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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia (EC&T)
Bacharelado em Ciências e Tecnologia (BC&T)
ECT1101 - Fundamentos de Matemática - 2010.1
FUNÇÕES
Lista de Exercícios
1 Noções Iniciais
1. Determine se as expressões a seguir de�nem y =
f(x). Em caso de resposta negativa, justi�que.
a) y = 2
b) y = − 3
x
+ 7
c) x = 7
d) x2 + y2 = 3
e) y = 4xy + 3
2. Determine, algebricamente, o domínio das
funções a seguir.
a) f(x) = x2 + 4
b) f(x) =
5
x− 4
c) f(x) =
3x− 1
(x + 3)(x− 1)
d) f(x) =
1
x
+
2
x− 1
e) f(x) =
x
x2 − 5x
f) f(x) =
√
9− x2
g) f(x) =
√
x2 − 8
x− 2
h) f(x) =
√
x2 − 8
(x2 + 1)(x + 1)
i) f(x) =
√
x4 − 16x2
j) f(x) = 5
√−x + 7
k) f(x) =
1 + x
3
√
9− x2
l) f(x) =
√
2−√x
3. Determine, algebricamente, a imagem das
funções a seguir.
a) f(x) = 10− x2
b) f(x) = 5 +
√
4− x
c) f(x) =
x2
1− x2
d) f(x) =
3 + x2
4− x2
e) f(x) =
1
x
+
2
x− 1
f) f(x) =
{
1, se x < 0
−1, se x ≥ 0
4. Esboce o grá�co de cada uma das funções abaixo
e identi�que os intervalos nos quais a função é
crescente, decrescente ou constante.
a) f(x) =
∣∣x + 2
∣∣− 1
b) f(x) = 3− (x− 1)2
c) f(x) =
√
9− x2
5. Veri�que, traçando o grá�co e comprove alge-
bricamente, se as funções a seguir são pares ou
ímpares.
a) f(x) = 2x4 − 8
b) f(x) = −5x3
c) f(x) = 2x3 − 3x
d) f(x) =
3
1 + x2
e) f(x) =
1
x
f) f(x) = 7x3 − 5x2
1
2 Funções Polinomiais - Funções
de 1o e 2o Graus
1. Encontre a função de primeiro grau tal que
f(−1) = 2 e f(3) = −2.
2. Determine o número real x tal que sua metade
mais a sua terça parte é igual a -5.
3. Considere as funções de primeiro grau de�nidas
por y = ax + 5 e y = −ax + 9, com a > 0.
Determine se seus grá�cos se interceptam e, em
caso a�rmativo, determine este(s) pontos de in-
tersecção.
4. Um encomenda, para ser enviada pelos correios,
tem um custo de R$ 10,00 para um �peso� de até
1 quilograma. Para cada quilograma adicional
ou fração de quilograma, o custo aumenta 30 cen-
tavos. Detemine a função que representa o custo
de uma encomenda com peso maior ou igual a
um quilograma.
5. Paulo e Pedro recebem o mesmo salário por hora
de trabalho. Após Paulo ter trabalhado 4 horas
e Pedro 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a re-
ceber R$ 15,00 a mais que Pedro. Quanto eles
ganham por hora de trabalho?
6. Dona Maria, de 52 anos, tem dois �lhos: João
de 23 anos e Pedro de 26 anos.
a) Há quanto tempo a soma das idades dos três
era igual a 71 anos?
b) Daqui a quanto tempo a soma das idades
dos três será igual a 131 anos?
7. Um criador de pássaros compra, mensalmente,
ração e milho num total de 1000 kg. A ração
custo R$ 4,00 por quilograma e o milho custa R$
2,50 por quilograma. Se x representa a quanti-
dade, em quilogramas, de ração comprada, de-
termine:
a) a expressão matemática da função gasto,
g(x), em reais;
b) o gasto em um mês onde o criador comprou
700 quilogramas de milho.
