Teoria Eletromagnética

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TEORIA ELETROMAGNÉTICA I
Prof: Marcus Vinícius Oliveira Braga
Ementa:
• Análise vetorial. 
• Cálculo vetorial.
• Eletrostática. (Lei de Coulomb e Intensidade de Campo
Elétrico; Densidade de Fluxo Elétrico; Lei de Gauss e
Divergência; Energia e Potencial; Condutores e Dielétricos;
Capacitância; Campo Magnético Estacionário.)
• Carga horária 60h
Referencial Bibliográfico 
• Hayt Jr, William H. / Buck, John A.
Eletromagnetismo - 8ª Ed. 2017 Amgh Editora
• Sadiku,Matthew N. O. Elementos de
Eletromagnetismo - 5ª Ed. 2012 Bookman
CRONOGRAMA DE AULA
28/jul AULA 1 Análise Vetorial 
04/ago AULA 2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
11/ago AULA 3 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
18/ago AULA 4 Densidade de Fluxo Elétrico
25/ago AULA 5 Lei de Gauss
01/set AULA 6 Divergência
08/set AULA 7 REVISÃO P/ PROVA
15/set PROVA N1
22/set AULA 8 Energia e Potencial
29/set AULA 9 Energia e Potencial
06/out AULA 10 Condutores e Dielétricos
13/out AULA 11 Capacitância
20/out AULA 12 Capacitância
27/out AULA 13 Campo Magnético Estacionário
03/nov AULA 14 Campo Magnético Estacionário
17/nov AULA 15 Campo Magnético Estacionário
24/nov AULA 16 REVISÃO P/ PROVA
01/dez PROVA N2
08/dez ENTREGA DE NOTAS
15/dez REPOSITIVA
Análise Vetorial
• Grandeza Escalar: O termo escalar se refere a uma
grandeza cujo valor pode ser representado por um
único número real. Exemplo: massa, densidade
pressão, volume, resistividade volumétrica e tensão
elétrica.
• Grandeza Vetorial: Uma grandeza vetorial possui
intensidade, direção e sentido no espaço. Exemplo:
força, velocidade, aceleração.
Operações com Vetores
• Adição de Vetores:
i) Comutativa A+B=B+A
ii) Associativa A+(B+C)=(A+B)+C
• Subtração de Vetores:
A-B=A+(-B)
• Multiplicação por escalares:
A multiplicação de um vetor por um escalar
também obedece às propriedades associativa e
distributiva da álgebra:
(r+s)(A+B)=r(A+B)+s(A+B)=rA+rB+sA+sB
• A divisão de um vetor por um escalar é 
simplesmente a multiplicação do vetor pelo 
inverso do escalar. 
𝑨
𝑟
= 𝑟−1. 𝑨
Sistema de Coordenadas Retangulares
• Para descrever um vetor de forma precisa temos
que fornecer algumas informações específicas,
tais como comprimentos, direções e sentidos,
ângulos, projeções ou componentes.
• O sistema de coordenadas retangulares será um
dos métodos utilizados para descrever um vetor.
• No sistema de coordenadas cartesianas,
estabelecemos três eixos coordenados que
formam ângulos de 90º uns em relação aos
outros e os denominamos de eixos x,y,z.
Sistema de Coordenadas Retangulares
Sistema de Coordenadas Retangulares
• P(1, 2, 3)
• Q(2, -2, 1)
Sistema de Coordenadas Retangulares
• Se visualizarmos três planos que se interceptam
no ponto genérico P, cuja coordenadas são x, y e
z, podemos incrementar cada valor coordenado
de uma quantidade diferencial e obter três
planos ligeiramente deslocados que se
interceptam no ponto P’, cujas coordenadas são
x+dx, y+dy, z+dz. Os seis planos definem um
paralelepípedo retangular, cujo volume é
dv=dxdydz.
Sistema de Coordenadas Retangulares
• As superfícies possuem áreas diferenciais dS
iguais a dxdy, dydz e dxdz.
• A distância dL de P a P’ é a diagonal do para
paralelepípedo e tem comprimento de
(𝑑𝑥)2+(𝑑𝑦)2+(𝑑𝑧)2
Componentes Vetoriais
• Para descreve um vetor no sistema de
coordenadas cartesianas retangulares
(partindo da origem), deve-se representa-o a
partir de uma soma dos três componentes
vetoriais do vetor.
• Exemplo: r=x+y+z
Vetores Unitários
• Os componentes vetoriais possuem intensidade
que dependem do vetor dado, mas cada um
possui direção e sentido constantes e conhecidos.
• Tal fato sugere o uso de vetores unitários, que
possuem, por definição, intensidade igual a um
além de direção e sentido coincidentes com os
dos eixos coordenados.
• O vetor unitário e representado pelo símbolo
ax+ay+az
Vetores Unitários
• Exemplo: Os vetores rP e rQ apontam da
origem para os pontos P(1, 2, 3) e Q(2, -2, 1)
são escritos como rP=ax+2ay+3az e rQ=2ax-
2ay+az. O vetor de P para Q pode ser obtido
pela aplicação de regra de adição vetorial.
