mac 015 slides unidade 02

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MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02
Engenharia Elétrica
Engenharia de Produção
Engenharia Sanitária e Ambiental
Leonardo Goliatt, Michèle Farage, Alexandre Cury
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 16.06
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 1 / 69
Carga Axial
Programa
1 Carga Axial
Tensão e Deformação
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Variação de temperatura
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Carga Axial Tensão e Deformação
Programa
1 Carga Axial
Tensão e Deformação
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Variação de temperatura
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo da tração de uma barra prismática
P= kδ ; δ = fP
onde δ é o alongamento, k é o coeficiente de rigidez e f é o coeficiente
de flexibilidade.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo da tração de uma barra prismática
δ =
PL
EA
; k =
EA
L
; f =
L
EA
onde E é o módulo de elasticidade e A é a área da seção transversal.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo de membros carregados axialmente
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo de membros carregados axialmente
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo de membros carregados axialmente
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Carga Axial Tensão e Deformação
Mudança de comprimento em membros carregados
axialmente
Exemplo de membros carregados axialmente
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Carga Axial Tensão e Deformação
O ensaio de tração e compressão
O conceito de tensão
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Carga Axial Tensão e Deformação
O ensaio de tração e compressão
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma
carga sem deformação excessiva ou ruptura.
Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada
por métodos experimentais, como o ensaio de tração ou compressão.
Uma máquina de teste é projetada para ler a carga exigida para manter o
alongamento uniforme.
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
A tensão nominal (σ ), ou tensão de engenharia, é determinada pela
divisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal do
corpo de prova, A0.
σ =
P
A0
A deformação nominal (ε), ou deformação de engenharia, é determinada
pela divisão da variação, δ , no comprimento de referência do corpo de
prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, L0.
ε =
δ
L0
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Carga Axial Tensão e Deformação
O ensaio de tração e compressão
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Carga Axial Tensão e Deformação
O ensaio de tração e compressão
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Carga Axial Tensão e Deformação
O ensaio de tração e compressão
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Endurecimento por deformação
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
A tensão é proporcional à
deformação.
O material é linearmente elástico.
Escoamento
Endurecimento por deformação
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Um pequeno aumento na tensão
acima do limite de elasticidade
resultará no colapso do material e
fará com que ele se deforme
permanentemente.
Endurecimento por deformação
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Endurecimento por deformação
Quando o escoamento tiver
terminado, pode-se aplicar uma
carga adicional ao corpo de prova,
o que resulta em uma curva que
cresce continuamente, mas
torna-se mais achatada até atingir
uma tensão máxima denominada
limite de resistência.
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Endurecimento por deformação
Estricção
No limite de resistência, a área da
seção transversal começa a
diminuir em uma região
localizada do corpo de prova.
O corpo de prova quebra quando
atinge a tensão de ruptura.
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Endurecimento por deformação
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
Os valores da tensão e da
deformação calculados por essas
medições são denominados tensão
real e deformação real.
Use este diagrama já que a
maioria dos projetos de
engenharia é feito dentro da faixa
elástica.
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão–deformação
Comportamento elástico
Escoamento
Endurecimento por deformação
Estricção
Diagrama tensão–deformação real
O comportamento da tensão–deformação
de materiais dúcteis e frágeis
1 Materiais dúcteis: Material que
possa ser submetido a grandes
deformações antes de sofrer
ruptura é denominado material
dúctil.
2 Materiais frágeis: Materiais que
exibem pouco ou nenhum
escoamento antes da falha são
denominados materiais frágeis.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Lei de Hooke
A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro
da região elástica.
σ = Eε
σ = tensão
E = módulo de elasticidade ou módulo de Young
ε = deformação
E pode ser usado somente se o material tiver relação linear–elástica.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Endurecimento por deformação
Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região plástica
e, então, descarregado, a deformação elástica é recuperada.
Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é que o
material fica submetido a uma deformação permanente.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo de um diagrama
O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada na
fabricação de peças de aeronaves é mostrado abaixo. Se um corpo de
prova desse material for submetido à tensão de tração de 600 MPa,
determine a deformação permanente no corpo de prova quando a carga é
retirada.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de Poisson, ν , estabelece que dentro da faixa elástica, a razão
entre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais.
ν =− εlateral
εlongitudinal
A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal
(deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e
vice-versa.
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão−deformação de cisalhamento
Para cisalhamento puro, o equilíbrio exige
que tensões de cisalhamento iguais sejam
desenvolvidas nas quatro faces do elemento.
Se o material for homogêneo e isotrópico, a
tensão de cisalhamento distorcerá o elemento
uniformemente.
