Problemas de Matemática e Geometria

Prévia do material em texto

341. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{32}{x} \right)^{27x} \). 
 **Resposta:** O limite é \( e^{32} \). 
 **Explicação:** Usando a definição de limite exponencial e propriedades do limite de \( 
e \). 
 
342. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{30x}{y} \) com a 
condição inicial \( y(1) = 28 \). 
 **Resposta:** \( y(x) = \sqrt{x^2 + 900} \). 
 **Explicação:** Separando as variáveis e integrando ambos os lados da equação 
diferencial, usando a condição inicial para determinar a constante de integração. 
 
343. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais as retas \( y = ax \) e \( y = 
-31x + 3 \) são perpendiculares. 
 **Resposta:** \( a = \frac{1}{31} \). 
 **Explicação:** Aplicando a condição de perpendicularidade entre duas retas, \( a \) 
deve ser o oposto do inverso do coeficiente angular da reta dada. 
 
344. **Problema:** Encontre o valor máximo da função \( f(x) = x^3 - 30x^2 + 33x + 32 \) no 
intervalo \( [0, 24] \). 
 **Resposta:** O valor máximo é \( 41 \). 
 **Explicação:** Encontrando os pontos críticos e verificando os valores da função nos 
extremos do intervalo. 
 
345. **Problema:** Calcule a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o 
 
 eixo \( x \), e as linhas \( x = 0 \) e \( x = 36 \). 
 **Resposta:** A área é \( e^{36} - 1 \). 
 **Explicação:** Determinando a integral \( \int_0^{36} e^x \, dx \). 
 
346. **Problema:** Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(37x) \) de \( x = 1 \) a \( x = 
24 \). 
 **Resposta:** O comprimento da curva é \( \sqrt{3138} + \ln(1369) \). 
 **Explicação:** Usando a fórmula \( \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \) 
para encontrar o comprimento de arco. 
 
347. **Problema:** Determine os pontos de interseção da reta \( y = 39x + 38 \) com a 
parábola \( y = x^2 - 39x + 38 \). 
 **Resposta:** Os pontos de interseção são \( (1, 77) \) e \( (2, 117) \). 
 **Explicação:** Substituindo \( y = 39x + 38 \) na equação da parábola e resolvendo o 
sistema resultante. 
 
348. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \sin(48x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 48\cos(48x) \). 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia para derivar a função trigonométrica 
composta. 
 
349. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(54x)}{\tan(52x)} \). 
 **Resposta:** O limite é \( \frac{27}{26} \). 
 **Explicação:** Usando aproximações de primeira ordem para \( \sin(54x) \) e \( 
\tan(52x) \). 
 
350. **Problema:** Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
40e^x \). 
 **Resposta:** A área é \( 39e \). 
 **Explicação:** Encontrando os pontos de interseção das curvas e calculando a 
integral \( \int_0^{\ln(40)} (40e^x - e^x) \, dx \). 
Claro, vou gerar 100 problemas de matemática e geometria com suas respostas e 
explicações. Vamos lá: 
 
1. **Problema:** Qual é a área de um quadrado com lado de comprimento 5 cm? 
 - **Resposta:** A área do quadrado é \( 5 \times 5 = 25 \) cm². 
 - **Explicação:** A área de um quadrado é calculada multiplicando-se o comprimento 
do lado pelo próprio lado. 
 
2. **Problema:** Determine o perímetro de um retângulo com lados de 4 cm e 7 cm. 
 - **Resposta:** O perímetro do retângulo é \( 2 \times (4 + 7) = 22 \) cm.