Dimensionamento de Pontes

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189
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Unidade IV
7 NOÇÕES DE DIMENSIONAMENTO DA MESOESTRUTURA 
7.1 Introdução 
A mesoestrutura das pontes é constituída dos pilares cuja função principal é transmitir as cargas da 
superestrutura para a infraestrutura (fundações). 
Cada linha transversal de apoio da superestrutura geralmente suporta dois ou mais pilares, ligados 
quase sempre por vigas horizontais (travessas), formando um quadro transversal. A escolha do número 
de pilares e vigas depende de diversos fatores como: 
• Largura do tabuleiro (superestrutura). 
• Altura dos pilares. 
• Tipo de fundação. 
As pontes com estrutura principal constituída de pórticos ou quadros têm ligações das vigas e 
pilares de forma monolítica, formando nós rígidos. Quando a superestrutura da ponte é constituída por 
vigas ou lajes simples ou contínuas suas reações são transmitidas aos pilares por meio de aparelhos de 
apoio, que podem ser divididos em: 
• Apoios que só permitem rotação da viga, feitos de aço ou concreto. 
• Apoios que permitam rotação e translação das vigas, feitos de aço (roletes ou pêndulos), concreto 
armado (pêndulo) ou placas de materiais elastoméricos. 
7.2 Esforços atuantes nos apoios das pontes 
Para analisar os esforços atuantes nos elementos de apoio das pontes devemos entender de que ações 
eles provêm, sejam elas aplicadas diretamente sobre os elementos de apoio das pontes ou aplicadas na 
superestrutura das pontes. 
Essas ações costumam ser divididas em verticais e horizontais. As verticais podem ser classificadas em: 
• Carga permanente. 
• Carga móvel. 
• Impacto vertical. 
190
Unidade IV
As ações horizontais podem ser classificadas em: 
• Ações devido à frenagem e/ou aceleração da carga móvel. 
• Empuxo de terra e de sobrecarga. 
• Força centrífuga. 
• Impacto lateral. 
• Pressão de vento. 
• Deformação do tabuleiro ocasionada por retração ou dilatação por variação de temperatura. 
• Deformação do tabuleiro pelo efeito de protensão. 
• Pressão de água. 
• Choque de veículos. 
Os esforços devido às ações verticais são obtidos conforme a distribuição de cargas. Quando os 
esforços são na superestrutura, as condições de dimensionamento da superestrutura conduzem à 
determinação das reações nos apoios. Para as ações verticais que sejam aplicadas diretamente nos 
apoios, os esforços resultantes podem ser analisados isolando esse elemento. 
Os esforços horizontais aplicados diretamente sobre os elementos de apoio (pilares) podem ser 
calculados de forma similar aos esforços verticais. 
Para os esforços horizontais advindos de ações na superestrutura, é necessário que se considere o 
conjunto dos elementos da superestrutura e dos elementos de apoio. 
7.3 Aparelhos de apoio em pontes de concreto 
Os aparelhos de apoio são estruturas capazes de fazer a ligação da superestrutura com os elementos 
de apoio da ponte (pilares). 
Aparelho de apoio
Infraestrutura
P1
P2 P3
P4
Aparelho de apoio
Figura 179 – Posicionamento dos aparelhos de apoio 
191
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
A função dos aparelhos de apoio em pontes é deixar as cargas verticais da superestrutura centradas, 
dessa maneira se forma uma articulação, o que permite a rotação do aparelho de apoio, ocasionando a 
flexão da superestrutura sem impedimentos. 
As articulações podem ser lineares ou esféricas. As lineares permitem que exista rotação em uma 
única direção, enquanto as esféricas em qualquer direção, dependendo das flechas da superestrutura. 
Os aparelhos de apoio podem ser classificados quanto ao seu funcionamento e ao material. 
Quanto ao funcionamento são relativos às articulações fixas (rígidas), móveis e elásticas. Os aparelhos 
de apoio fixos têm a função de absorver cargas verticais e esforços horizontais, que podem acontecer 
devido à frenagem e/ou aceleração do veículo-tipo, da ação dos ventos, da ação da água, da força de 
atrito, de dispositivos de transição do tabuleiro etc. 
Articulação fixa
A B
Articulação móvel unidirecional
Articulação multidirecional
Figura 180 – Articulação ou vinculação rígida 
Devido à rigidez imposta por esse tipo de articulação, é necessário ter cuidado para que não sejam 
impedidas as deformações inevitáveis decorrentes de temperatura, retrações e deformações imediatas 
devido à protensão. 
Já os aparelhos de apoio móveis têm como função permitir as deformações longitudinais 
da superestrutura advindas da variação de temperatura, da retração e da fluência do concreto, do 
encurtamento da superestrutura devido aos efeitos da protensão e às flechas. 
Teflon sobre inox
MultidirecionalUnidirecional
Ligação 
monolítica
Articulação 
fixa
Articulação 
móvel
Nó de pórtico
Figura 181 – Tipos de aparelhos de apoio 
192
Unidade IV
A classificação dos aparelhos de apoio quanto ao material engloba: 
• Aparelhos de apoio em concreto. 
• Aparelhos de apoio de elastômeros. 
• Aparelhos de apoio de teflon. 
• Aparelhos de apoio metálicos. 
• Aparelhos de apoio especiais. 
A escolha dos aparelhos de apoio deve ser feita de maneira adequada, levando em consideração 
quais deslocamentos e a intensidade dos deslocamentos que eles devem permitir, assim como a quais 
esforços eles serão submetidos. Outro fator preponderante é o tipo de aparelho de apoio, que tem de 
atender o tipo de estrutura, espaços disponíveis, custo etc. 
7.3.1 Aparelhos de apoio ou articulações em concreto 
Este tipo de articulação é o mais simples e barato modelo de apoio centrado com capacidade de 
rotação. Tais aparelhos podem ser construídos juntamente com a estrutura. Os principais tipos de 
articulações de concreto são: 
• Articulações Freyssinet. 
• Articulações Mesnager. 
• Pêndulos de concreto. 
Articulações de contato de superfícies 
Essas articulações são formadas geralmente por superfície de contato cilíndrica, com raios 
ligeiramente diferentes entre si. 
R
r
b
r =
 200
r =
 240
0,5 cm
100 cm
100 cm
Figura 182 – Articulação de contato e diferença entre os raios 
193
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Re
gi
ão
 c
om
 a
ra
m
ad
ur
a 
de
 fr
et
ag
em
Figura 183 – Articulação de contato 
Esse tipo de articulação não é muito utilizado devido ao grau de dificuldade de sua execução. 
A distribuição de tensões depende de um bom acabamento das superfícies de contato, sendo por vezes 
empregada uma chapa delgada para revestimento dessas superfícies. 
Sob pressão as superfícies se deformam, definindo o contato de uma faixa. A tensão máxima ocorrerá 
no meio da largura da faixa e não pode ser maior do que o valor máximo da tensão última de cálculo. 
Os deslocamentos para esse tipo de articulação são pequenos. Para que não se prejudique a 
capacidade de rotação desse tipo de articulação, elas devem ser protegidas para que não haja deposição 
de detritos entre as superfícies. 
Articulações Freyssinet 
Esse tipo de articulação é uma articulação fixa de concreto sendo obtida pelo estrangulamento da 
seção como mostrado na figura a seguir: 
Planta
Pilar
Pilar
Viga
a0 > 5 cm b0b1Aparelho 
de apoio
Direção longitudinal
da viga Direção transversal
A
b
h
a
a b
A
Corte AA Corte BB
Figura 184 – Esquema de uma articulação viga-pilar tipo Freyssinet 
194
Unidade IV
Na articulação do tipo Freyssinet, a seção do estrangulamento tem planta retangular. A dimensão 
a0 indicada na figura anterior deve ser pequena em relação às peças articuladas, a fim de reduzir os 
momentos secundários da articulação. Porém, essa medida não deve ser inferior a 5 centímetros. 
Na região do estrangulamento as tensões atuantes são elevadas e em função disso a 
dimensão b0 deve ter uma folga em relação às bordas da peça com valor mínimo de 5 centímetros 
e superior a 0,7 a0: 
a0 > 5 cm
0
0
5cm
b 
0,7 a

≥ 
 
 Observação 
Na maioria dos casos, o perfil do estrangulamento é retangular, 
porém esse tipo de seção favorece a deterioração do concreto nas 
bordas. Por isso, é recomendado que as bordas do estrangulamento 
sejam arredondadas. 
A altura h do estrangulamentodeve ser pequena. A sugestão de Leonhardt é: 
h < 2a0 ou 2 cm
Já outros autores e publicações sugerem que seja: 
0 0a a
 h 
3 2
≤ ≤
 
O alargamento de seções em peças articuladas provoca um efeito de cintamento no trecho da 
seção estrangulada, surgindo então um estado duplo ou triplo de tensões de compressão axial, além 
da resistência do concreto à compressão simples. 
Dessa forma, é possível afirmar que as articulações do tipo Freyssinet trabalham com tensões 
elevadas, uma vez que a plastificação da articulação é desejável, ou seja, permite rotações significativas. 
195
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
 
Figura 185 – Tensões na articulação tipo Freyssinet 
 Saiba mais
Para saber sobre estado duplo e estado triplo de tensões, leia os textos: 
MASCIA, N. T. Teoria das tensões. Campinas: Unicamp, 2017. 
ARGENTA, M. A. Resistência dos materiais I. Curitiba: UFPR, 2012. 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 
2. ed. São Paulo: Blucher, 2013. 
A distribuição de tensões normais nas seções estranguladas pode ser considerada parabólica. 
Esse tipo de articulação sob o efeito de grandes rotações sofre fissura, porém quando essas rotações 
têm sentidos alternados, a segurança estrutural não é comprometida. Sob o efeito de pequenas 
rotações, o comportamento da articulação é elástico, dessa maneira é possível considerar que esse tipo 
de articulação pode ser dimensionado sem a consideração de qualquer excentricidade devido à rotação 
no apoio, sem que ocorra um grande problema. Para as rotações-limites no critério elástico, se admite 
que o momento correspondente a elas produza um diagrama triangular, que quando superposto ao 
diagrama parabólico não produzam tensões de tração. 
196
Unidade IV
Nas regiões imediatamente superior e inferior ao aparelho de apoio, ou seja, na região superior do 
pilar e/ou no fundo da viga, aparecem tensões de tração, conforme mostra a figura a seguir. 
x
a
-
+ b
a0
b
0
y
Figura 186 – Tensões transversais de tração 
 Lembrete 
As tensões de tração que ocorrem sobre aparelhos de apoio do tipo 
Freyssinet também ocorrem de forma similar em blocos parcialmente 
carregados, como mostra a figura Tensões na articulação tipo Freyssinet. 
 Observação
A articulação do tipo Freyssinet só pode ser aplicada para esforços de 
intensidade baixa, ou seja: 
H < V/8
Onde: 
H = esforço horizontal. 
V = esforço vertical. 
Articulações Mesnager 
Este tipo de articulação fixa que transmite os esforços por aderência tem funcionamento similar à 
articulação Freyssinet, porém com acréscimo de armaduras cruzadas ancoradas, para a transmissão das 
forças normal e cortante, em relação à seção do aparelho de apoio. 
197
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Corte longitudinal à viga Esquema do aparelho
Armadura
Viga
Pilar
N
N
H
H
Figura 187 – Ligação tipo Mesnager 
A seção do estrangulamento deve ser pequena, com dimensão que possa envolver a armadura, 
respeitando os cobrimentos da norma. 
Diferente da articulação Freyssinet, o concreto que reveste a armadura na seção do estrangulamento 
não possui função estrutural, ou seja, tem a finalidade de proteger a armadura, não sendo considerada 
na resistência da articulação. 
O dimensionamento desse tipo de articulação consiste em: 
• Verificar as barras de aço no trecho da seção estrangulada. 
• Verificar a aderência entre as barras e concreto. 
• Determinar a seção transversal. 
A articulação do tipo Mesnager não é utilizada para casos de grandes esforços. 
Articulações blindadas ou articulação Burkhardt 
Esse tipo de articulação consiste na utilização de duas chapas de aço de 8 milímetros de espessura, 
envolvendo superfícies cilíndricas. 
198
Unidade IV
 
Figura 188 – Articulação Burkhardt 
Pêndulos de concreto 
São peças prismáticas de concreto, duplamente articuladas na base e no topo no sentido longitudinal, 
se configurando basicamente como dois blocos de apoio opostos pelas bases. As articulações do tipo 
pendulares são: Freyssinet, Mesnager, contato e placas de chumbo. 
 Observação 
As placas de chumbo deixaram de ser utilizadas porque em função do 
tempo elas escoavam e deixavam de ter a forma original. 
Os pêndulos de concreto têm certas limitações quanto a deslocamentos admissíveis e também 
limitações físicas e geométricas. 
Esse tipo de articulação foi muito utilizado por ser de baixo custo e não necessitar de tanta 
manutenção. No entanto, deixou de ser usado quando surgiram os aparelhos de apoio elastoméricos. 
199
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Articulação 
de contato
Articulação 
Freyssinet
Articulação 
Mesnager
Articulação com 
placas de chumbo
Figura 189 – Pêndulos de concreto 
7.3.2 Aparelhos de apoio ou articulações em aço 
Pêndulos de aço 
São peças prismáticas de concreto duplamente articuladas na base e no topo, no sentido 
longitudinal, se configurando basicamente como dois blocos de apoio opostos pelas bases, similar 
aos pêndulos de concreto. 
 
Figura 190 – Pêndulos de aço 
Aparelhos de apoio do tipo escorregamento ou deslizamento 
Esse tipo de aparelho de apoio é considerado um aparelho de apoio móvel, permitindo tanto a translação 
quanto a rotação, gerando em seu vínculo somente a reação vertical, ou seja, o atrito é desprezado. 
Os primeiros aparelhos de apoio de deslizamento foram utilizados para pequenos vãos e consistiam 
em duas placas de aço polido com um lubrificante entre elas. Esse aparelho de apoio não possuía um 
bom funcionamento devido à corrosão e à sujeira que ficava retida no lubrificante, gerando grandes 
forças de atrito e prejudicando seu deslizamento. 
200
Unidade IV
 
Figura 191 – Aparelho de apoio do tipo escorregamento 
Os aparelhos de apoio do tipo deslizamento devem ter obrigatoriamente batentes para limitação 
de percurso. 
Aparelhos de apoio do tipo rolamento 
Os aparelhos de apoio do tipo rolamento consistem no contato de superfícies planas com superfícies 
curvas. São conseguidas por meio da combinação de chapas e roletes metálicos. Nos casos das articulações 
fixas, as chapas são feitas com concavidades usinadas e lubrificações onde se encaixa o rolete. 
 
Figura 192 – Articulações sem rolos metálicos 
 
Figura 193 – Articulações com rolos metálicos 
201
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Os aparelhos de apoio de rolamento podem ser: 
• Em rolo único. 
• Em rolos múltiplos. 
Os aparelhos de apoio em rolo único são os mais simples e geralmente utilizados para pequenas 
cargas, sendo capazes de absorver simultaneamente movimentos de rotação e translação. 
Chapa com encaixe
Barra
soldada
Figura 194 – Articulações com rolos metálicos (rolo único) 
 
Figura 195 – Articulações com rolos metálicos (rolo único) 
Os aparelhos de apoio com rolos múltiplos são utilizados quando o rolo único não é suficiente para 
resistir à reação vertical. Com esse tipo de aparelho de apoio a rotação da superestrutura fica impedida, 
o que gera a necessidade da criação de uma rótula, onerando e complicando a usinagem. 
202
Unidade IV
 
Figura 196 – Articulações com rolos metálicos (rolos múltiplos) 
7.3.3 Aparelhos de apoio elastoméricos 
Definição 
Em pontes é muito comum a utilização de aparelhos de apoio com elastômeros (lâminas de materiais 
elásticos), o mais usual é o neoprene ou borracha sintética (polipropileno). O neoprene é um elastômero 
sintético com propriedades elásticas semelhantes às da borracha natural, no entanto, tem uma grande 
resistência ao envelhecimento. 
Esses aparelhos de apoio funcionam por escorregamento (distorção) e vinculam algumas partes da 
estrutura, devendo ser capazes de resistir à compressão atuante, reduzindo a deformação e aumentando 
a capacidade resistência. A principal característica do neoprene é a pouca perda de forma quando 
comprimido e uma grande distorção, o que permite um grande deslocamento, não transmitindo aos 
pilares esforços do tipo parasitários (retração e temperatura). 
Os apoios elastoméricos permitem pequenos deslocamentoshorizontais, cerca de até 2/3 da soma 
das espessuras de neoprene do apoio, além de permitir rotações. 
HItg γ.t
t
a
α
M
N
∆t
Figura 197 – Funcionamento do aparelho de apoio em neoprene (deformação, rotação e afundamento) 
203
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
O aparelho de neoprene fretado é aquele em que chapas metálicas são vulcanizadas entre camadas 
de borracha, produzindo um efeito de cintamento, conhecido no meio técnico como fretagem. 
O funcionamento da borracha de neoprene se baseia em alguns pontos: 
• Acréscimo da resistência à compressão por meio da fretagem. 
• Distorção da borracha e do aço. 
• Redistribuição das tensões normais quando a rotação existente for inferior ao limite da borracha. 
 
