Equações e Inequações Matemáticas

Prévia do material em texto

**Explicação:** Resolvemos a equação que define a sequência infinita. 
 
23. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2} \leq 0 \). 
 **Resposta:** A solução é \( -3 \leq x \leq -1 \) ou \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \). 
 **Explicação:** Encontramos os intervalos onde a expressão é não positiva. 
 
24. **Problema:** Determine todos os valores de \( x \) que satisfazem \( \sqrt{5 - x} + 
\sqrt{3 + x} = 4 \). 
 **Resposta:** A solução é \( 
 
 x = 1 \). 
 **Explicação:** Isolamos as raízes quadradas e resolvemos a equação resultante. 
 
25. **Problema:** Resolva a equação \( \log_3(x^2 + 3x + 2) = 2 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( x = -4 \) e \( x = -2 \). 
 **Explicação:** Utilizamos a definição de logaritmos para encontrar as soluções. 
 
26. **Problema:** Simplifique a expressão \( \sqrt{x^2 + 3x + 1} - x \). 
 **Resposta:** A expressão simplificada é \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x + 1} + x} \), exceto 
quando \( x = 0 \). 
 **Explicação:** Simplificamos a expressão utilizando propriedades das raízes. 
 
27. **Problema:** Resolva a equação \( 2^x + 3^x = 10 \). 
 **Resposta:** A solução é \( x = 1 \). 
 **Explicação:** Utilizamos propriedades de potências para resolver a equação. 
 
28. **Problema:** Calcule \( \frac{1}{x^2 - x - 2} + \frac{1}{x^2 + x - 2} \). 
 **Resposta:** A expressão simplificada é \( \frac{2}{x^2 - 4} \), exceto quando \( x = -1 \) 
ou \( x = 2 \). 
 **Explicação:** Encontramos um denominador comum e simplificamos a expressão 
racional. 
 
29. **Problema:** Resolva a equação \( \cos(2x) + \sin(x) = 1 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi 
\), onde \( k \) é um inteiro. 
 **Explicação:** Utilizamos identidades trigonométricas para resolver a equação. 
 
30. **Problema:** Determine a soma das soluções da equação \( x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0 
\). 
 **Resposta:** A soma das soluções é \( 9 \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teorema de Vieta para encontrar a soma das raízes. 
 
31. **Problema:** Calcule \( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \). 
 **Resposta:** A expressão simplificada é \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \). 
 **Explicação:** Simplificamos a expressão dentro da raiz. 
 
32. **Problema:** Resolva a equação \( \log_2(x^2 - 5x + 6) = 1 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( x = 2 \) e \( x = 3 \). 
 **Explicação:** Utilizamos a definição de logaritmos para encontrar as soluções. 
 
33. **Problema:** Simplifique a expressão \( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} \). 
 **Resposta:** A expressão simplificada é \( \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \), que se reduz a \( 
\frac{x+1}{x-1} \), exceto quando \( x = -1 \) ou \( x = 1 \). 
 **Explicação:** Fatoramos e simplificamos a fração. 
 
34. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2} > 0 \). 
 **Resposta:** A solução é \( -3 < x < -1 \) ou \( x < -2 \) ou \( x > 2 \). 
 **Explicação:** Encontramos os intervalos onde a expressão é positiva. 
 
35. **Problema:** Calcule \( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{-4}{x^2 - 4} \). 
 **Resposta:** A expressão é verdadeira para todo \( x \neq 2 \) e \( x \neq -2 \). 
 **Explicação:** Simplificamos ambos os lados da igualdade para verificar a identidade. 
 
36. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(3x) \).