Determine a derivada de \( f(x) = \arctan(\sin x) \). I- Aplicação da regra da cadeia e da derivada da função arco tangente. a) \( f'(x) = \frac{\c...

Para determinar a derivada de \( f(x) = \arctan(\sin x) \), é necessário aplicar a regra da cadeia e a derivada da função arco tangente. A derivada da função arco tangente é dada por \( \frac{1}{1+x^2} \), onde \( x \) é a variável da função. Aplicando a regra da cadeia, a derivada de \( \arctan(u) \) é \( \frac{u'}{1+u^2} \), onde \( u \) é a função interna. Neste caso, temos \( u = \sin x \), então \( u' = \cos x \). Portanto, a derivada de \( f(x) = \arctan(\sin x) \) é \( f'(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \). Assim, a alternativa correta é: a) \( f'(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \).