Resistencia 05

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RESISTÊNCIA 
DOS MATERIAIS III
Júlia Hein Mazutti
Diagramas de momento 
fletor e força cortante II
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Determinar as tensões principais em uma viga.
 � Projetar vigas prismáticas.
 � Projetar eixos de transmissão.
Introdução
As edificações geralmente possuem as seguintes estruturas básicas: 
fundações, pilares, vigas e lajes. As lajes recebem a carga proveniente de 
paredes, portas, telhados, pessoas e móveis, transferindo-a para as vigas, 
que, por sua vez, transferem essa carga para os pilares, chegando, por fim, 
até as fundações. As fundações, então, transferem as cargas recebidas 
para o solo, de modo que todo esse sistema permaneça estável. Para se 
projetar uma viga, é necessário conhecer os esforços (cargas) aos quais 
ela está sendo solicitada, de maneira que possamos optar por uma seção 
transversal suficientemente resistente.
As vigas têm como função receber a carga proveniente da laje, trans-
ferindo-a para os pilares. O peso da laje e do que está acima dela, como 
paredes, portas e telhados, atua na viga como uma carga transversal, 
ou seja, perpendicular a seus eixos longitudinais, gerando uma força de 
cisalhamento interna e um momento fletor que varia ao longo do seu 
comprimento. Na engenharia, é importante conhecer as dimensões da 
seção transversal de uma viga para que ela tenha resistência suficiente 
para suportar os esforços aos quais está sendo solicitada, bem como 
resulte em um projeto estrutural o mais econômico possível. 
Neste capítulo, você vai aprender a como determinar as tensões 
principais em uma viga. Serão levadas em consideração somente as vigas 
prismáticas, que são vigas retas com uma seção transversal uniforme, 
sendo as mais comuns em construções. Em seguida, você verá como de-
senhar diagramas de forças e momentos, que é uma ferramenta analítica 
utilizada para encontrar os valores de força cortante e momento fletor 
em qualquer ponto de uma viga. Dessa forma, você poderá encontrar o 
valor máximo de momento fletor e força cortante gerados na viga por 
um dado carregamento, e conseguirá, enfim, fazer o dimensionamento 
da seção transversal dela. Por fim, este capítulo abordará a realização 
do projeto de eixos de transmissão a partir da resistência a momentos 
fletores e de torção, essencial para todos os maquinários e equipamentos 
que possuam elementos rotativos. 
1 Tensões principais em uma viga
Imagine a casa ou apartamento onde você mora: este é formado por um con-
junto de elementos estruturais, como fundação, pilares, vigas e lajes. Focalize 
em uma das vigas: você consegue perceber que ela está submetida a forças 
externas? Essas forças externas são chamadas de ações, e são, normalmente, 
compostas, segundo a NBR 8681, de 31 de março de 2003, de: 
 � ações permanentes: são aquelas que permanecem constantes no decorrer 
da vida da edificação, como peso próprio e equipamentos fixos;
 � ações acidentais ou variáveis: são aquelas que variam dependendo do 
uso da edificação, como os móveis e objetos de uso e decoração, que 
podem ser diferentes, por exemplo, caso se trate de uma biblioteca ou 
caso se trate de um quarto. Outros exemplos são o vento, a variação de 
temperatura e empuxos de água; 
 � ações excepcionais: são aquelas que possuem uma probabilidade muito 
baixa de acontecer durante a vida útil da obra, como incêndios, explo-
sões, choques de veículos, entre outros (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA 
DE NORMAS TÉCNICAS, 2003).
Como para toda ação sempre há uma reação, baseado na Terceira Lei de 
Newton, a atuação dessas ações na viga origina forças reativas internas na 
peça — esforços cortantes, momentos e, às vezes, forças axiais, transmitindo 
tensões, respectivamente, em cada ponto da sua seção transversal: tensão de 
cisalhamento τxy, tensão de flexão σx e tensão de compressão/tração σy.
Diagramas de momento fletor e força cortante II2
No entanto, a força axial ocorre somente se as extremidades da viga são 
restritas longitudinalmente por seus apoios ou se a viga é componente de um 
pórtico contínuo, por exemplo, e, na maioria das vezes, seu valor é muito 
pequeno quando comparado com as dimensões das outras forças internas. 
