Problemas Matemáticos e Geométricos

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398. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 
\frac{1}{x} \), \( x = 1 \) e \( x = 4 \). 
 - **Resposta:** \( 4 - 2\sqrt{2} + \frac{\ln 4}{2} \) 
 - **Explicação:** Encontre os pontos de interseção e use a integral definida para 
calcular a área. 
 
399. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{x}^{2x} \frac{\sin t}{t} \, dt \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2\sin(2x)}{x} - \frac{\sin x}{x} \) 
 - **Explicação:** Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
400. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n^3}\) 
converge ou diverge. 
 - **Resposta:** A série converge. 
 - **Explicação:** Use o teste de convergência alternada. 
 
401. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{4+x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{4+x^2} + C \) 
 - **Explicação:** Use a substituição \( u = 4 + x^2 \). 
 
402. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{\cos x}^{\sin x} \frac{1}{1+t^2} \, dt 
\). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} \) 
 - **Explicação:** Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
403. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}\) 
converge ou diverge. 
 - **Resposta:** A série diverge. 
 - **Explicação:** Use o critério de condensação de Cauchy. 
 
404. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln x \), \( y = 2x \), 
\( x = 1 \) e \( x = e \). 
 - **Resposta:** \( e - 1 \) 
 - **Explicação:** Encontre os pontos de interseção e use a integral definida para 
calcular a área. 
 
405. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin t}{t} \, dt \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \) 
 - **Explicação:** Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
406. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) 
converge ou diverge. 
 - **Resposta:** A série converge. 
 - **Explicação:** Use o teste de convergência alternada. 
 
407. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 2x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln |x^2 + 2x| + C \) 
 - **Explicação:** Complete o quadrado e integre. 
 
408. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_0^{\ln x} \cos(e^t) \, dt \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\cos x}{x} \) 
 - **Explicação:** Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
409. **Problema:** Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) 
converge ou diverge. 
 - **Resposta:** A série converge. 
 - **Explicação:** Use o teste de convergência alternada. 
 
410. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \), \( y = 2x \), 
\( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{5}{6} \) 
 - **Explicação:** Encontre os pontos de interseção e use a integral definida para 
calcular a área. 
Claro, aqui estão 100 problemas de matemática e geometria desafiadores, cada um com 
resposta e explicação: