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Movimento circular uniforme 
com exemplos 
Lista 01 – 5 exercícios resolvidos 
Componentes normal e paralela para aceleração 
Exemplo: 
Movimento 
Circular uniforme 
Movimento circular uniforme 
 Este movimento tem velocidade de módulo constante, 
porém sua direção muda continuamente. 
Exemplos: 
Movimento de satélites artificiais; 
Pontos de um disco de vitrola; 
Pontos de um disco rígido de computador; 
Ponteiros de um relógio; 
Nós, girando com o movimento da Terra. 
Movimento circular uniforme: 
Algumas observações: 
O vetor velocidade é tangente a uma circunferência que passa pelo ponto em que 
Se encontra o objeto. O sentido depende se a partícula se movimenta no sentido horário 
ou anti-horário 
Como o objeto não está se movendo em linha reta, a direção do vetor velocidade muda 
Constantemente, embora o módulo se mantenha constante (aceleração tangencial nula). 
Assim, o objeto está sujeito a uma aceleração centrípeta 
Como a velocidade é constante, o modulo da aceleração também é constante. (como 
observado no comprimento do vetor aceleração (não muda) 
A direção do vetor aceleração muda constantemente, o vetor está sempre apontado para o 
Centro da circunferência, e, portanto, é sempre perpendicular ao vetor velocidade. 
Disciplinas/bac007/rte/Simulações (1)/Simulacoes/Cap04/Velocidade e Aceleração/sim09.swf
Simulações (1)/Simulacoes/Cap04/Velocidade e Aceleração/sim09.swf
 Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares e 
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é: 
 A posição angular é uma função do tempo, . O arco 
descrito em dt é dado por . Então: 
Movimento circular uniforme – descrevendo 
matematicamente 
dt
d
 
Rs 
dt
d
Rv
dt
ds 

v R
f 2
)(t
 Definimos assim a velocidade angular : 
dRds 
x 

s
d
R
T
f
1


2
TFrequência e período: 

Então: 
cte
dt
d


 t  0Se : 

 
R . 
(v: velocidade tangencial) 
Movimento circular uniforme 
v
v
r
r 


t
r
r
v
t
v





t
r
r
v
t
v
a
tt 





 00
limlim
No limite t 0: 
2
2va r
r
 
(aceleração 
 instantânea) 
Aceleração média: 
 
(Triângulos 
Semelhantes) 
Da figura: 
Movimento circular uniforme 
 Aqui também podemos usar 
um vetor unitário: (note que 
este vetor varia com o 
movimento) 
A aceleração fica: 
(a aceleração tem a direção do vetor posição e 
aponta para o centro da circunferência. Esta é 
a aceleração centrípeta). 
Ou: 
𝑟 =
𝑟 
𝑟
 
𝑎 = −
𝑣2
𝑟
𝑟 
𝑎 = −𝑤2𝑟𝑟 
Exemplo 1: 
2 2306a r m s 
 Um pião roda uniformemente com frequência de 16 
Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na 
superfície do pião em r = 3 cm ? 
f 2
A velocidade angular é: 
2 rad (16 ) 101 rad/sHz  
Daí a aceleração fica: 
Exemplo 2: 
O raio da orbita da Terra em torno do Sol é igual a 1,5x108 km, e a Terra percorre essa 
orbita em 365dias. A) qual é o modulo da velocidade orbital da Terra em m/s. b) qual é a 
aceleração radial da Terra no sentido do Sol. Resp: 2.98x104m/s, 5,95x10-3m/s2 
 
𝑣 =
2𝜋𝑅
𝑇
 
𝑣 =
2𝜋. 1,5𝑥1011
365 ∗ 24 ∗ 3600
=
9,42𝑥1011
3,1536𝑥107
= 2,98𝑥104 
b) qual é a aceleração radial da Terra no 
sentido do Sol 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
2,98𝑥104 2
1,5𝑥1011
= 5,92𝑥10−3𝑚/𝑠2 
Uma roda-gigante com raio igual a 14m está girando em torno de um eixo 
horizontal passando pelo seu centro. A velocidade linear e uma passageira em 
sua periferia é igual a 7m/s. determine o módulo, a direção e o sentido da 
aceleração da passageira 
a) No ponto mais baixo do movimento circular 3,5m/s2 
b) No ponto mais alto do movimento circular 3,5m/s2 
c) Quanto tempo leva a roda-gigante para completar uma revolução 
12.56m/s 
 
