10 - Contencoes - empuxo de terra 2023-1

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Empuxo de Terra
Paulo Maia
2023-1
Definição
Empuxo de terra é o esforços resultante das camadas de solo sobre uma estrutura de contenção.
Empuxo
Tipos de empuxo
Imaginem, que no maciço de solo onde situamos o ponto P, seja feita uma escavação (H), contida por uma parede de espessura infinitesimal. Há 3 situações:
Repouso
Ativo
Passivo
Estado de repouso
Quando o maciço está na condição de repouso a relação entre as tensões vertical e horizontal efetiva é dada por:
Ko é o coeficiente de empuxo no repouso
s’v
s’h
Ponto no meio do maciço em uma profundidade h
Estado ativo
Quando se permite o deslocamento do maciço para jusante, mobiliza-se a condição ativa:
Ka é o coeficiente de empuxo ativo
Posição no repouso
Muro após o deslocamento do maciço
da
Estado passivo
Quando se provoca o deslocamento do maciço para montante, mobiliza-se a condição passiva:
Kp é o coeficiente de empuxo passivo
Posição no repouso
Muro após o deslocamento do maciço
dp
Exemplo de contenções que impõem o empuxo ativo
Exemplo de contenções que impõem o empuxo passivo
Exemplo de contenções que impõem o empuxo ativo e passivo
Coeficiente de empuxo no repouso
A determinação de ko pode ser feita da seguinte forma:
Pela teoria da elasticidade
Por procedimentos experimentais no campo 
Correlações empíricas
Pela teoria da elasticidade
Utilizando as equações de equilíbrio, as equações de compatibilidade de as relações constitutivas, temos:
No repouso a deformação horizontal é igual a zero, ou seja ex = ey = 0, assim:
Sabe-se que o valor do coeficiente de Poisson dos solos varia entre 0,25 e 0,45. Assim, pela teoria da elasticidade, o valor de ko varia entre 0,33 e 0,82. Isso não é observado em todos os casos da prática.
Determinação experimental
In situ:
Por pressurização do maciço:
Pressiometros (pressiômetro Ménard; dilatometro marchetti) – solos
Fraturamento Hidráulico – rocha e solos argilosos com baixa permeabilidade
Macaco Plano (Flat Jack) – rocha
Por sobrefuraçao:
USBM Overcoring Torpedo – rocha
CSIRO Overcoring Gauge – rocha
Os processos de experimentais de campos podem provocar a perturbação do terreno durante a fase de instalação da instrumentação
Laboratório
Adensamento
Triaxial com volume constante
Os processos de amostragem pode provocar tanto o amolgamento quando a modificação do estado de tensões da amostra
Frazer (1957): Ko= 0,9(1- senø’)
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Kezdi (1962): Ko= (1- senø’)2/ (1+ senø’)
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Wrath (1975)
 para solos P.A. (1<OCR<5) 
 Ko= OCR. kN.A. - v´/1-v’ (OCR -1) , onde v’= 0,23+0,003 Ip
Correlações empíricas
Valores típicos de ko
Para solo com elevados níveis de pré-adensamento o valor de ko pode ser superior a 1
Lemos Machado S (1997)
Estados ativo e passivo
Considera um ponto P no maciço indeformado homogêneo localizado a uma profundidade h sem presença de água.
s’vo
s’ho
Ponto no meio do maciço em uma profundidade h
A representação do estado de tensões no ponto P pode ser feito através do círculo de Mohr. 
s’vo
s’ho
s’n
t
Considere a condição de ruptura definida pelo envoltória de Mohr-Coulomb e um elemento de solo na condição inicial de tensões
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
Permitindo o deslocamento do anteparo para jusante (expansão lateral do solo),a tensão horizontal decresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura. 
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Permitindo o deslocamento do anteparo para jusante (expansão lateral do solo),a tensão horizontal decresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura. 
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Permitindo o deslocamento do anteparo para jusante (expansão lateral do solo),a tensão horizontal decresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura. 
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’ha
s’h
Considere novamente a condição de ruptura definida pelo envoltória de Mohr-Coulomb e um elemento de solo na condição inicial de tensões
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’ha
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
= s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’h
s’h
Provocando o deslocamento do anteparo para montante (compressão lateral do solo), a tensão horizontal cresce. Considerando que a tensão vertical permanece aproximadamente constante, ocorrerá uma condição de tensões correspondente a ruptura.
