maior do que a própria tensão da rede. 
 Inserindo-se uma parcela de corrente na freqüência fundamental, consegue-se reduzir 
tal tensão para valores que dependem apenas das componentes harmônicas. Isto é mostrado na 
figura 7.54. Ao adicionar-se esta parcela de corrente tem-se que o fator de potência não será 
mais unitário, pois a corrente absorvida da rede estará adiantada em relação à tensão. Se tal 
defasagem for aceitável (neste exemplo o fator de potência se reduz para 0,95), o ganho em 
termos do alívio nas especificações do filtro ativo é significativo. 
 
Vs
Vsh
ZsIs
If
I L
(a)
Vs
ZsIs
If
I L
(b)
(60Hz)(60Hz)
(60Hz)
Vfa=0
Vsh
ZsIsh
Ifh
I Lh
(c)
Vfa~Vsh Vsh
ZsIsh
Ifh
I Lh
(d)
Vfp
Vfa
 
Figura 7.51 Princípio de operação de filtro híbrido de corrente: (a) Esquema geral; 
(b) Operação na freqüência fundamental; (c) Operação na freqüência de sintonia do filtro; 
(d) Operação nas demais harmônicas. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-31
 
 
Figura 7.52 Filtro híbrido para compensação de corrente. 
 
 
 
Figura 7.53 Formas de onda relativas a filtro ativo conectado em série com filtro passivo: 
Tensão sobre os terminais do filtro ativo (superior); tensão e corrente no ponto de 
acoplamento (intermediário); corrente na carga e no filtro ativo (inferior). 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-32
 
Figura 7.54 Formas de onda relativas a filtro ativo conectado em série com filtro passivo, 
incluindo corrente de compensação de tensão: Tensão sobre os terminais do filtro ativo 
(superior); tensão e corrente no ponto de acoplamento (intermediário); corrente na carga e no 
filtro ativo (inferior). 
7.7 Geração de referências utilizando a teoria da potência instantânea de Akagi-Nabae 
 
 Consideremos inicialmente um sistema trifásico equilibrado, como mostrado na figura 
7.55, com carga equilibrada. A teoria de Akagi-Nabae, realizando uma transformação das 
variáveis do plano abc para o plano αβ permite determinar expressões para as potências ativa 
e reativa, identificando termos médios e oscilatórios. Em uma situação deste tipo, a 
componente de seqüência zero é nula. 
 A compensação desejada é aquela que mantém a potência ativa média na carga e 
compensa todos os outros termos, produzindo uma corrente senoidal, em fase com a tensão, 
ou seja, produzindo um fator de potência unitário. 
 
100
0
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
va( )t
vb( )t
vc( )t
t
 
Figura 7.55 Tensões de alimentação equilibradas. 
 
 A transformação das tensões para o plano αβ é feita utilizando a matriz de 
transformação: 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-33
 






















−
−−
⋅=










β
α
c
b
a
0 v
v
v
2
1
2
1
2
1
2
3
2
30
2
1
2
11
3
2
v
v
v
 (7.3) 
 
 Aplicando tal transformação, obtém-se as tensões projetadas, mostradas na figura 7.56. 
 
200
100
0
100
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
t
αv
βv
 
Figura 7.56 Tensões no plano αβ. 
7.7.1 Carga com harmônicas 
 Consideremos uma carga que absorva uma corrente não-senoidal como, por exemplo, 
um retificador trifásico com filtro LC no lado contínuo. Este conversor absorve uma corrente 
semelhante à mostrada na figura 7.57. 
 
200
100
0
100
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
ia( )t
ib( )t
ic( )t
t
 
Figura 7.57 Correntes de linha consumidas por carga não-linear. 
 