8. Na Escola de Ciências e Tecnologia da UFRN,
a média parcial dos alunos em um componente
curricular é obtido multiplicando-se a nota da
primeira avaliação por 4 e a nota da segunda
avaliação por 5 e dividindo-se o resultado obtido
por 9. Se esta média for maior ou igual a 7,0, o
aluno é dispensado da avaliação �nal. Sabendo
que um aluno tirou nota 5,5 na primeira avali-
ação, quanto ele precisará tirar na segunda para
não precisar fazer a avaliação �nal?
9. De um modo geral, a lei que rege as transações
comerciais é V = C + L, onde: V é o preço de
venda do produto; C é o custo do produto; e L é o
lucro obtido na transação. Para produzir um ob-
jeto, uma �rma gasta R$ 1,20 por unidade. Além
disso, há uma despesa �xa de R$ 4.000,00, in-
dependente da quantidade produzida. Sabendo
que o preço �nal de venda do objeto é de R$
2,00 por unidade, determine o número mínimo
de unidades que deve ser produzido para que a
empresa comece a ter lucro.
10. As tarifas aplicadas por duas agências de locação
de automóveis, para um mesmo veículo, são:
Agência A Agência B
R$ 144,00 por dia R$ 141,00 por dia
R$ 1,675 por km rodado R$ 1,70 por km rodado
a) Para um percurso diário de 110 quilômet-
ros, qual agência oferece o menor preço?
b) Seja x o número de km percorridos durante
um dia. Determine o intervalo de variação
de x de modo que seja mais vantajosa a
locação de um carro na agência A do que
na agência B.
11. Determine as raízes reais de cada uma das
funções quadráticas dadas:
a) f(x) = x2 − 3x + 2
b) f(x) = 3x2 − 7x + 2
c) f(x) = −x2 − 3
2
x + 1
d) f(x) = x2 − 2x
e) f(x) = −3x2 + 6
f) f(x) = x2 + (1−√3)x−√3
g) f(x) = x2 − 4
√
3 + 12
12. Determine os valores de m, com m ∈ R, de modo
que a a função f(x) seja uma função de segundo
grau.
a) f(x) = (m− 1)x2 + 2x− 3
b) f(x) = (m2 − 5m + 4)x2 − 4x + 5
13. Determine o valor de p para o qual a função
quadrática f(x) = x2 + (3p + 2)x + (p2 + p + 2)
tenha uma única raiz.
14. As raízes da função f(x) = x2 − 2px + 8 são
positivas e uma é o dobro da outra. Qual o valor
de p?
2
15. Determine o parâmetro m de modo que a função
f(x) = x2 + mx + (m2 −m− 12), de modo que
ela tenha uma raiz nula e outra positiva.
16. Um clube de futebol dispõe de um campo de
futebol com 100 metro de comprimento e 70 met-
ros de largura. Querendo cercar o campo, mas
deixando um espaço entre o campo e a cerca com
largura �xa, o dirigente do clube pediu a um fun-
cionário para determinar a área total cercada em
termos da largura desta pista. Determine:
a) a expressão para esta área em termo da
largura da cerca;
b) a área cercada se a largura da cerca for de
4,5 metros.
