Sistemas Cristalinos e Redes de Bravais

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20/04/2018
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Universidade Federal Fluminense.
Mineralogia
Professor: Mendelssolm Kister de Pietre
Cela Unitária
Sistemas Cristalinos e Rede de Bravais
August J. Bravais, em 1848 demonstrou ser possível
geometricamente a construção de 14 tipos de células unitárias,
ou seja, todas as redes cristalinas possíveis podem ser
geradas por 14 tipos de células.
Estas células são chamadas células de Bravais e podem
ser agrupadas em 7 sistemas cristalinos.
A classificação das redes cristalinas faz-se em termos das
operações de simetria que cada uma aceita.
Os cristais transparentes podem ser divididos em três
grupos considerando as suas características ópticas.
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http://symmetry.otterbein.edu/gallery/
http://ansatte.uit.no/kare.kullerud/webge
ology/webgeology_files/portuguese/crys
t_sym_1_pt.swf
Grupo I: A este grupo pertencem os cristais do sistema
cúbico. Estes cristais são opticamente isotrópicos.
• Grupo II: Os cristais pertencentes aos sistemas: tetragonal,
hexagonal e trigonal; são opticamente anisotrópicos, visto que as
suas propriedades ópticas variam com a direção de
propagação dos raios luminosos. Estes cristais podem ainda ser
classificados em uniaxiais uma vez que só possui um eixo óptico.
• Grupo III: Neste grupo estão inseridos os cristais pertencentes
aos sistemas ortorrômbico, monoclínico e triclínico. Neste grupo os
cristais são opticamente anisotrópicos e biaxiais, uma vez que têm
mais que um eixo óptico, ou seja, possuem duas direções em torno
das quais existe uma distribuição atômica simétrica.
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As 14 redes de Bravais
A célula primitiva ou simples é
representada pelos símbolos P
ou R (célula primitiva
romboédrica);
As células não primitivas 
são representadas pelos 
símbolos I , F ou C , 
conforme se trate 
respectivamente de uma 
célula unitária de corpo 
centrado, face centrada ou 
base centrada.
O conjunto das operações de simetria que transforma a
estrutura de um cristal nela própria, considerando um ponto
fixo, constitui os 32 grupos cristalográficos pontuais.
Estes 32 grupos pontuais podem ser formados a partir dos
sete sistemas cristalinos considerando as diferentes maneiras
de reduzir a simetria.
A ausência deste centro de simetria é essencial no aparecimento de
algumas propriedades físicas dos cristais, tais como a atividade óptica.
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Resumindo:
Os símbolos dos grupos espaciais são formados por 7
sistemas cristalinos.
7 sistemas cristalinos + 4 retículos(celas) = 14 retículos
Bravais
14 retículos Bravais + operações de simetria = 32 grupos
pontuais.
32 grupos pontuais + demais operações de simetria = 230
grupos espaciais. (descreve totalmente a simetria de um
cristal.
Pontos, Direções e Planos 
Cristalográficos
Freqüentemente é necessário identificar direções e
planos específicos em cristais;
Por exemplo, PROPRIEDADES MECÂNICAS X
DIREÇÕES E PLANOS;
MÓDULO DE ELASTICIDADE: direções mais
compactas maior módulo;
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA: deslizamento de
planos – planos compactos)
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Índices de Miller
� (hkl)
� Representação de planos 
atômicos no retículo 
cristalino
� São o inverso dos 
interceptos fracionais que o 
plano faz com os eixos 
cristalográficos
Obtendo os índices de Miller
� Determinar a fração de comprimento que o plano 
intercepta ao longo de cada eixo
� Inverter 
� Tirar as frações 
� Dividir por denominador comum (se necessário)
� Os números inteiros são colocados entre 
parêntesis (hkl ) e simbolizam um plano 
cristalográfico no retículo
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de Miller
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Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
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Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Índices de Miller para os três retículos cúbicos
Primitivo
Face 
centrada
Corpo 
centrado
Planos 100 Planos 110
Planos 200
Planos 111
Planos 220
Planos 200 Planos 110
Planos 111
Planos 222
x
y
z
Determine os índices de Miller indices dos planos A, B, e C
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™ 
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Esboçe os planos para os seguintes índices de miller em uma cela cúbica
a) (110) b) (122) c) (301) d)(111)
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Algumas generalizações
� Se um índice de Miller é zero, o plano é paralelo 
ao seu eixo 
� Quanto menor o índice, mais próximo ele está de 
ser paralelo ao seu eixo 
� Quanto maior o índice de Miller, mais próximo ele 
está de ser perpendicular ao eixo. 
� Multiplicar ou dividir índices de Miller por uma 
constante não tem efeito na orientação do plano. 
� Índices de Miller são quase sempre pequenos 
PLANOS CRISTALINOS PLANOS CRISTALINOS
Por quê são importantes?
Para a determinação da estrutura cristalina: Os métodos de
difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de
pontos da rede cristalina. Esta informação é usada para determinar
os parâmetros de rede de um cristal. Os métodos de difração
também medem os ângulos entre os planos da rede. Estes são
usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo
deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no
cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao
longo de planos direções específicos do cristal.
PLANOS CRISTALINOS PLANOS CRISTALINOS
Por quê são importantes?
Para as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos
causa o transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes
planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes
destes.
Exemplo 1: Grafite
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos covalentemente
sp2 do que nas direções perpendiculares a esses planos.
Exemplo 2: supercondutores a base de YBa2Cu3O7
Alguns planos contêm somente Cu e O. Estes planos conduzem pares
de elétrons que são os responsáveis pela supercondutividade. Estes
supercondutores são eletricamente isolantes em direções
perpendiculares as dos planos Cu-O.
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