 A mesma transformação das tensões (7.3) aplica-se às correntes, produzindo as 
correntes no novo plano, mostradas na figura 7.58. 
 As potências instantâneas são dadas por: 
 
p t v t i t v t i t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅α α β β (7.4) 
q t v t i t v t i t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅α β β α (7.5) 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-34
 
 Tais potências estão mostradas na figura 7.59. Note que a potência ativa possui um 
valor médio e uma parte oscilatória. Já a potência reativa tem valor médio nulo. Isto se deve 
ao fato de as correntes serem simétricas e estarem centradas em relação às respectivas tensões. 
As potências, separadas em suas componentes média e variável estão mostradas nas figuras 
7.60 e 7.61. Os valores médios são calculados tomando-se um intervalo mínimo de 1/6 de 
período da rede. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi βi
 
Figura 7.58 Correntes no plano αβ. 
 
2 104
0
2 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
p( )t
q( )t
t
 
Figura 7.59 Potências instantâneas ativa e reativa. 
 
1 104
0
1 104
2 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
pvar( )t
pmed
t
 
Figura 7.60 Separação da potênciaativa em seus termos médio e variável. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-35
1 104
0
1 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
qvar( )t
qmed
t
 
Figura 7.61 Separação da potência reativa em seus termos médio e variável. 
 
 Utilizando estes valores de potência e definindo uma norma de tensão, é possível 
identificar as parcelas de corrente relacionadas com cada tipo de potência: 
 
i
v p
v
pα
α
=
⋅
2 (7.6) 
 
i
v q
v
qα
α
=
⋅
2 (7.7) 
 
i
v p
v
pβ
β
=
⋅
2 (7.8) 
 
i
v q
v
qβ
β
=
⋅
2 (7.9) 
 
v v v
2 2 2
= +α β (7.10) 
 
 As figuras 7.62 e 7.63 mostram tais componentes. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi p
αi q
 
Figura 7.62 Decomposição da corrente iα. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-36
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
βi p
βi q
 
Figura 7.63 Decomposição da corrente iβ. 
 
 O filtro ativo deve ser capaz de compensar todos os elementos de potência, exceto a 
potência ativa média, que é a que, efetivamente, está realizando trabalho junto à carga. 
 Utilizando os termos de potência a serem compensados, as equações (7.4) a (7.10) 
permitem obter as correntes de compensação no plano αβ. 
 
2
var
comp
v
)t(v)t(q)t(p)t(v)t(i βαα
⋅−⋅
= (7.11) 
i t
v t p t q t v t
v
compβ
β α( ) ( ) ( ) ( ) ( )var= ⋅ + ⋅2 (7.12) 
 
 Aplicando-se a transformação inversa a (7.3), obtém-se as correntes nas fases abc que 
devem ser geradas para compensar a corrente: 
 
i
i
i
i
i
i
a
b
c










= ⋅
−
−
−
























2
3
1 0 1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
0
α
β (7.13) 
 
 A corrente de compensação necessária para a fase a está mostrada na figura 7.64. Este 
sinal deve servir de referência para produzir o padrão MLP para o inversor. A figura 7.65 
mostra a tensão da fase a, a corrente da carga e a corrente fornecida após a compensação. 
Observa-se que o fator de potência resultante é unitário e que todas as harmônicas foram 
compensadas. 
 
100
50
0
50
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
iacomp( )t
 
Figura 7.64 Corrente de compensação da fase a. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-37
 
200
100
0
100
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
iasin( )t
va( )t
ia( )t
t
 
Figura 7.65 Tensão da fase a, corrente de carga e corrente compensada. 
7.7.2 Cargas reativas passivas 
 Verificaremos agora o comportamento desta teoria tratando de cargas reativas 
(equilibradas), mas sem harmônicas. Um exemplo de correntes está mostrado na figura 7.66, 
para cargas com característica indutiva. 
 
50
0
50
0 0.005 0.01 0.015 0.02
ia( )t
ib( )t
ic( )t
t
 
Figura 7.66 Correntes de linha para carga tipo RL. 
 
 A figura 7.67 mostra as correntes no plano αβ, que também possuem a mesma 
amplitude e são senoidais. 
 
100
50
0
50
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
αi
βi
 
Figura 7.67 Correntes no plano αβ. 
 