Exemplo 3: 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
𝑣2
𝑅
 
No ponto mais baixo do movimento circular 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
72
14
= 3,5𝑚/𝑠2 
𝒂 = −𝟑, 𝟓𝒋 m/s2 
b) No ponto mais alto do movimento circular 
O modulo não muda, mas a direçao sim. 
𝒂 = 𝟑, 𝟓𝒋 m/s2 
Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular 
uniforme de período T = 2s e raio igual a 3m. No instante t1 sua 
aceleração é 𝑎 = (6𝑖 − 4𝑗 )m/s2. Nesse instante, é correto afirmar 
que os valores de ) 𝑣 . 𝑎 e 𝑟 𝑥𝑎 são respectivamente:? 
Exemplo 4: 
a) 1 e 1 
b) Não é possivel resolver, uma vez que não foi informada a velocidade. 
c) 0 e 0 
d) 0 e 1 
e) 1 e 0 
 
Quando uma grande estrela se torna uma supernova, o núcleo da estrela pode ser 
tão comprimido que ela se transforma em uma estrela de nêutrons, com um raio 
de carca de 20km. Se uma estrela de nêutrons completa uma revolução a cada 
segundo, 
a) Qual é o modulo da velocidade de uma partícula situada no equador da estrela 
e 
b) Qual é o modulo da aceleração centrípeta da partícula? 
c) Se a estrela de nêutrons gira mais depressa, as respostas dos itens (a) e b) 
aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas? 
Exemplo 5: 
soluçao 
Letra a) 𝑣 =
2𝜋𝑅
𝑇
 𝑣 =
2𝜋. 20
1
= 40𝜋 =
125,6𝑘𝑚
𝑠
= 𝟏, 𝟐𝟔𝒙𝟏𝟎𝟓𝒎/𝒔 
b) Qual é o modulo da aceleração centrípeta da partícula? 
 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
𝑣2
𝑅
 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
125,62
20
= 788,8𝑘𝑚/𝑠2 
𝒂𝒄𝒑𝒕 = 𝟕, 𝟗𝒙𝟏𝟎
𝟓𝒎/𝒔𝟐 
c) Se a estrela de nêutrons gira mais depressa, 
as respostas dos itens (a) e b) aumentam, 
diminuem ou permanecem as mesmas? 
Ambas aumentam 
Exemplo 6: 
Em t1 = 2s, a aceleração de uma partícula em M.C.U. no sentido anti-horario é 
𝑎1 = 6𝑖 + 4𝑗 𝑚/𝑠
2 e em t2 = 5s, a aceleração é 𝑎2 = (4𝑖 − 6𝑗 ) 𝑚/𝑠
2
.Qual é o raio 
Da trajetória da partícula se t2 – t1 é menor que um período de rotação? 
𝑎1. 𝑎2 = 6.4 − 4.6 = 0 
𝑎1. 𝑎2 = 𝑎1. 𝑎1. cos 𝜃 
𝜃 = 90° 
Se são perpendiculares e o movimento e no sentido 
anti-horario, significa que a particula 
Percorreu ¾ da circunferencia. 
5 − 2 = 3 = 3.
𝑇
4
 
𝑇 = 4𝑠 
𝑎𝑐𝑝𝑡 =
𝑣2
𝑅
=
(2𝜋.
𝑅
𝑇)
2 
𝑅
=
4𝜋2𝑅
𝑇2
 
𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑥
2 
𝑎 = 62 + 42 = 7,21𝑚/𝑠2 
𝑅 = 𝑎𝑐𝑝𝑡𝑇
2/4𝜋2 
𝑅 =
7,21. 42
4𝜋
= 2,92𝑚 
𝑥𝐴 = 𝑥0 + 𝑉𝑡 
Devemos encontrar o tempo que demora para os trens se encontrarem. 
Igualamos as funções horarias dos 2 trens 
𝑥𝐴 = 0 + 15𝑡 
𝑥𝐵 = 𝑥0 + 𝑉𝑡 
𝑥𝐵 = 60 − 15𝑡 
𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 
0 + 15𝑡 = 60 − 15𝑡 
 
𝑡 = 2ℎ 
Se a ave viaja as 20km/h 20 =
∆𝑥
2
 ∆𝒙 = 𝟒𝟎𝒌𝒎 
vA = 15m/h vA = 15m/h 
0 60 +x 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥 
∆𝑡
 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡
∆𝑡
 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
76 + 34
76
88
+
34
72
= 𝟖𝟐, 𝟑𝒌𝒎/𝒉 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
76 − 34
76
88 +
34
72
= 𝟑𝟏, 𝟒𝐤𝐦/𝐡 
Letra a) 
Letra b) 
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
= 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
= 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 
Area da curva entre to = 0 e t = 12s – temos um trapezio entre 0 e 10s e um triangulo 
Entre 10 e 12s. 
A distancia é a soma dessas 2 areas 
A = 𝐴1 + 𝐴2 =
12 + 4
2
. 10 +
2.12
2
 
A = 80 + 12 = 92𝑚 
Letra a) a distancia é igual ao deslocamento Δx 
Letra b) a distancia é igual ao deslocamento Δx, pois o movimento esta sempre no mesmo 
sentido, portanto, 92m 
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
A derivada é a inclinação da curva, é o coeficiente angular m, calculado 
pela geometria analítica com dois pontos da reta. Por exemplo, (0,4) e 
(10,12) 
 
m =
12−4
10−0
 = 8/10 = 0,8 
portanto, a aceleração para t entre 0 e 10s é 0,8m/s2 e constante. 
Para t entre 10 e 12s, temos (10,12) e (12,0) 
m =
0−12
12−10
 = -12/2=-6 
portanto, a aceleração para t entre 10 e 12s é -6m/s2 e constante. 
 