• RPQ= rQ-rP= (2-1)ax+(-2-2)ay+(1-3)az= ax-4ay-2az
Intensidade Vetorial
• Escrita como |B| ou simplesmente B, é dada por:
• Um vetor unitário na direção e sentido do 
vetor B é
• Exemplo: Especifique o vetor unitário que
parte da origem em direção ao ponto G(2,-2,-
1).
G= 2ax-2ay-az
𝐆 = 𝟐𝟐 + −𝟐 𝟐 + −𝟏 𝟐 = 𝟑
𝐚𝐆 =
𝐆
|𝐆|
=
𝟐
𝟑
𝐚𝐱 −
𝟐
𝟑
𝐚𝐲 −
𝟏
𝟑
𝐚𝐳 =
Dados os pontos M(-1,2,1), N(3,-3,0) e P(-2,-3,-
4), determine: (a)RMN; (b) RMN+RMP; (c) |rMP|; (d) 
aMP; (e) |2rP-3rN|.
Campo Vetorial
• O campo vetorial é uma função vetorial de um
vetor posição. Em geral, a intensidade, a
direção e o sentido da função mudarão de
acordo à medida que nos movermos pela com
as coordenadas do ponto em questão.
• Um campo vetorial S é expresso em
coordenadas cartesianas com 𝐒 =
125
𝑥−1 2+ 𝑦−2 2+ 𝑧+1 2
𝑥 − 1 2𝑎𝑥 + 𝑦 − 2 𝑎𝑦 + 𝑧 + 1 𝑎𝑧 . (a) Avalie
S em P(2,4,3). (b) Determine um vetor unitário
que forneça a direção e o sentido de
S em P. (c) Especifique a superfície f(x, y, z),
onde |S|=1.
Produto Escalar
• Dados dois vetores A e B, o produto escalar é
definido como o produto da intensidade de A
pela intensidade de B e pelo cosseno do
menor ângulo entre eles,
• O resultado de um produto escalar é também
um escalar, e obedece à propriedade
comutativa,
• Sabendo que o produto escalar obedece à propriedade 
distributiva temos,
• 𝐴. 𝐵 = 𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 . 𝐵𝑥𝑎𝑥 + 𝐵𝑦𝑎𝑦 + 𝐵𝑧𝑎𝑧 =
• 𝐴𝑥𝑎𝑥 . 𝐵𝑥 𝑎𝑥 + 𝐴𝑥𝑎𝑥 . 𝐵𝑦 𝑎𝑦 + 𝐴𝑥𝑎𝑥 . 𝐵𝑧 𝑎𝑧 +
𝐴𝑦𝑎𝑦 . 𝐵𝑥 𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦. 𝐵𝑦 𝑎𝑦 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 . 𝐵𝑧 𝑎𝑧 +
𝐴𝑧𝑎𝑧. 𝐵𝑥 𝑎𝑥 + 𝐴𝑧𝑎𝑧. 𝐵𝑦 𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧. 𝐵𝑧 𝑎𝑧
• Uma vez que o ângulo entre dois vetores unitários 
diferentes no sistema de coordenadas é 90º, temos,
• 𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 = 𝑎𝑦 . 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 . 𝑎𝑧 = 𝑎𝑧𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 . 𝑎𝑧 = 𝑎𝑧𝑎𝑦 = 0
• Os três termos restantes envolvem o produto
escalar de um vetor unitário por ele mesmo,
que é igual à unidade, resultando finalmente
em
• O produto escalar de um vetor por ele mesmo
resulta no quadrado da sua intensidade, ou
• Para obter o componente escalar de B na
direção especificada pelo vetor unitário a
aplica-se a seguinte expressão:
• B.a= |B||a|cosϴBa=|B|cosϴBa
• Exemplo: Consideremos um campo vetorial
G=yax-2,5xay+3az e o ponto Q(4,5,2). Deseja-se
encontrar: G em Q; o componente escalar de
G em Q na direção de aN= 1/3(2ax+ay-2az); o
componente vetorial de G em Q na direção de
aN; e finalmente, o ângulo ϴGa entre G(rQ) e aN.
• Os três vértices de um triângulo são
localizados em A(6,-1,2), B(-2,3,-4) e C(-3,1,5).
Encontre: (a) RAB; (b) RAC; (c) o ângulo ϴBAC no
vértice A.
Produto Vetorial
• O resultado do produto vetorial AxB é um
vetor. A intensidade de AxB é igual ao produto
das intensidades de A, de B e do seno do
menor ângulo entre A e B. A direção AxB é
perpendicular ao plano que contém A e
B, e o sentido é aquele relacionado ao avanço
de um para fuso dextrogiro que é girado de A
para B.
• Ao inverter a ordem dos vetores A e B,
teremos um vetor unitário na mesma direção
mas em sentindo oposto, logo o produto
vetorial não é comutativo (BxA)=-(AxB).