Logo, geralmente se opta por não a considerar quando elaborando o projeto 
de vigas (LEET; UANG; GILBERT, 2010).
Entender como o valor e a direção das tensões, neste caso tensão de flexão 
σx e tensão de cisalhamento τxy, variam ao longo de uma viga é essencial na 
engenharia. Você certamente já reparou que muitas construções são projetadas 
em concreto armado. Isso acontece porque o concreto é um ótimo material 
resistente a compressão, e as armaduras, a parte “armada”, ótimas para re-
sistir a esforços de tração. Desse modo, o conjunto concreto e armadura se 
complementa para formar uma peça resistente. O conhecimento do valor e 
direção das tensões torna-se imprescindível para que o engenheiro saiba, por 
exemplo, a quantidade de armadura que deverá colocar na peça para resistir 
aos esforços de tração e em qual parte da peça deve posicioná-las, ou qual a 
resistência de concreto que deve ser utilizada na peça e qual o tamanho da 
seção necessária para absorver todos os esforços.
Apesar de as vigas serem projetadas levando em conta o quesito resistência, você 
deve ampará-las de forma correta ao longo de seus lados para evitar instabilidade, 
deslocamento lateral e/ou flambagem. Ademais, você deve levar em conta que as vigas 
devem resistir também a deflexões (que são deslocamentos verticais), e a previsão 
destas deflexões é importante, por exemplo, quando estas suportam tetos de material 
frágil, como gesso, que se danificam facilmente com deslocamentos na estrutura.
Quando submetida a cargas arbitrárias, podem surgir em qualquer seção 
de uma viga esforços internos, sendo que a distribuições de tensões na seção 
vai depender dessa carga aplicada. 
3Diagramas de momento fletor e força cortante II
Pense em certa seção transversal em uma viga (por exemplo, a seção a–a 
na Figura 1a). Nessa seção localize cinco pontos de elementos (Figura 1b): 
nas extremidades da seção (pontos 1 e 5), no meio da seção (ponto 3) e entre 
a extremidade e o meio da seção (pontos 2 e 4). A carga concentrada aplicada 
na extremidade em balanço dessa viga engastada gera esforços internos com-
postos de uma força cortante V, um momento fletor M e uma força normal N. 
O momento fletor gera tensões normais na seção transversal e a força cortante, 
tensões de cisalhamento conforme mostra a Figura 1c.
Figura 1. Distribuição de tensões e tensões principais em uma seção de uma viga em ba-
lanço de seção retangular suportando uma carga concentrada na extremidade em balanço.
Fonte: Hibbeler (2018, p. 476).
Diagramas de momento fletor e força cortante II4
Note que (Figura 1d): 
 � Os elementos da extremidade (pontos 1 e 5) estão sujeitos somente a 
uma tensão normal máxima, que corresponde a:
Onde M é o momento fletor, I é o momento de inércia da seção transversal 
em relação a um eixo que passa pelo centroide da seção transversal perpen-
dicular ao plano do momento, e c é a distância entre a linha neutra e o ponto 
analisado.
 � O elemento no eixo neutro (ponto 3) está sujeito a uma tensão de cisa-
lhamento máxima, que corresponde a:
Onde V é o esforço cortante, Q é momento estático em relação ao eixo 
neutro da parte da seção transversal localizada acima do ponto onde se calcula a 
tensão, I é o momento de inércia e t é a largura da seção transversal nesse ponto.
 � Os elementos entre esses pontos (pontos 2 e 4) devem resistir a tensões 
tanto normais quanto de cisalhamento, sendo:
e
Onde y é a distância da fibra em que se encontra o elemento até a linha 
neutra.
5Diagramas de momento fletor e força cortante II
E as tensões principais (Figura 1e)? Você consegue transformar o estado de 
tensões supracitado em tensões principais por meio do Círculo de Mohr, que é 
um método gráfico bidimensional utilizado para transformaras tensões em uma 
seção transversal de uma viga considerando-a como um meio contínuo para 
componentes de tensão em relação a um sistema rotacionado, ou seja, agindo 
sobre um plano de orientação diferente passando sobre o ponto (Figura 2a).
