Numeros surdos negativos e imaginários - Seminário Historia da matemática

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SURDOS,
NEGATIVOS E
IMAGINÁRIOS 
NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
OS NÚMEROS
POR: 
BÁRBARA TONON
E
LUANA DE ARRUDA
Resumo
O capítulo “Surdos, negativos e imaginários na resolução de equações” do livro
“Historia da matemática” por Tatiana Roque relata um pouco como se iniciou o
processo de idealização e aceitação dos números irracionais, negativos e
imaginários. No enredo a autora cita nome de renomados matemáticos que
fizeram parte desse processo de declaração de números irracionais e como
eles eram aplicados nos cálculos e e geometricamente. Veremos que apesar
de muitos séculos depois, ainda existe uma grande rejeição em relação a
esses números como soluções e processos nos cálculos de várias equações,
em vários materiais de estudo, e em vários planos de aula. 
Números surdos
 As soluções racionais seriam aquelas soluções comensuráveis (possível
de ser medido), com a unidade ou cujo quadrado fosse comensurável;
E as outras soluções são chamadas de “alogos” que podemos traduzir para
“sem razão” ou "irracional". 
Ao traduzir o termo “alogos” para inexprimível, essas soluções foram
chamadas de “mudas ". E nas versões latinas, foi traduzido para “números
surdos” e por isso os irracionais são conhecidos assim.
Resolução de equações
 Números irracionais que apareciam nos métodos de resolução de
equações intrigaram os algebristas europeus do século XV e XVI.
 Bombelli, que propôs um modo de aproximar o resultado do problema que
escrevemos hoje como sendo o de encontrar a solução da equação x^2=z.
No campo da teoria das frações contínuas, o matemático desenvolveu um
método para obter a expansão em frações contínuas de raízes quadradas.
Consiste na seguinte expressão.
1) √ N é o número real que desejamos obter a
expansão por meio de frações contínuas, a^2 é
o maior quadrado perfeito menor do que N e b
= N − a^2. A verificação de tal expressão é
fornecida abaixo. Considerando√ √N = √a^2 + b,
tem-se então que: N=a^2+b, logo N-a=b
2) Fatorando a diferença de quadrados: 
 √ N − a)(√ N + a) = b. 
Portanto: N = a + b /√N + a
Aplicando a igualdade acima para √ N, no denominador da fração
que aparece no segundo membro, concluímos:
3) Repetindo indefinidamente o processo, obtemos a
expressão inicial para x. Bombelli utilizou esse resultado,
para determinar uma representação em frações contínuas
de √3, atribuindo a = 3 e b = 4.
A expansão em frações contínuas de raízes
quadradas
Negação dos números irracionais
 Os números irracionais apareciam frequentemente como raízes de equações e eram
muitas vezes aproximados por suas somas infinitas. Mas não eram considerados de
fato números ainda, pois não tinham estatuto definido.
 Até o final do século XVIII, as raízes negativas e imaginárias de equações eram
consideradas quantidades irreais.
Os nomes que os designavam como “surdos” ou "inexprimíveis" ou até mesmo os termos
“ resultado falso”, “fictício”, “impossível” ou imaginário para os números negativos e
complexos, não eram sequer admitidos como números
Matemático alemão Michael Stifel e os “números que escapam”
Números decimais
 O Holandes e francês Simon Stevin chamado de De thiende “o décimo”
defendeu uma representação decimal para os números fracionários
 Rever casas decimais tornava mais existente a possibilidade de aumentar o
número de casas, o que facilita a aproximação de um número irracional para
racional. 
Ficou evidente que, apesar dos números irracionais não poderem ser
expressos exatamente, é possível aproximá-los com grande precisão usando
números racionais.
Stevin foi um dos primeiros matemáticos do século XVI a dizer que o irracional
deve ser admitido como número
Teorema Fundamental da algebra
 Girard afirmou que todas as equações possuem tantas soluções quanto o grau
do termo de maior grau
 Todas as equações da álgebra possuem tantas soluções quanto o grau do
termo de maior grau, exceto as incompletas. Para admitir esse número de
soluções, é necessário considerar como válidas as soluções que ele chama de
"impossíveis".
