Aritmética Computacional em Sistemas Binários

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO
ROGÉRIO JUNIOR DE ANDRADE DE OLIVEIRA
0099076
Explorando a Aritmética Computacional e Conversão de Bases para Desenvolvimento de Sistemas
SÃO JOÃO DE MERITI, 2024
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO	2
2 DESENVOLVIMENTO	3
2.1 Aritmética Computacional........................................................................................................3
2.2 Conceituação da aritmética computacional e sua importância para o desenvolvimento de sistemas......................................................................................3
2.3 Exploração detalhada das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) em sistemas binários...................................................................................................3
2.4 Sistemas Binários...................................................................................................7
2.5 Definição e características do sistema binário.......................................................7
2.6 Discussão sobre a razão pela qual os computadores utilizam o sistema binário e suas vantagens em relação a outros sistemas numéricos..........................................7
2.7 Exemplos práticos de como números são representados e manipulados em sistemas binários..........................................................................................................8
2.9 Conversão de Bases.............................................................................................10
3 CONCLUSÃO	..................................................................................................................................14
REFERÊNCIAS	15
	
1 INTRODUÇÃO
A aritmética computacional desempenha um papel fundamental no desenvolvimento de sistemas computacionais, fornecendo os fundamentos teóricos e práticos para a realização de cálculos matemáticos em computadores digitais. Este campo abrange uma série de algoritmos e técnicas que lidam com a manipulação de números representados em formato binário, essencial para o funcionamento adequado de dispositivos eletrônicos modernos.
Este trabalho tem como objetivo explorar detalhadamente as operações básicas em sistemas binários, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão. Além disso, serão discutidas as razões pelas quais os computadores utilizam o sistema binário como sua linguagem de comunicação padrão, bem como suas vantagens em relação a outros sistemas numéricos.
Ao compreender a aritmética computacional e as operações básicas em sistemas binários, os desenvolvedores de sistemas são capacitados a criar soluções mais eficientes, precisas e adaptáveis às demandas crescentes da computação moderna. Este trabalho fornecerá uma visão abrangente desses conceitos, destacando sua importância e aplicabilidade no desenvolvimento de sistemas computacionais.
2 DESENVOLVIMENTO
2.1 Aritmética Computacional:
2.2 Conceituação da aritmética computacional e sua importância para o desenvolvimento de sistemas. 
A aritmética computacional é um ramo da computação que se dedica ao estudo e desenvolvimento de algoritmos e técnicas para a realização de cálculos matemáticos em computadores digitais. Diferentemente da aritmética convencional, realizada manualmente ou em calculadoras simples, a aritmética computacional lida com números representados em formato binário e utiliza algoritmos otimizados para garantir precisão e eficiência computacional.
No tocante a sua relevância ao desenvolvimento de sistemas, desempenha um papel crucial na garantia de precisão, eficiência e inovação tecnológica. Ao compreender e aplicar os princípios da aritmética computacional, os desenvolvedores podem criar sistemas mais robustos, eficientes e adaptáveis às demandas crescentes de diversas áreas da ciência e tecnologia.
Exploração detalhada das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) em sistemas binários.
2.3 Exploração detalhada das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) em sistemas binários.
Adição binaria:
Na adição binária, cada bit do mesmo valor (0 ou 1) é adicionado individualmente, semelhante à adição em decimal. A soma é realizada da direita para a esquerda, bit a bit, com a consideração de que 1 + 1 resulta em 0 com um transporte de 1.
Tabela de adição binaria:
 0 + 0 = 0
 1 + 0 = 1 
 0 + 1 = 1 
 1 + 1 = 10 (2 em binário, se escreve como 0 e carrega o 1) (2 equivale a 10 em binário)
Exemplo: 
 1101 (13 em decimal)
 + 1010 (10 em decimal)
 --------------
 10111 (23 em decimal)
 
Subtração Binária:
A subtração binária também é semelhante à subtração em decimal, mas é essencialmente uma operação de adição com o complemento de dois. Isso significa que, para subtrair um número, você deve adicionar o seu complemento de dois ao número do qual você está subtraindo. O complemento de dois é obtido invertendo todos os bits do número e adicionando 1 ao resultado.
 