Figura 2. Círculo de Mohr.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 466).
Para fazer o Círculo de Mohr (Figura 2b) e encontrar as tensões principais, 
devemos, inicialmente, plotar o ponto X de coordenadas σx e –τxy, e o ponto Y, 
de coordenadas σy e +τxy. Traçamos, então, uma linha reta ligando o ponto X 
e Y, e onde essa linha cruzar com o eixo horizontal do gráfico será o centro 
do Círculo de Mohr (ponto C). Depois, desenhamos o círculo de diâmetro XY 
e centro em C. As abcissas dos pontos de interseção A e B do círculo com o 
eixo horizontal representam as tensões principais e o ângulo de rotação que 
traz o diâmetro XY para AB é o ângulo dobrado θp, que define a orientação dos 
planos principais. Por sua vez, DE determina a máxima tensão de cisalhamento 
e a orientação do plano correspondente (BEER et al., 2015).
Diagramas de momento fletor e força cortante II6
O Círculo de Mohr pode ser construído de diversas maneiras, e muitas informações 
importantes podem ser retiradas dele. Para se aprofundar mais na teoria do Círculo 
de Mohr, acesse os links a seguir.
https://qrgo.page.link/7Pp4V
https://qrgo.page.link/jvWxS
A partir do estudo das tensões principais em mais pontos e em mais seções 
transversais de uma viga, podem ser desenhadas curvas correspondentes a σmáx e 
a σmin. Esses sistemas de curvas são chamados de trajetória de tensões (Figura 3). 
Caso fizéssemos isso para diversos tipos diferentes de seção transversal, 
concluiríamos que em vigas retangulares e para muitas vigas não retangulares 
a máxima tensão normal é σm=Mc/I e ocorre na superfície da viga, como 
mostrado anteriormente (BEER et al., 2015).
Figura 3. Trajetória de tensões em uma viga de 
seção retangular e em balanço submetida a uma 
força concentrada.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 532).
Tração
Compressão
7Diagramas de momento fletor e força cortante II
Tendo conhecimento das tensões principais que ocorrem em uma viga, bem 
como em que ponto da seção transversal de uma viga ocorrem as máximas 
tensões e qual são as fórmulas utilizadas para estimá-las, podemos desenvolver 
o projeto de uma viga.
2 Projeto de vigas prismáticas
Para o projeto de vigas deve-se obter, essencialmente, os valores máximos 
dos esforços atuantes nas seções da peça. Na maioria das vezes, o projeto de 
uma viga prismática está diretamente relacionado ao valor absoluto máximo 
do momento fletor da viga |M|máx, devendo também analisar o valor máximo 
absoluto da força cortante |V|máx. Esses dados podem ser obtidos por meio de 
um diagrama de força cortante e de momento fletor.
Diagrama de força cortante e de momento fletor
Conforme supracitado, o diagrama de força cortante e momento fletor é fun-
damental para que possa ser determinada qual é a pior situação de tensões na 
seção transversal de uma viga impostas por dado carregamento. 
Para desenhar os diagramas, você deve inicialmente esboçar simplificada-
mente a estrutura em questão e todas as forças externas e internas que atuam 
nela, incluindo suas reações de apoio, que devem ser calculadas considerando 
o equilíbrio da viga toda tanto em relação a esforços quanto a momentos. Esse 
método é chamado de diagrama de corpo livre (LEET; UANG; GILBERT, 
2010).
Para entender como calcular as reações de apoio em uma viga, acesse o link a seguir.
https://qrgo.page.link/QAWNL
Diagramas de momento fletor e força cortante II8
Os diagramas de corpo livre também são utilizados para encontrar as 
forças internas na estrutura. Para isso, você deve “cortar” a viga em um local 
arbitrário x e desenhar o diagrama de corpo livre para a parte da viga à esquerda 
(ou à direita) da seção transversal. Lembrando que o esforço cortante e o mo-
mento fletor devem ser considerados com base em uma convenção de sinais. 
As equações de equilíbrio (Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M = 0) são calculadas para 
se determinar o esforço cortante e o momento fletor em x. Tudo isso é repetido 
para os outros “cortes” na viga (RILEY; STURGES; MORRIS, 2003).