Figura 198 – Aparelho de apoio em neoprene fretado 
 
Figura 199 – Aparelho de apoio em neoprene fretado sob longarina 
Quando os deslocamentos previstos ultrapassam a capacidade de deformação do elastômero, se faz 
a associação do elastômero com uma camada de teflon, o que permite um movimento de translação 
por deslizamento. 
O bom desempenho do aparelho de apoio em neoprene fretado depende da ligação do aço com o 
elastômero. O dimensionamento desses aparelhos de apoio exige verificações de: 
204
Unidade IV
• Escorregamento. 
• Estabilidade. 
• Verificação das espessuras de aço. 
Para esse tipo de aparelho de apoio, é necessário que se preveja a troca do aparelho em função do 
envelhecimento do elastômero. 
Superestrutura
Mesoestrutura
(a)
(b) (c)
Figura 200 – Articulação elástica deslizante Neoflon. (a) Parte superior revestida com 
chapa de aço revestida com aço inox; (b) Parte inferior revestida na face superior 
por folha de teflon; (c) Conjunto de placas que formam o Neoflon 
Aparelhos de apoio elastômero tipo panela 
Os aparelhos de apoio contidos, ou do tipo panela, como são conhecidos no meio técnico, são 
constituídos por uma panela de aço espessa, cheia de elastômero e tampada. Eles combinam duas 
propriedades desejáveis para aparelhos de apoio: 
• Capacidade de rotação com pequena resistência. 
• Transmissão da reação de apoio em uma área bem definida. 
Quando esse aparelho de apoio está sujeito a altas forças de compressão, o elastômero tem um 
comportamento igual ao de um líquido. Assim, a estanqueidade entre o disco elastomérico e a tampa 
é essencial para que não haja fuga do elastômero da panela, já que o comportamento do elastômero 
nesse caso é similar ao de um líquido viscoso. 
205
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Chapa superior
Junta exterior
Chapa inferior
Elastômero
Figura 201 – Esquema de aparelho de apoio tipo panela 
O tipo padrão de aparelho de apoio contido permite apenas rotação. As forças verticais são 
transmitidas ao disco elastomérico enquanto as horizontais são transmitidas da tampa diretamente ao 
vaso (panela). 
Disco elastomérico
Tampa
V
D
h F F
Centro de 
rotação
Vedação
Parede do vaso
Fundo do vaso
Figura 202 – Esquema de aparelho de apoio com elastômero contido tipo-padrão 
 
Figura 203 – Aparelho de apoio com elastômero contido tipo-padrão 
206
Unidade IV
Com algumas modificações, ou seja, com dispositivos adequados, certos aparelhos de apoio de 
neoprene contido podem ter alguns ou todos os deslocamentos horizontais impedidos: 
• Neoprene contido fixo. 
• Neoprene contido móvel em uma direção. 
• Neoprene contido móvel. 
A vantagem desse tipo de aparelhos de apoio é que eles absorvem pequenos recalques diferenciais 
de fundação, redistribuindo de maneira uniforme as tensões no topo dos pilares. Além disso, possuem 
uma altura muito pequena com peso próprio bem baixo, o que facilita sua utilização. 
Esses aparelhos de apoio são considerados especiais por não serem utilizados com tanta frequência. 
São necessários quando as rotações, reações ou deslocamentos nos aparelhos de apoio são de alta 
intensidade. Ou seja, eles têm uma maior capacidade de suporte. 
8 DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS HORIZONTAIS NOS APOIOS DE UMA PONTE 
Os esforços causados por ações horizontais nos apoios de uma ponte podem ser obtidos de forma 
similar aos das ações verticais. No entanto, quando causados pelas ações horizontais advindas da 
superestrutura devem ser obtidos considerando o conjunto formado pelos elementos da superestrutura 
e do apoio. 
8.1 Constantes elásticas dos apoios 
8.1.1 Definições 
Para o cálculo dos esforços nos apoios das pontes, provocados pelas ações da superestrutura, é 
realizada uma hipótese de proporcionalidade entre os deslocamentos horizontais e as reações horizontais. 
Esse fator de proporcionalidade é a constante elástica de apoio, que pode ser definida por meio de dois 
conceitos: rigidez e flexibilidade, que serão explicados com base na figura a seguir: 
x
F
x = 1
F = k F = 1
x = δ
Figura 204 – Esquema de rigidez e flexibilidade em um pilar engastado-livre 
207
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Rigidez (k) 
Rigidez ou coeficiente de rigidez k de um pilar é a força que produz uma deformação unitária no 
topo de um pilar. 
F
k 
x
=
 
Flexibilidade (δ) 
Flexibilidade ou coeficiente de flexibilidade δ pode ser definido como o deslocamento provocado por 
uma força unitária no topo de um pilar. 
1
 
F
δ =
 
Fazendo a correlação desses conceitos é que se determina que a rigidez será o inverso da flexibilidade. 
1
k =
δ 
Onde: 
k = coeficiente de rigidez ou rigidez. 
δ = coeficiente de flexibilidade ou flexibilidade. 
8.1.2 Coeficiente de rigidez de articulações 
Articulações fixas 
Nos casos de articulações fixas se tem: 
k = ∞
δ = 0
Articulações móveis 
Nos casos de articulações móveis se tem: 
k = 0
δ = ∞
208
Unidade IV
Rigidez do aparelho de apoio em neoprene (kn) 
Na rigidez ou coeficiente de rigidez do aparelho de apoio em neoprene, determinada pela sigla kn, se 
considera um deslocamento unitário δ = 1, conforme mostra a figura a seguir: 
δ = 1
kn
d
S = a x b
Figura 205 – Esquema para determinação de coeficiente de rigidez de aparelho de apoio em neoprene 
A fórmula para obtenção do coeficiente de rigidez kn será: 
n
n
0
n G S
k 
h
=
 
Onde: 
S = área em planta do neoprene. 
h0 = espessura do neoprene descontadas as chapas de aço. 
Gn = módulo de elasticidade transversal do neoprene. 
n = número de aparelhos de apoio. 
 Lembrete 
Aparelhos de apoios móveis (teflon, metálicos etc.) possuem coeficiente 
de rigidez iguais a 0 - kn = 0. Já aparelhos de apoio do tipo fixo (metálicos, 
Freyssinet, Mesnager etc.) possuem coeficiente de rigidez infinito - kn = ∞. 
Coeficiente de rigidez dos pilares (kp) 
Para pilares de seção prismática, ou seja, seção transversal constante, se considera que o coeficiente 
de rigidez é o inverso do coeficiente de flexibilidade, baseado na deformação de um pilar engastado-livre 
com deformação unitária, conforme mostra a figura a seguir: 
209
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
δ = 1
kp
Figura 206 – Esquema de rigidez de pilares prismáticos com deformação unitária 
Temos: 
c p
p 3
3 E I
k =
 
Onde: 
Ec = módulo de elasticidade do concreto. 
Ip = momento de inércia da seção transversal do pilar. 
 = comprimento do pilar. 
Para pilares biengastados com inércia constante, temos: 
c p
p 3
12 E I
k =
 
Para pilares de seção transversal variável, temos: 
F F F 1
Mo M1
F . x x
∆x
h h
x
∆ ∆
Figura 207 – Esquema de rigidez de pilares de seção variável 
210
Unidade IV
Temos: 
h h h 2
0 1
0 0 0
M M F . x . x F x
 dx dx dx
E I E I E I
∆ = = =∫ ∫ ∫
 
Dessa maneira: 
2h
0
E
k 
x
dx
I
=
∫
 
Coeficiente de rigidez do conjunto pilar aparelho de apoio (kpn) 
H = 1
1
δa
δp
δ
Figura 208 – Esquema de rigidez do conjunto pilar aparelho de apoio 
δ = δn + δp
Onde: 
δ = deslocamento ou flexibilidade do conjunto pilar mais aparelho de apoio. 
δn = deslocamento ou flexibilidade do aparelho de apoio. 
δp = deslocamento ou flexibilidade do pilar. 
Como visto anteriormente, a rigidez é o inverso da flexibilidade, portanto, a rigidez do conjunto pilar 
aparelhode apoio será: 
211
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
pn
n p
1
k 
1 1
k k
=
+
 
Ou ainda: 
p n
pn
p n
k .k
k 
k .k
=
 
Onde: 
kn = coeficiente de rigidez do aparelho de apoio. 
kp = coeficiente de rigidez do pilar. 
Centro elástico ou ponto indeslocável (x) 
A posição do centro elástico x é obtida a partir de um referencial fixo, por exemplo, a partir do 
pilar P1 da figura a seguir: 
x1n
x
x1i
x12
k1
P1
k2
P2
ki
Pi
kn
Pn
C.E.
Figura 209 – Esquema para determinação do centro elástico 
i ik x
x 
K
∑
=
 
Onde: 
xi = distância do pilar Pi ao pilar de referência P1. 
212
Unidade IV
x1
H1
P1
Hi
Pi
H2
∆1
M M’
∆M ∆M’
∆2 i∆
P2
Hn
Pn
x2
C.E.
xi
xn
Figura 210 – Esquema para determinação do centro elástico 
Rigidez da estrutura (K) 
Essa rigidez corresponde à força atuando no tabuleiro capaz de produzir um deslocamento unitário 
na sua direção. 
k1
k1
K
P1
ki
ki
Pi
k2
k2
∆ 1 = 1 ∆ 2 = 1 ∆ i = 1 ∆ n = 1
P2
kn
kn
Pn
Figura 211 – Esquema de rigidez da estrutura 
n
i
i 1 
K k
=
=∑
 
