Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos
AULA 1 – A Pesquisa Operacional e a sua Evolução
Conceito Básicos
O que é método?
É a Escolha de procedimentos sistemáticos para a descrição e explicação de fenômenos.
 O que é Métodos Quantitativos?
Os Métodos Quantitativos são caracterizados pelo emprego da quantificação tanto nas modalidades de coleta de informações, quanto no tratamento delas por meio de técnicas matemáticas e estatísticas.
O que é pesquisa operacional?
A Pesquisa Operacional (PO)é uma ciência aplicada, também chamada de ciência da Administração, é um método quantitativo que ajuda no planejamento, na solução de problemas e no processo de tomada de decisão.
Os problemas administrativos podem ter aspectos tanto qualitativos quanto quantitativos.
Os aspectos que podem ser alvo da análise qualitativa incluem variáveis como intenção dos concorrentes e motivação dos trabalhadores. Já os aspectos analisados pela perspectiva quantitativa incluem fatores como custos de matérias-primas, participação de mercado, preços de produtos etc.
A finalidade da pesquisa operacional – O objeto da Pesquisa Operacional (PO) é a melhoria da performance das organizações e do trabalho através da formulação de modelos matemáticos a serem resolvidos com o auxilio da informática, tendo foco a tomada de decisões uma característica importante. A PO facilita o processo de análise e de decisão, utilizando modelos, que permitem experimentação da solução proposta. Isto significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada.
O foco principal dos Métodos Quantitativos é a melhoria do processo de solução de problemas, por tomá-lo mais racional e analítico. A maioria dos métodos quantitativos é baseada no critério de decisão econômica.
A Pesquisa Operacional é um corpo multidisciplinar de conhecimento científico originado em aplicações militares durante a Segunda Guerra Mundial, nos Estados Unidos e Grã-Bretanha. Desde 1945 este conhecimento vem sendo aplicado com crescente sucesso a problemas industriais e comerciais. As primeiras aplicações ocorriam essencialmente em grandes companhias e até hoje, 90% das 500 maiores companhias utilizam Pesquisa Operacional.
Aplicação da pesquisa operacional – A Pesquisa Operacional é aplicada na resolução de problemas reais, utilizando-se de modelos matemáticos para a determinação da melhor alocação de recursos limitados ou escassos , com objetivo de dar racionalidade aos processos de tomada de decisão. 
Lachtermacher (2004) preconiza que o ensino de Pesquisa Operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema, na interpretação do resultado e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais.
Entre os diversos tipos de problemas em que a pesquisa operacional pode ser utilizada para ajudar no processo de decisão, destacam-se:
Administração da Produção
Análise de Investimentos
Logística
Custo de Transporte
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA PO NA GUERRA – Em 15 de maio de 1940, com as forças alemãs avançando rapidamente na França, a Seção de Pesquisa de Stanmore foi requisitada para analisar um pedido francês de dez esquadrões de caça adicionais (um esquadrão é formado por 12 aviões) quando as perdas estavam ocorrendo a uma taxa de aproximadamente três esquadrões a cada dois dias. A equipe preparou grafos para o primeiro-ministro Winston Churchill, baseados em um estudo das presentes perdas diárias e taxas de reposição, indicando quão rapidamente tal ação poderia esgotar a força de caças.
Como resultado nenhum avião foi mandado e os que estavam em ação na França foram retirados. Esta é considerada como sendo a mais estratégica contribuição no curso da guerra feita pela Pesquisa Operacional, pois as aeronaves e pilotos salvos puderam ficar disponíveis para a subseqüente e vital defesa da Grã-Bretanha.
Guerra anti-submarinos – Em 1941 uma Seção de Pesquisa Operacional (ORS) foi estabelecida no Comando Costeiro, que executou alguns dos mais conhecidos trabalhos de Pesquisa Operacional da Segunda Guerra. A responsabilidade do Comando Costeiro consistiu, em grande parte, na coordenação de vôos solitários de longo alcance com o objetivo de avistar e atacar U-boats (U-boote - submarinos alemães) na superfície.
Principais técnicas e instrumentos da PO
PROGRAMAÇÃO LINEAR → os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de recursos limitados entre atividades competitivas, com a finalidade de atender a um determinado objetivo, por exemplo maximização de lucro ou minimização de custo;
TEORIA DOS JOGOS → um dos campos mais complexos de investigação em PO, é o estudo da competição entre oponentes. Seus fundamentos foram lançados por John Neumman, que em 1927 demonstrou o Teorema Minimax;
TEORIA DAS FILAS → 	a teoria das Filas estuda, do ponto de vista matemático, filas como seqüência de espera. A formação de filas de espera ocorre quando a solicitação por serviço supera a capacidade de efetuá-lo;
PROGRAMAÇÃO DINÂMICA → é um método matemático, desenvolvido há mais de 60 anos pelo americano Ricard Bellman, que permite determinar a solução ótima de um sistema que opera ou cujas decisões ocorrem em fase ou em conseqüência;
MODELOS DE CONTROLE DE ESTOQUE → as empresas mantém estoques de matérias-primas e produtos acabados. Os estoques de matérias-primas servem como insumo para o processo de produção e os estoques de produtos acabados são usados para satisfazer a demanda dos consumidores. Como estes estoques exigem muito investimento, são importantes as decisões referentes a eles.
TEORIA DA DECISÃO → permite que a partir de um número finito de linhas de ações possíveis, atingir um determinado resultado. Decidir consiste em escolher uma destas linhas de ação que possibilite o resultado esperado.
AULA 2 - As fases de estudo de pesquisa operacional
Fases de um estudo de pesquisa operacional – Na modelagem de um problema, recomenda-se a adoção do seguinte roteiro:
Definição do Problema;
Construção do Modelo;
Solução do Modelo;
Validação do Modelo; e
Implementação dos resultados.
Definição do problema
Três aspectos a serem levados em conta: 
Descrição exata dos objetivos do estudo.
Identificação das alternativas de decisão existentes.
Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
Construção do modelo – É a fase mais criativa: a qualidade de todo o processo depende do grau de representação da realidade.
Os modelos variam de simples modelos conceituais até complexos modelos matemáticos.
Solução do modelo – Depende da: 
Escolha do algoritmo ou método matemático mais adequados às características do modelo.
Disponibilidade de software apropriado para solução e produção das informações necessárias para a decisão.
Validação do modelo – O modelo é válido quando for capaz de fornecer uma previsão ACEITÁVEL do comportamento do sistema. 	
Modo de avaliar: utilizar dados passados e verificar se o modelo reproduz o comportamento manifestado pelo sistema.
Implementação da solução – A solução deve ser convertida em regras operacionais.
 Deve ser controlada e monitorada pela equipe responsável; eventuais correções podem ser necessárias.
Avaliação final –Garante a adequação das decisões às reais necessidades do sistema e a aceitação mais fácil pelos setores envolvidos.
Nenhum modelo capta todas as características e nuanças da realidade: A EXPERIÊNCIA É FUNDAMENTAL.
Facilidade oferecidas pelos modelos
Visualização da estrutura do sistema real em análise.
Representação das informações e suas inter-relações. 
Sistemática de análise e avaliação do valor de cada alternativa.
Instrumento de comunicação e discussão com outras pessoas.
Tipos de Variáveis
VARIÁVEIS DE DECISÃO: fornecem a base para a decisão.
NÃO-CONTROLÁVEIS OU EXÓGENAS: São fatores ou dados externos ao modelo, ou condições que devem ser respeitadas.
CONTROLÁVEIS OU ENDÓGENAS: geradas pelo modelo, dependem dos dados e das informações, e da estrutura do modelo, são os cálculos internos, ou para resultadosintermediários. As variáveis de decisão são também variáveis endógenas.
O caso da fábrica pastéis e pastelões LTDA – A Pastéis e Pastelões fabrica pastéis de forno usando dois ingredientes básicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende elaborar um modelo para previsão de seu lucro operacional mensal que lhe permita estabelecer o preço dos pastéis a ser praticado. Desconsiderando a hipótese de alteração do tamanho e da qualidade dos pasteis, a diretoria considera que o preço unitário do pastel e o preço praticado pela concorrência são os únicos fatores relevantes na determinação da demanda.
A equação da demanda da empresa é:
	Z = 15.000 – 5.000 x + 5.000 y, sendo:
	x = o preço do pastel da empresa 
	y = o preço médio dos pasteis da concorrência.
Dados adicionais:
Preço médio praticado pela concorrência ............. 7,00
Custo unitário da massa (por pastel) ..................... 1,30
Custo unitário do recheio (por pastel) .................... 2,00
Custo unitário do processo (por pastel) ................. 0,40
Custo fixo ......................................................... 6.000,00
Determinação de preço – O lucro de um fabricante é função do preço de venda. A função que melhor descreve esse fato é: 
Lucro = - x2 + 140x - 2400, onde x é o preço de venda e y é o lucro. 
