Resolução de Equações Matemáticas

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- **Resolução:** Pelo teorema da soma das raízes, a soma das raízes é \( 4 \). 
 - **Resposta:** A soma das raízes é \( 4 \). 
 
4. **Problema:** Resolva a equação \( 2y^2 + 5y = 3 \). 
 - **Resolução:** Reorganizando os termos, obtemos a forma quadrática \( 2y^2 + 5y - 3 
= 0 \). Usando a fórmula quadrática, encontramos \( y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} \), o que 
simplifica para \( y = \frac{-5 \pm 7}{4} \). 
 - **Resposta:** \( y = \frac{1}{2} \) ou \( y = -3 \). 
 
5. **Problema:** Simplifique a expressão \( \frac{3x}{2} - \frac{x}{4} \). 
 - **Resolução:** Encontre o denominador comum (que é 4) e combine os termos: \( 
\frac{6x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{5x}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{5x}{4} \). 
 
6. **Problema:** Resolva a equação \( 4z^2 - 16 = 0 \). 
 - **Resolução:** Adicionando 16 em ambos os lados, obtemos \( 4z^2 = 16 \). Dividindo 
por 4, encontramos \( z^2 = 4 \). 
 - **Resposta:** \( z = 2 \) ou \( z = -2 \). 
 
7. **Problema:** Fatorize completamente a expressão \( x^2 + 6x + 9 \). 
 - **Resolução:** Esta expressão é um quadrado perfeito, \( (x + 3)^2 \). 
 - **Resposta:** \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \). 
 
8. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{1}{x+2} = 3 \). 
 - **Resolução:** Multiplicando ambos os lados por \( x + 2 \), temos \( 1 = 3(x + 2) \). 
Resolvendo isso, encontramos \( x = -1 \). 
 - **Resposta:** \( x = -1 \). 
 
9. **Problema:** Determine o valor de \( x \) que satisfaz \( 2^{x-1} = 8 \). 
 - **Resolução:** Escrevendo 8 como uma potência de 2, temos \( 2^3 \). Portanto, \( x - 1 
= 3 \) e assim \( x = 4 \). 
 - **Resposta:** \( x = 4 \). 
 
10. **Problema:** Simplifique a expressão \( \sqrt{18} \). 
 - **Resolução:** Fatorando 18, obtemos \( \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \). 
 
11. **Problema:** Encontre a solução para \( |2x - 5| = 7 \). 
 - **Resolução:** A equação se divide em duas: \( 2x - 5 = 7 \) e \( 2x - 5 = -7 \). 
Resolvendo cada uma, obtemos \( x = 6 \) e \( x = -1 \). 
 - **Resposta:** \( x = 6 \) ou \( x = -1 \). 
 
12. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7 \). 
 - **Resolução:** Encontre o denominador comum (que é 12) e combine os termos: \( 
\frac{4x + 3x}{12} = 7 \). Isso simplifica para \( \frac{7x}{12} = 7 \). 
 - **Resposta:** \( x = 12 \). 
 
13. **Problema:** Fatorize completamente \( 6x^2 + 11x + 3 \). 
 - **Resolução:** Encontrando dois números que multiplicam para \( 6 \cdot 3 = 18 \) e 
somam para \( 11 \), obtemos \( 6x^2 + 9x + 2x + 3 \). Fatorizando por agrupamento, temos 
\( (3x + 1)(2x + 3) \). 
 - **Resposta:** \( 6x^2 + 11x + 3 = (3x + 1)(2x + 3) \). 
 
14. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{3y}{2} + \frac{5}{4} = 4 \). 
 - **Resolução:** Primeiro, subtraia \( \frac{5}{4} \) de ambos os lados: \( \frac{3y}{2} = 4 - 
\frac{5}{4} = \frac{16}{4} - \frac{5}{4} = \frac{11}{4} \). Multiplicando por 2 para limpar o 
denominador, obtemos \( 3y = \frac{11}{2} \). 
 - **Resposta:** \( y = \frac{11}{6} \). 
 
15. **Problema:** Simplifique \( \frac{x^2 - 4}{x + 2} \). 
 - **Resolução:** Fatorize o numerador como \( (x - 2)(x + 2) \) e cancele o denominador 
\( x + 2 \), resultando em \( x - 2 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{x^2 - 4}{x + 2} = x - 2 \). 
 
16. **Problema:** Resolva a equação \( 3z^2 + 7z - 6 = 0 \). 
 - **Resolução:** Usando a fórmula quadrática, \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
encontramos \( z = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \frac{-7 \pm 11}{6} \).