“Cortes” são necessários entre quaisquer apoios e/ou cargas as quais ela 
está submetida. Assim, a viga ficará dividida em trechos dependendo do nú-
mero de apoios e de cargas, sendo que será feito um diagrama de corpo livre 
para cada um desses trechos. Ressaltando que, onde serão feitos os “cortes”, 
teremos que considerar uma força cortante, um momento fletor e uma força 
normal (quando houver). Para que você possa compreender melhor, segue 
uma aplicação dessa teoria.
Exemplo 1
Está sendo realizado o projeto de uma edificação com estrutura de aço leve, 
formada por guias (vigas) e montantes (pilares). 
Fonte: Hywit Dimyadi/Shutterstock.com.
9Diagramas de momento fletor e força cortante II
Uma das vigas, com 10 m de vão, está simplesmente apoiada e possui como 
carregamento apenas uma carga concentrada de 100 kN oriunda de um pilar 
no meio de seu vão. Desenhe os diagramas de força cortante e do momento 
fletor para essa viga.
Inicialmente, determinamos as reações de apoio considerando o equilíbrio 
da viga toda tanto em relação a esforços quanto a momentos:
Σ Fy = 0 → RA – 100 kN + RB = 0 → RA + RB = 100 kN
Σ MA = 0 → 100 kN × 5 m – RB × 10 m = 0 → RB = 50 kN, logo, RA = 50 kN
Após, fazemos dois “cortes” (pontos D e E), levando em consideração 
que os “cortes” devem ser realizados em pontos entre quaisquer apoios e/ou 
cargas as quais a viga está submetida. Com isso, devemos prosseguir fazendo 
o diagrama de corpo livre para cada um desses trechos e traçando, por fim, 
os diagramas.
Para AD:
Σ Fy = 0 → 50 kN – V = 0 → V = 50 kN
Σ MD = 0 → 50 kN × 2,5 m – M = 0 → M = 125 kN.m
Diagramas de momento fletor e força cortante II10
Para AC:
Σ Fy = 0 → 50 kN – 100 kN + 50 – V = 0 → V = 0 kN
Σ MC = 0 → 50 kN × 5 m – M = 0 → M = 250 kN.m
Para AE:
Σ Fy = 0 → 50 kN – 100 kN – V = 0 → V = –50 kN
Σ ME = 0 → 50 kN × 7,5 – 100 kN × 2,5 m – M = 0 → M = 125 kN.m
Para desenhar o diagrama de esforço cortante, começamos subindo em +50 
kN por causa da reação de apoio em A. Vimos que ela se mantém constante 
no ponto D com +50 kN, no ponto C ela decresce – 100 kN devido à carga 
concentrada, passando pelo 0 kN calculado no ponto C e chegando a -50kN 
(+50kN –100 kN = –50kN), e então ela se mantém constante no ponto E com 
–50 kN e, para finalizar, “sobe” +50 kN por causa da reação de apoio em B.
Para o momento fletor, como a viga é simplesmente apoiada, não há mo-
mentos nos apoios, nos pontos D e E os momentos são iguais a 125 kN.m, e 
em C o momento alcança o seu valor máximo, sendo igual a 250 kN.m.
Agora que você aprendeu a desenhar diagramas de esforços cortantes e de 
momentos fletores de modo a encontrar o valor absoluto máximo dos esforços 
em uma viga, podemos realizar o projeto da seção transversal da peça. 
Ressalta-se que para desenvolver um projeto de vigas, você deve ter em 
mente o fato de que uma das finalidades quando se projeta é encontrar o 
dimensionamento mais econômico possível. Como fazer isso? É relativamente 
simples: se você tiver mais de uma opção de seção transversal de viga que tenha 
resistência suficiente às condições de carregamento impostas, você deve sempre 
escolher a de menor valor por unidade de comprimento (BEER et al., 2015).