Construa uma tabela de preço x= 20 , x= 30, x= 40, x= 50, x = 60, x = 70, x=80 e x=90 , e apure o lucro (y).
Existe um valor de x em que o preço é ótimo? Qual?
AULA 3 – Programação Linear e seus Conceitos Básicos
Programação Linear – É um subitem de programação matemática é um dos elementos mais utilizados em Pesquisa Operacional. É um modelo de otimização. Visa alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrência (em competição).
A tarefa primordial ao utilizar a programação linear é o reconhecimento e a formulação do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e assim fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
Estrutura de modelos matemáticos – Num modelo matemático de Programação Linear, existem três conjuntos de elementos:
Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis); e
Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Programação linear: identificação dos elementos
Exemplo 1 – A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa (PARÂMETROS). Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro (VARIÁVEIS DE DECISÃO). Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas (RESTRIÇÕS). Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
Exemplo 2 – Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo?
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
Exemplo 3 – Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear pode-se destacar as seguintes: 
- Administração da Produção;
- Análise de Investimentos;
- Alocação de recursos limitados;
- Planejamento regional;
- Logística;
- Custo de transporte;
- Localização da rede de distribuição;
- Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação.
AULA 4 – Programação Linear Método Gráfico
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo, que contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo, que é a solução do sistema de inequações. 
Estrutura de Modelos Matemáticos - Num modelo matemático, existem três conjuntos de elementos:
● Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
● Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis);
● Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Programação Linear: Métodos Gráfico – Exemplo 1 
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtivade 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
Exemplo 2 – Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo?
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
Exemplo 3 – Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
	Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
AULA 5 – Programação Linear: Método Simplex
Método Simplex – O Algoritmo dos Simplexos usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da solução viável ou ótima e que satisfaz a todas as restrições, sendo, portanto, uma ferramenta eficiente e eficaz, bem como rápida na localização de pontos ótimos que melhoram fortemente a função que queremos otimizar e indica quando a solução ótima foi atingida.
EXEMPLO 1 – Um fazendeiro deseja otimizar as suas plantações de arroz e de milho na sua fazenda. Ele deseja saber que áreas de arroz e milho devem plantar, para que o seu lucro seja máximo.
O lucro unitário esperado por área plantada de arroz é de R$ 5.000,00 e de milho R$ 2.000,00.
Sabe-se que as áreas plantadas de arroz e de milho não podem superar a 3 e 4 alqueires respectivamente.
Os consumos totais de homens-hora utilizados nas duas plantações não podem exceder a 9 homens-hora. Cada unidade de arroz plantada consome 1 homem-hora e de milho 2 homens-hora. As áreas plantadas não podem ser negativas.
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o custo, para cada solução apresentada.
A utilização das regras do Algoritmo dos Simplexos , facilita o entendimento do seu uso.
1ª) O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito, utilizando-se as chamadas variáveis de folga. As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
2ª) No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal negativo (-), é necessário também da utilização das chamadas vaiáveis artificiais;
3ª) As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema. Um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
4ª) A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja positivo.
5ª) O passo seguinte é a construção do quadro do simplex, que tem a seguinte estrutura:
6ª) DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRARÁ NA BASE: escolhe-se na linha de –Z, dentre as variáveis que tenham sinal negativo, a mais negativa de todas.
7ª) DETERMINAÇÃO DA VAIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE: dividi-se os valores da coluna b, pelos valores da coluna que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
8ª) Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser feita de forma arbitrária. Essa escolha tanto poderá levar a um caminho mais curto, como a um caminho mais longo.
 9ª) O valor correspondente a variável que entrará na base, com o que sairá da base, deverá ser igual a 1. Quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor.
10ª) Os demais valores da coluna que entrará na base, com o que sairá da base, deverão ser iguais a zero. Para zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas.
11ª) Só chegaremos ao final do problema, quando toda a linha de Z for positiva.
12ª) A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE, com a coluna b.
Exemplo 2
A Esportes Radicais S.A. produz pára-quedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha tem 
100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 h de processamento na linha 1, enquanto na linha 2 o pára-quedas requer 3 h e a asa-delta, 7 horas. Sabendo-se que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro unitário do pára-quedas é de R$ 60,00 e o da asa-delta é de R$ 40,00.
Qual a quantidade que deve ser produzida, para que a empresa tenha um lucro máximo?