 As potências ativa e reativa instantâneas calculadas estão mostradas na figura 7.68. 
Como não há componentes harmônicas estas potências não apresentam as componentes 
variáveis. Como se tem presente apenas os valores médios, a obtenção de seu valor é 
instantânea, ou seja, não é preciso integrar p(t) ou q(t) para obter os termos médios. O produto 
instantâneo dado pelas equações (7.4) e (7.5) já fornece o valor desejado. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-38
5000
0
5000
1 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
p( )t
q( )t
 
Figura 7.68 Potências ativa e reativa instantâneas. 
 
 A figura 7.69 mostra as correntes em αβ decompostas em termos ativos e reativos. 
 
50
0
50
0 0.005 0.01 0.015 0.02
i p
i q
α
α
 
50
0
50
0 0.005 0.01 0.015 0.02
i p
i q
β
β
 
Figura 7.69 Decomposição das correntes em parcelas ativa e reativa. 
 
 A figura 7.70 mostra a corrente de compensação da fase a, e na figura 7.71 tem-se as 
formas de onda da tensão desta fase, juntamente com a corrente da carga e a da linha (já 
compensada). Nota-se o fator de potência unitário. 
 
20
0
20
0 0.005 0.01 0.015 0.02
iacomp( )t
 
Figura 7.70 Corrente de compensação da fase a. 
 
100
0
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
iasin( )t
va( )t
ia( )t
 
Figura 7.71 Tensão, corrente da carga e corrente compensada na fase a. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-39
 
7.7.3 Estudo de caso com carga desequilibrada 
 Veremos nesta situação uma alimentação equilibrada alimentando uma carga resistiva 
desequilibrada, cujas correntes de linha estão mostradas na figura 7.72. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
ia( )t
ib( )t
ic( )t
t
 
Figura 7.72 Correntes de linha com carga (resistiva) desequilibrada. 
 
 Como se nota na figura 7.73, como as tensões são equilibradas, as projeções no plano 
αβ também o são, e não há componente de seqüência zero. 
 
 
200 
100 
0 
100 
200 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
vα ( ) t 
vβ ( ) t 
vo ( ) t 
t 
 
Figura 7.73 Tensões no plano αβ0. 
 
 Uma vez que o sistema é a 3 fios, também não existe corrente de seqüência zero, como 
se vê na figura 7.74. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi βi
io
 
Figura 7.74 Correntes no plano αβ0. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-40
 As potências instantâneas estão mostradas na figura 7.75. Observa-se que, dado o 
desequilíbrio, aparecem componentes variáveis tanto na potência ativa quanto na reativa. 
Como a carga é resistiva, o valor médio da potência reativa é nulo. Para se obter uma medida 
das potências médias é preciso fazer uma integração com duração de ½ de período. 
 
1 104
0
1 104
2 104
3 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
p( )t
q( )t
po( )t
t
 
Figura 7.75 Potências instantâneas. 
 
 As componentes ativa e reativa das correntes no plano αβ0 estão mostradas nas figuras 
7.76 e 7.77. Observa-se que estas correntes são não-senoidais. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi p
αi q
 
Figura 7.76 Componentes ativa e reativa da corrente iα. 
 
 
200 
0 
200 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
t
βi p 
β i q 
 
Figura 7.77 Componentes ativa e reativa da corrente iβ. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-41
 A corrente de compensação para a fase a está mostrada na figura 7.78. Esta é senoidal 
e leva à compensação da corrente de linha, como mostrado na figura 7.79. Observa-se que é 
possível compensar o desequilíbrio e obter um fator de potência unitário. 
 
 
50 
0
50 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
iacomp ( ) t
t 
 
Figura 7.78 Corrente de compensação da fase a. 
 