8.2 Pontes de tabuleiro reto ortogonal contínuo 
8.2.1 Efeito de uma força longitudinal 
Para calcular as reações de apoio provocadas por uma força horizontal longitudinal aplicada no 
tabuleiro de pontes, supomos que esse tabuleiro seja rígido, o que ocasiona uma translação do tabuleiro 
ao longo do eixo longitudinal da ponte. 
Partindo desse pressuposto, os deslocamentos horizontais no topo dos apoios terão o mesmo valor, 
no entanto, suas reações serão proporcionais à rigidez de cada apoio, conforme mostra a figura a seguir: 
213
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
R1
1
F
∆ ∆ ∆ ∆
R2
2
R3
3
R4
4
Figura 212 – Efeito da força longitudinal horizontal aplicada no tabuleiro 
Para cada apoio, se escreve a equação: 
i
i
i
R
k =
∆ 
Onde: 
ki = rigidez do apoio. 
Ri = Reação horizontal. 
∆i = deslocamento horizontal total no apoio. 
Como o deslocamento ∆i é igual em todos os apoios, temos: 
∆i = ∆ 
E também: 
Ri = ∆i . ki
É possível escrever conforme a condição de equilíbrio que: 
1 2 n nF R R .....R R= + + = ∑ 
Fazendo a substituição, temos: 
i i i
i
F
F R k k ou 
k
= ∑ = ∑ ∆ = ∆ ∑ ∆ =
∑ 
214
Unidade IV
Então: 
i
i i i i
i i
F k
R . k . k F . 
k k
= ∆ = =
∑ ∑ 
Efeito de uma força horizontal transversal 
Esse cálculo pode ser realizado de forma similar ao do caso anterior, considerando a rigidez dos 
apoios na direção transversal, assim como pode ocorrer a rotação do tabuleiro. 
Xi
x0
x1
R1
∆1
∆2
∆3
∆4
x2
x F
F Em planta
F . x
R2
x3
R3
x4
R4
β
α
C. E. T.
Figura 213 – Efeito da força transversal horizontal aplicada no tabuleiro 
Sob a ação de uma força horizontal transversal, um tabuleiro rígido pode sofrer rotação e translação, 
conforme a figura anterior. A rotação do tabuleiro se dará em torno de um ponto denominado centro 
elástico transversal (CET), definido como o baricentro das rigidezes dos apoios na direção transversal. 
A determinação do CET pode ser feita com processo usual para determinação de baricentros, 
conforme equação a seguir: 
ti tik . x 0∑ = 
Onde: 
kti = rigidez de cada apoio na direção transversal. 
xti = distância de cada apoio ao CET. 
215
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Podemos dividir os deslocamentos ∆i de cada apoio em duas parcelas, uma referente à translação (α) 
e outra relacionada ao efeito de rotação do tabuleiro (β. xti). Temos, então: 
∆i = α + β . xti
Portanto: 
Rti = ∆i . kti = (α + β . xti) . kti
Considerando a condição de equilíbrio de forças, se escreve: 
tiF R= ∑ 
Onde: 
Rti = reação transversal dos apoios. 
Fazendo a substituição, temos: 
( )ti ti ti ti tiF . x .k . k k .x = ∑ α + β = α ∑ + β∑ 
Sabendo que: 
ti tik .x 0∑ = 
Então: 
ti
ti
F
F k ou 
k
= α ∑ α =
∑
 
Utilizando a condição de equilíbrios de momentos, podemos escrever: 
ti tiF . x R . x= ∑ 
Onde: 
x = distância da força F ao CET. 
Substituindo a expressão de Rti, temos: 
( ) 2
ti ti ti ti ti tiF . x . x .k . x . k k .x = ∑ α + β = α ∑ + β∑ 
216
Unidade IV
Considerando as equações anteriores e fazendo as devidas substituições, temos: 
2
ti ti 2
ti ti
F . x 
F . x k .x ou 
k .x
=β∑ β =
∑ 
Sendo: 
tik K ∑ = 
2
ti tik .x J∑ = 
E pode ser reescrito da seguinte maneira: 
ti ti ti
F F . x
R .x .k
K J
 = +   
Quando for possível admitir a superestrutura como rígida, o processo Engesser-Courbon é utilizado. 
W
C. E.
ej
ei
k1
HT,1 HT,2 HT,i HT,n
kik2 kn
HT,i = W x Ki +
1
ΣKi
ej x ei
ΣKi x ei
2
Figura 214
Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro 
Algumas ações podem provocar a deformação longitudinal do tabuleiro, como, por exemplo, o efeito 
da protensão, a ação de retração e fluência do concreto, a variação de temperatura etc. Os apoios de 
217
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
pontes que têm articulações, sejam fixas ou elásticas, se opõem às deformações impostas por tais ações, 
resultando em reações e deslocamentos horizontais no topo desses apoios. 
Os deslocamentos do tabuleiro se dão em sentidos opostos na direção longitudinal do tabuleiro, 
existindo um ponto no qual a deformação é nula. Esse ponto é conhecido como baricentro das rigidezes 
dos apoios na direção longitudinal, denominado centro elástico longitudinal (CEL). 
Podemos determinar o CEL de forma similar ao CET: 
i ik . x 0∑ = 
Onde: 
ki = rigidez de cada apoio na direção longitudinal. 
xi = distância de cada apoio ao CEL. 
O deslocamento ∆i é proporcional à distância xi. 
∆i = ε . xi
Onde: 
ε = deformação específica do tabuleiro. 
Dessa forma: 
Ri = ∆i . ki = ε . xi . ki
xi
x0
x1 x4
x2 x3
1
2
3
C. E. L. 
4
Figura 215 – Efeito da deformação longitudinal do tabuleiro 
218
Unidade IV
8.3 Pontes de tabuleiro reto ortogonal descontínuo 
8.3.1 Procedimento de cálculo 
O caso mais comum de tabuleiros retos descontínuos de ponte ocorre quando os tramos da ponte 
são simplesmente apoiados, geralmente vigas pré-moldadas (protendidas) apoiadas sobre os pilares, em 
articulações elásticas (tipo neoprene). 
O cálculo de reações horizontais para esse caso pode ser realizado por processo de propagação, 
em que cada ação aplicada no tabuleiro é distribuída entre os apoios, por meio de coeficientes de 
propagação, que são obtidos por meio das rigidezes dos apoios. 
(1)
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
(i - 1)
(i - 1)
(i - 1)
(i - 1)
(i)
(i)
(i)
(i)
k
i
ki
ki ki
(i + 1)
(i + 1)
(i + 1)
(i + 1)
(n)
(n)
Figura 216 – Coeficientes de rigidez 
Os coeficientes de rigidez utilizados no processo de cálculo, conforme mostra a figura anterior, são: 
e
ik = rigidez do neoprene à esquerda do apoio i. 
d
ik = rigidez do neoprene à direita do apoio i. 
219
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
p
ik = rigidez do pilar do apoio i. 
ki = rigidez global da estrutura à esquerda do apoio (i + 1). 
ki = rigidez global da estrutura à direita do apoio (i - 1). 
Coeficientes de propagação 
Os coeficientes de propagação utilizados no processo são: 
i 1
i,i 1
i
F
 
F
−
−α =
 
Onde: 
αi,i-1 = coeficiente de propagação para esquerda. 
Pode-se determinar a força no topo de um apoio, se conhecida a força aplicada no topo do apoio 
vizinho que fica à sua direita. 
i 1
i,i 1
i
F
 
F
+
+α =
 
αi,i+1 = coeficiente de propagação para direita. 
Pode-se determinar a força no topo de um apoio, se conhecida a força aplicada no topo do apoio 
vizinho que fica à sua esquerda. 
(i)
(1)
(i - 1) (i) (i + 1)
(i + 1)
Fi-1 Fi Fi Fi+1
Figura 217 – Coeficientes de propagação 
Cálculo de αi,i-1 e ki 
A partir do esquema constante na figura “Coeficiente de rigidez”, podemos escrever o coeficiente de 
propagação à esquerda e o de rigidez global da estrutura à direita do apoio: 
220
Unidade IV
Fi-1
(i-1)
d d
di
p
di
e di
d
i
Fi-1 Fi
Fi
p
Figura 218 – Esquema de cálculo de αi,i-1 e ki 
i 1
i,i 1
i
F
 
F
−
−α =
 
i 1 i 1F k . d − −= 
p e
iid dd= − 
Podemos substituir nas expressões: 
( )p e
i 1 i 1 iiF k . d d− −= −
 
Dessa maneira, temos: 
p p p
i i id F /K= 
e e
i i 1 id F /K−= 
Substituindo, temos: 
p
i 1i
i 1 i 1 p e
ii
F F
F k . 
KK
−
− −
 
= − 
  
221
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
p
i 1i 1 i
i 1 e p
i i
k . F k
F . 1 
K K
−−
−
 
+ =   
p p
i i
i 1 e
i 1 i
K K
F . 
k K
−
−
 
+ 
  
Sabendo que: 
p
i 1 iiF . F F − + = 
p
i i 1iF F F−= − 
Portanto: 
p p
i i
i 1 i i 1e
i 1 i
K K
F . F F
k K
− −
−
 