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
AULA 6 – Programação Linear: Utilização da Ferramenta Solver
O Solver faz parte de um conjunto de programas algumas vezes chamado de ferramentas de análise hipotética. Ele permite localizar um valor ideal para uma fórmula em uma célula (chamada de célula destino) em uma planilha. O Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a fórmula na célula destino. Ele ajusta os valores nas células variáveis especificadas (chamadas de células ajustáveis) pra produzir o resultado especificado na fórmula da célula destino. É importante também aplicar restrições para restringir os valores que o Solver poderá usar no modelo e as restrições podem se referir as outras células que afetem a fórmula da célula destino.
Utilização do Solver – Para que possamos resolver o nosso problema de Programação Linear é preciso acessar o Solver.
Na versão 2003 do Office Excel, clique no menu Ferramentas e logo em seguida em Solver. 
Na versão 2007 do programa em diante, o Solver está disponível no grupo Análise, na guia Dados.
Caso a ferramenta Solver não esteja disponível na versão 2003 do Excel, clique no menu Ferramentas e depois em Suplementos e marque a opção Solver.  O Excel instalará a mesma, disponibilizando-a para uso.
AULA 7 – Programação Linear: Teoria da Dualidade
O problema Dual – Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear foi o conceitode dualidade e suas muitas ramificações importantes. Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual.
As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas maneiras. O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade serve para amenizar essas dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de programação linear.
Método Dual-Simples – O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo, simultaneamente aplicado ao seu problema dual.
AULA 8 – Teoria dos Jogos: Conceitos Básicos
A Origem dos Jogos – É preciso compreender a importância dos jogos em uma nova dinâmica, não somente na forma habitual que conhecemos, quando nos reunimos para assistir o nosso time favorito na televisão ou quando jogamos com nossos amigos, praticando o nosso esporte preferido. Na nossa infância tivemos contato com algum tipo de jogo: jogos eletrônicos, jogos de salão, jogos de tabuleiro ou outra modalidade. A grande questão, é que muitos de nós não consideramos os jogos como algo que possa ser estudado de forma mais profunda.
Para nós a representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre dois ou mais oponentes. Estes oponentes são usualmente chamados de jogadores. Um jogador pode ser um time composto de mais de uma pessoa, como num jogo de carta de duplas. Alguns exemplos de jogos são: 
	• Jogos de salão, como cara-e-coroa, jogo da velha, 	damas ou xadrez; 
	• Competição econômica; 
	• Conflitos militares ou guerras.
Introdução – A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração, de situações nas quais se pode favorecer ou contrariar um a outro, ou ambos ao mesmo tempo. Os homens algumas vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si, dispõem de diferentes graus de informação acerca do próximo, e suas aspirações os conduzem ao conflito ou à colaboração. Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a proceder para cada pessoa envolvida.
Para Fiani (2006), sempre que um conjunto de indivíduos, empresas, partidos políticos, etc., estiver envolvido em uma situação de interdependência recíproca, em que as decisões tomadas influenciam-se reciprocamente, pode-se dizer que eles se encontram em um jogo. A teoria dos jogos ajuda a entender teoricamente o processo de decisão de agentes que interagem entre si, a partir da compreensão da lógica da situação em que estão envolvidos. Outro ganho no estudo da Teoria dos Jogos é que ela ajuda a desenvolver a capacidade de raciocinar estrategicamente, explorando as possibilidades de interação dos agentes, possibilidades estas que nem sempre correspondem à intuição.
A Origem da Teoria dos Jogos – Entre os anos de 1928 a 1942 John von Newmann, publicou artigos em revistas especializadas em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos. Em 1944, von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro “Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico”, que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a contribuição de outros pesquisadores.
No livro publicado por Newmann e Morgenstern, são analisadas duas abordagens. A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos e procura descrever o comportamento ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores.Na segunda abordagem é analisada a estratégica de jogos não-cooperativos.
Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos Jogos não-cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes problemas.
Conceitos Básicos – Segundo Eaton (1999), no caso da teoria dos jogos, os tomadores de decisões são chamados de jogadores: eles são as entidades, como firmas, indivíduos ou governos, que fazem escolhas no jogo. No caso da analise do comportamento econômico, nossos jogadores serão as firmas e o que eles escolhem – quantidade de produção e preço – serão chamadas de estratégias. Se as firmas escolherem a quantidade de produção, por exemplo, então a estratégia de uma firma é sua quantidade de produção.