s’vo
s’ho
t
= c’+sn tan f’
s’n
s’hp
s’h
Teoria de Rankine
para cálculo do empuxo de terra (1857)
Nasceu: 2 Julho 1820 em Edinburgh, Escócia Morreu: 24 Dezembro 1872 em Glasgow, Escócia 
Empuxo Ativo de Rankine
Considerando o paramento rígido indeformável e admitindo que não há atrito entre o solo e o paramento, ao se retirar o solo a esquerda da parede deverá ocorre a modificação do estado de tensões da seguinte maneira:
s’v = s’vo = s’1
s’h < s’ho
s’h = s’3
Se o deslocamento aumenta até a ruptura do solo, tem-se em termos de diagrama de Mohr:
= c’+sn tan f’
s’vo
s’ho
t
s’n
s’ha
s’h
Trajetória ko
Trajetória de tensões efetiva durante o des-confinamento lateral
r
f'
Na ruptura tem-se:
Desenvolvendo-se as equações acima, obtem-se
O Ka é o coeficiente de empuxo ativo
Assim, a superfície de ruptura no caso ativo é inclinada com a horizontal de:
Empuxo Passivo de Rankine
Considerando o paramento rígido indeformável e admitindo que não há atrito entre o solo e o paramento, ao se provocar o deslocamento do solo para a direita da parede, deverá ocorre a modificação do estado de tensõesda seguinte maneira:
s’v = s’vo 
s’h > s’ho
s’h = s’1
s’v = s’3
s’h
= c’+sn tan f’
s’vo
s’ho
t
s’n
s’ha
Trajetória ko
Trajetória de tensões efetiva durante o des-confinamento lateral
r
f'
Se o deslocamento aumenta até a ruptura do solo, tem-se em termos de diagrama de Mohr:
Analogamente, pode-se demonstrar neste caso:
Onde kp é o Coeficiente de empuxo passivo
Assim, , e para o mesmo solo:
			 Ka<ko<kp 
Assim, a superfície de ruptura no caso ativo é inclinada com a horizontal de:
 No caso do solo ter permeabilidade baixa (argila) e o movimento da parede ser rápido (carregamento não-drenado), tem-se:
Neste caso utiliza-se o conceito Ø(tetas) = 0 e o valor da resistência não-drenada Su. Assim, no caso não-drenado, kA= kp= 1
Perloff & 
Baron - 1976
Considerando a variação da tensão horizontal em lados opostos do paramento que se desloca para a direita
Concluir que a deformações necessárias para se atingir o estado Passivo é maior que a deformação necessária para se atingir o Estado Ativo.
 
B
A
Hipóteses dos estados ativo e passivo de Rankine
solo isotrópico e homogêneo
superfície do terreno é regular e plana
as tensões vertical e horizontal são tensões principais
não há atrito o solo e o muro
ocorre a plastificação de toda a massa de solo da cunha de ruptura ABC
trata-se de um problema de deformação plana
Implicações práticas da teoria
a direção dos empuxos ativo e passivo é sempre paralela à inclinação do terreno (depende do atrito solo-muro)
a distribuição das tensões de empuxo é triangular
a solução de Rankine é exata nos casos onde
o atrito solo/parede é desprezível
o retroateno é horizontal
a face da parede em contado c/ o solo é vertical
teoria simples e muito utilizado p/ solos não-coesives
Determinação do empuxo de terra pela teoria de Rankine
Empuxo passivo
φ ≠ 0, c = 0
φ = 0, c ≠ 0
φ ≠ 0, c ≠ 0 
Empuxo ativo
φ ≠ 0, c = 0
φ = 0, c ≠ 0
φ ≠ 0, c ≠ 0 
Ativo: φ ≠ 0, c = 0
Ativo: φ = 0, c ≠ 0
Ativo: φ ≠ 0, c ≠ 0 
Empuxo ativo de solos coesivos
Atensão horizontal ativa é:
 
O empuxo ativo é:
Trinca de tração
No caso de solos com c’≠0 a teoria da Rankine prevê s’h <0 (tração) a baixas profundidades. Como o solo não resiste a tração, abre-se uma trinca. A trinca de tração ocorre no caso ativo e a profundidade de propagação das trincas de tração pode ser obtida por: 
Isto é comum em projetos de estruturas de arrimo. Todavia, na análise da estabilidade, despreza-se a resistência do solo na região da trinca. Assim, trabalha-se apenas com o trecho positivo do diagrama de s’h.