Mas qual é a utilidade dessas soluções se são impossíveis?
Respondo que servem para três coisas: para a certeza da regra geral, para a
certeza de que não há outra solução, e pela sua utilidade."
Resolução de equações
 As técnicas utilizadas para resolver equações evoluíram significativamente durante
os séculos XVI e XVII
 As técnicas utilizadas para resolver equações evoluíram significativamente durante
os séculos XVI e XVII
Teorema fundamental da álgebra.
Qual é a utilidade dessas soluções se são impossíveis
Números imaginários
 Descartes diz que podemos sempre imaginar tantas raízes quanto dissemos existir
em cada equação, mas às vezes não há nenhuma quantidade que corresponda àquelas
que imaginamos." 
 O exemplo utilizado para ilustrar esse caso é o da equação dada por x³ − 6xx + 13x −
10 = 0, para a qual podemos imaginar três soluções, das quais apenas uma é real, dada
pelo número 2.
Os números imaginários foram abordados em seu primeiro livro, juntamente com
definições de conceitos elementares, como potências, raízes e binômios, além das
operações que os envolviam.
Raízes
 Cardano, para resolver equações cúbicas gerava um problema no caso das
chamadas equações “irredutíveis”, como x^3 = 15x + 4.
 o método fazia aparecer raízes de números negativos como intermediárias no
cálculo das raízes das equações cúbicas, embora somente as raízes racionais
positivas fossem admitidas como solução
Dizia ele, se queremos dividir o número 10 em duas partes cujo produto seja
40, “é evidente que este problema é impossível, mas podemos fazer os cálculos
do modo que se segue”:19 dividimos 10 em duas partes iguais, obtendo 5, que
multiplicado por si mesmo, dá 25; subtraímos de 25 o produto requerido, ou
seja, 40, e restará m15
Segundo as proposições de Euclides, a equação de
que tratamos aqui exigiria a construção de um
quadrado de área m15; Euclides que afirma ser AD ×
DB + CD^2 = CB^2 = CBKI
Dividindo o segmento AB de comprimento 10 em dois
segmentos iguais e desiguais, queremos encontrar o
ponto D que resolve o problema, como na Ilustração 3.
Para isso, seria necessário retirar do quadrado CBKI,
de área 25, um retângulo de área 40 (igual ao produto
de AD por DB). Sendo assim, o quadrado em CD
deveria ter área m15.
Cardano observava que 40 é o quádruplo de 10, logo,
queremos que o produto AD × DB seja o quádruplo de AB.
Devemos, portanto, retirar de CBKI o quádruplo de AB. Se
restasse algo, a raiz quadrada dessa quantidade,
respectivamente somada e subtraída do lado de CBKI,
daria o resultado procurado. Mas como o resultado é
negativo e a diferença entre CBKI e o quádruplo de AB é
m15, essa raiz seria Rm15, quantidade que,
respectivamente somada e subtraída de 5, nos daria a
solução desejada.
ACEITAÇÃO
A obra de Bombelli não teve muita repercussão, e o emprego dos números negativos e de suas
raízes ainda inquietava os matemáticos até o século XVII, com exceção do caso em que
intervenham nas operações;
A introdução de uma nova notação, com os trabalhos de Viète, desviou a atenção dos matemáticos
que sucederam os algebristas do século XVI, e ele não admitia nem números negativos e
imaginários como raízes de equações, apesar de operar com regra de sinais.
 Ainda que Descartes chamasse de soluções “falsas” as quantidades negativas, ele as admitia
como soluções tão válidas quanto as positivas. Já os coeficientes das equações eram considerados
quantidades positivas, pois possuíam um sentido multiplicativo e representavam objetos
geométricos.
Logo, ainda que se operasse com números negativos, eles ainda não eram tidos como números,
com o mesmo estatuto dos positivos.
Obrigada!