A teoria dos jogos é uma teoria que trata os aspectos gerais de situações competitivas. Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos competidores. A teoria dos jogos classifica os jogos em muitas categorias que determinam que método pode ser usado para resolvê-los. 
Algumas das categorias mais comuns são: 
• Jogos de Soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador só pode ganhar se outro perder). O Xadrez e o Poker são jogos de soma zero porque cada jogador ganha precisamente o que o outro perde. A economia e a política, por exemplo, não são jogos de soma zero porque alguns desfechos podem ser bons (ou maus) para todos os jogadores ao mesmo tempo;
• Jogos de Soma não-nula: São os que não possuem a propriedade anterior (jogos de soma nula), como o Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é 2 anos de prisão se ambos ficam em silêncio e 4 anos se os dois prisioneiros confessam. 
• Jogos Cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar entre si; 
• Jogos Transparentes (de informação perfeita): são jogos em que todos os jogadores têm acesso à mesma informação. O Xadrez é um jogo transparente, mas o Poker não é.
Estratégia – Estratégia é algo que um jogador faz para alcançar seu objetivo. Um jogador sempre procura uma estratégia que aumente seus ganhos ou diminua as perdas. Em um jogo de pôquer um jogador pode baixar suas cartas ao começo de cada rodada, diminuindo suas perdas dessa forma.
A grande questão ao se escolher uma estratégia, então, é tentar prever os ganhos e as perdas potenciais que existem em cada alternativa. Grande parte do problema reside no fato de prever-se o que os outros participantes irão fazer ou estão fazendo. O jogador “A” não analisa somente a melhor linha de ação que ele deve tomar, mas também as prováveis linhas de ação do jogador “B”, seu competidor. Isso cria o dilema de que, se “B” sabe que “A” vai tentar prever suas ações, “B” pode optar por uma linha de ação Estratégia alternativa, buscando surpreender seu opositor. Claro que “A” pode prever isso também, entrando numa seqüência interminável de blefes e previsões sobre a estratégia inimiga.
Resultado de um Jogo – Jogadores sempre recebem pagamentos, representados por um valor. No entanto, o valor absoluto não é tão importante quanto à proporção entre as opções. Em determinado jogo, por exemplo, pode-se representar a morte de um jogador por -100, enquanto continuar vivo pode ser representado por 0.
Matriz de Ganhos de um Jogo – Varian (2006) contextualiza um exemplo de interação estratégica envolvendo dois jogadores com um numero finito de estratégias. Desse modo poderemos representar um jogo facilmente numa matriz de ganhos.
Suponha-se que duas pessoas estão jogando um jogo simples, em que o jogador A pode fazer duas escolhas (“alto” ou “baixo”), e a pessoa B também pode fazer duas escolhas (“esquerda” ou “direita”). As duas estratégias da pessoa A e da pessoa B podem representar escolhas econômicas como “aumentar preço” ou “diminuir preço”, escolhas políticas como “declarar guerra” ou “não declarar guerra”.
A matriz de ganhos de um jogo representa os ganhos de cada jogador para cada combinaçãode estratégias escolhida. Indica os ganhos de A e B em cada uma das escolhas possíveis: alto-esquerda, alto-direita, baixo-esquerda, e baixo-direita.
Deste modo, em um jogo, após as pessoas escreverem suas escolhas em um papel, os papeis serão examinados, e cada um dos jogadores receberá o ganho representado na matriz de ganhos. Se A escreve “alto” e B escreve “esquerda”, então examinamos o quadrado do alto à esquerda da matriz.
Tradicionalmente, o primeiro valor é quanto o jogador da esquerda recebe e o segundo, quanto o de cima recebe. 
O exemplo de jogo representado acima tem uma solução muito simples. Do ponto de vista do jogador A, será sempre melhor escolher baixo, pois se B escolhe esquerda é melhor para A escolher baixo, e se B escolhe direita também é melhor para A escolher baixo. De forma semelhante, será sempre melhor para B escolher esquerda, pois se A escolhe alto é mais vantajoso para B escolher esquerda, e se A escolhe baixo também é mais vantajoso para B escolher esquerda. Portanto, é de se esperar que a estratégia de equilíbrio para A seja jogar baixo e para B seja jogar esquerda.
Elementos de um Jogo – Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes (jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos descrever cada um dos seus elementos:
• Um jogo é um modelo formal: a Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exige regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo.
• Interações: as ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os demais. Existe, porém, alguns autores, que consideram que as ações de um agente não chegam a afetar os demais.