200
0
200
0 0.01 0.02
iasin ( )t
va ( )t
ia ( )t
t
 
200
0
200
0 0.01 0.02
ibsin ( )t
vb ( )t
ib ( )t
t
 
Figura 7.79 Tensão, corrente de carga e da rede nas fases a e b, após compensação. 
7.7.4Estudo de caso com alimentação desequilibrada 
 Temos aqui tensões de entrada desequilibradas e uma carga resistiva equilibrada. As 
tensões estão mostradas na figura 7.80. 
 A figura 7.81 mostra as tensões no plano αβ0. Note-se a presença de tensão de 
seqüência zero. As tensões de linha são mostradas na figura 7.82, e também apresentam 
desequilíbrio. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-42
200
100
0
100
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
va( )t
vb( )t
vc( )t
t
 
Figura 7.80 Tensões desequilibradas de entrada. 
 
 
200 
100 
0 
100 
200 
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
α v 
β v
vo 
 
Figura 7.81 Tensões transformadas para o plano αβ0. 
 
100
50
0
50
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
ia( )t
ib( )t
ic( )t
t
 
Figura 7.82 Correntes de linha. 
 
 As correntes no plano αβ0 estão na figura 7.83. Por ser um sistema a 3 fios, não se tem 
corrente de seqüência zero. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-43
100
0
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi
βi
io
 
Figura 7.83 Correntes no plano αβ0. 
 
 A figura 7.84 mostra as potências instantâneas. Observe que tanto a potência reativa 
quanto a de seqüência zero são nulas. Temos apenas potência ativa, com um valor médio e 
uma parcela variável. A obtenção do valor médio exige uma integração por ½ ciclo. 
 A figura 7.85 mostra as componentes ativa e reativa no plano αβ0. Como a potência 
reativa é nula, suas componentes também o são. 
 
5000
0
5000
1 104
1.5 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
p( )t
q( )t
po( )t
t
 
Figura 7.84 Potências instantâneas. 
 
100
0
100
0 0.01 0.02
t
αi p
αi q
100
0
100
0 0.01 0.02
t
βi p
βi q
 
Figura 7.85 Componentes ativa e reativa das correntes no plano αβ0. 
 
 Como há uma parcela variável de potência ativa a ser compensada, este método produz 
uma corrente de compensação, mostrada na figura 7.86 para a fase a. Esta corrente é não-
senoidal e, portanto, introduzirá distorção harmônica na corrente da rede, após a 
compensação. Na figura 7.87 tem-se as correntes compensadas nas fases a e b, juntamente 
com as tensões de fase e as correntes de carga. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-44
 
20
0
20
0 0.005 0.01 0.015 0.02
iacomp( )t
t
 
Figura 7.86 Corrente de compensação da fase a. 
 
 O uso deste método, como se nota, não se aplica a sistemas com alimentação 
desequilibrada, uma vez que seu objetivo é o de compensar todas as parcelas de potência 
exceto a potência ativa média. Como se vê na figura 7.88, este objetivo é conseguido, mas isto 
não significa que se tenha o máximo fator de potência, como evidenciam as formas de onda 
mostradas em 7.87. 
 
 
100 
0 
100 
0 0.01 0.02 
iasin ( ) t 
va ( ) t 
ia ( ) t 
t 
 
 
200 
100 
0 
100 
200 
0 0.01 0.02 
ibsin ( ) t 
vb ( ) t 
ib ( ) t 
t 
 
Figura 7.87 Tensão, corrente na carga e na linha (após compensação), nas fases a e b. 
 
 
6000
8000
1 104
1.2 104
0 0.005 0.01 0.015 0.02
pini( )t
pcomp( )t
t
 
Figura 7.88 Potência ativa antes e depois da compensação. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-45
7.7.5 Estudo de tensões equilibradas, com harmônicas 
 Consideremos um sistema com tensões equilibradas, mas com uma 5a harmônica 
superposta, como mostrado na figura 7.89. Supondo carga resistiva e equilibrada, as correntes 
terão a mesma forma das tensões. 
 
 
200 
100 
0 
100 
200 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
va ( ) t 
vb ( ) t 
vc ( ) t 
t
 
Figura 7.89 Tensão de entrada com distorção harmônica. 
 
 Sendo o sistema equilibrado, e para a 5a harmônica, não há corrente de seqüência zero, 
como se vê na figura 7.90. Na figura 7.91 têm-se as correntes no plano αβ0. 
 