+ = − 
  
p p
i i
i 1 ie
i 1 i
K K
F . 1 F 
k K
−
−
 
+ + = 
  
i 1
p p
i i i
e
i 1 i
F 1
 
F K K
1 
k K
−
−
=
+ +
 
i 1
i,i 1 p p
i i i
e
i 1 i
F 1
 
F K K
1 
k K
−
−
−
α = =
+ +
 
Com i = 0,1,2. . .. e α0,-1 = 0, onde n é número de tramos. 
Substituindo as expressões, temos: 
( )p
i i i,i 1 i i,i 1iF F F . F . 1 − −= − α = − α
 
222
Unidade IV
Temos, então: 
( )
p
p d ii
i i i ii p d
ii
F F
F k d d k . 
KK
 
= + = + 
  
Substituindo, temos: 
i i,i 1 i
i i p d
ii
F F
F k . 
KK
− − α
= + 
  
Logo: 
i
i,i 1 i
p d
ii
1
k 
1 F
KK
−
=
− α
+
 
Com i = 0,1,2......., n-1 
8.4 Cálculo dos esforços decorrentes de deformações internas da superestrutura 
O tabuleiro de uma ponte sofre diversas deformações devido às diversas ações. Sob ação da retração 
existe um encurtamento; sob a ação da temperatura o tabuleiro pode sofrer tanto alongamento 
quanto encurtamento. Os apoios da superestrutura são obrigados a absorverem e acompanharem esses 
movimentos, sentindo mais ou menos, devido ao seu tipo de vínculo com a superestrutura. 
8.4.1 Solicitações horizontais longitudinais de retração e variação de temperatura 
As variações de temperatura acabam produzindo alongamentos e encurtamentos no tabuleiro, 
fazendo com que os pilares trabalhem a flexocompressão no sentido longitudinal da ponte. 
As temperaturas na superfície do concreto variam muito ao longo do ano, mas no interior da massa 
do concreto elas ficam muito próximas. Assim, as normas para cálculo de pontes recomendam a utilização 
de um valor médio de temperatura atuando em toda a ponte. Esse valor pode ser tomado como sendo: 
∆t = ± 10°C
Também se pode considerar que o coeficiente de dilatação térmica do concreto seja: 
α = 10-5/°C 
A retração do concreto também produz encurtamento no tabuleiro de uma ponte, e depende muito 
do tipo de concreto e da cura à qual esse concreto é submetido. A recomendação das normas brasileiras 
é a de tomar um valor médio equivalente a 15 °C. 
223
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
A retração do concreto e a variação de temperatura são estudadas em conjunto, resultando em uma 
variação de temperatura de ∆t = 25 °C. 
Dessa forma, se pode definir que o encurtamento longitudinal provocado pelos dois efeitos é 
expresso por: 
εt = 25x10-5
Quando existe o efeito de protensão, o encurtamento relativo a ela é expresso por: 
p 
E
σ
ε =
 
Onde: 
σ = tensão normal de protensão média. 
εp = encurtamento específico de protensão. 
E = módulo de elasticidade do concreto. 
Assim, o encurtamento total relativo aos efeitos da temperatura e aos efeitos de protensão pode ser 
expresso por: 
εf = εt + εp
εf = encurtamento final total. 
εt = encurtamento provocado pelos efeitos de temperatura e retração. 
εp = encurtamento provocado pelo efeito de protensão. 
A força em cada pilar da ponte provocada por esses efeitos pode ser definida por meio da expressão: 
F = Kαc∆tx
Onde: 
K = rigidez do conjunto pilar mais aparelho de apoio. 
αc = coeficiente de dilatação térmica do concreto. 
∆t = variação de temperatura. 
x = distância do pilar estudado ao ponto indeslocável do tabuleiro. 
224
Unidade IV
8.4.2 Empuxo de terra nos pilares 
Quando os pilares de uma ponte possuem aparelhos de apoios móveis e recebem empuxos de terra, 
esses empuxos devem ser resistidos pelos próprios pilares de forma isolada, ou seja, eles se comportarão 
como vigas em balanço (para esses esforços devido ao empuxo). 
Em pilares em que existam aparelhos de apoio de borracha sintética ou engastados na superestrutura, 
o empuxo de terra provoca uma ação horizontal. Para a resolução desse problema, é possível utilizar o 
artifício de separação das deslocabilidades. 
E
E
R1
R1
a)
b)
Figura 219 – Distribuição do empuxo de terra E entre os pilares. a) esquema admitindo o 
tabuleiro apoiado horizontalmente; b) aplicação da reação R1 na estrutura real 
Da figura anterior se entende que no pilar extremo, chamado aqui de P1, incide o empuxo de terra 
E. Quando se admite que esse pilar tenha um apoio fictício em seu topo, surge uma reação contrária ao 
empuxo, denominada de R1, calculada considerando o pilar engastado em sua base e rotulado em sua 
extremidade. Como esse apoio é fictício, aplica-se na estrutura uma força -R1, que em função da rigidez 
do tabuleiro distribui-se para os pilares da ponte. 
A parcela recebida pelo pilar P1 será: 
1
1
K
 R 
K
− =
∑ 
A reação efetiva no topo do pilar P1 será: 
1
1
K
R 1 
K
 = −  ∑ 
225
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Nos casos de pilares com aparelhos de apoio elastoméricos, a reação R1 é reduzida inicialmente pela 
flexibilidade do apoio, supondo o estado indeslocável. Obtêm-se então a reação: 
3
0n n n
1 1
pn 0 c c n
n p
hK K G S L
R R 
1K h 3 E I G S
 
= = +  
δ + δ
 
Onde: 
Kn = rigidez do aparelho de apoio. 
δn e δp = deslocabilidade do pilar e do aparelho de apoio. 
Kpn = rigidez do conjunto pilar mais aparelho de apoio. 
A reação final considerando a deslocabilidade do tabuleiro será: 
pnn
1
pn
KK
R 1 
K K
 
− ∑  
8.4.3 Empuxo de terra na cortina durante a execução 
Esse efeito ocorre durante a execução do aterro no encontro da ponte. 
E
Ka . γ
Figura 220 – Empuxo assimétrico em cortinas de extremidade 
A pressão do solo na base do triângulo de pressões é definida por: 
p = ka γ h
Onde: 
p = pressão do solo na base do triângulo. 
226
Unidade IV
ka = coeficiente de empuxo ativo. 
γ = peso específico do terrapleno ou material do aterro com valor igual a 18 kN/m³. 
h = altura da cortina. 
O coeficiente de empuxo ativo ka é definido pela expressão a seguir: 
2
ak tg 45 
2
ϕ = −   
Sendo: 
ϕ = ângulo de atrito interno do solo, geralmente em torno de 30º. 
Considerando ϕ = 30º 
ka = 1/3 ou 0,333
O valor de empuxo aplicado na cortina durante a execução do aterro será a resultante do triângulo 
vezes o comprimento transversal da cortina, ou seja: 
a
1
E k . .h . . h . b
2
= γ
 
Portanto: 
2
a
1
E k . . h . b
2
= γ
 
8.4.4 Empuxo de terra na cortina para quando o veículo-tipo passar sobre o aterro 
O empuxo decorrente de uma carga móvel sobre o aterro de acesso pode ser calculado considerando 
um carregamento uniformemente distribuído por meio da transformação do peso-próprio do 
veículo-tipo em um carregamento equivalente, uniformemente distribuído e composto da carga de 
multidão, pela seguinte formulação: 
v
Peso do veículo
q 
Área do veículo
=
 
227
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Quando se considera o veículo TB 450, temos: 
v
450
q 25 kN / m²
3 . 6
= =
 
Onde: 
qv = carga devido ao veículo. 
Para considerar a carga de multidão juntamente com o veículo-tipo, é necessário utilizar a fórmula 
a seguir: 
( )vq . largura do veículo q . b largura do veículo
q 
b
+ −
=
 
Onde: 
b = comprimento da cortina ou viga de fechamento. 
q = carga devido ao efeito de multidão tomada com valor de 5kN/m². 
Considerando o carregamento uniformemente distribuído sobre o aterro, o empuxo horizontal na 
viga de fechamento, decorrente da carga móvel, será conforme mostra a fórmula a seguir: 
q aE k .q . h . b=
 
8.4.5 Empuxo de terra com solicitações horizontais longitudinais nos pilares extremos 
Pilares extremos de pontes sofrem ação dos aterros, solicitando os pilares paraesforços 
horizontais longitudinais. 
Segundo a NBR 7187:2003, para compensar o efeito cunha do talude, se adota uma largura fictícia 
para o pilar igual a três vezes a sua largura natural. 
3Dp Dp
Figura 221 – Empuxo de terra no pilar de extremidade segundo a NBR 7187:2003 
Considerando o pilar como circular e diâmetro Dp, temos a determinação do empuxo por meio da 
fórmula a seguir: 
228
Unidade IV
p
1
E . 3 . D . p . h 
2
=
 