• Ao se utilizar componentes cartesianos para
os dois vetores A e B e expandir o produto
vetorial como uma soma de nove produtos
vetoriais mais simples, cada um envolvendo
dois vetores unitários,
• 𝐀x𝐁 = 𝐴𝑥𝐵𝑥𝑎𝑥x𝑎𝑥 + 𝐴𝑥𝐵𝑦𝑎𝑥x𝑎𝑦 + 𝐴𝑥𝐵𝑧𝑎𝑥x𝑎𝑧 +
𝐴𝑦𝐵𝑥𝑎𝑦x𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦𝑎𝑦x𝑎𝑦 + 𝐴𝑦𝐵𝑧𝑎𝑦x𝑎𝑧 +
𝐴𝑧𝐵𝑥𝑎𝑧x𝑎𝑥 + 𝐴𝑧𝐵𝑦𝑎𝑧x𝑎𝑦+ 𝐴𝑧𝐵𝑧𝑎𝑧x𝑎𝑧
• Sendo 
𝑎𝑥x𝑎𝑦 = 𝑎𝑧, 𝑎𝑦x𝑎𝑧 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑧x𝑎𝑥 = 𝑎𝑦
• 𝐀x𝐁 = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦)𝑎𝑥 + (𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧) +
(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)𝑎𝑧
Produto Vetorial
• Assim, se A= 2ax-3ay+az e B=-4ax-2ay+5az, 
temos
• Os três vértices de um triângulo estão
localizados em A(6,-1,2), B(-2,3,-4) e C(-3,1,5).
Encontre: (a) RAB x RAC; (b) a área do triângulo;
(c) o vetor unitário perpendicular ao plano ao
qual o triângulo pertence.
Coordenadas Cilíndricas Circulares
• No sistema de coordenadas cilíndricas, um
ponto P é representado pela tripla ordenada
(ρ, φ, z), em que ρ e φ são as coordenadas
polares da projeção de P no plano xy e z é a
distância orientada do plano xy ao ponto P.
Coordenadas Cilíndricas Circulares
• O vetor unitário aρ em um ponto P(ρ1, φ1, z1)
aponta radialmente para fora e é normal à
superfície cilíndrica ρ= ρ1. Ele pertence aos
planos φ= φ1 e z= z1. O vetor unitário aφ é
normal ao plano φ= φ1 , aponta no sentido
crescente de φ, pertence ao plano z=z1 e ´´e
tangente à superfície cilíndrica ρ= ρ1. O vetor
unitário az é o mesmo que o vetor unitário az
do sistema de coordenadas cartesianas.
• Um elemento de volume diferencial em
coordenadas cilíndricas pode ser obtido
aumentando-se ρ, φ e z com os incrementos
diferenciais dρ, dφ, dz. Os dois cilindros de raio ρ
e ρ+dρ, os dois planos radiais nos ângulos φ e
φ+dφ e os dois planos horizontais z e z+dz
limitam, agora, um volume pequeno que tem
formato de uma cunha truncada.
• As superfícies possuem áreas de ρdρdφ, dρdz e ρ
dφdz, e o volume se torna ρdρdφdz.
• As variáveis dos sistemas de coordenadas
cartesianas e cilíndricas podem ser
relacionadas umas às outras.
• Transforme o vetor B= yax-xay+zaz para
coordenadas cilíndricas.
• Resp. B=-ρaφ+zaz
Sistema de Coordenadas Esféricas
• Devemos considerar qualquer ponto como a 
interseção entre três superfícies mutuamente 
perpendiculares – uma esfera, um cone e um 
plano.
Superfícies mutuamente perpendiculares 
do sistemas de coordenadas esféricas
• Três vetores unitários podem ser definidos em
qualquer ponto. Cada vetor unitário é
perpendicular a uma das três superfícies
mutuamente perpendiculares e é orientado
no sentido crescente da coordenada.
Vetores unitários das coordenadas 
esféricas
• Um elemento diferencial de volume pode ser
construído em coordenadas esféricas
incrementando r, ϴ e φ de dr, dϴ e dφ.
• A distância entre duas superfícies esféricas de
raios r e r+dr é dr;
• A distância entre os dois cones cujos ângulos
gerados são ϴ e ϴ+dϴ é rdϴ;
• A distância entre os dois planos radias nos
ângulos φ e φ+dφ é rsinϴdϴ.
• As superfícies possuem áreas de rdrdϴ,
rsinϴdrdφ e r²sinϴdφ. O volume é igual
r²sinϴdrdϴdφ.
• A transformação de escalares do sistema de
coordenadas cartesianas para esféricas é
feitas da seguinte forma:
• A transformação de vetores requer a
determinação dos produtos dos vetores
unitários em coordenadas cartesianas e
esféricas.
• Exemplo: Converta o campo vetorial
G=(xy/z)ax em variáveis e componentes
esféricos.