200
0
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αv
βvvo
 
Figura 7.90 Tensões no plano αβ0. 
 
100
0
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02
t
αi
βi
io
 
Figura 7.91 Correntes no plano αβ0. 
 
 Sendo a carga resistiva, não há potência reativa. A potência ativa apresenta um valor 
médio e uma parte variável, como mostrado na figura 7.92. 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-46
 
 
5000 
0 
5000 
1 10 4
1.5 10 4
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
p( ) t
q( ) t
po( ) t
t 
 
Figura 7.92 Potências ativa, reativa e de seqüência zero. 
 
 A corrente de compensação produzida para a fase a está mostrada na figura 7.93. Sua 
injeção no sistema leva às formas de onda mostradas na figura 7.94. Note-se que, sem 
compensação, a corrente da fase a segue a mesma forma da tensão, dado que a carga é 
equilibrada e resistiva. A ação da corrente de compensação distorce a corrente resultando, de 
modo que a rede não mais vê uma carga resistiva. A figura 7.95 mostra que o objetivo do 
método, que é o de obter apenas a potência ativa média foi atingido. 
 
 
20 
10 
0
10 
20 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
iacomp ( ) t
t 
 
Figura 7.93 Corrente de compensação da fase a. 
 
2 0 0 
1 0 0 
0
1 0 0 
2 0 0 
0 0 .0 1 0 .0 2 
ia s in ( )t 
v a ( ) t
ia ( )t 
2 0 0 
1 0 0 
0 
1 0 0 
2 0 0 
0 0 .0 1 0 .0 2 
ib s in ( )t 
v b ( ) t
ib ( )t 
t 
 
Figura 7.94 Tensão, corrente da carga e corrente compensada das fases a e b. 
 
Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J. A. Pomilio 
LCEE – DSCE –FEEC – UNICAMP 7-47
 
6000 
8000 
1 10 4 
1.2 10 4 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 
pini ( )t 
pcomp( ) t 
t
 
Figura 7.95 Potência ativa instantânea antes e depois da compensação. 
 
7.7.6 Produção de compensação de tensão 
 Todos os exemplo mostrados tratam de compensação de corrente. Esta é, de fato, a 
aplicação mais usual destes compensadores. 
 No entanto, é plenamente possível utilizar o mesmo método para fazer a compensação 
de tensões, bastando para isso gerar os sinais de compensação utilizando as equações (7.4) a 
(7.10), identificando tensões vαp, vαq, vβp, vβq, a partir das correntes iα e iβ. 
 
7.8 Referências Bibliográficas 
[7.1] D. E. Steeper and R. P. Stratford: “Reactive compensation and harmonic suppression for 
industrial power systems using thyristor converters”, IEEE Trans. on Industry Applications, 
vol. 12, no. 3, 1976, pp.232-254. 
[7.2] J.A. Bonner and others, (1995) “Selecting ratings for capacitors and reactors in applications 
involving multiple single-tuned filters”, IEEE Trans. on Power Del., Vol.10, January, 
pp.547-555. 
[7.3] S.M. Peeran, Creg W.P. Cascadden, (1995) “Application, design and specification of 
harmonic filters for variable frequency drives”, IEEE Trans. on IA, Vol. 31, No. 4, pp. 841-
847. 
[7.4] R.L. Almonte and A.W.Ashley, (1995) “Harmonics at the utility industrial interface: a real 
world example”, IEEE Trans. on IA, Vol. 31, No. 6, Nov. Dec., pp. 1419-1426. 
[7.5] L. S. Czarnecki and H. L. Ginn III, “The Effect of The Design Method on Efficiency of 
Resonant Harmonic Filters”, IEEE Trans. on Power Delivery. 
[7.6] L. S. Czarnecki, “Effect of minor harmonics on the performance of resonant harmonic filters in 
distribution systems”, IEE Proc. Of Electric Power Applications, vil 144, no. 5, Sept. 1997, pp. 
349-356. 
[7.7] F. Z. Peng, G-J.