Sendo: 
p = ka γ h
Onde: 
p = pressão na base triangular. 
8.4.6 Solicitações horizontais longitudinais totais 
Método da superposição dos efeitos 
As solicitações horizontais longitudinais totais serão obtidas pela superposição dos efeitos, 
determinada pela fórmula: 
R F= ∑ 
Onde: 
R = somatória de todas as solicitações distribuídas no topo dos pilares por meio de um coeficiente 
de distribuição mais o efeito de retração e a variação de temperatura: 
Fi=Ki . ε . ρi + μi . R(FAETC) + μi . R(ETP1) + μi . R(ETPu)
Onde: 
Ki = constante de mola de cada pilar. 
ε = coeficiente de dilatação térmica do material. 
ρi = distância de cada pilar ao centro elástico. 
μi = coeficiente de distribuição de cada pilar. 
R(FAETC) = esforços de frenagem/aceleração, empuxo de terra na cortina. 
R(ETP1) = esforços de empuxo de terra no pilar P1. 
R(ETPu) = esforços de empuxo de terra no pilar Pu, ou seja, no último pilar. 
229
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Método da dissociação dos efeitos: solicitações horizontais transversais devido ao vento 
Com este procedimento os esforços são dissociados, isto é, são tomados isoladamente em cada pilar 
para obtenção dos momentos na base dos pilares. 
As solicitações de vento são calculadas de acordo com o que está na NBR 6123:1988 e podem ser 
classificadas para pontes ferroviárias, pontes rodoviárias e pontes de pedestres, ou seja, determina-se a 
altura de incidência do carregamento de vento de acordo com a estrutura. 
Uma vez que a altura de vento na estrutura esteja definida, se calcula o valor da carga de vento com 
a seguinte expressão: 
w = pw h Lw
Onde: 
w = carga total de vento em kN. 
pw = carga uniforme de vento por metro linear em função da natureza da ponte. 
Lw = comprimento total da incidência do carregamento pw. 
 Saiba mais
Para saber mais sobre distribuição de solicitações horizontais em 
tabuleiros de vigas, leia os textos: 
FREITAS, M. Infraestrutura de pontes de vigas: distribuição de ações 
horizontais – método geral de cálculo. São Paulo: Blucher, 2001. 
PFEIL, W. Pontes em concreto armado. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos Editora, 1985. 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). 
São Paulo: [s.e.], 2006. 
Exemplo de aplicação 
Calcular os esforços horizontais longitudinais solicitantes para os pilares da ponte classe 450, 
conforme esquema da figura a seguir: 
230
Unidade IV
2500 1500
11
00
13
00
50
0
60
0
600
1
2
3
4
6001500
Figura 222
Sabe-se que no topo do pilar P1 existe uma articulação do tipo Freyssinet; no topo dos outros pilares 
existem aparelhos de apoio em neoprene fretado, conforme mostra a figura a seguir: 
Aparelhos de neoprene
hn = 47 mm30 cm
6 cm
60 cm
Figura 223 
27
5
21
0
80
20 25
40 1180 40
17,5 17,55
7
45
20
20
15
60 60
-2% -2%
250 250
150 150
760
40
40
Figura 224
Todos os pilares têm diâmetro de 1,0 m. Considerar empuxo assimétrico no encontro e uma variação 
de temperatura de +15 ºC, e um efeito de frenagem/aceleração devido ao veículo-tipo. O fck da ponte 
deve ser tomado igual a 30MPa. Além disso, o tabuleiro é composto de um pilar em cada eixo.
231
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Resolução
Forças horizontais longitudinais sobre o tabuleiro 
Frenagem/Aceleração: 
A força de frenagem/aceleração será definida pelo maior dos valores a seguir: 
f
0,3 x peso veículo
H
5% . q . B . L . CNF

≥ 
 
Como se trata de uma ponte classe 450, o veículo-tipo é o TB 450, que tem seu peso total igual 
a 450 kN. 
A carga q tem valor igual a 5 kN/m², dessa forma, podemos reescrever a equação anterior da 
seguinte maneira: 
f
0,3 x 450 1 35 kN
H
0,25 . B . L . CNF
=
≥ 
 
Onde: 
B = largura do tabuleiro, em que possa haver veículo trafegando, para o nosso caso, conforme 
mostra a igual 11,8 m. 
L = comprimento do tabuleiro, conforme dados da figura igual a 67 m. 
Coeficiente de número de faixas (CNF) 
CNF = 1 - 0,05 (n-2)
Onde: 
n = número de faixas carregadas que podem ser tomadas como: 
b
n utilizar a razão inteira entre a largura do tabuleiro / 3,5
3,5
= →
 
b 11,8
n 3,37 3
3,5 3,5
= = = ∴
 
CNF = 1 - 0,05 (3 - 2) = 0,95
Assim, temos: 
232
Unidade IV
f
0,3 x 450 1 35 kN
H
0,25 .1 1,8 . 67 . 0,95 1 87,77 kN
=
≥  = 
Hf = 187,77kN
Empuxo assimétrico na cortina: 
q
H
p2 p1
Figura 225
O empuxo decorrente de uma carga móvel sobre o aterro de acesso pode ser calculado considerando 
um carregamento uniformemente distribuído, por meio da transformação do peso-próprio do veículo-tipo 
em um carregamento equivalente, uniformemente distribuído, e composto da carga de multidão, pela 
seguinte formulação: 
v
Peso do veículo
q 
Área do veículo
=
 
Quando se considera o veículo TB 450, temos: 
v
450
 q 25 kN / m²
3 . 6
= =
 
Onde: 
qv = carga devido ao veículo. 
Para considerar a carga de multidão juntamente com o veículo-tipo, é necessário utilizar a fórmula 
a seguir: 
233
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
( )vq . largura do veículo q . b largura do veículo
q 
b
+ −
=
 
Onde: 
b = comprimento da cortina ou viga de fechamento, para o nosso caso, conforme figura 
anterior, temos: 
b = 250 + 760 + 250 = 1260 cm ou 12,6 m
q = carga devido ao efeito de multidão tomada com valor de 5kN/m². 
( )25 . 3 5 . 12,6 3
q 9,76 kN / m²
12,6
+ −
= =
 
Considerando o carregamento uniformemente distribuído sobre o aterro, o empuxo horizontal na 
viga de fechamento, decorrente da carga móvel, será conforme mostra a fórmula a seguir: 
Eq = ka . q . h . b
Sendo: 
ka = coeficiente de empuxo ativo, tomado igual a 0,333. 
h = altura da cortina igual a 2,75 m, conforme mostra a figura anterior. 
Eq = 0,333 . 9,76 . 2,75 . 12,6 = 112,62kN
a) Rigidez dos pilares e dos aparelhos de apoio 
Rigidez do aparelho de apoio em neoprene 
n
n
0
n G S 1000 . 0,18 
k 3829,8 kN / m
h 0,047
= = =
 
Onde: 
Gn = 1000kN/m2
S = 0,3m .0,6 m = 0,18 m2
h0 = 47 mm ou 0,047 m
234
Unidade IV
Rigidez do pilar P1:
c p
p 3
3 E I
k =
 
Onde: 
Ec = módulo de elasticidade do concreto. 
Ip = momento de inércia da seção transversal do pilar. 
 = comprimento do pilar. 
cE 0,85 . 5600 30 26072 MPa= = 
cE 26072000 kN / m²=
Inércia do pilar circular: 
4
4
p
 . 
I 0,04908 m
64
π φ
= =
 
Com a altura do pilar P1 igual a 6 m, temos: 
p1 3
3 . 26072000 . 0,04908
k 
6
=
 
pk 1 7772,4 kN / m=
 
Rigidez do conjunto pilar P2 + aparelho de apoio 
Rigidez do pilar P2: 
p2 3
3 . 26072000 . 0,04908
k 2884,2 kN / m
11
= =
 
Rigidez do conjunto: 
235
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
p n
pn,2
p n
k .k 2884,2 . 3829,8
k 1 645,21 kN / m
k .k 2884,2 3829,8
= = =
+
 
Rigidez do conjunto pilar P3 + aparelho de apoio: 
p3 3
3 . 26072000 . 0,04908
k 1747,31 kN / m
13
= =
 
Rigidez do conjunto: 
p n
pn,3
p n
k .k 1747,31 . 3829,8
k 1 199,88 kN / m
k .k 1747,31 3829,8
= = =
+
 
Rigidez do conjunto pilar P4 + aparelho de apoio: 
p3 3
3 . 26072000 . 0,04908
k 30710,73 kN / m
5
= =
 
Rigidez do conjunto: 
p n
pn,3
p n
k .k 30710,73 . 3829,8
k 3405,16 kN / m
k .k 30710,73 3829,8
= = =
+
 
b) Centro elástico 
Tabela 12 
Pilar xi (m) ki (kN/m) Σxi ki (kN)
P1 6 17772,41 106634,46
P2 21 1645,21 34549,41
P3 46 1199,88 55194,48
P4 61 30710,73 1873354,53
Somatórios 51328,23 2069732,88
A última coluna da tabela anterior é o resultado do produto kixi, ou seja: 
6.17772,41 = 106634.46
Dessa maneira, conseguimos obter o centro elástico por meio da fórmula a seguir: 
236
UnidadeIV
i ik x 2069732,88
x 52,01 m
K 51328,23
∑
= = =
 