17. Num terreno, que tem a forma de um triângulo
retângulo com catetos de medidas 20 e 30 met-
ros, deseja-se contruir uma casa retangular de
dimensões x e y (com o segmento y paralelo ao
menor dos catetos). Detemine:
a) a expressão de y em função de x;
b) a área da casa, A, como função de x;
c) a área da casa, A, como função de y;
3 Função Modular
1. Determine o valor de x nas expressões a seguir:
a) x =
∣∣√2− 1
∣∣
b) x =
∣∣2−
√
5
∣∣
c) x =
∣∣3
√
2− 4
√
3
∣∣
d) x =
∣∣√3− 1
∣∣− ∣∣1−
√
3
∣∣
c) x =
∣∣∣
√
2− ∣∣1−
√
2
∣∣
∣∣∣
2. Simpli�que a expressão y = 1 +
|x− 2|
x− 2
3. Determine o domínio das funções reais a seguir:
a) f(x) =
√
|5− 3x| − 9
b) f(x) =
x− 3√
|x− 4|
c) f(x) =
|x− 5|√
1− |x|
d) f(x) =
x2 − 3x− 9
|2x + 1| − 3
4. Escreva as funções modulares a seguir em termos
de funções de�nidas em dois intervalos e deter-
mine os seus grá�cos:
a) f(x) = |5x|
b) f(x) = |2x− 3|
c) f(x) = |3x + 5|
d) f(x) = |x2 − 9|
e) f(x) = |25− x2|
f) f(x) = |x2 + 4x|
g) f(x) = |x| − 3
h) f(x) = |x|+ x
i) f(x) = |x− 3|+ (x− 2)
j) f(x) = 3x|x|
k) f(x) =
|x|
x
5. Resolva as equações modulares a seguir:
a) |x− 2| = 5
b) |2x + 5| = |x + 3|
c) |x− 5| = −2x + 3
d)
∣∣∣∣
x− 1
2x + 3
∣∣∣∣ = 4
e) |x|2 − 4|x|+ 4 = 0
4 Função Exponencial
1. Construa os grá�cos das seguintes funções expo-
nenciais:
a) f(x) = 3x
b) f(x) =
(
1
5
)x
c) f(x) = 3
x+1
2
d) f(x) = 21−x
e) f(x) = 2x − 5
2. Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 2x = 512
b) 5x =
1
625
c) 100x = 1000
d) 23x+2 = 32
e) 821−3x = 27
f) (3x)x = 98
g) (2x)x+4 = 32
h) (32x−7)3
9x+1
= (33x−1)4
i) 83x = 3
√
32x
j) 3x−1 − 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306
3
k) 23x + 23x+1 + 23x+2 + 23x+3 = 240
l) 4x − 2x − 2 = 0
m) 9x + 3x+1 = 4
n) 3x2+ 1
x2 =
81
3x+ 1
x
3. Resolva os seguintes sistemas de equações expo-
nenciais:
a)
{
4x+y = 32
3x−y =
√
3
b)
{
2x · 2y = 32
3x · 3
√
9y = 81
5 Função Logarítmica
1. Determine o valor dos logaritmos a seguir:
a) log25 0, 008
b) log 3√5
4
√
5
c) log 3√7 49
d) log 1
5√27
3
√
81
2. Detemine o valor de y nas expressões a seguir:
a) y = log 3√4
√
2 + log 3√100
6
√
0, 1− log 100
b) y = log4(log3 9) + log3(log 1000)
3. Supondo m > 0 e m 6= 1, calcule os seguintes
logaritmos:
a) logm2
3
√
m
b) log√m
1
m
4. Determine o valor de:
a) 3log3 2
b) 4log2 3
c) 16log2 5
5. Determine o valor de y nas expressões:
a) y = log4 4 + log√8 1 + 2 log 10
b) y = 32+log3 2
c) y = 54−log3 6
d) y = 81+log2 3
e) y = ln e + 2 ln 3
√
e
f) y = eln 2g) y = e1+ln 3
6. Supondo que a, b e c são reais positivos, deter-
mine:
a) log5
(
5a
bc
)
b) log
(
b2
10a
)
c) log3
(
ab2
c
)
d) log2
(
8a
b3c2
)
7. Desenvolva os logaritmos a seguir, sabendo que
a, b e c são reais positivos.
a) log2
(
b2
√
a
c
)
b) log
√
ab3
c2
c) log3
(
ab3
c
3
√
a2
)
d) log
(
4
√
a2b
3
√
10c
)
8. Sabendo x, y e b são reais positivos e, sabendo
ainda, que logb x = 2 e logb y = 3, detemine.