Agentes (jogadores): é considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de decisão para afetar os demais. Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos.
• Racionalidade: Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam alcançar.
• Comportamento Estratégico: entende-se que cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, pois sua decisão terá conseqüências sobre os demais jogadores, e que também as decisões dos outros jogadores terão conseqüências sobre ele.
Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva naturalmente os jogadores a considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais jogadores, bem como as reações destes.
No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas de decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de sua estratégia quanto da estratégia de seus concorrentes.
Leilão de uma nota de um dólar – Considere o seguinte jogo, criado por Martin Shubik. Uma nota de um dólar é leiloada, mas de forma pouco usual. O responsável pelo lance mais alto receberá o dólar em troca do valor do lance. Entretanto, o responsável pelo segundo lance mais alto também deverá pagar o valor do seu lance.
Se você estivesse participando desse jogo, qual seria o seu lance?
AULA 9 – Teoria dos Jogos: Modelos de Jogos
Modelagem de um jogo – Segundo Fiani (2006), em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e consumidores se envolvem em processos de interação estratégica. Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando determinar as possíveis conseqüências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis resultados do jogo.
As Ações dos Jogadores e suas Consequências – Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas e que as interações estratégicas são o resultado do reconhecimento por parte de cada um dos jogadores, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
Reforçando um conceito visto na aula anterior, de que jogador é qualquer indivíduo ou organização envolvido no processo de interação estratégica que tenha autonomia para tomar decisões. Todo jogador tem como objetivo obter o melhor resultado possível do processo de interação estratégica, dada as suas preferências. Portanto, cada jogador é obrigado a interagir com os demais.
Para entender o processo de interação, é preciso primeiro conceituar o que se entende por ação ou movimento de um jogador: “é uma escolha que ele pode fazer em um dado momento do jogo”. Num jogo, cada jogador, tem um certo número de ações disponíveis, e essas ações formam seu conjunto de ações.
Emprego de Estratégia em Jogo Simultâneo – Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica. Para facilitar o seu entendimento vamos utilizar o seguinte exemplo dado por Fiani (2006):
Uma empresa para iniciar as suas atividades, tomou empréstimos de 5 milhões de reais em dois bancos: Alfa e Beta, totalizando 10 milhões de reais em empréstimos. A empresa não possui capital próprio, somente de terceiros. Após um ano de funcionamento, em virtude dos seus maus resultados, seus ativos depreciaram e hoje só valem 6 milhões, o que é insuficiente para cobrir o total de empréstimos que é de 10 milhões. Para complicar mais a situação, a perspectiva é que a empresa continue funcionando por apenas mais um ano.
No exemplo em questão, os dois bancos têm que decidir se renovam ou não o empréstimo. A decisão se torna mais difícil a ser tomada, se cada banco tem de escolher o que fazer em relação ao seu empréstimo sem conhecer a decisão do outro banco, do que se um deles tem a chance de decidir conhecendo a escolha do outro.
Para analisar a forma estratégica, é necessário que os bancos possuam mais informações: precisam saber quais são as ações que cada banco pode adotar e quais seriam as conseqüências das várias combinações de ações. Com relação às ações, vamos considerar apenas duas possibilidades: renovar ou não renovar os empréstimos. Caso o banco decida renovar, ele continuará recebendo os juros do empréstimo. No caso de não renovar o empréstimo, a empresa é obrigada a reembolsar o principal do empréstimo.
Se a decisão dos bancos for pela renovação de seus empréstimos, a perspectiva é de que a empresa consiga se manter operando por mais um ano, pagando os juros a partir de sua receita corrente, no valor de 1 milhão de reais para cada banco.
Caso a empresa seja obrigada a decretar a falência, pela não renovação dos empréstimos, os bancos dividiriam os ativos de 6 milhões, resultando em 3 milhões para cada banco, além de 1 milhão de juros, totalizando 4 milhões para cada banco.
A outra possibilidade é de que um dos bancos não venha renovar o seu crédito, ele receberia integralmente o seu empréstimo de 5 milhões, porém precipitava a falência da empresa. O banco que renovou o empréstimo só teria condições de receber 1 milhão, correspondente ao que sobrou dos ativos da empresa.
Existe ainda uma última possibilidade é a de que os dois bancos decidam, simultaneamente, não renovar seus empréstimos. A empresa será obrigada a decretar a sua falência, o que leva os dois bancos a dividirem seus ativos, cabendo a cada banco 3 milhões de reais.