25001500 1500
ce
nt
ro
el
ás
tic
o
11
00
5201
13
00
50
0
600
1
2
3
4
x
60
0
600
Figura 226
c) Forças horizontais no topo de cada pilar 
Devido à variação de temperatura: 
F = K αc∆tx
Onde: 
K = rigidez do conjunto pilar mais aparelho de apoio. 
αc = coeficiente de dilatação térmica do concreto = 10-5/°C.
∆t = variação de temperatura = +15 ºC. 
x = distância do pilar estudado ao ponto indeslocável do tabuleiro. 
FP,1 = 17772,41 . 10-5 . 15. (52,01 - 6) = 122,66 kN ← para esquerda
FP,2 = 1645,21 . 10-5 . 15. (52,01 - 21) = 7,65 kN ← para esquerda
FP,3 = 1199,88 . 10-5 . 15. (52,01 - 46) = 1,08 kN ← para esquerda
FP,4 = 30710,73 . 10-5 . 15. (61 - 52,01) = 41,41 kN ← para direita
Devido à frenagem/aceleração + empuxo assimétrico 
Esforço devido à frenagem/aceleração: 
237
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
Hf = 187,77kN
Esforço devido ao empuxo assimétrico: 
Eq = 0,333 .9,76 .2,75 .12,6 = 112,62 kN
Determinação dos coeficientes de distribuição: 
i
i
i
k
 
k
µ =
∑ 
1
17772,41
 0,35
51328,53
µ = =
 
2
1645,21
 0,03
51328,53
µ = =
 
3
1199,88
 0,02
51328,53
µ = =
 
4
30710,73
 0,60
51328,53
µ = =
 
Distribuição das forças: 
FP = μi .(Hf + Eq)
FP1 = μ1 . (Hf + Eq) = 0,35 .(187,77 + 112,62) = 105,13 ↔
FP2 = μ2 . (Hf + Eq) = 0,03 .(187,77 + 112,62) = 9,01 ↔
FP3 = μ3 . (Hf + Eq) = 0,02 .(187,77 + 112,62) = 6,0 ↔
FP4 = μ4 . (Hf + Eq) = 0,6 .(187,77 + 112,62) = 180,23 ↔
Onde: 
↔ para direita ou para esquerda. 
A combinação utilizada para dimensionamento é aquela em que ocorre o efeito mais desfavorável 
ao pilar, por exemplo, para o pilar P1 
238
Unidade IV
A combinação mais desfavorável é aquela em que as forças vão para esquerda do centro elástico, 
resultando em: 
F1 = 122,66 + 105,13 = 227,79 kN ← para esquerda do centro elástico
As demais forças são feitas de maneira similar. 
 Resumo
Foram estudados os elementos da mesoestrutura e da infraestrutura, 
bem como a distribuição dos esforços nesses elementos. 
Além disso, se apresentou os tipos de articulação, seja fixa ou móvel, 
os tipos de aparelhos de apoio e suas especificidades, bem como o 
entendimento de seu funcionamento. 
Por fim, foi analisada a atuação de cada tipo de esforço e como é 
realizada a repartição entre os pilares, dependendo do tipo de articulação 
e aparelho de apoio. 
 Exercícios
Questão 1. (MPE-RS 2015) Assinale a alternativa que apresenta corretamente a função dos aparelhos 
de apoio em uma ponte ou viaduto:
A) Fixar rigidamente o tabuleiro no encosto de uma ponte ou viaduto.
B) Transmitir aos apoios os momentos fletores e torçores provenientes do tabuleiro.
C) Garantir o nivelamento do tabuleiro em relação aos apoios.
D) Servir de engaste do tabuleiro em relação aos pilares e fundações da ponte ou viaduto.
E) Permitir os movimentos multidirecionais do tabuleiro em relação aos apoios.
Resposta correta: alternativa E.
Análise da questão
Os aparelhos de apoio são dispositivos que fazem a transição entre a superestrutura e a 
mesoestrutura ou a infraestrutura, nas pontes não aporticadas. As três principais funções dos aparelhos 
239
PONTES E GRANDES ESTRUTURAS
de apoio são: transmitir as cargas da superestrutura à mesoestrutura ou à infraestrutura; permitir os 
movimentos longitudinais da superestrutura, devidos à retração própria da superestrutura e aos efeitos 
da temperatura, expansão e retração; permitir as rotações da superestrutura, motivadas pelas deflexões 
provocadas pela carga permanente e pela carga móvel.
Questão 2. (Cespe 2017) Um viaduto é formado por duas pistas de rolamento independentes uma 
da outra. A superestrutura de cada pista é formada por três vigas pré-moldadas em forma de I, de 
concreto protendido, sendo duas vigas para suporte direto à pista de rolamento e a terceira, com altura 
menor, para suporte do passeio lateral. As vigas estão apoiadas em consolos curtos localizados no bordo 
inferior das travessas de apoio no topo dos pilares. A sustentação das vigas é feita por aparelhos de 
apoio de neoprene fretado. Os pilares, um para cada via, têm seção retangular vazada com dimensões 
externas de 2,0 m × 1,50 m. Antes da inauguração da obra, uma vistoria constatou fissuras nas travessas 
de apoio no topo dos pilares, na ligação dos consolos com a alma das travessas, prolongando-se para 
baixo dos consolos, conforme esquematizado na figura a seguir.
Fissura
Figura
Considerando-se que os danos tenham ficado restritos à mesoestrutura do viaduto, não havendo 
nenhuma anomalia na superestrutura, as fissuras observadas foram possivelmente causadas por:
A) Insuficiência das áreas de sapata, o que provocou os recalques.
B) Insuficiência de armadura vertical, visto que a região fissurada está submetida a tensões de tração 
provocadas pela reação de apoio das vigas longitudinais.
C) Efeitos de segunda ordem provocados pela flexibilidade da estrutura, que não apresenta 
contraventamentos suficientes.
D) Fenômeno conhecido como empuxo no vazio.
E) Falha na execução do escoramento aliada à inadequação dos aparelhos de apoio para esse tipo 
de estrutura.
Resposta correta: alternativa B.
240
Unidade IV
Análise das alternativas.
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: se as áreas das sapatas fossem insuficientes, o problema também ocorreria no pilar.
B) Alternativa correta.
Justificativa: o problema não está na sapata. Para que ocorra a fissura indicada, deve haver 
insuficiência de armadura vertical, visto que a região fissurada está submetida a tensões de tração 
provocadas pela reação de apoio das vigas longitudinais.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: a mesma justificativa da alternativa A.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: empuxo no vazio é um fenômeno que ocorre com as armaduras “curvadas”, que tendem 
a se tornar retas com o esforço de tração.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: não há inadequação nos aparelhos de apoio, visto que o problema não provocou 
nenhuma alteração de seu comportamento.
241
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES 
Figura 1 
GARCIA, M. F. Engenharia do Brasil: 90 anos do Instituto de Engenharia. São Paulo: Sabesp, 2007. p. 159. 
Figura 2 
SETTI, J. B. Ferrovias no Brasil. Memória do Trem: [s.l.], 2008. p. 94. 
Figura 3 
SETTI, J. B. Ferrovias no Brasil. Memória do Trem: [s.l.], 2008. p. 136. 
Figura 4 
FERNANDEZ, J. A. O. Eugène Freyssinet. Barcelona: 2c Ediciones, 1979. p. 137. 
Figura 14 
US DEPARTMENT OF TRANSPORTATION. Steel bridge design handbook: redundancy. Washington D.C.: 
Federal Highway Administration, 2015. p. 4 
Figura 20 
GARCIA, M. F. Engenharia do Brasil: 90 anos do Instituto de Engenharia. São Paulo: Sabesp, 2007. p. 74. 
Figura 28 
BRASIL. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de projeto de obras de arte 
especiais. Rio de Janeiro, 1996. figura 8. 
Figura 40 
BRASIL. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de projeto de obras de arte 
especiais. Rio de Janeiro, 1996. figura 13. 
Figura 57 
FERNANDES, J. Fuso horário, aventuras de um viajante apressado. São Paulo: Frequência Livre Editora e 
Comércio, 2008. p. 124. 
242
Figura 58 
LOPES, J. M.; BOGÉA, M.; YOPANAN, R. Arquiteturas da engenharia ou engenharias da arquitetura. 
São Paulo: Mandarim, 2006. fl. 111. 
Figura 59 
FERNANDEZ, J. A. O. Eugène Freyssinet. Barcelona: 2c Ediciones, 1979. p. 100. 
Figura 61 
FERNANDEZ, J. A. O. Eugène Freyssinet. Barcelona: 2c Ediciones, 1979. p. 117. 
Figura 62 
TZONIS, A. Santiago Calatrava: the poetics of movement. Nova York: Universe Publishing, 1999. p. 131. 
Figura 65 
VASCONCELOS, A. C. Pontes brasileiras: viadutos e passarelas notáveis. São Paulo: Edição de autor, 
2012. p. 65. 
Figura 66 
US DEPARTMENT OF TRANSPORTATION. Steel bridge design handbook: redundancy. Washington D.C.: 
Federal Highway Administration, 2015. p. 15. 
Figura 68 
LOPES, J. M.; BOGÉA, M.; YOPANAN, R. Arquiteturas da engenharia ou engenharias da arquitetura. 
São Paulo:Mandarim, 2006. fl. 113. Adaptada. 
Figura 69 
TZONIS, A. Santiago Calatrava: the poetics of movement. Nova York: Universe Publishing, 1999. p. 119. 
Figura 70 
TZONIS, A. Santiago Calatrava: the poetics of movement. Nova York: Universe Publishing, 1999. p. 118. 
Figura 71 
CIDADE, D. F.; DIAZ, B. E.; JUDICE, F. M. S. Consideração de efeitos reológicos em pontes estaiadas. 
Engenharia Estudo e Pesquisa, v. 18, n. 2, p. 23-30, jul./dez. 2018. p. 26. 
243
Figura 74 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 91. 
Figura 89 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 40. 
Figura 90 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 40. 
Figura 91 
VASCONCELOS, A. C. Pontes brasileiras: viadutos e passarelas notáveis. 2. ed. São Paulo: Edição de 
autor, 2012. p. 411. 
Figura 92 
VASCONCELOS, A. C. Pontes brasileiras: viadutos e passarelas notáveis. 2. ed. São Paulo: Edição de 
autor, 2012. p. 389. 
Figura 94 
VASCONCELOS, A. C. Pontes brasileiras: viadutos e passarelas notáveis. 2. ed. São Paulo: Edição de 
autor, 2012. p. 370. 
Figura 95 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 44. 
Figura 100 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. São Carlos: USP, 2007. p. 18. 
Figura 102 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 45. 
244
Figura 103 
MASON, J. Pontes em concreto armado e protendido: princípios de projeto e cálculo. Rio de Janeiro, 
LTC, 1977. p. 96. 
Figura 107 
GARCIA, M. F. Engenharia do Brasil: 90 anos do Instituto de Engenharia. São Paulo: Sabesp, 2007. p. 117. 
Figura 108 
LEONHARDT, F. Construções de concreto - volume VI: princípios básicos da construção de pontes de 
concreto. Rio de Janeiro: Interciência, 1979. p. 49. 
Figura 115 
ABNT. NBR 07188: carga móvel em ponte rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e 
outras estruturas. Rio de Janeiro: ABNT, 2013. 
Figura 124 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. São Carlos: USP, 2007. p. 47. 
Figura 125 
ABNT. NBR 8681: ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2013. 
Figura 132 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). São Paulo: [s.e.], 2006. figura 18. 
Figura 135 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.14. Adaptada. 
Figura 136 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). São Paulo: [s.e.], 2006. figura 1. 
Figura 137 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). São Paulo: [s.e.], 2006. figura 3. 
245
Figura 138 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). São Paulo: [s.e.], 2006. figura 2. 
Figura 139 
STUCCHI, F. R. PEF-2404: pontes e grandes estruturas (notas de aula). São Paulo: [s.e.], 2006. figura 4. 
Figura 140 
SPERNAU, W. Apostila de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, 2012. 
Figura 146 
JOVEM T. P. et al. Análise comparativa da distribuição de carga em pontes hiperestáticas de concreto 
armado com múltiplas longarinas por meio de modelos analíticos clássicos e do método dos 
elementos finitos. Rio de Janeiro: IX Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas, 2016. figura 7. 
Figura 147 
HOMBERG-TRENKS, D. Ein Handbuch für den Brückenbau. Berlim/Göttingen/Heidelberg: Springer, 
1962. p. 3.
Figura 148 
HOMBERG-TRENKS, D. Ein Handbuch für den Brückenbau. Berlim/Göttingen/Heidelberg: Springer, 
1962. p. 217.
Figura 149 
HOMBERG-TRENKS, D. Ein Handbuch für den Brückenbau. Berlim/Göttingen/Heidelberg: Springer, 
1962. p. 217.
Figura 150 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.18. Adaptada. 
Figura 151 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.19. Adaptada. 
246
Figura 152 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.20. Adaptada. 
Figura 153 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.21. Adaptada. 
Figura 154 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.22. Adaptada. 
Figura 156 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 54. 
Figura 157 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 55. 
Figura 158 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 55. 
Figura 159 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.23. Adaptada. 
Figura 160 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.24. Adaptada. 
Figura 161 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.25. Adaptada. 
247
Figura 162 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.28. Adaptada. 
Figura 183 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 58. 
Figura 184 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 58. 
Figura 186 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 59. 
Figura 187 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 60. 
Figura 189 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 61. 
Figura 191 
CARVALHO, R. C. Curso de pontes (notas de aula). Florianópolis: UFSC, [s.d.]. p. 62. 
Figura 200 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 3.29. 
Figura 207 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.2. 
Figura 212 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.4. 
248
Figura 213 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.5. 
Figura 215 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.6. 
Figura 216 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, SãoCarlos, 2009. figura 7.7. 
Figura 217 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.8. 
Figura 218 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
disciplina SET-412 – Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. figura 7.9. 
REFERÊNCIAS 
Textuais 
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ABNT. NBR 7187: projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - procedimento. Rio 
de Janeiro, 2003. 
ABNT. NBR 7188: carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras 
estruturas. Rio de Janeiro, 2013. 
ABNT. NBR 7189: cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias. Rio de Janeiro, 1985. 
ABNT. NBR 8681: ações e segurança nas estruturas - procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
ABNT. NBR 14885: segurança no tráfego – barreiras de concreto. Rio de Janeiro, 2016. 
249
ABNT. NBR 14885: segurança no tráfego – defensas metálicas – implantação. Rio de Janeiro, 2012. 
ARAÚJO, D. Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas: atualizado pela NBR 
7188:2013. 2. ed. Goiânia: UFG, 2018. 
BRASIL. Manual de projeto de obras de arte especiais. Ministério dos Transportes: Rio de Janeiro, 1966. 
BRASIL. Ministério do Trabalho e Empego. Portaria n. 3.214, de 8 de junho de 1978 (DOU de 6 de julho 
de 1978 – suplemento). NR12: Segurança no trabalho em máquinas e equipamentos. Brasília, 1978. 
CAVALCANTI, G. H. F. Pontes em concreto armado: análise e dimensionamento. São Paulo: Blucher, 2019. 
DEBS, M. K. l. E.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. 2009. Texto provisório de apoio à 
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Exercícios
Unidade I – Questão 1: FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. Concurso Público Tribunal de Contas do Estado 
do Paraná 2011: Analista de Controle. Questão 73. Disponível em: https://s3.amazonaws.com/files-s3.
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Unidade I – Questão 2: FUNDAÇÃO CESGRANRIO. Concurso Público Petrobras 2014: 
Engenheiro(a) Civil Júnior. Questão 57. Disponível em: https://arquivos.qconcursos.com/prova/
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Unidade II – Questão 1: Concurso Público Petrobras 2011: Engenheiro(a) Civil Júnior. Questão 67. 
Disponível em: https://s3.amazonaws.com/files-s3.iesde.com.br/resolucaoq/prova/prova/3402.pdf. 
Acesso em: 30 abr. 2020.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO BRASILEIRO DE FORMAÇÃO E CAPACITAÇÃO (IBFC). Concurso 
Público Governo do Estado do Rio de Janeiro 2013: Perito Criminal de 3a classe. Questão 34. 
Disponível em: https://arquivos.qconcursos.com/prova/arquivo_prova/32616/ibfc-2013-pc-
rj-perito-criminal-engenharia-civil-prova.pdf?_ga=2.262698955.653048855.1588269561-
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Unidade III – Questão 1: INSTITUTO BRASILEIRO DE FORMAÇÃO E CAPACITAÇÃO (IBFC). Concurso 
Público Governo do Estado do Rio de Janeiro 2013: Perito Criminal de 3a classe. Questão 41. 
Disponível em: https://arquivos.qconcursos.com/prova/arquivo_prova/32616/ibfc-2013-pc-
rj-perito-criminal-engenharia-civil-prova.pdf?_ga=2.205593300.653048855.1588269561-
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Unidade III – Questão 2: FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS. Concurso Público Tribunal Regional 
Eleitoral de Roraima 2015: Analista Judiciário. Questão 49. Disponível em: https://arquivos.
qconcursos.com/prova/arquivo_prova/42166/fcc-2015-tre-rr-analista-judiciario-engenharia-
civil-prova.pdf?_ga=2.206131540.653048855.1588269561-396452838.1588269561. Acesso em: 
30 abr. 2020.
Unidade IV – Questão 1: MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL. Concurso 
Público 2015: Engenheiro Civil. Questão 22. Disponível em: https://arquivos.qconcursos.
com/prova/arquivo_prova/48028/mpe-rs-2015-mpe-rs-engenheiro-civil-prova.pdf?_
ga=2.228995803.653048855.1588269561-396452838.1588269561. Acesso em: 30 abr. 2020.
Unidade IV – Questão 2: CENTRO DE SELEÇÃO E DE PROMOÇÃO DE EVENTOS (CESPE). 
Concurso Público Tribunal Regional Eleitoral da Bahia 2017: Analista Judiciário. Questão 35. 
Disponível em: https://arquivos.qconcursos.com/prova/arquivo_prova/55413/cespe-2017-tre-
ba-analista-judiciario-engenharia-civil-prova.pdf?_ga=2.32509305.653048855.1588269561-
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000