11Diagramas de momento fletor e força cortante II
Passo a passo para projeto de vigas prismáticas
Para facilitar, muitos autores renomados, como Beer e Hibbeler, criaram um 
roteiro para auxiliar na elaboração de um projeto de vigas prismáticas. Veja 
o passo a passo apresentado por Beer e Johnston Jr. (1996):
1. você deve determinar os valores de σadm (tensão admissível) do material 
por meio de uma tabela de propriedades de materiais, de especificações 
de projeto ou dividindo o limite de resistência do material por um 
coeficiente de segurança adequado;
2.sabendo as condições de carregamento, você deve desenhar os diagramas 
de esforço cortante e momento fletor e definir seus valores máximos 
absolutos;
3. assumindo que o dimensionamento da viga é controlado pelo valor da 
tensão normal no ponto y = ± c na seção transversal de máximo mo-
mento fletor, você deve calcular o mínimo valor admissível do módulo 
resistente W = I / c por meio da expressão: 
Com o mínimo valor admissível do módulo resistente calculado, você deve 
escolher a seção transversal da viga.
 � Para uma viga de madeira, sua altura h, largura b ou a relação h/b ca-
racterizando a forma de sua seção transversal provavelmente já estarão 
especificadas, e as dimensões desconhecidas podem ser selecionadas 
baseado em W = 1/6 bh2 > Wmin.
 � Para uma viga de aço laminado, consulte tabela apropriada (por exemplo: 
apêndice C do livro de Beer et al. (2015)) e entre as seções transversais 
disponíveis, você deve escolher aquelas que possuem módulo resistente 
W > Wmin e as de menor peso por unidade de comprimento.
4. Definida a seção transversal da viga, você deve verificar sua resistência 
à força cortante, calculando o valor máximo da tensão de cisalhamento 
τm = |V|máxQ/It na viga, onde: 
 � para vigas de seção retangular e para perfis I ou de 
abas largas τm = |V|máx/Aalma
Diagramas de momento fletor e força cortante II12
 � e comparar τm a τadm, que também pode ser obtido por meio de tabelas 
de propriedades de materiais, especificações de projeto ou por cálcu-
los, sendo que se o valor de τm for menor que τadm a viga adotada está 
adequada, porém, em caso contrário, você deve adotar uma seção 
transversal maior para a viga.
Destacamos que o roteiro apresentado admite que os materiais possuem 
o mesmo valor de σadm para tensões de tração e compressão. Se não, você 
deverá optar por uma seção transversal em que σm ≤ σadm para ambas as tensões 
(BEER; JOHNSTON JR., 1996).
Em situações de perfis I ou de abas largas (figura a seguir), você também deve verificar 
se valor σmáx na junção da alma com as abas na seção de momento máximo não 
excede o valor de σadm.
Fonte: supermatos/Shutterstock.com.
13Diagramas de momento fletor e força cortante II
Exemplo 2
Para o exemplo anterior, dimensionar a seção transversal da viga, considerando 
um perfil de abas largas com resistência suficiente à força de 100 kN. A tensão 
normal admissível é de 165 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é de 
100 MPa, para o aço utilizado.
1. a tensão normal admissível é dada: σadm = 165 MPa;
2. os diagramas de força cortante e de momento fletor já foram traçados 
no exemplo anterior e mostraram que os valores máximos absolutos 
de |M|máx = 250 kN.m; 
3. para calcular o mínimo valor admissível do módulo resistente é utilizada 
a expressão:
4. com o mínimo valor admissível do módulo resistente calculado, 
deve ser escolhida a seção transversal da viga que tenha um módulo 
W > Wmin por meio de consulta na tabela no apêndice C do livro de Beer 
et al. (2015): os perfis são dispostos em grupos da mesma altura, sendo 
que em cada grupo eles são listados em ordem decrescente de peso, 
devendo ser selecionados, portanto, os perfis mais leves; 
 � Perfil W610x155 → Wx = 2530 x 103 mm3
 � Perfil W530x150 → Wx = 2080 x 103 mm3
 � Perfil W460x113 → Wx = 2390 x 103 mm3
 � Perfil W410x85 → Wx = 1516 x 103 mm3
 � Perfil W360x101 → Wx = 1686 x 103 mm3
 � Perfil W310x107 → Wx = 1595 x 103 mm3
 � Perfil W250x167 → Wx = 2060 x 103 mm3
Diagramas de momento fletor e força cortante II14
Como na nomenclatura dos perfis de abas largas o primeiro número é a 
altura nominal em milímetros do perfil, e o segundo número é a massa em 
quilogramas por metro, desses perfis com W > Wmin, o mais leve é o perfil 
W410 × 85, com 85 kg/m.
