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453. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 3 \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a definição de limite fundamental e a expansão de Taylor 
para \( \tan(x) \). 
 
454. **Problema:** Qual é a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos 
x \) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \)? 
 - **Resposta:** \( 2 \) 
 - **Explicação:** Calculamos a integral da diferença entre as funções seno e cosseno 
no intervalo dado. 
 
455. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(2x) = 1 \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6} \) e \( x = \frac{5\pi}{6} \) 
 - **Explicação:** Encontramos os valores de \( x \) que satisfazem a equação 
trigonométrica. 
 
456. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 0 \) 
 - **Explicação:** Usamos a definição de derivada para calcular o limite. 
 
457. **Problema:** Calcule a soma dos primeiros 15 termos da sequência \( 2, 5, 8, 11, 
\ldots \). 
 - **Resposta:** \( 570 \) 
 - **Explicação:** Utilizamos a fórmula da soma de uma progressão aritmética. 
 
458. **Problema:** Encontre o valor de \( \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \ln(\ln x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 - **Explicação:** Realizamos a integração por substituição. 
 
459. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)? 
 - **Resposta:** \( 1 \) 
 - **Explicação:** Decompondo a fração em termos parciais e simplificando a série. 
 
460. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 3 \) 
 - **Explicação:** Utilizamos a definição de derivada e a expansão de Taylor para \( 
\ln(1+x) \). 
 
Espero que esses problemas adicionais sejam úteis para você! 
Claro, aqui estão mais 50 problemas de matemática e geometria desafiadores com suas 
respostas e explicações: 
 
101. **Problema:** Encontre a área de um triângulo com vértices em (8,10), (11,15), e 
(15,10). 
 - **Resposta:** A área de um triângulo com vértices (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) é \( 
\frac{1}{2} | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | \). Portanto, a área é \( \frac{1}{2} | 8(15 - 
10) + 11(10 - 10) + 15(10 - 15) | = \frac{1}{2} | 40 + 0 - 25 | = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 \) 
unidades quadradas. 
 
102. **Problema:** Calcule o volume de um cilindro com altura 55 cm e cuja base tem 
raio 11 cm. 
 - **Resposta:** O volume de um cilindro é \( \pi r^2 h \). Portanto, o volume é \( \pi 
\times 11^2 \times 55 = 6655\pi \) unidades cúbicas. 
 
103. **Problema:** Encontre a área de um trapézio com bases de 36 cm e 24 cm e altura 
24 cm. 
 - **Resposta:** A área de um trapézio é \( \frac{1}{2} \times (B1 + B2) \times h \). 
Portanto, a área é \( \frac{1}{2} \times (36 + 24) \times 24 = 720 \) cm². 
 
104. **Problema:** Qual é a área de um quadrilátero com vértices nos pontos (0,0), 
(24,0), (28,20), e (4,20)? 
 - **Resposta:** Use a fórmula da área de um quadrilátero dados seus vértices. 
Portanto, a área é \( | 0(0 - 20) + 24(20 - 20) + 28(0 - 0) + 4(0 - 0) | = | 0 + 0 + 0 + 0 | = 0 \) 
unidades quadradas. 
 
105. **Problema:** Determine a área da superfície de um cubo com volume de 3375 
unidades cúbicas.