Alguns projetistas admitem a trinca cheia d’água (época de chuvas). Isto provoca em fator instabilizante adicional para a estrutura. Por exemplo:
Formas de cálculo para o empuxo ativo em solos coesivos:
Diagrama de pressões laterais considerando a região de tração;
Diagrama de pressões laterais considerando a trinca cheia d’água;
Diagrama de pressões laterais correspondente a um solo granular, despregando a região de tração;
Diagrama de pressões laterais com ângulo de atrito equivalente 
Passivo: φ ≠ 0, c = 0
Passivo: φ = 0, c ≠ 0 
Passivo: φ ≠ 0, c ≠ 0
Empuxo ativo de solos não-coesivos secos com sobrecarga infinita(q): gera acréscimo de tensão constante ao longo da profundidade
Outros tipos de carregamentos: em geral utilizam-se soluções da teoria da Elasticidade para a obtenção da distribuição de sh e calcular o empuxo adicional devido a sobrecarga
Sobrecarga pontual
Sobrecarga em linha
Sobrecarga em linha corrida
Abordagem simplificada para carregamento localizados (Molitermo, 1980) 
Empuxo ativo de solos não-coesivos parcialmente submersos
Seja um muro vertical liso, o terreno é horizontal e o maciço apresenta N.A em cota situada entre a superfície do terreno e a base do muro.
N.A. paralelo à sup. do terreno
Condições hidrostáticas → Não há fluxo
Efeito da capilaridade nula (hc = o)
Peso específico dado
 por: (solo)
Empuxo passivo no pé do muro
Meio estratificado
Empuxo em retroaterro inclinado 
Valores do coeficiente de empuxo ativo para diferentes valores de b
Valores do coeficiente de empuxo passivo para diferentes valores de b
Teoria de Coulomb
para cálculo do empuxo de terra (1776)
Nasceu: 14 Junho 1736 em Angoulême, França Morreu: 23 Agosto 1806 em Paris, França 
A teoria de Coulomb
Consiste na determinação de Empuxo Ativo ou Passivo através do estudo do equilíbrio da cunha de ruptura formada pela superfície do terreno, pela superfície de ruptura e pela estrutura de contenção. Assim:
Hipóteses da Teoria de Coulomb
O solo é isotrópico e homogênio
A Superfície do retroaterro é regular e plana
A Superfície de ruptura é plana (ø) 
Ocorre a plastificação dos pontos correspondentes à superfície de ruptura
Existe atrito entre o solo e o muro
O problema é de deformação plana
Vantagens e Desvantagens
Vantagens
Permite a consideração do atrito entre o muro e o solo
Permite que a superfície do terreno tenha inclinação ou forma (Linear) 	qualquer e que haja carregamento externo sobre ele.
Admite maior flexibilidade no trato da presença d’água no terreno (pressão 	nos poros)
Desvantagens 
Não fornece a distribuição de pressões sobre a estrutura do arrimo. Esta é, em geral, admitida, aproximadamente, como tendo forma triangular (ou trapezoidal) 
O ponto de aplicação do empuxo é obtido de maneira aproximada.
Não se conhece a posição da superfície de ruptura, sendo det6erminada por tentativa
Empuxo ativo
Wi..... Peso da cunha ABC;
Qi..... Ressultante das forças externas sobre o trecho BC
Ci..... Ressultante das forças por coesão em AC = e’ ℓAC
Ni..... Força normal efetiva em AC;
Ui..... Ressulante do diagrama de pressões nos poros em AC
Ti..... Ressultante das forças de atrito efetivas em 
AC = Ni’ tg ø’
Ei.... Empuxo total para o caso ativo ou passivo para a cunha ABC
δ..... Ângulo de atrito entre a face interna do muro e o solo.
Seja, num caso geral, a condição apresentada abaixo:
Do equilíbrio das forças na horizontal e na vertical:
Σ Fh = 0 => Ei cos (δ + 90° - α) + Ci + cos ρi +Ti cos ρi = 
 = (N’i + Ui)) sen ρi
Σ Fv= 0 => Ei sen (δ + 90° - α) + Ci sen ρi + Ti sem ρi =
 (N’i + Ui) cos ρi + Qi + Wi
onde, Ti = Ni’ tan ø’
Substituindo e desenvolvendo, obtem- se:
Ei= Qi + Wi + Ui A - Ci B
 C 
O procedimento consiste em obter o valor de Ei para diferentes valores de ri , obtendo-se assim, pares de valores (ri, Ei). Com estes pares pode-se construir o grafico Ei vs. ri:
Empuxo passivo
Analogamente obtém-se:
Procedendo-se de modo análogo ao explicado para o caso ativo constroe-se o gráfico ri x Ei:
Casos particulares
Para o tipo de terrapleno apresentado nas figuras, anteriores as expressões apresentadas se simplificam em casos particulares. Por exemplo, se:
Q=0; U=0; c’=0
Pode-se demonstrar que:
Caso ativo:
 
 
Caso passivo:
-
Empuxo ativo máximo
Empuxo passivo mínimo
Para b = d = 0 o empuxo de Coulomb é igual ao empuxo de Rankine
Determinação do ponto de aplicação do empuxo
Existem 3 casos:
Sem carga concentrada