Tabela de Subtração Binária:
 0 - 0 = 0 
 1 - 0 = 1 
 1 - 1 = 0 
 0 - 1 = 1 (Com empréstimo)
 
Ex: 
 1101 (13 em decimal)
 - 1010 (10 em decimal)
 -------------
 011 (3 em decimal)
 
Multiplicação binária:
A multiplicação binária é realizada da mesma forma que a multiplicação em decimal, mas apenas com os dígitos 0 e 1. Cada dígito do multiplicador é multiplicado pelo multiplicando, e os produtos parciais são somados para obter o produto final. A multiplicação por 0 resulta sempre em 0, e a multiplicação por 1 mantém o valor original.
Tabela de multiplicação Binária:
 0 x 0 = 0 
 0 x 1 = 0 
 1 x 0 = 0 
 1 x 1 = 1 
Ex: 
 1101 (13 em decimal)
 x 1010 (10 em decimal)
 -------------
 1101 (13 em decimal)
 0000 (Adicionando um zero para a próxima linha)
 1101 (Deslocando um bit para a esquerda)
 -------------
 1111010
Divisão Binária:
A divisão binária é semelhante à divisão em decimal, mas com os dígitos 0 e 1. A divisão é realizada de forma iterativa, subtraindo o divisor do dividendo até que o dividendo seja menor que o divisor. O quociente é formado pelos restos das subtrações, lidos da parte inferior para a superior.
 1101 (13 em decimal, dividendo)
÷ 101 (5 em decimal, divisor)
-----------
 10 (Quociente)
 110 (Subtraindo o divisor do dividendo)
----------
10 (Quociente final)
2.4 sistemas Binários: 
2.5 Definição e características do sistema binário.
  O sistema binário é a base primordial que os computadores utilizam para codificar, transmitir e processar informações. Por meio da combinação de "0" e "1", os computadores podem representar números, texto e outros tipos de dados.
2.5 Definição e características do sistema binário.
Base de Dois: O sistema binário é também referido como base dois, ao passo que o sistema decimal, utilizado rotineiramente, é composto por dez símbolos (0-9).
Unidade Binária (Bit): Cada "0" ou "1" no sistema binário é denominado bit. Na arquitetura do computador, um bit é frequentemente simbolizado por um transistor ativado ou desativado, ou um capacitor carregado ou descarregado.
Representação em Diversos Meios:
Transmissão de Dados: Tons de frequência alta e baixa são empregados para simbolizar "0s" e "1s" em linhas telefônicas ou conexões de rádio.
Armazenamento Magnético: Em dispositivos magnéticos como discos rígidos e disquetes, os bits são indicados pela orientação de um campo magnético, podendo ser norte-sul ou sul-norte.
Armazenamento Óptico: Mídia como CD de áudio, CD-ROM e DVD utilizam a reflexão da luz para codificar bits. Uma região que reflete luz pode ser interpretada como "1", enquanto uma que não reflete é considerada "0".
Octeto: Um único bit possui limitações em sua capacidade de representação. Por isso, os bits são comumente organizados em grupos de oito, denominados octetos ou bytes. Um byte tem a capacidade de representar números de0 a 255.
Desempenho do Computador: A eficiência de processamento de um computador está intrinsecamente relacionada à quantidade de bits que ele consegue manipular em uma única ação. Por exemplo, um sistema computacional de 32 bits é capaz de processar números de 32 bits simultaneamente, tornando-o mais eficaz do que um de 16 bits, que necessita segmentar números maiores em partes menores. 
2.6 Discussão sobre a razão pela qual os computadores utilizam o sistema binário e suas vantagens em relação a outros sistemas numéricos.
Os computadores adotam o sistema binário como sua linguagem de comunicação padrão. Isso significa que todas as informações processadas e armazenadas em um computador são convertidas para o sistema binário, que utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1.
Quando os computadores precisam armazenar informações, elas são organizadas e armazenadas em unidades chamadas bytes. Um byte é composto por 8 bits, sendo que cada bit pode ter o valor de 0 ou 1. Essa estrutura binária simplifica o processo de armazenamento e recuperação de dados, pois os computadores são projetados para trabalhar com essa forma de representação numérica. 
O valor "8" em um byte é derivado da tabela ASCII (American Standard Code for Information Interchange). A tabela ASCII é uma padronização que associa cada caractere alfabético, numérico e de controle a um número específico, permitindo que o computador entenda e processe esses caracteres como informações binárias. Essa padronização é essencial para garantir a consistência e a compatibilidade entre diferentes sistemas e dispositivos.
Em resumo, os computadores utilizam o sistema binário e não outros sistemas numéricos devido à sua eficiência, simplicidade e padronização. O sistema binário permite uma representação clara e direta de informações em forma de bits, ela serve como base para sistemas mais complexos como o hexadecimal, permitindo uma representação compacta e eficiente de dados, facilitando o armazenamento, processamento e transmissão de dados. Além disso, a utilização da tabela ASCII assegura que os computadores possam interpretar e manipular informações de forma consistente e compatível, reforçando a universalidade e a eficácia do sistema binário na computação moderna.
2.7 Exemplos práticos de como números são representados e manipulados em sistemas binários.
Conversão de Decimal para Binário:
Método da Divisão Sucessiva por 2:
Para converter um número decimal para binário, utiliza-se o método da divisão sucessiva por 2. Neste método, você divide o número decimal pelo valor da base, que é 2 para o sistema binário. Anota-se o resto da divisão e repete-se o processo com o quociente resultante. Esse processo continua até que o quociente seja zero. O número binário é formado pelos restos obtidos, lidos de baixo para cima.
Exemplo:
Decimal 25 para Binário:
25 ÷ 2 = 12 (resto 1)
12 ÷ 2 = 6 (resto 0)
 6 ÷ 2 = 3 (resto 0)
 3 ÷ 2 = 1 (resto 1)
 1 ÷ 2 = 0 (resto 1)
Número binário resultante: 11001
Conversão de Binário para Decimal:
Método da Soma Ponderada:
Para converter um número binário para decimal, utiliza-se o método da soma ponderada. Neste método, cada bit do número binário é multiplicado pela potência de 2 correspondente, começando por 2^0 para o bit mais à direita. Os produtos resultantes são somados para obter o valor decimal equivalente.
Exemplo:
 