Observe que a reta é decrescente, e, portanto, a aceleração é negativa. 
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
A derivada é a inclinação da curva, é o coeficiente angular m, calculado 
pela geometria analítica com dois pontos da reta. Por exemplo, (0,5) e 
(3,15) 
 
m =
15 − 5
3 − 0
=
10
3
= 3,33 
 
portanto, a aceleração é 3,33m/s2 e constante. 
Entre A e B 
Entre B e C 
a = 0, a velocidade é constante 
Entre C e D 
m =
15 − 0
6 − 8
=
15
−2
= −7,5 
Pontos (8,0) e (6,15)portanto, a aceleração é -7,5m/s2 e constante 
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
Primeiro precisa determinar a função v(t) para depois integrar. 
Para determinar a função, precisamos de dois pontos da reta (0,50) e (10,-50) 
𝑚 =
−50 − 50
10 − 0
= −10 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, a é o coef. Angular (m = -10) e b=50 
𝑦 = −10𝑥 + 50 
𝐯 𝐭 = −𝟏𝟎𝒕 + 𝟓𝟎 
Nosso eixo y é velocidade v e o eixo x é tempo t 
𝑥 − 𝑥0 = −10𝑡 + 50 𝑑𝑡
𝑡
0
 
𝑥 − 𝑥0 = −5. 𝑡
2 + 50. 𝑡 
𝑥 − 0 = −5. 𝑡2 + 50. 𝑡 
 
𝒙 = −𝟓. 𝒕𝟐 + 𝟓𝟎. 𝒕 
 
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −10𝑚/𝑠2 
xo = 0 – veja enunciado 
 𝑢𝑚𝑑𝑢 =
𝑢𝑚+1
𝑚 + 1
,𝑚 ≠ −1 
v−𝑣0 = 0,2𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0
 
v−𝑣0 = 𝑎𝑑𝑡
𝑡
0
 
v−𝑣0 = 0,1𝑡
2 
vo = 9,5 m/s (veja enunciado) 
v−9,5 = 0,1𝑡2 
v= 𝟎, 𝟏𝒕𝟐 + 𝟗, 𝟓 
𝑥 − 𝑥0 = 0,1𝑡
2 + 9,5 𝑑𝑡
𝑡
0
 
𝑥 − (−5) =
0,1
3
𝑡3 + 9,5. 𝑡 
𝒙 =
𝟎, 𝟏
𝟑
𝒕𝟑 + 𝟗, 𝟓. 𝒕 + 𝟓 
 
𝑥 =
0,1
3
𝑡3 + 9,5. 𝑡 + 5 
 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 𝑡 = 10𝑠 − 𝑥(𝑡 = 0𝑠) 
10 − 0
 
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥
∆𝑡
=
133,33−5 
10 − 0
12,8𝑚/𝑠 
𝑥 𝑡 = 10𝑠 =
0,1
3
103 + 9,5.10 + 5 = 33,33 + 95 + 5 = 133,33𝑚 
 
𝑥 𝑡 = 10𝑠 =
0,1
3
03 + 9,5.0 + 5 = 5𝑚 
 
Letra c 
v= 𝟎, 𝟏𝒕𝟐 + 𝟗, 𝟓 
v t = 10 = 0,1. 102 + 9,5 = 19,5𝑚/𝑠 
v t = 0 = 0,1. 02 + 9,5 = 9,5𝑚/𝑠 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑣 =
19,5 + 9,5
2
= 14,5𝑚/𝑠 
Media de velocidade 
Media de velocidade é diferente de velocidade. Somente será igual quando a 
Aceleração for constante. 
x= 𝑥0 + 𝑉𝑜𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 
0= −2 + 𝑉𝑜. 1 +
1
2
𝑎. 12 
6= −2 + 𝑉𝑜. 2 +
1
2
𝑎. 22 
Entre 0 e 1s e entre 0 e 2s 
0= −2 + 𝑉𝑜 + 0,5𝑎 
6= −2 + 2𝑉𝑜 + 2𝑎
 
0= 4 − 2𝑉𝑜 − 𝑎 
6= −2 + 2𝑉𝑜 + 2𝑎
 
6= 2 + 𝑎 
𝑎 = 4 
Se deu positivo significa que a aceleração é no sentido +x