Movimento Circular: Conceitos e Exemplos

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CINEMÁTICA 
DA 
PARTÍCULA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Movimento circular
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar variáveis e equações do movimento circular.
 � Relacionar as grandezas do movimento circular ao movimento linear.
 � Resolver problemas de contexto físico relacionados à variação angular 
(movimento circular).
Introdução
Os movimentos circulares são bastante comuns no nosso dia a dia, sendo 
observados na movimentação de brinquedos, como um carrossel em um 
parque, ou na própria translação da Terra ao redor do Sol, por exemplo. 
Quando estamos dirigindo e fazemos uma curva, a nossa movimentação 
também é circular, mesmo que parcialmente.
Neste capítulo, você vai estudar os principais conceitos do movimento 
circular e a relação entre as grandezas angulares e as grandezas lineares. 
Além disso, também vai verificar alguns exemplos e problemas sobre a 
temática.
1 Conceito
O movimento circular é aquele que acontece como uma rotação em torno de 
um eixo, com raio constante. Exemplos de movimento circular são a movi-
mentação das pessoas em uma roda gigante e a órbita de um satélite ao redor 
da Terra (Figura 1).
Figura 1. Exemplos de movimentos circulares: o movimento de uma roda gigante e a órbita 
de um satélite em torno do planeta Terra.
Fonte: ClassicVector/Shutterstock.com; robuart/Shutterstock.com. 
Para estudarmos o movimento circular, precisamos compreender alguns 
conceitos. Nesta seção, você vai estudar as coordenadas polares e angulares, 
o deslocamento angular, a velocidade angular, a frequência angular, o período, 
a aceleração angular, a aceleração centrípeta e a força centrípeta.
Coordenadas polares
Podemos dizer que, nos movimentos circulares, o corpo em questão se move 
ao longo da circunferência de um círculo. As suas coordenadas x e y variam 
com o tempo, mas a distância do centro, ou seja, o raio, permanece constante. 
Dessa maneira, o uso das coordenadas polares é indicado para analisar esses 
tipos de movimentação.
A Figura 2 ilustra os componentes necessários para entendermos as 
coordenadas polares no movimento circular. A imagem mostra o vetor posição 
r⃗ e a sua angulação θ em relação ao eixo x. Assim, podemos especificar o 
vetor posição, usando as coordenadas x e y, ou usando o seu módulo e a sua 
angulação, ou seja, a sua coordenada polar.
Movimento circular2
Figura 2. Coordenadas polares para o movimento 
circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 280).
Observando a geometria da Figura 2, podemos também encontrar a relação 
entre as coordenadas geometricamente. As coordenadas polares, r e θ, em 
relação às coordenadas cartesianas, x e y, são dadas por (BAUER; WESTFALL; 
DIAS, 2012; SAFIER, 2011):
Já as coordenadas cartesianas, em relação às polares, são dadas por 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012; SAFIER, 2011):
Como o raio permanece constante no movimento circular, podemos re-
duzir a descrição do movimento usando apenas a variação de θ, facilitando 
o problema.
3Movimento circular
A Figura 2 também ilustra os vetores unitários em relação às coordenadas 
x e y e os vetores unitários nas direções radial e tangencial ao movimento — 
ou seja, r ̂ e t ̂. A angulação entre r ̂ e x̂ também é θ (Figura 3). Assim, podemos 
encontrar relações entre os vetores unitários. Geometricamente, podemos 
escrever que:
Figura 3. Vetor unitário r ̂e a sua relação com 
o ângulo θ.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 281).
Para verificar se os vetores unitários r ̂e t ̂são perpendiculares entre si e unitários, pode-se 
utilizar o produto escalar. Para serem perpendiculares, o produto escalar entre eles 
deve resultar em zero, e, para serem unitários, o produto escalar de um vetor unitário 
com ele mesmo deve resultar em 1. Veja a seguir.
Movimento circular4
Coordenadas angulares de deslocamento angular
Como vimos anteriormente, no movimento circular, o raio permanece cons-
tante, e o que varia com o tempo é o ângulo θ. Ou seja, temos o ângulo como 
uma função do tempo θ(t). As duas unidades mais usadas para ângulos são 
radianos (rad) e grau (°). Considerando um ciclo completo, temos um ângulo 
de 360° ou 2π rad. Com essa informação, podemos encontrar a relação entre 
θ, π e rad. Assim,
ou
Temos também que:
Vale dizer que o ângulo θ pode ter valores positivos ou negativos. Porém, 
o ângulo é periódico, ou seja, após uma volta completa, o valor de θ retorna 
ao mesmo ponto.
O deslocamento angular é definido como a diferença entre os ângulos de 
dois pontos de interesse, ou seja:
∆θ = θ2 – θ1
5Movimento circular
Observe novamente a Figura 2. Nela, um arco de comprimento s é ilustrado 
com a cor verde. Esse comprimento é chamado de comprimento de arco, que 
tem uma relação entre o ângulo e o raio dada por:
s = rθ
Para um circunferência completa, temos que s = 2πr. O comprimento possui 
a mesma unidade que o raio.
Velocidade angular, frequência angular e período
A velocidade angular é definida como a variação das coordenadas angulares. 
O valor médio da velocidade angular é dado por (BAUER; WESTFALL; DIAS, 
2012; MARQUES; UETA, 2007):
À medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero, temos a velocidade 
angular instantânea, ou seja:
A unidade mais usada para a velocidade angular é rad/s.
A direção e o sentido do vetor de velocidade angular podem ser encontra-
dos por meio da regra da mão direita (Figura 4). A sua direção é dada pelo 
eixo perpendicular ao plano do círculo, e o seu sentido depende da direção 
de rotação. Se for no sentido horário, a velocidade apontará para cima, como 
mostrado na Figura 4, ou para baixo, no caso oposto. Para usar a regra da mão 
direita, basta colocar seus dedos no sentido de rotação. O polegar apontará 
para o sentido da velocidade angular. 
Movimento circular6
Figura 4. Regra da mão direita.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 284).
A frequência angular f mostra quanto varia o ângulo com o tempo — ou 
seja, quantos ciclos ocorreram por certo tempo. Ela é dada por:
A unidade mais usada para a frequência é o Hertz, onde 1 Hz = 1 s–1. Já o 
período de rotação T é dado por:
O período mede o tempo necessário para o ângulo voltar ao mesmo valor, 
ou seja, o tempo necessário para passar uma vez ao redor do círculo. Relacio-
nando essas variáveis, podemos escrever que:
7Movimento circular
O período de rotação de um satélite ao redor da Terra é de 24 horas. Qual é a sua 
frequência e a sua velocidade angular?
A frequência será dada por:
Já a velocidade angular será:
Nesta subseção, você aprendeu alguns conceitos, como velocidade an-
gular, frequência angular e período, os quais se baseiam em deslocamentos 
angulares. Embora estejamos usando velocidade angular para o estudo de 
movimentos circulares, esta possui uma relação com a velocidade linear, 
conforme descrito a seguir.
Velocidade angular e velocidade linear
Podemos encontrar a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear em 
um movimento circular. Vamos iniciar essa análise encontrando a velocidade 
linear. Primeiramente, vamos escrever o vetor posição radial em coordenadas 
cartesianas e, depois, derivar em relação ao tempo. Assim, temos que:
Movimento circular8
A distância r é constante, então, podemos escrever que:
Ou seja, podemos escrever que:
v⃗ = rωt̂
O vetor velocidade é, então, tangencial à trajetória realizada e, também, 
sempre perpendicular ao vetor posição, que aponta na direção radial (Figura 5). 
Figura 5. Velocidade linear no movimento circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 285).
Se tirarmos o módulo dos dois lados da equação, obtemos uma relação 
entre os módulos da velocidade, ou seja:
v = rω
9Movimento circular
Uma moto possui pneu com raio de 30,0 cm. Se a moto estiver andando a 20 km/h, 
qual será a velocidade angular do pneu em rad/s?
Podemos usar que:
A seguir, você vai estudar sobre a aceleração no movimento circular.
Aceleração angular e centrípeta
A aceleração angularα é dada pela taxa de variação da velocidade angular. 
O seu valor médio é definido como (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012; 
MARQUES; UETA, 2007):
O vetor de aceleração instantânea é, então, definido por:
No caso da aceleração, podemos também encontrar uma relação entre a 
aceleração angular e a linear, usando as direções tangencial e radial. Usando, 
então, o vetor velocidade encontrado anteriormente e a regra do produto da 
diferenciação (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014), escrevemos que:
Movimento circular10
Assim, o vetor aceleração possui duas componentes. A primeira é a com-
ponente tangencial, que vem da variação do valor da velocidade. A segunda 
é a componente radial, que vem do fato de que o vetor velocidade tangencial 
tem que mudar a direção ao longo da trajetória.
Vamos analisar essas componentes individualmente. Calculando a derivada 
de v em relação ao tempo, temos que:
Assim, encontramos a relação entre aceleração angular e variação da 
velocidade com o tempo.
Agora, vamos analisar a derivada do segundo termo da aceleração. Temos 
que:
Agora, podemos escrever o vetor aceleração como:
a⃗(t) = rαt̂ – vωr̂
A Figura 6 mostra a relação entre a aceleração linear e suas componentes 
com a aceleração angular. A aceleração tem, então, uma componente radial e 
outra tangencial, que dependem do valor de α. A aceleração que varia a direção 
do vetor velocidade e não altera o seu módulo é chamada de aceleração centrí-
peta ac e aponta para dentro, na direção radial. Assim, podemos escrever que:
a⃗ = att̂ + acr̂
11Movimento circular
O valor da aceleração centrípeta é, então (BAUER; WESTFALL; DIAS, 
2012; MARQUES; UETA, 2007): 
Figura 6. Relações entre aceleração linear, suas componentes e aceleração angular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 287).