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão−deformação de cisalhamento
A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico
linear, portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por
τ = Gγ
G= módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.
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Carga Axial Tensão e Deformação
O diagrama tensão−deformação de cisalhamento
Três constantes do material, E,ν e G, na realidade, estão relacionadas
pela equação
G=
E
2(1+ν)
G= módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.
E = módulo de elasticidade ou módulo de Young
ν = Coeficiente de Poisson
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro d0 = 25 mm e tem comprimento de
referência de L0 = 250 mm. Supondo que uma força de 165 kN alongue o corpo de 1.20
mm, determine o módulo de elasticidade e quanto o diâmetro do corpo se contrai. O limite
elástico do alumínio é atingido em 440 MPa. Dados: Gal = 26 GPa.
σ =
P
A
=
165(103)N
(pi/4)(0.025m)2
= 336.1 MPa < 440 MPa
ε =
δ
L0
=
1.2mm
250mm
= 0.0048 mm/mm
Eal =
σ
ε
=
336.1Pa
0.0048
= 70GPa
Gal =
Eal
2(1+ν)
⇒ 26GPa = 70GPa
1(1+ν)
⇒ ν = 0.346
ν =− εlat
εlong
⇒ 0.346 =− εlat
0.0048
⇒ εlat =−0.00166mm/mm
δ ′ = (0.00166)(25) = 0.0415mm – contração no diâmetro
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Carga Axial Tensão e Deformação
Princípio de Saint-Venant
O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas
nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se“ a
uma distância suficientemente afastada
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Carga Axial Tensão e Deformação
Princípio de Saint-Venant
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Carga Axial Tensão e Deformação
Deformação elástica de um elemento submetido a carga
axial
Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de
determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro
L = distância original
P(x) = força axial interna na seção
A(x) = área da seção transversal da barra
E = módulo de elasticidade
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Carga Axial Tensão e Deformação
Deformação elástica de um elemento submetido a carga
axial
Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de
determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
σ =
P(x)
A(x)
= Eε; ε =
dδ
dx
⇒ dδ = εdx= P(x)
A(x)E
dx
δ =
∫ L
0
dδ =
∫ L
0
P(x)
A(x)E
dx
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Carga Axial Tensão e Deformação
Deformação elástica de um elemento submetido a carga
axial
Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da
barra,
δ =
PL
AE
Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento;
e negativos causarão compressão e contração.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Deformação elástica de um elemento submetido a carga
axial
δAD =∑ PLEA =
5LAB
EA
+
−3LBC
EA
+
−7LCD
EA
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção
transversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração
de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade
C da barra. (Eaco = 200 GPa, Eal =70 GPa )
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
δCB = PLEA =
+80(103)0.6
pi(0.005)2200(109) = 0.003056m→
δBA = PLEA =
−80(103)0.4
400(10−6)70(109) =−0.001143m→
δC = δCB(→)+δBA(→) = 0.0042m
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado na
figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de
alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do
ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto.
Admitir Eaco = 200 GPa e Eal = 70 GPa.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
+	 ∑MA = 0 =−90(0.2)+PBD(0.6)⇒
PBD = 90(0.2)/0.6 = 30kN
∑FV = 0 = PBD+PAC−90
PAC = 60kN
δA = PACLACAACEaco =
−60(103)0.3
pi(0.010)2200(109) =
= 0.286mm ↓
δB = −30(10
3)0.3
pi(0.020)270(109) = 0.102mm ↓
δF = 0.102+(0.286−0.102)
(400
600
)
= 0.225mm ↓
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
A barra rígida BDE esta apoiada por duas barras verticais de AB e CD. A
ligação AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção
transversal de 500 mm2; a ligação de CD é feita de aço (E = 200 GPa e tem
uma área de seção transversal de 600 mm2.
Com o carregamento de 30 kN
mostrado, determinar a deflexão nos pontos B, D e E.
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
Forças atuantes na barra horizontal:
+	 ∑MB = 0 =−30(0.6)+FCD(0.2)
+	 ∑MD = 0 =−30(0.4)−FAB(0.2)
FCD = 90 kN; FAB =−60kN
Deslocamentos nas barras verticais:
δB = PLEA =
−60(103)0.3
500(10)−670(109)
δB =−514(10)−6m ↑
δD = PLEA =
90(103)0.4
600(10)−6200(109)
δD = 300(10)−6m ↓
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Carga Axial Tensão e Deformação
Exemplo
Deslocamentos do ponto E:
Sejam B′ e D′ as posições deslocadas
dos pontos B e D. Uma vez que BDE
eh rígida, os pontos B′ e D′ e E′
permanecem sobre a mesma reta, e
então
BB′
DD′ =
BH
HD =
0.514
0.300 =
200−x
x
⇒ x= 73.7 mm
EE′
DD′ =
HE
HD =
δE
0.300 =
400+73.7
73.7
⇒ δE = 1.928 mm ↓
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Programa
1 Carga Axial
Tensão e Deformação
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Variação de temperatura
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
A barra abaixo possui as duas extremidades fixas, e a
condição de equilíbrio resulta em
+ ↑∑F = 0 = FA+FB−P
Uma equação adicional é fornecida pela condição de
compatibilidade
δA/B = 0 =
FACLAC
AACEAC
+
FCBLCB
ACBECB
São necessárias
1 Equações de equilíbrio
2 Equações de compatibilidade
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 30 / 69
Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Três barras de aço (E = 200 GPa) são acopladas a um elemento rígido
por pinos e submetidas a uma carga de 15 kN como mostrado.
Determine a força em cada barra. As barras AB e EF têm área de seção
transversal de 25 mm2 e a barra CD seção transversal de 15 mm2.
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Equações de equilíbrio
+	 ∑MC = 0 =−FA(0.4)+15(0.2)+FE(0.4)
+ ↑ ∑Fy = 0 = FA+FC+FE−15
Equações de compatibilidade
δA−δE
0.8 =
δC−δE
0.4 ⇒ δC = (δA+δE)/2
FCL
15E =
1
2
(
FAL
25E +
FEL
25E
)
FC = 0.3FA+0.3FE
Resolvendo simultaneamente
FA = 9.52 kN
FC = 3.46 kN
FE = 2.02 kN
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e a
haste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma força
axial P= 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e a
haste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma força
axial P= 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.
O equilíbrio da haste exige: + ↑ ∑Fx = 0 =−FA−FB+20(103)
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e a
haste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma força
axial P= 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.
A condição de compatibilidade para a haste exije que δB−A = 0.001 m
δB−A = 0.001 =
FALAC
EA
− FBLCB
EA
⇒ 0.4FA−0.8FB = 3927 Nm
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Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e a
haste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma força
axial P= 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.
Temos:
FA+FB = 20(103)
0.4FA−0.8FB = 3927
Resolvendo chegamos em (FA, FB) = (16.6, 3.39) kN.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 33 / 69
Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Carga Axial
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
[Desafio:] Dois postes apoiam a viga rígida, cada um deles possui largura d,
espessura d e comprimento L. Supondo que o módulo de elasticidade do
material A seja EA e do material B seja EB, determinar a distância x para
aplicar a força P de modo que a viga permaneça horizontal.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 34 / 69
Carga Axial Variação de temperatura
Programa
1 Carga Axial
Tensão e Deformação
Membros com carga axial estaticamente indeterminados
Variação de temperatura
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 35 / 69
Carga Axial Variação de temperatura
Variação de temperatura
Todos os membros e estruturas que analisamos até agora mantinham-se
na mesma temperatura enquanto eles estavam sendo carregados.
Vamos agora considerar várias situações que envolvem mudanças na
temperatura.
Vamos primeiro considerar uma haste homogênea AB de seção
transversal uniforme, apoiada livremente sobre uma superfície horizontal
lisa, que sofre um aumento de temperatura.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 35 / 69
Carga Axial Variação de temperatura
Carga Axial
Variação de temperatura
Se a temperatura do da haste aumenta de uma quantidade ∆T , observa-se
que ela alonga-se por uma quantidade δT que é proporcional tanto a
mudança de temperatura ∆T e o seu comprimento L.
Temos então o deslocamento e deformação dados por
δT = α(∆T)L ⇒ εT = δTL = α∆T
α é o coeficiente de dilatação térmica e
∆T é a variação de temperatura.
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Carga Axial Variação de temperatura
Carga Axial
Variação de temperatura
Suponha-se que a mesma haste AB de comprimento L é colocada entre
dois suportes fixos a uma distância L entre si, e considere que não há
forças nesta condição inicial.
Se a temperatura aumentar por ∆T , a barra não pode alongar por causa
das restrições impostas nas suas extremidades e o alongamento δT da
barra é zero.
Uma vez que a haste é homogênea e de seção transversal uniforme, a
deformação também zero (δT = 0).
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Carga Axial Variação de temperatura
Carga Axial
Variação de temperatura
No entanto, os suportes vão exercer forças iguais e opostas na haste
depois que a temperatura foi elevada, para evitar que o alongamento.
Fazendo o equilíbrio das forças horizontais, observa-se que o problema
que temos de resolver é estaticamente indeterminado.
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Carga Axial Variação de temperatura
Carga Axial
Variação de temperatura
Para resolver o problema, destacamos a haste do
seu suporte B e deixamos alongar livremente à
medida que sofre a mudança de temperatura ∆T .
O alongamento correspondente é
δT = α(∆T)L
Aplicando a força P (reação redundante), temos
δP =
PL
EA
O deslocamento total δ deve ser nulo, então
δ = δT+δP=α(∆T)L+
PL
EA
= 0⇒P=−EAα(∆T)
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Torção
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção Introdução
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um
elementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um
elementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Problemas analisados
distribuição de tensões nas seções transversais
determinação do “ângulo de torção”
eixos de transmissão de potência
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Torque (ou momento de torção) é um momento que tende a torcer um
elemento em torno de seu eixo longitudinal.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
O esforço de torção desenvolvido no eixo de acionamento do ventilador depende da potência de saída do
motor.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Delimitação do estudo:
Barras sujeitas à torção pura: Somente o efeito do momento torsor
(torque), sendo os demais esforços simples nulos.
Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroa
circular). Essas barras são comumente denominadas de eixos.
Eixos sujeitos à momento torsor constante.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Hipóteses:
Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciais
Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares
ao eixo, com forma e dimensões conservadas.
As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em
torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Hipóteses:
Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciais
Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares
ao eixo, com forma e dimensões conservadas.
As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em
torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita.
Os diagramas são similares aos de esforço normal.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 46 / 69
Torção Introdução
Torção
Introdução
A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita.
Os diagramas são similares aos de esforço normal.
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Torção de eixos não circulares não serão tratados neste curso.
As seções não permanecem planas (sofrem empenamento).
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Torção Introdução
Torção
Introdução
Torção de eixos não circulares não serão tratados neste curso.
As seções não permanecem planas (sofrem empenamento).
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Observe a deformação do6 elemento indicado abaixo
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Observe a diferença na deformação para a seção transversal quadrada
Vamos agora determinar um modelo matemático para a deformação de
um eixo circular
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo
de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Considere um torque externo T aplicado em um
eixo fixo em uma de suas extremidades.
O torque aplicado provoca uma rotação de um
ângulo de torção φ na extremidade livre.
Se o torque T não for muito grande, observamos
O ângulo de torção φ é proporcional a T
O ângulo de torção φ é proporcional ao
comprimento L
Observamos que para seções circulares
permanecem planas após a deformação.
O mesmo não acontece para outras seções.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Vamos determinar as deformações no eixo ao lado
que sofreu uma rotação relativa φ em suas
extremidades.
Considere o cilindro interno com raio ρ .
Vamos considerar também o elementos
quadrilateral formado duas duas seções adjacentes
e duas linhas paralelas.
Após a aplicação de T, o elemento se deforma.
A deformação por cisalhamento γ é medida pela
mudança do ângulo formado pelas arestas do
elemento.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Vamos determinar as deformações no eixo ao lado
que sofreu uma rotação relativa φ em suas
extremidades.
Considere o cilindro interno com raio ρ .
Vamos considerar também o elementos
quadrilateral formado duas duas seções adjacentes
e duas linhas paralelas.
Após a aplicação de T, o elemento se deforma.
A deformação por cisalhamento γ é medida pela
mudança do ângulo formado pelas arestas do
elemento.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Vamos determinar as deformações no eixo ao lado
que sofreu uma rotação relativa φ em suas
extremidades.
Considere o cilindro interno com raio ρ .
Vamos considerar também o elementos
quadrilateral formado duas duas seções adjacentes
e duas linhas paralelas.
Após a aplicação de T, o elemento se deforma.
A deformação por cisalhamento γ é medida pela
mudança do ângulo formado pelas arestas do
elemento.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Vamos determinar as deformações no eixo ao lado
que sofreu uma rotação relativa φ em suas
extremidades.
Considere o cilindro interno com raio ρ .
Vamos considerar também o elementos
quadrilateral formado duas duas seções adjacentes
e duas linhas paralelas.
Após a aplicação de T, o elemento se deforma.
A deformação por cisalhamento γ é medida pela
mudança do ângulo formado pelas arestas do
elemento.
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Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Vamos determinar as deformações no eixo ao lado
que sofreu uma rotação relativa φ em suas
extremidades.
Considere o cilindro interno com raio ρ .
Vamos considerar também o elementos
quadrilateral formado duas duas seções adjacentes
e duas linhas paralelas.
Após a aplicação de T, o elemento se deforma.
A deformação por cisalhamento γ é medida pela
mudança do ângulo formado pelas arestas do
elemento.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Uma vez que as seções não se distorcem, dois
lados do elemento permanecem inalterados.
A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas
linhas AB e A′B.
Observamos então o modelo linear para
AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ = ρφ
L
Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax
γmax =
cφ
L
⇒ φ
L
=
γ
ρ
=
γmax
c
⇒ γ = ρ
c
γmax
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Uma vez que as seções não se distorcem, dois
lados do elemento permanecem inalterados.
A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas
linhas AB e A′B.
Observamos então o modelo linear para
AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ = ρφ
L
Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax
γmax =
cφ
L
⇒ φ
L
=
γ
ρ
=
γmax
c
⇒ γ = ρ
c
γmax
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Uma vez que as seções não se distorcem, dois
lados do elemento permanecem inalterados.
A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas
linhas AB e A′B.
Observamos então o modelo linear para
AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ = ρφ
L
Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax
γmax =
cφ
L
⇒ φ
L
=
γ
ρ
=
γmax
c
⇒ γ = ρ
c
γmax
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Uma vez que as seções não se distorcem, dois
lados do elemento permanecem inalterados.
A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas
linhas AB e A′B.
Observamos então o modelo linear para
AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ = ρφ
L
Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax
γmax =
cφ
L
⇒ φ
L
=
γ
ρ
=
γmax
c
⇒ γ = ρ
c
γmax
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 53 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 53 / 69
Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular
Torção
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis
Este eixo de acionamento tubular de um caminhão foi submetido a um torque
excessivo, resultando em falha causada por escoamento do material.
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Torção A Fórmula da Torção
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica.
τ = Gγ
Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma
variação linear na tensão de cisalhamento correspondente
γ =
ρ
c
γmax⇒ Gγ = ρc Gγmax⇒ τ =
ρ
c
τmax
τ: tensão de cisalhamento
G: módulo de elasticidade ao
cisalhamento
c: raio externo do eixo
ρ: distância intermediária
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 55 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere um eixo AB submetido a um torque T, e
uma seção em C.
O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o
torque T e as forças de cisalhamento fF.
Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo e
τ = dFdA a tensão tangencial no ponto.
Para haver equilíbrio da porção BC, temos:
T =
∫
ρdF =
∫
ρ(τdA) =
∫
ρ
ρ
c
τmaxdA
Daí temos
T =
τmax
c
∫
ρ2dA⇒ T = τmaxJ
c
⇒ τmax = TcJ
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere um eixo AB submetido a um torque T, e
uma seção em C.
O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o
torque T e as forças de cisalhamento fF.
Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo e
τ = dFdA a tensão tangencial no ponto.
Para haver equilíbrio da porção BC, temos:
T =
∫
ρdF =
∫
ρ(τdA) =
∫
ρ
ρ
c
τmaxdA
Daí temos
T =
τmax
c
∫
ρ2dA⇒ T = τmaxJ
c
⇒ τmax = TcJ
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere um eixo AB submetido a um torque T, e
uma seção em C.
O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o
torque T e as forças de cisalhamento fF.
Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo e
τ = dFdA a tensão tangencial no ponto.
Para haver equilíbrio da porção BC, temos:
T =
∫
ρdF =
∫
ρ(τdA) =
∫
ρ
ρ
c
τmaxdA
Daí temos
T =
τmax
c
∫
ρ2dA⇒ T = τmaxJ
c
⇒ τmax = TcJ
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere um eixo AB submetido a um torque T, e
uma seção em C.
O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o
torque T e as forças de cisalhamento fF.
Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo e
τ = dFdA a tensão tangencial no ponto.
Para haver equilíbrio da porção BC, temos:
T =
∫
ρdF =
∫
ρ(τdA) =
∫
ρ
ρ
c
τmaxdA
Daí temos
T =
τmax
c
∫
ρ2dA⇒ T = τmaxJ
c
⇒ τmax = TcJ
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere um eixo AB submetido a um torque T, e
uma seção em C.
O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o
torque T e as forças de cisalhamento fF.
Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo e
τ = dFdA a tensão tangencial no ponto.
