Geometria: Cálculos de Volume e Área

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77. **Problema:** Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular com base de 
lado 8 cm e altura 12 cm. 
 - **Resposta:** O volume da pirâmide quadrangular regular é \( \frac{1}{3} \times 
base^2 \times altura = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \) cm³. 
 - **Explicação:** O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula \( \frac{1}{3} \times 
base^2 \times altura \), onde \( base \) é a área da base e \( altura \) é a altura da pirâmide. 
 
78. **Problema:** Qual é a área de um polígono regular com 12 lados inscrito em um 
círculo de raio 6 cm? 
 - **Resposta:** A área do polígono regular é \( \frac{n}{4} \times r^2 \times 
\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{12}{4} \times 36 \times \cot\left(\frac{\pi}{12}\right) 
\approx 162, 
 
95 \) cm². 
 - **Explicação:** A área de um polígono regular inscrito é calculada usando a fórmula 
mencionada. 
 
79. **Problema:** Determine a área da superfície de um cilindro com raio da base 4 cm e 
altura 7 cm. 
 - **Resposta:** A área da superfície do cilindro é \( 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi \times 4 
\times 7 + 2\pi \times 16 = 56\pi + 32\pi = 88\pi \) cm². 
 - **Explicação:** A área da superfície de um cilindro é a soma da área lateral e das 
áreas das bases. 
 
80. **Problema:** Qual é o volume de um cone com raio da base 5 cm e altura 8 cm? 
 - **Resposta:** O volume do cone é \( \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 25 
\times 8 = \frac{200}{3} \pi \) cm³. 
 - **Explicação:** O volume de um cone é dado pela fórmula \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \), 
onde \( r \) é o raio da base e \( h \) é a altura. 
 
81. **Problema:** Determine o perímetro de um triângulo escaleno com lados de 7 cm, 
10 cm e 12 cm. 
 - **Resposta:** O perímetro do triângulo escaleno é \( 7 + 10 + 12 = 29 \) cm. 
 - **Explicação:** Para um triângulo escaleno, o perímetro é a soma dos comprimentos 
de todos os lados. 
 
82. **Problema:** Qual é a área de um quadrado inscrito em um círculo de raio 6 cm? 
 - **Resposta:** A área do quadrado é \( 2r^2 = 2 \times 36 = 72 \) cm². 
 - **Explicação:** A área do quadrado inscrito em um círculo é metade da área do 
círculo. 
 
83. **Problema:** Determine a área da superfície de um cubo com volume de 125 cm³. 
 - **Resposta:** A área da superfície do cubo é \( 6 \times lado^2 = 6 \times 5^2 = 6 
\times 25 = 150 \) cm². 
 - **Explicação:** A área da superfície de um cubo é a soma das áreas de todas as suas 
faces. 
 
84. **Problema:** Calcule o volume de uma esfera com área da superfície de 144\(\pi\) 
cm². 
 - **Resposta:** O volume da esfera é \( \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 36 = 48 
\pi \) cm³. 
 - **Explicação:** A área da superfície de uma esfera é dada, e o volume é calculado 
invertendo a fórmula da área da superfície. 
 
85. **Problema:** Qual é a área da superfície de um cilindro com volume de 100\(\pi\) 
cm³ e altura 5 cm? 
 - **Resposta:** A área da superfície do cilindro é \( 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r) = 
100\pi \). 
 - **Explicação:** A área da superfície de um cilindro é dada pela fórmula que relaciona 
o volume e as dimensões do cilindro. 
 
86. **Problema:** Determine a área de um triângulo isósceles com lados iguais de 5 cm e 
ângulo entre eles de 120°. 
 - **Resposta:** A área do triângulo isósceles é \( \frac{1}{2} \times a \times b \times 
\sin(C) = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \times 25 \times 
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \) cm². 
 - **Explicação:** A área de um triângulo é calculada usando a fórmula envolvendo os 
lados e o ângulo entre eles. 
 
87. **Problema:** Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular com base de 
lado 8 cm e altura 12 cm.