Problemas e Soluções Matemáticas

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Resposta e Explicação: A solução é \( x = 4 \). 
 
35. Problema: Calcule o valor de \( \int_0^{\pi/6} \frac{1 + \cos x}{1 - \sin x} \, dx \). 
 Resposta e Explicação: O valor da integral é \( \frac{5\pi}{6} \). 
 
36. Problema: Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{ 
 
n+1} \). 
 Resposta e Explicação: A soma é \( \ln 2 \). 
 
37. Problema: Qual é a derivada de \( y = \frac{\sqrt{x}}{x+1} \)? 
 Resposta e Explicação: A derivada é \( y' = \frac{1 - \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}(x+1)^2} \). 
 
38. Problema: Resolva a equação \( \log_2(3x-1) + \log_2(x+5) = 4 \). 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x = 3 \). 
 
39. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^x \). 
 Resposta e Explicação: O limite é \( e^3 \). 
 
40. Problema: Qual é a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) 
no intervalo \( [0, \pi/2] \)? 
 Resposta e Explicação: A área é \( 1 \). 
 
41. Problema: Encontre a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (3x + 2)^2 \). 
 Resposta e Explicação: A soma dos coeficientes é \( 9 \). 
 
42. Problema: Determine o valor de \( \sin^{-1}(\cos(30^\circ)) \). 
 Resposta e Explicação: O valor é \( 60^\circ \). 
 
43. Problema: Qual é a solução da equação \( \sqrt{6x-1} - \sqrt{2x-3} = 1 \)? 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x = 2 \). 
 
44. Problema: Calcule o valor de \( \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \, dx \). 
 Resposta e Explicação: O valor da integral é \( \pi \). 
 
45. Problema: Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+2} \). 
 Resposta e Explicação: A soma é \( \frac{\ln 2}{3} \). 
 
46. Problema: Qual é a derivada de \( y = \frac{e^x}{x^2} \)? 
 Resposta e Explicação: A derivada é \( y' = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} \). 
 
47. Problema: Resolva a equação \( \log_3(4x-1) + \log_3(x+3) = 3 \). 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x = 2 \). 
 
48. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \right) 
\). 
 Resposta e Explicação: O limite não existe. 
 
49. Problema: Qual é a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln x \) no 
intervalo \( [1, e] \)? 
 Resposta e Explicação: A área é \( e - 2 \). 
 
50. Problema: Encontre a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (2x - 1)^4 \). 
 Resposta e Explicação: A soma dos coeficientes é \( 16 \). 
 
51. Problema: Determine o valor de \( \sin^{-1}(\cos(45^\circ)) \). 
 Resposta e Explicação: O valor é \( 45^\circ \). 
 
52. Problema: Qual é a solução da equação \( \sqrt{4x+1} - \sqrt{x-1} = 2 \)? 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x = 4 \). 
 
53. Problema: Calcule o valor de \( \int_0^{\pi/3} \frac{1 + \sin x}{1 - \cos x} \, dx \). 
 Resposta e Explicação: O valor da integral é \( 2\pi \).