Para haver equilíbrio da porção BC, temos:
T =
∫
ρdF =
∫
ρ(τdA) =
∫
ρ
ρ
c
τmaxdA
Daí temos
T =
τmax
c
∫
ρ2dA⇒ T = τmaxJ
c
⇒ τmax = TcJ
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Substituindo τmax = TcJ em τ =
ρ
c τmax expressamos
a tensão de cisalhamento em função da distância ρ
até o eixo da barra:
τ =
ρ
c
Tc
J
⇒ τ = Tρ
J
Onde J é o momento de inércia polar para seções
circulares
J =
pi
2
c4
Para seções circulares vazadas
J =
pi
2
(c42− c41)
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Substituindo τmax = TcJ em τ =
ρ
c τmax expressamos
a tensão de cisalhamento em função da distância ρ
até o eixo da barra:
τ =
ρ
c
Tc
J
⇒ τ = Tρ
J
Onde J é o momento de inércia polar para seções
circulares
J =
pi
2
c4
Para seções circulares vazadas
J =
pi
2
(c42− c41)
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Substituindo τmax = TcJ em τ =
ρ
c τmax expressamos
a tensão de cisalhamento em função da distância ρ
até o eixo da barra:
τ =
ρ
c
Tc
J
⇒ τ = Tρ
J
Onde J é o momento de inércia polar para seções
circulares
J =
pi
2
c4
Para seções circulares vazadas
J =
pi
2
(c42− c41)
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69
Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere o eixo mostrado. Qual o maior
torque que pode ser aplicada se a tensão
de cisalhamento máxima é de 120 MPa.
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Torção A Fórmula da Torção
Torção
A Fórmula da Torção
Considere o eixo mostrado. Qual o maior
torque que pode ser aplicada se a tensão
de cisalhamento máxima é de 120 MPa.
Usando a fórmula da torção temos
T =
Jτmax
c
J = pi2 (c
4
2− c41), chegamos em
T =
pi
2 (c
4
2− c41)τmax
c
Substituindo os valores,
T =
pi
2 ((0.03)
4− (0.02)4)120(106)
(0.03)
E temos T = 4084 Nm.
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Torção Ângulo de Torção
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
O ângulo de torção φ e a deformação por
cisalhamento máxima γmax estão relacionados por
γmax =
cφ
L
Pela lei de Hooke, temos γmax = τmaxG
γmax =
τmax
G
=
Tc
J
G
=
Tc
GJ
Daí chegamos em
γmax =
cφ
L
⇒ cφ
L
=
Tc
GJ
⇒ φ = TL
GJ
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
O ângulo de torção φ e a deformação por
cisalhamento máxima γmax estão relacionados por
γmax =
cφ
L
Pela lei de Hooke, temos
γmax = τmaxG
γmax =
τmax
G
=
Tc
J
G
=
Tc
GJ
Daí chegamos em
γmax =
cφ
L
⇒ cφ
L
=
Tc
GJ
⇒ φ = TL
GJ
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
O ângulo de torção φ e a deformação por
cisalhamento máxima γmax estão relacionados por
γmax =
cφ
L
Pela lei de Hooke, temos γmax = τmaxG
γmax =
τmax
G
=
Tc
J
G
=
Tc
GJ
Daí chegamos em
γmax =
cφ
L
⇒ cφ
L
=
Tc
GJ
⇒ φ = TL
GJ
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Para um eixo prismático, o ângulo de torção é
proporcional ao seu comprimento
φ =
TL
GJ
Se o eixo for composto por partes, temos
φ =∑ TiLiGiJi
No caso de um eixo com seção transversal circular
variável, usamos um elemento diferencial
dφ =
T
GJ
dx⇒ φ =
∫ T
GJ
dx
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Para um eixo prismático, o ângulo de torção é
proporcional ao seu comprimento
φ =
TL
GJ
Se o eixo for composto por partes, temos
φ =∑ TiLiGiJi
No caso de um eixo com seção transversal circular
variável, usamos um elemento diferencial
dφ =
T
GJ
dx⇒ φ =
∫ T
GJ
dx
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Para um eixo prismático, o ângulo de torção é
proporcional ao seu comprimento
φ =
TL
GJ
Se o eixo for composto por partes, temos
φ =∑ TiLiGiJi
No caso de um eixo com seção transversal circular
variável, usamos um elemento diferencial
dφ =
T
GJ
dx⇒ φ =
∫ T
GJ
dx
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Considere o eixo horizontal AD. Uma
perfuração com diâmetro 44 mm foi feita
no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito
de aço (G= 77 GPa), determine o ângulo
de torção na extremidade A.
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Considere o eixo horizontal AD. Uma
perfuração com diâmetro 44 mm foi feita
no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito
de aço (G= 77 GPa), determine o ângulo
de torção na extremidade A.
O eixo é composto de três trechos:
AB, BC, CD.
Os diagramas de corpo livre são
mostrados abaixo.