Passo 1: Identificar a Posição de Cada Dígito Binário
Para o número binário 11011101:
O dígito mais à direita está na posição 2020(posição 0).
O próximo dígito à esquerda está na posição 2121(posição 1).
O próximo dígito à esquerda está na posição 2222(posição 2).
O dígito mais à esquerda está na posição 2323(posição 3).
 
Passo 2: Multiplicar Cada Dígito Binário pela Potência de 2 Correspondente
1×231×23= 1×81×8= 8
1×221×22= 1×41×4= 4
0×210×21= 0×20×2= 0
1×201×20= 1×11×1= 1
Passo 3: Somar Todos os Resultados
Some os resultados das multiplicações:
8+4+0+1=138+4+0+1=13
Resultado:
O número binário 11011101 é igual a 13 em decimal.
 2.9 Conversão de Bases
Conversão de Decimal para Hexadecimal:
Método da Divisão Sucessiva por 16:
Para converter um número decimal para hexadecimal, utiliza-se o método da divisão sucessiva por 16. Neste método, você divide o número decimal pelo valor da base, que é 16 para o sistema hexadecimal. Anota-se o resto da divisão e repete-se o processo com o quociente resultante. Esse processo continua até que o quociente seja zero. O número hexadecimal é formado pelos restos obtidos, lidos de baixo para cima e convertendo os restos maiores que 9 para as letras A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) e F (15).
Exemplo:
Passo 1: Dividir o Número Decimal por 16 e Anotar o Resto
Para o número decimal 205205:
1. 205÷16=12205÷16=12com resto CC (equivale a 12 em decimal)
2. 12÷16=012÷16=0com resto CC (equivale a 12 em decimal)
 