5. escolhida a seção transversal da viga, deve ser verificada a sua re-
sistência a força cortante, calculando o valor máximo da tensão de 
cisalhamento. Do apêndice C do livro de Beer et al. (2015), obtém-se 
que a alma do perfil W410x85 possui 10,9mm de espessura e, como a 
seção tem 417 mm de altura, a área da alma pode ser adotada igual a 
4545,3 mm2: 
τm = |V|máx/Aalma = 50 × 103 N/4545,3 × 10–6 m2 = 11 Mpa < τadm = 100 MPa
Logo, a viga adotada é aceitável.
Além de vigas, eixos de transmissão também podem ser projetados em 
função das tensões ao qual o eixo circular está submetido devido às cargas 
que o estão solicitando. Dessa forma, assim como ocorreu em vigas, deve ser 
determinada a pior situação de tensões existente no eixo, de modo que seja 
dimensionada uma seção transversal para ele que tenha resistência suficiente 
aos esforços de carregamento.
3 Projeto de eixos de transmissão
Eixos de seções transversais circulares são bastante utilizados em diversos 
equipamentos mecânicos e maquinarias com o intuito de transmitir movimento 
de rotação e torque de uma posição para outra. Eles podem ser compostos tam-
bém por engrenagens, polias ou catracas, bem como podem ser parte integral 
de um acionador ou um eixo livre conectado a seu vizinho por algum tipo de 
acoplamento. Como forma de apoio, eles fazem uso de mancais, geralmente 
em uma configuração biapoiada, mas podem existir também eixos em balanço. 
Com o objetivo de minimizar as deflexões, o aço é um dos materiais mais 
utilizados para eixos de transmissão, uma vez que seu módulo de elasticidade 
é elevado (NORTON, 2013).
15Diagramas de momento fletor e força cortante II
Para seu projeto, é importante compreender o que deve ser levado em 
consideração, como: é comum ocorrerem transições na área de sua seção 
transversal, pois são necessários ajustes da seção para acomodar os elementos 
fixados, como mancais, catracas e engrenagens, e isso causa concentração de 
tensões no eixo; a carga predominante, portanto, no geral, é uma combinação 
de carga de torção, por causa do torque transmitido, e de flexão, por causa 
das cargas transversais em engrenagens, polias e catracas (NORTON, 2013).
Especificamente quanto a eixos uniformes utilizados para transmitir po-
tência, os quais são submetidos frequentemente a cargas aplicadas através de 
rodas dentadas e engrenagens, as forças que agem nos dentes das engrenagens 
em qualquer ângulo podem ser substituídas por sistemas de forças e conjuga-
dos equivalentes com aplicação ao centro da seção transversal do eixo. Com 
isso, desdobrando-se essas mesmas cargas nos dois planos perpendiculares, 
podem ser obtidos os momentos internos fletor e de torção em qualquer seção 
transversal de um eixo (BEER; JOHNSTON JR., 1996; HIBBELER, 2018).
A partir disso, podem ser traçados os diagramas de momento fletor das 
cargas em cada plano e o diagrama de torque, de modo a verificar seções 
críticas ao longo do eixo em que o momento resultante e o 
torque T criam a pior situação de tensão. Nesse âmbito, como o momento de 
inércia do eixo é igual independentemente do eixo diametral, e como tal eixo 
diametral representa um eixo principal de inércia para a seção transversal, a 
expressão da flexão utilizando o momento resultado pode ser aplicada para 
encontrar a tensão de flexão máxima, que acontecerá em elementos situados 
no limite externo do eixo. Em relação à tensão de cisalhamento, esta pode ser 
provocada tanto pelo torque T quanto pelas forças externas, porém esta última 
gera tensões bem menores do que as geradas pela flexão e torção, e, por isso, 
são no geral desprezadas (BEER; JOHNSTON JR., 1996; HIBBELER, 2018).