Cada trecho possui um diâmetro
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Considere o eixo horizontal AD. Uma
perfuração com diâmetro 44 mm foi feita
no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito
de aço (G= 77 GPa), determine o ângulo
de torção na extremidade A.
Do equilíbrio, temos que
TAB = 250 Nm
TCD = TBC = 2250 Nm.
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Considere o eixo horizontal AD. Uma
perfuração com diâmetro 44 mm foi feita
no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito
de aço (G= 77 GPa), determine o ângulo
de torção na extremidade A.
Os momentos de inércia polar ficam:
JAB = pi2 (0.015)
4 = 0.0795(10−6) m4
JBC = pi2 (0.030)
4 = 1.272(10−6) m4
JCD = pi2 [(0.030)
4− (0.022)4] =
0.904(10−6) m4
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Torção Ângulo de Torção
Torção
Ângulo de Torção
Considere o eixo horizontal AD. Uma
perfuração com diâmetro 44 mm foi feita
no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito
de aço (G= 77 GPa), determine o ângulo
de torção na extremidade A.
O ângulo de torção fica:
φA = ∑ TiLiGiJi
= ∑ TABLABGABJAB +
TBCLBC
GBCJBC
+ TCDLCDGCDJCD
= 250(0.4)77(109)0.0795(10−6)+
2250(0.2)
77(109)1.272(10−6)+
2250(0.6)
77(109)0.904(10−6)
= 0.0430 rad
= 0.0430 3602pi rad
= 2.31o
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Torção Transmissão de Potência
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
Potência: trabalho realizado por unidade de tempo
P=
dW
dt
O trabalho realizado por um eixo rotativo é o produto do torque aplicado
pelo ângulo de rotação
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
Se durante um instante de tempo dt, o torque T fizer o eixo girar de um
ângulo dθ , temos
dW = Tdθ ⇒ P= T dθ
dt
Para um eixo rotativo com torque, a potência é
P= Tω, onde ω = dθ/dt é a velocidade angular do eixo
No SI, a potência é expressa em watts. quando o torque é medido em Nm
e ω é medido em rad/s.
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
Em alguns casos, é dada a frequência de rotação do eixo, expressa em Hz
(hertz)
Como 1 ciclo=2pirad⇒ ω = 2pif , a equação para a potência é
P= (2pif )T
Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é
J
c
=
T
τadm
,
onde τadm é a tensão máxima de cisalhamento, que depende do material
usado.
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
O eixo sólido AC do motor mostrado tem
diâmetro de 25 mm, e está conectado a um
motor em C que transmite uma potência
de 3 kW quando gira a 50 Hz. Se as
engrenagens em A e B removem 1 kW e 2
kW respectivamente, determine a tensão
máxima de cisalhamento em AB e BC. Os
mancais em D e E são livres de atrito.
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
O eixo sólido AC do motor mostrado tem
diâmetro de 25 mm, e está conectado a um
motor em C que transmite uma potência
de 3 kW quando gira a 50 Hz. Se as
engrenagens em A e B removem 1 kW e 2
kW respectivamente, determine a tensão
máxima de cisalhamento em AB e BC. Os
mancais em D e E são livres de atrito.
Os torques em A e C ficam:
TC = Pω =
P
2pif =
3000
50(2pi) = 9.546 Nm
TA = Pω =
P
2pif =
1000
50(2pi) = 3.183 Nm
Com isso, temos:
τAB = TAJ c=
3.183(0.0125)
pi
2 (0.0125)
4 = 1.04 MPa
τBC = TAJ c=
9.546(0.0125)
pi
2 (0.0125)
4 = 3.11 MPa
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Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
Um eixo maciço de aço AB será usado
para transmitir 90 kW do motor M ao qual
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 240
rpm e o aço tiver uma tensão de
cisalhamento admissível τadm = 50 MPa,
determine o diâmetro exigido para o eixo
com precisão de mm. O mancal em B é
livre de atrito.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 66 / 69
Torção Transmissão de Potência
Torção
Transmissão de Potência
Um eixo maciço de aço AB será usado
para transmitir 90 kW do motor M ao qual
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 240
rpm e o aço tiver uma tensão de
cisalhamento admissível τadm = 50 MPa,
determine o diâmetro
exigido para o eixo
com precisão de mm. O mancal em B é
livre de atrito.