Carga concentrada ou em linha na cunha de ruptura
Carga concentrada fora da cunha de ruptura
Coeficiente de empuxo segundo a teoria da plasticidade (Rosenfarb e Chen, 1972)
Solos coesivos
Coeficiente de empuxo segundo a teoria da plasticidade (Rosenfarb e Chen, 1972)
Para solos não coesivos
Para solos não coesivos
Para solos coesivos
Casos especiais
Efeito da compactação: o processo de compactação induz o pré-tensionamento horizontal
Taludes infinitos: nesse caso a superfície de ruptura é infinita e paralela a superfície do terreno
Fluxo d’água no talude de montante: a percolação de água no talude de montante gera tensões modificando o valor do empuxo
Escavações estroncadas: a distribuição de tensões não ocorre segundo a teoria de RankineMétodos Gráficos: usados quando as simplificações nas metodologias de Rankine e Coulomb não se aplicam ao problema
Efeito da compactação
Profundidade Crítica
Talude infinito – caso ativo
Talude infinito – caso passivo
Fluxo de água a montante
Considerando a presença de colchão drenante vertical
Polígono de forças considerando o fluxo de água 
Considerando a presença de DHPs ou colchão drenante horizontal
Escavações estroncadas
Deve-se considerar os acréscimos de pressão devido a sobrecargas e poropressões conforme descrito anteriormente. O empuxo devido ao solo é determinado da seguinte maneira:
Para escavações em areias
Para escavações em argilas
Métodos gráficos
Para o caso de terraplenes irregular, pode-se determinar o empuxo, que o solo faz sobre o muro, de forma gráfica. Existem vários métodos mas mostram normalmente resultados consistente com as teorias de Rankine e Coulomb nos casos mais comuns. Os principais são:
Culmann (1877): para solos coesivos; qualquer superfície do terreno; qualquer sobrecargas; e qualquer tipo de talude 
Cunhas (1866): Similar ao método de Culmann; usa diferente orientação do polígono de forças; vantagem de cosiderar a coesão como um parâmetro do solo
Engesser: para solos não coesivos
Método de Poncelet: para solos não coesivos e superfície plana
Círculo de atrito: Quando δ> φ/3 a curvatura da superfície de ruptura deve ser considerad. Usado para aterrapleno horizontal e solo não coesivo.
Métodos gráficos
Culmann
Cunhas
Engesser
Método de Poncelet
Círculo de atrito
Método de Culmann
Método de Culmann
Método de Culmann
Método de Culmann
Método de Culmann
Método de Culmann
Métodos gráficos
Culmann
Cunhas
Engesser
Método de Poncelet
Círculo de atrito
Método das Cunhas
Método das Cunhas
Método das Cunhas
Método das Cunhas
Método das Cunhas
Método das Cunhas
Métodos gráficos
Culmann
Cunhas
Engesser
Método de Poncelet
Círculo de atrito
Método de Engesser
Método de Engesser
Método de Engesser
Métodos gráficos
Culmann
Cunhas
Engesser
Método de Poncelet
Círculo de atrito
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Método de Poncelet
Métodos gráficos
Culmann
Cunhas
Engesser
Método de Poncelet
Círculo de atrito
Método do círculo de atrito (c’=0)
a) traçar uma reta passando por A e fazendo ângulo 45-φ/2 com a horizontal 
Método do círculo de atrito (c’=0)
b) arbitrar ponto C 
Método do círculo de atrito (c’=0)
c) pelo ponto C traçar reta fazendo ângulo 45-φ/2 até a superfície do terreno (ponto E). Calcular o empuxo passivo na cunha EDC 
Método do círculo de atrito (c’=0)
d) determinar o centro do circulo (O) passando por BC: traça-se a mediatriz de BC e traça-se uma perpendicular a reta CE, passando pelo ponto C. A interseção das retas define o ponto O. Calcular W 
Método do círculo de atrito (c’=0)
e) prolongar a direção de aplicação da força de empuxo Q até encontrar a força W (ponto M) 
Método do círculo de atrito (c’=0)
f) Neste ponto, traçar uma reta paralela a direção da resultante S 
Método do círculo de atrito (c’=0)
g) Prolongar a linha de ação de P ate encontrar a linha anterior (ponto N) 
Método do círculo de atrito (c’=0)
h) Traçar o circulo de raio= rsenφ. A resultante passa pelo ponto N e é tangente ao círculo rsenφ
Método do círculo de atrito (c’=0)
i) Repetir o processo a partir do item b) até obter o menor valor de P 
Método do círculo de atrito (c’≠0)
a) 1ª parcela: solo c=0 e γ ≠ 0 ⇒ realizar procedimento anterior e calcular empuxo Ep1
Método do círculo de atrito (c’≠0)
2ª parcela: γ =0 e c ≠ 0 ⇒ calcular empuxo Ep2, de acordo com a Figura, 
considerando E” como
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