a) logb
(
x2y3
)
b) logb
(
4
√
x
by
)
c) log3
(
ab3
c
3
√
a2
)
d) log
(
4
√
a2b
3
√
10c
)
9. Sejam a, b e c reais positivos, determine a ex-
pressão cujo desenvolvimento logarítmico vale:
a) log2 a + log2 b− log2 c
b) 2 log a− log b− 3 log c
c) 2− log a + 3 log b− 2 log c
d) 1
3
log a− 1
2
log c− 3
2
log b
d) 2 +
1
3
log2 a− 1
6
log2 b− log2 c
10. Sabendo que log x + log y = m, determine, em
função de m, o valor de:
a) log
1
x
+ log
1
y
b) log
1
x2
+ log
1
y2
c) log x10 + log y10
4
11. Escreva na base 10 os seguintes logaritmos:
a) log2 7
b) log100 3
12. Se x e y são reais positivos e logy x = 3, qual o
valor de:
a) logx y
b) logx2 y
13. Determine o valor de y na expressão:
y = log3 2 · log4 3 · log5 4 · log6 5 · log7 6 ·
· log8 7 · log9 8 · log10 9
14. Resolva as seguintes equações:
a) 3x = 5
b) 4x = 19
c)
(
3
2
)x
= 2
d) 4x+1 = 5
e) 52x+3 = 50
f) 4x = 5 · 32x+3
g) 43x−1 = 3x+2
h) 4x + 3 · 4x+2 = 5x
i) log4(3x + 2) = log4(2x + 5)
j) log2(5x2 − 14x + 1) = log2(4x2 − 4x− 20)
k) log 1
3
(5x− 4) = log 1
3
6
l) logx(4x− 3) = logx(2x + 1)
m) logx(6x− 5) = logx(2x− 1)
n) logx+5(3x2 − 5x− 8) = logx+5(2x2 − 3x)
o) logx(3x2 − 13x + 15) = 2
p) logx−2(2x2 − 11x + 16) = 2
q) log2(x− 3) + log2(x + 3) = 4
r) 2 log x = log 2 + log(x + 4)
15. Resolva o seguinte sistema de equações:
{
x + y = 6
log2 x + log2 y = log2 8
16. A população de Natal é de 800.000 habitantes e
cresce a uma taxa de 3, 75% ao ano. Quando,
aproximadamente, a população chegará a 1 mil-
hão de pessoas?
17. A meia-vida do fósforo-32 é de cerca de 14 dias.
Inicialmente a cerca de 8 gramas presentes.
a) Expresse a quantidade de fósforo-32 re-
manescente em função do tempo t.
b) Quando restará apenas 1 grama?
18. Determine quanto tempo é necessário para trip-
licar o valor de um investimento com taxa de
juros de 5, 5% composta diariamente.
19. Suponha que em um ano o número de casos
de uma doença seja reduzido em 20%. Se
existe 10.000 casos hoje, quantos anos serão
necessários:
a) para reduzir o número de casos para 1000?
b) para eliminar a doença, isto é, para reduzir
o número de casos a menos de 1?
20. Para cada função f (x) abaixo determine f−1 (x)
(função inversa) identi�cando seus respectivos
domínio e imagem:
a) f (x) = x5
b) f (x) = x2 + 1 para x ≤ 0
c) f (x) =
1
x2
para x > 0
d) f (x) =
1
2
x− 7
2
e) f (x) = x2 − 3x + 2 para x ≥ 3
2
6 Função Composta
1. Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas
para as funções (f + g)(x), (f − g)(x), (fg)(x),
(f/g)(x) e (f ◦ g)(x).
a) f(x) = x2 e g(x) =
√
x + 1
b) f(x) = (x− 1)2 e g(x) = 7x− 4
c) f(x) =
√
x + 5 e g(x) =
1
x
d) f(x) =
√
x + 1 e g(x) = |x− 1|
e) f(x) = x3 e g(x) = 3
√
1− x3
2. Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, deter-
mine (f ◦ g)(x), (g ◦f)(x), (f ◦f)(x) e (g ◦ g)(x).
a) f(x) = x2 + 3 e g(x) =
√
x + 1
b) f(x) = 3x + 2 e g(x) = x− 2
c) f(x) = x2 − 1 e g(x) =
1
x− 1
d) f(x) =
1
x− 1
e g(x) =
√
x
e) f(x) =
1
4x
e g(x) =
1
5x
5
3. Dadas as funções a seguir, determine f(x) e g(x)
de modo que as funções possam ser escritas como
y = f(g(x)). [Lembrete: Podem existir mais de
uma maneira de decomposição das funções.]
a) y =
√
x2 − 5x
b) y = (x3 + 1)3
c) y = |3x− 4|
d) y =
1
x3 − 5x + 3
e) y = (x + 2)3 + 1
7 Trigonometria e Funções
Trigonométricas
1. Exprima em radianos os seguintes ângulos:
a) 60o
b) 15o
c) 75o
d) 240o
e) 45o
2. Exprima em graus os seguintes ângulos:
a) π
4
rad
b) 2π
3
rad
c) π
6
rad
d) 5π
6
rad
3. Determine o comprimento do arco ÄAB de�nido
em uma circunferência de raio igual a 10 cm e
que subtende um ângulo central AB = 2 rad.
4. Duas polias, de tamanhos diferentes, estão lig-
adas por uma correia comum e inextensivel.
Sabendo que o raio da polia maios é de 5 cm
e da polia menor é de 2 cm, detemine o quanto
deve girar :
a) a polia maior para que a menor dê uma
volta completa;
b) a polia menor para que a maior dê uma
volta completa.
5. Determine, quando possível, o valor de seno,
cosseno, tangente, secante, cossecante e cotan-
gente dos seguintes ângulos:
a) π
2
b) π
c) π
6
d) 5π
6
e) 120o
f) 210o
g) 150o
6. Determine o valor de y dado pelas seguintes ex-
pressões:
a) y = sen140o − sen40o
b) y =
senπ
4 · sen 2π
3
sen 7π
6 · sen 5π
3
c) y =
senπ
3 − 2 · senπ
6
sen 3π
2 − 3 · senπ
2
d) y =
cos(−π) · sen (−π
2
)
sen 5π
2 · cos 8π
5
e) y =
tgπ
3 · tg 3π
4 − tg0
tg
(−π
3
) · tg (− 5π
6
)
f) y =
tg2π − sen2π + cos π
senπ + cos 2π − tgπ
g) y =
tg2π − sen2π + cos π
senπ + cos 2π − tgπ
7. Determine os valores reais de m para os quais
podemos ter:
a) senx =
2−m
3
b) cosx =
2m− 3
4
8. Sendo x um arco do 2o quadrante, qual o sinal
da expressão y =
tgx · cotg(x + π
2 )
cotgx · cotg(x + π)
?
9. Sendo x um arco do 3o quadrante, qual o sinal
da expressão y =
senx · cosx · secx
tgx · sec(x + π)
?
10. Sabendo que 2senx + 5 cos x = 0 e que π
2
< x <
π, obtenha senx e cosx.
11. Encontre os valores de x para os quais:
a) senx = cos x
b) cos2 x = 1
c) cos2 x− sen2x = 0
12. Simpli�que a expressão:
y =
sec x− cossecx
1− cotgx
6
13. Veri�que se as seguintes identidades
trigonométricas são verdadeiras.
a) senx · sec x = tgx
b) (1− cosx)(1 + cos x) = sen2x
c) cotgx + senx
1+cos x = cossecx
c) tga+tgb
cotga+cotgb
= tga · tgb
14. Usando relações trigonométricas, determine o
valor de y nas expressões abaixo:
(a) y = tg2x + tg4x
(b) y =
cos2x
1− senx
(c) y =
1− sen2x
cotgx · senx
15. Determine:
(a) y = arccos
(
−
√
2
2
)
(b) y = arccos (−1)
(c) y = arccos (−1) + arccos
(
1
2
)
(d) y = arccos (−1)− arccos
(
1
2
)
+ π
∗ ∗ ∗
7