Logo, geralmente, o elemento crítico no eixo está sujeito ao estado plano 
de tensões: σ = Mc / I e τ = Tc / J. A partir desses valores, baseado no Círculo 
de Mohr, é possível determinar a tensão de cisalhamento máxima (BEER; 
JOHNSTON JR., 1996; HIBBELER, 2018):
Onde c é o raio do eixo, e J é o momento de inércia polar de um círculo 
de raio c, ou seja, .
Diagramas de momento fletor e força cortante II16
Por conseguinte, isolando o parâmetro J/c ou ainda somente c, e substituindo 
a tensão de cisalhamento máxima pela tensão de cisalhamento admissível,pode ser encontrado o raio da seção transversal do eixo de transmissão, como 
mostra o exemplo a seguir (BEER; JOHNSTON JR., 1996; HIBBELER, 2018).
Exemplo 3
Está sendo realizado o projeto de um novo automóvel. A caixa de transmissão 
dele possui diversos eixos interligados, de modo a guiar o movimento de 
rotação para as rodas e engrenagens. Um desses eixos é apoiado por mancais 
de deslizamento em A e B. Devido à transmissão de potência, as correias nas 
polias estão sujeitas às tensões mostradas. Determine o menor diâmetro do 
eixo usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima, com τadm = 35 MPa.
As reações dos apoios foram calculadas e estão mostradas no diagrama de 
corpo livre do eixo abaixo. Os diagramas de momento fletor Mx e Mz e de torque 
também são mostrados a seguir. Por inspeção, concluímos que os pontos críticos 
do momento fletor ocorrem tanto em C como em B. Além disso, à direita de 
C e em B o momento de torção é 3,75 N.m. Em C, o momento resultante é:
17Diagramas de momento fletor e força cortante II
Em B é menor: MB = 37,5 N.m
Como o projeto baseia-se na teoria da tensão de cisalhamento máxima, 
aplica-se a teoria supracitada e considerando que o radical será maior 
na seção à direita de C, temos que o menor raio admissível é:
c = 0,0224 m
Portanto, o menor raio admissível para esse eixo é de 0,0224 m.
Além do dimensionamento do raio de um eixo de transmissão, também deve ser 
realizado o projeto de chavetas, mancais, engrenagens e outros elementos que fazem 
parte de um sistema de transmissão. Veja exemplos no livro Projeto de máquinas, de 
R. L. Norton.
A engenharia é uma profissão diretamente relacionada à evolução das 
civilizações. Foi a partir dela que, mediante conhecimento científico e empírico, 
foram criadas as mais diversas estruturas, máquinas, aparelhos, sistemas, 
materiais e processos. Portanto, projetar é uma das principais funções de um 
engenheiro e, com o conteúdo apresentado, esperamos que você esteja apto a 
projetar tanto vigas prismáticas quanto eixos de transmissão, que estão presen-
tes em praticamente todas as obras e equipamentos utilizados por nós. Dessa 
forma, esperamos que você possa contribuir, junto de outros profissionais, 
para a continuidade do desenvolvimento da humanidade. 
Diagramas de momento fletor e força cortante II18
Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8681: ações e segurança 
nas estruturas: procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2003.
BEER, F. P; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 
1996.
BEER F.P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2018.
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013.
RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2003. 
Leituras recomendadas
CÁLCULO de reações de apoio verticais, horizontais e momentos. [S. l.: s. n.], 2016. 1 
vídeo (9 min). Publicado pelo canal O Calculista. Disponível em: https:www.youtube.
com/watch?v=rFlFkcMyCOU. Acesso em: 15 jan. 2020.
RESISTÊNCIA dos materiais I: Círculo de Mohr: parte 1 de 2: exercício. [S. l.: s. n.], 2017. 
1 vídeo (5 min e 25 seg). Publicado pelo canal Dose de Engenharia. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=roGTnHwvBcs. Acesso em: 15 jan. 2020.
RESISTÊNCIA dos materiais I: Círculo de Mohr: parte 2 de 2: exercício. [S. l.: s. n.], 2017. 
1 vídeo (6 min e 35 seg). Publicado pelo canal Dose de Engenharia. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=roGTnHwvBcs. Acesso em: 15 jan. 2020.
19Diagramas de momento fletor e força cortante II