Os torques em A e C ficam:
ω = 240 revmin 2pi
rad
rev
1 min
60 s = 25.133
rad
s
Tmax = Pω =
90000
25.133 = 3581 Nm
Com isso, temos:
τmax = TmaxJ c
50(106) = 3581cpi
2 c
4
c3 = 3581pi
2 50(10
6)
⇒ c= 36 mm
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Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Programa
2 Torção
Introdução
Deformação por Torção de um Eixo Circular
A Fórmula da Torção
Ângulo de Torção
Transmissão de Potência
Problemas Estaticamente Indeterminados
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 67 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Em algumas situações os torques internos em elementos de estruturas ou
máquinas não podem ser determinados diretamente usando somente as
equações da estática.
Como consequência, não é possível determinar o diagrama de corpo
livre.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 67 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Nesses casos, as equações de equilíbrio devem ser complementadas com
relações envolvendo as deformações obtidas a partir da geometria co
problema.
Esses problemas são chamados de problemas estaticamente
indeterminados.
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 68 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Um eixo de aço (G= 75 GPa) tem
diâmetro de 40 mm e está fixo em suas
extremidades. Determine as tensões
máximas nos trechos AC e CB.
Equilíbrio: TAC+TCB−3000(0.1) = 0
Compatibilidade: φC/A = φC/B
TAC(400)
GJ
=
TCB(600)
GJ
⇒ TAC = 1.5TCB
Retormando o equilíbrio:
1.5TCB+TCB = 300
TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm
Tensões:
τAC,max=
TACc
J
=
180(0.02)
(pi/2)0.024
= 14.30 MPa
τCB,max=
TCBc
J
=
120(0.02)
(pi/2)0.024
= 9.55 MPa
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Um eixo de aço (G= 75 GPa) tem
diâmetro de 40 mm e está fixo em suas
extremidades. Determine as tensões
máximas nos trechos AC e CB.
Equilíbrio: TAC+TCB−3000(0.1) = 0
Compatibilidade: φC/A = φC/B
TAC(400)
GJ
=
TCB(600)
GJ
⇒ TAC = 1.5TCB
Retormando o equilíbrio:
1.5TCB+TCB = 300
TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm
Tensões:
τAC,max=
TACc
J
=
180(0.02)
(pi/2)0.024
= 14.30 MPa
τCB,max=
TCBc
J
=
120(0.02)
(pi/2)0.024
= 9.55 MPa
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Um eixo de aço (G= 75 GPa) tem
diâmetro de 40 mm e está fixo em suas
extremidades. Determine as tensões
máximas nos trechos AC e CB.
Equilíbrio: TAC+TCB−3000(0.1) = 0
Compatibilidade: φC/A = φC/B
TAC(400)
GJ
=
TCB(600)
GJ
⇒ TAC = 1.5TCB
Retormando o equilíbrio:
1.5TCB+TCB = 300
TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm
Tensões:
τAC,max=
TACc
J
=
180(0.02)
(pi/2)0.024
= 14.30 MPa
τCB,max=
TCBc
J
=
120(0.02)
(pi/2)0.024
= 9.55 MPa
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Um eixo de aço (G= 75 GPa) tem
diâmetro de 40 mm e está fixo em suas
extremidades. Determine as tensões
máximas nos trechos AC e CB.
Equilíbrio: TAC+TCB−3000(0.1) = 0
Compatibilidade: φC/A = φC/B
TAC(400)
GJ
=
TCB(600)
GJ
⇒ TAC = 1.5TCB
Retormando o equilíbrio:
1.5TCB+TCB = 300
TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm
Tensões:
τAC,max=
TACc
J
=
180(0.02)
(pi/2)0.024
= 14.30 MPa
τCB,max=
TCBc
J
=
120(0.02)
(pi/2)0.024
= 9.55 MPa
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69
Torção Problemas Estaticamente Indeterminados
Torção
Problemas Estaticamente Indeterminados
Um eixo de aço (G= 75 GPa) tem
diâmetro de 40 mm e está fixo em suas
extremidades. Determine as tensões
máximas nos trechos AC e CB.
Equilíbrio: TAC+TCB−3000(0.1) = 0
Compatibilidade: φC/A = φC/B
TAC(400)
GJ
=
TCB(600)
GJ
⇒ TAC = 1.5TCB
Retormando o equilíbrio:
1.5TCB+TCB = 300
TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm
Tensões:
τAC,max=
TACc
J
=
180(0.02)
(pi/2)0.024
= 14.30 MPa
τCB,max=
TCBc
J
=
120(0.02)
(pi/2)0.024
= 9.55 MPa
L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69
	Carga Axial
	Tensão e Deformação
	Membros com carga axial estaticamente indeterminados
	Variação de temperatura
	Torção
	Introdução
	Deformação por Torção de um Eixo Circular
	A Fórmula da Torção
	Ângulo de Torção
	Transmissão de Potência
	Problemas Estaticamente Indeterminados