Já o valor da aceleração é dado por:
Força centrípeta
A força centrípeta é aquela necessária para a aceleração centrípeta do movi-
mento circular. Ela aponta para dentro, e o seu valor é dado por:
onde m é a massa do corpo em questão.
Movimento circular12
2 Movimentos circular e linear
A partir do que foi visto na seção anterior, podemos relacionar as grandezas 
lineares às grandezas angulares do movimento circular. A Figura 7 resume 
essas relações.
Figura 7. Relações entre as grandezas lineares e angulares no movimento circular.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 294).
Um corpo em rotação tem seu deslocamento angular dado por:
com o tempo t em segundos e θ em rad. O raio é 1,0 m. Encontre a velocidade e a 
aceleração angulares e os seus correlatos lineares.
Para encontrarmos a velocidade angular, utilizamos:
A aceleração angular é dada por:
13Movimento circular
A figura a seguir mostra θ, ω e α pelo tempo.
Os equivalentes lineares são dados por:
Usando essas relações entre as grandezas lineares e angulares, podemos 
entender e resolver os diversos problemas envolvendo movimentação circular. 
A seguir, você verá alguns desses problemas.
3 Problemas envolvendo movimento circular
A partir do que foi estudado nas seções anteriores, vamos agora verificar 
alguns problemas envolvendo os conceitos de movimento circular. 
Movimento circular14
Problema 1
Os planetas no nosso sistema solar apresentam movimentos de rotação e 
translação. A trajetória da Terra ao redor do Sol é aproximadamente circular, 
com período de um ano. Encontre a sua frequência angular, a sua velocidade 
angular e a sua velocidade linear. Considere a distância entre a Terra e o Sol 
igual a 1,49 ∙ 1011 m.
O período da órbita da Terra ao redor do Sol é de um ano. Transformando 
em segundos, temos que:
A frequência é dada por:
A velocidade angular é:
Por fim, a velocidade linear é dada por:
Transformando em km/h, temos que:
Como se pode perceber, a velocidade é bastante alta.
15Movimento circular
Problema 2
Suponha que um carro de 1.800 kg esteja fazendo uma curva à esquerda com 
raio de 80 m (Figura 8). Qual é a velocidade máxima que ele pode atingir 
sem derrapar? Considere o coeficiente de atrito estático do pneu com o chão 
de μe = 1,0.
Figura 8. Carro em uma trajetória curvilínea 
de raio r para a esquerda, com velocidade v.
Fonte: Knight (2009, p. 216).
Nesse problema, enquanto o carro faz a curva, ele descreve um movimento 
circular, mesmo que não seja um ciclo completo. Assim, no que aproximada-
mente é um quarto de um círculo, podemos analisar a sua dinâmica do ponto 
de vista de um movimento circular.
A força que permite que o carro faça a curva sem derrapar é a força de 
atrito entre os pneus e o chão (Figura 9). Se ela não existisse, o carro pro-
vavelmente derraparia para a frente, por conta da inércia. Assim, a força de 
atrito estático f e⃗ empurra o pneu para dentro do círculo. Ou seja, esse atrito é 
responsável pela aceleração centrípeta do movimento circular durante a curva.
Movimento circular16
Figura 9. Força de atrito durante a curva.
Fonte: Knight (2009, p. 216).
A força de atrito estático atinge seu valor máximo, a certa velocidade 
máxima, sem que o carro derrape. Assim,
fe, max = μen
onde n é a normal. Ou seja, se o carro entrar na curva com velocidade que 
ultrapasse essa força, ele vai derrapar.
A força de atrito aponta para a direção de r. O diagrama de forças corres-
pondente é mostrado na Figura 10. Usando, então, o sistema de coordenadas 
rtz, as leis de Newton podem ser escritas como:
17Movimento circular
Figura 10. Diagrama de forças do 
veículo.
Fonte: Knight (2009, p. 216).
Da equação radial, podemos obter o módulo da velocidade. Assim, temos 
que:
Da segunda equação, temos que:
n = mg
A força de atrito será máxima quando:
fe = fe, max = μen = μemg
Assim, a velocidade máxima será:
Movimento circular18
Substituindo os valores dados no problema, obtemos que:
Transformando para km/h, temos que:
Ou seja, para não derrapar em uma curva de raio igual a 80 m, a velocidade 
máxima para fazer a curva é de 100,8 km/h.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1. 
MARQUES, G. C.; UETA, N. Mecânica (Universitário). In: E-Física. São Paulo: USP, 2007. 
Disponível em: http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario. Acesso em: 16 abr. 2020.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum)
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