A representação do hipotético jogo dos bancos em forma estratégica, é a seguinte:
Empregos de Estratégia em Jogo Sequencial – Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores. Porém, muitas vezes, o processo de interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas.
Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas ignorando as decisões dos demais jogadores.
Árvore de Decisão- Uma árvore de decisão, também chamada de árvore de jogos, é composta de ramos e nós. Cada nó representa uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão. Já um ramo representa uma escolhapossível para o jogador, a partir do seu nó, isto é, um ramo é uma ação do conjunto de ações do jogador, em um determinado nó.
Para ilustrarmos o uso da árvore de decisão, vejamos o seguinte exemplo:
A direção da empresa Beta concluiu que a situação delicada que ela se encontra, é decorrente dos elevados custos do seu processo produtivo. A empresa vem enfrentando a perda de R$ 200 mil por período. A direção da empresa tem que decidir se troca todo o equipamento de produção. Se esta decisão obtiver êxito, a empresa lucrará o dobro do que perderia se nada fizesse; se por outro, a decisão não obtiver êxito, a empresa perde o triplo do que perderia se não substituísse o equipamento.
Construa a árvore de decisão.
Estratégias e conjuntos de informação – Em função dos conceitos já apresentados, temos condições de discutir as escolhas que os jogadores podem fazer em um jogo. A hipótese de que os jogadores são racionais, também deve ser levada em consideração. Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas conseqüências futuras. Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente exige, uma análise das estratégias de cada jogador.
O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto de estratégias ou espaço de estratégias.
Em jogos seqüenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas conhecendo as ações dos demais em etapas anteriores.
Aplicação – As empresas Alpha e Beta são concorrentes e produzem o mesmo produto e têm custos fixos de R$ 50.000,00 por mês. Ambas competem pelo mesmo mercado e devem escolher entre um preço alto de R$ 20,00 e um preço baixo R$ 10,00. As regras do jogo são as seguintes:
	- Com o preço de R$ 20,00, o mercado consome 5.000 unidades;
	- Com o preço de R$ 10,00, o mercado consome 10.000 unidades.
	- Se as empresas adotarem o mesmo preço, as vendas serão divididas entre as duas empresas. Se aplicarem preços diferentes, aquela com menor preço vende toda a quantidade e a outra nada.
	Construa a matriz de ganhos.
AULA 10 – Teoria dos Jogos: Jogo Simultâneo – O Equilíbrio de Nash
Estratégia dominantes – Um equilíbrio de estratégias dominantes é o resultado de um jogo em que cada empresa faz o melhor que pode independentemente das escolhas feitas por seus concorrentes.
Varian (2006) afirma que teremos uma estratégia dominante se houver uma escolha ótima de estratégia para cada um dos dois jogadores, não importando o que o outro faça. Se houver uma estratégia dominante para cada jogador em algum jogo, então poderemos prever qual será o resultado de equilíbrio desse jogo, pois a estratégia dominante é a melhor, não importando o que faça o outro jogador.
Pindyck & Rubinfeld (2005) nos mostra que as estratégias dominantes são aquelas que poderão ser bem-sucedidas quaisquer que sejam as atitudes dos participantes. Para ilustrar este caso os autores utilizam o seguinte exemplo em um cenário oligopolista.
Suponha-se que as empresas A e B vendam produtos concorrentes e estejam decidindo se empreenderão ou não campanhas de propaganda. Cada empresa, contudo, será afetada pela decisão de sua concorrente. Os possíveis resultados encontram-se ilustrados pela matriz de ganhos apresentada na tabela a seguir. Qual é a estratégia que cada empresa deve escolher?
Para a empresa A é sempre mais vantajoso investir em propaganda, independentemente do que possa fazer a empresa B. Se a empresa B fizer propaganda, a empresa A lucrará 10 se fizer propaganda e 6 se não fizer propaganda. Se a empresa B não investir em propaganda, a empresa A lucrará 15 caso faça propaganda e 10 se não fizer. Portanto, investir em propaganda é uma estratégia dominante para a empresa A. 
O mesmo é verdadeiro para a empresa B; isto é, independentemente do que possa fazer a empresa A, a empresa B realizará um melhor negocio se investir em propaganda. Portanto, supondo que ambas as empresas sejam racionais, sabem que o resultado dos jogos será ambas as empresas investirem em propaganda. Esse resultado é fácil de ser determinado, porque as duas possuem estratégias dominantes. 