Passo 2: Converter os Restos Maiores que 9 para as Letras A a F
O resto CC é equivalente a 12 em decimal e será representado pela letra CC no sistema hexadecimal.
Passo 3: Compor o Número Hexadecimal
Os restos obtidos, lidos de baixo para cima, formam o número hexadecimal. 
Resultado:
O número decimal 205 é igual a CC em hexadecimal.
Conversão de Hexadecimal para Decimal:
Método da Soma Ponderada:
Para converter um número hexadecimal para decimal, utiliza-se o método da soma ponderada. Neste método, cada dígito do número hexadecimal é multiplicado pela potência de 16 correspondente, começando por 16^0 para o dígito mais à direita. Os produtos resultantes são somados para obter o valor decimal equivalente.
Exemplo:
Passo 1: Converter Cada Dígito Hexadecimal para o Correspondente Decimal
Para o número hexadecimal 2A:
O dígito 22 é equivalente a 22 em decimal.
O dígito AA é equivalente a 1010 em decimal.
Passo 2: Multiplicar Cada Dígito pelo Valor da Base (16) Elevado à Sua Posição
2×1612×161= 2×162×16= 3232
A×160A×160= 10×110×1= 1010
Passo 3: Somar Todos os Resultados
Some os resultados das multiplicações:
32+10=4232+10=42
Resultado:
O número hexadecimal 2A é igual a 42 em decimal.
Conversão de Binário para Hexadecimal e Vice-Versa:
Para converter entre binário e hexadecimal, pode-se utilizar os métodos de conversão para decimal como etapa intermediária. Primeiro, converte-se o número binário para decimal e, em seguida, o número decimal para hexadecimal (ou vice-versa), utilizando os métodos de conversão já descritos.
Exemplo:
Passo 1: Agrupar os Dígitos Binários em Grupos de Quatro, da Direita para a Esquerda
Para o número binário 1101101111011011:
Agrupando os dígitos em grupos de quatro, temos:
11011101 e 10111011
Passo 2: Converter Cada Grupo de Quatro Dígitos Binários para Hexadecimal
Para o grupo 11011101:
11011101 em binário é DD em hexadecimal.
Para o grupo 10111011:
10111011 em binário é BB em hexadecimal.
Passo 3: Compor o Número Hexadecimal
Os grupos de dígitos hexadecimais obtidos, lidos da esquerda para a direita, formam o número hexadecimal.
Resultado:
O número binário 11011011 é igual a DB em hexadecimal.
3 CONCLUSÃO
Ao longo deste trabalho, exploramos a aritmética computacional e suas operações básicas em sistemas binários, fundamentais para o funcionamento e desenvolvimento de sistemas computacionais modernos. Através da compreensão desses conceitos, foi possível identificar a relevância da aritmética computacional na garantia de precisão, eficiência e inovação tecnológica.
A escolha do sistema binário pelos computadores como linguagem de comunicação padrão foi discutida, ressaltando suas vantagens em relação a outros sistemas numéricos. A simplicidade, eficiência e padronização do sistema binário, aliadas à universalidade da tabela ASCII, asseguram a consistência e compatibilidade entre diferentes sistemas e dispositivos.
Além disso, foram apresentados exemplos práticos de conversões entre diferentes bases numéricas (decimal, binária e hexadecimal), demonstrando os métodos utilizados para realizar essas conversões e enfatizando a importância de tais processos no desenvolvimento e na operação de sistemas computacionais.Em suma, a aritmética computacional e o sistema binário são pilares essenciais para a evolução contínua da tecnologia da informação, permitindo avanços significativos na capacidade de processamento, armazenamento e transmissão de dados. O conhecimento adquirido neste trabalho serve como base sólida para profissionais da área de computação, auxiliando-os na criação de soluções inovadoras e eficientes para as demandas crescentes da sociedade contemporânea.
REFERÊNCIAS
BELL, TIM; FELLOWS, MIKE; WITTEN, IAN H. Computer Science Unplugged: Ensinando Ciência da Computação sem o uso do computador. 2011. Disponível em: https://classic.csunplugged.org/wpcontent/uploads/2014/12/CSUnpluggedTeachers-portuguese-brazil-feb2011.pdf. Acesso em: 28/03/2024. 
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