Quando cada jogador tem uma estratégia dominante, o resultado deste jogo é chamado de equilíbrio de estratégia dominante. Esses jogos podem ser analisados objetivamente, pois a estratégia ótima para cada jogador pode ser determinada sem a preocupação com as ações dos outros.
Nem todos os jogos apresentam estratégias dominantes para cada um dos jogadores.
Equilíbrio de Nash –nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, dadas as posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as estratégias dos outros jogadores, apenas está feliz com a estratégia que escolheu em face das escolhas dos outros.
Segundo Fiani (2006), a idéia do equilíbrio de Nash é a de que cada jogador está adotando a melhor resposta ao que os demais jogadores estão fazendo, e isso é valido para todos os jogadores ao mesmo tempo. A identificação de um equilíbrio de Nash pode ser facilitada pelo método de indicar, dada a estratégia adotada pelo outro jogador, qual a melhor resposta para o jogador em questão. Em seguida, repete-se o processo para o outro jogador, até que fosse possível identificar uma combinação de estratégias em que cada uma delas fosse melhor resposta à outra e vice-versa.
Pindyck & Rubinfeld (2005) comparam o equilíbrio de estratégias dominantes e o equilíbrio de Nash: 
No equilíbrio de estratégia dominante: Eu estou fazendo o melhor que posso independentemente do que você esteja fazendo. Você está fazendo o melhor que pode, independentemente do que eu esteja fazendo.
Equilíbrio de Nash: Eu estou fazendo o melhor que posso em função daquilo que você está fazendo. Você está fazendo o melhor que pode em função daquilo que eu estou fazendo.
Pindyck & Rubinfeld (2005) apresentam um exemplo de um jogo que pode ocorrer em uma indústria. Eles nos apresentam esse jogo com o nome de “O problema da escolha do produto”. Vejamos o seguinte exemplo:
Duas empresas produtoras de cereais matinais defrontam-se com o mercado na qual duas novas variedades de cereais poderão ser lançadas com sucesso, desde que cada variedade seja promovida apenas por uma empresa. Há mercado para um novo cereal “crocante” e para um novo cereal “açucarado”, mas cada uma das empresas dispõe de recursos para lançar apenas um produto novo. Portanto, a matriz de payoff para as duas empresas pode ser a seguinte:
Duas empresas produtoras de cereais matinais defrontam-se com o mercado na qual duas novas variedades de cereais poderão ser lançadas com sucesso, desde que cada variedade seja promovida apenas por uma empresa. Há mercado para um novo cereal “crocante” e para um novo cereal “açucarado”, mas cada uma das empresas dispõe de recursos para lançar apenas um produto novo. Portanto, a matriz de payoff para as duas empresas pode ser semelhante a da tabela acima.
Nesse jogo, para ambas as empresas é indiferente qual o produto que fabricará desde que não lance o mesmo que sua concorrente. Se fosse possível fazer uma coordenação, as empresas provavelmente concordariam em dividir o mercado. Mas o que poderá ocorrer se precisarem se comportar de forma não-cooperativa? 
O conjunto de estratégia contido no canto inferior esquerdo e no canto superior direito da matriz de payoff é estável e se constitui em um equilíbrio de Nash.
Exemplo da Praia – Colocando um pouco mais o Equilíbrio de Nash em pratica no que acontece na vida real, observa-se agora mais um exemplo de Pindyck & Rubinfeld (2005) com o jogo de localização na praia:
Suponha que você (V) e um concorrente (C) estejam planejando vender refrigerantes em uma praia neste verão. A praia tem duzentos metros de comprimento e os banhistas estão espalhados igualmente ao longo dela. Você e seu concorrente vendem os mesmos refrigerantes ao mesmo preço, de modo que os clientes vão optarpelo vendedor que estiver mais perto. Onde você se posicionará na praia e onde você supõe que seu concorrente se posicionará?
O dilema dos prisioneiros – Dois prisioneiros são acusados de terem cooperado durante um crime. Estão incomunicáveis em celas diferentes. Foi solicitada a confissão do crime a cada um. Se confessarem, ambos serão condenados a cinco anos de prisão. Se um deles confessar e o outro não, aquele que confessou terá a pena reduzida para um ano e o outro será condenado a dez. Se nenhum confessar, ambos poderão apelar e reduzir as penas de cinco para dois anos de prisão. Se você fosse um dos prisioneiros, qual seria sua opção: confessar ou não confessar? (PINDYCK & RUBINFELD, 2005, p. 414)